Проценты. Решение задач
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться решать не менее четырёх из пяти задач на нахождение процента от числа, числа по его проценту и процентного отношения двух величин, выбирая соответствующий способ решения и выполняя самопроверку.
- Закрепить понимание смысла процента как одной сотой части величины и алгоритмы решения трёх основных типов задач на проценты.
- Развивать умение анализировать условие задачи, выделять величины, известные и неизвестные, составлять краткую запись и выбирать рациональный способ решения.
- Формировать навыки сотрудничества при работе в парах, математической аргументации и взаимопроверки по заданным критериям.
- Воспитывать внимательность к вычислениям, ответственность за результат и интерес к применению процентов в повседневной жизни.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую значимость процентов при работе с ценами, скидками, результатами опросов и данными.
- Проявляют готовность проверять разумность полученного ответа и исправлять допущенные ошибки.
- Развивают положительную мотивацию к изучению математики через решение задач, связанных с жизненными ситуациями.
- Осваивают ответственное отношение к совместной работе и соблюдение правил математического диалога.
Метапредметные
- Извлекают информацию из текста задачи, таблицы и краткой записи, преобразуют её в математическую модель.
- Планируют последовательность решения, контролируют вычисления и оценивают соответствие ответа условию.
- Сравнивают разные способы решения и аргументированно объясняют выбор действия или формулы.
- Используют навыки читательской и математической функциональной грамотности в задачах с реальным контекстом.
Предметные
- Знают, что 1% равен одной сотой части величины, и умеют переводить проценты в десятичные дроби.
- Умеют находить процент от числа умножением числа на соответствующую десятичную дробь.
- Умеют находить число по его проценту делением известной части на соответствующую десятичную дробь.
- Умеют находить, сколько процентов составляет одно число от другого, и записывать ответ с обозначением процента.
- Умеют решать текстовые задачи на проценты, оформлять решение и выполнять проверку.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную цель: научиться уверенно распознавать тип задачи на проценты.
- Осознают смысл математических действий через связь с покупками, скидками и количественными данными.
- Проявляют самостоятельность при выборе уровня задания и готовность обращаться за помощью.
- Оценивают собственный прогресс по результатам самостоятельной работы и рефлексии.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока и составляют план решения задачи на проценты.
- Прогнозируют результат, выбирают необходимую формулу и контролируют порядок действий.
- Сверяют решение с эталоном, находят вычислительную или смысловую ошибку и корректируют её.
- Оценивают степень достижения цели с помощью листа самооценки и контрольных вопросов.
Познавательные УУД
- Выделяют в условии задачи целое, часть, процент и неизвестную величину.
- Классифицируют задачи по типу: нахождение процента от числа, числа по проценту, процентного отношения.
- Преобразуют проценты в десятичные дроби, строят краткую запись и математическую модель.
- Анализируют полученный ответ, сравнивают способы решения и выявляют типичные ошибки.
Коммуникативные УУД
- Формулируют полный устный ответ с использованием математических терминов.
- Работают в парах: объясняют ход решения, задают уточняющие вопросы и корректно предлагают исправления.
- Распределяют роли при взаимопроверке и соблюдают критерии оценивания.
- Аргументируют выбор действия, используя фразы «известно», «нужно найти», «поэтому».
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или записи на доске с определением процента, тремя схемами типов задач и формулами: p% от a = a·p/100; число по его p%: b:p/100; процентное отношение: b:a·100%.
- Распечатать карточки для парной работы с тремя жизненными задачами о скидке, составе класса и результатах опроса — по одной карточке на пару, всего 15 комплектов.
- Распечатать индивидуальные карточки самостоятельной работы трёх уровней — по одной на каждого ученика, всего 30 карточек.
- Подготовить листы самооценки с пунктами «Я различаю типы задач», «Я выбираю формулу», «Я проверяю ответ» — по одному на ученика.
- Подготовить сигнальные карточки зелёного, жёлтого и красного цвета — по одной тройке на каждого ученика.
- Вывести на экран или записать на доске проблемную задачу: «В магазине цена рюкзака 2400 рублей. На него сделали скидку 15%. Сколько рублей составляет скидка?»
- Подготовить таймер на 3 минуты для парной работы и на 6 минут для самостоятельной работы.
- Разделить доску на зоны «Процент от числа», «Число по проценту», «Процентное отношение» и оставить место для эталона решения.
- Подготовить маркеры, магниты или стикеры для фиксации ответов и взаимопроверки.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую значимость процентов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность к уроку: на парте должны быть тетрадь, ручка и линейка. Сегодня нам понадобится не только внимательность, но и умение объяснять решение друг другу. Покажите большой палец вверх, если готовы начать." | Проверяют принадлежности, показывают сигнал готовности, записывают дату. |
2 мин | Учитель показывает на экране рекламную запись: «Скидка 15% на рюкзак». "Представьте, что рюкзак стоит 2400 рублей. Как быстро узнать размер скидки? Можно ли просто вычесть 15 рублей? Сегодня мы проверим свои способы и научимся решать задачи на проценты без ошибок." | Высказывают предположения: «Нужно найти 15% от 2400», «15% — это 15 сотых», формулируют практическую проблему. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проценты встречаются в покупках, оценках, опросах и статистике. Чтобы уверенно работать с ними, сначала вспомним основные способы решения, а затем применим их к новым ситуациям."
Этап 2. Актуализация знаний. Приём «Светофор» (6 мин)
Цель этапа: восстановить опорные знания о процентах и выявить затруднения перед решением задач.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает утверждения: "1% — это одна сотая часть числа. 25% = 0,25. 100% числа — это само число. 5% от 300 равно 1500." Инструкция: "Поднимите зелёную карточку, если утверждение верно, красную — если неверно. Для неверного утверждения предложите исправление." | Показывают карточки. Исправляют ошибку: «5% от 300 равно 15, а не 1500». |
2 мин | Учитель записывает на доске: 50%, 7%, 125%, 0,4. "Переведите проценты в десятичные дроби и объясните, на сколько частей делим число." | Записывают: 50%=0,5; 7%=0,07; 125%=1,25; 0,4=40%. Объясняют правило деления процентов на 100. |
2 мин | Учитель проводит устную разминку: "Найдите 10% от 80, 25% от 200 и 1% от 500. Какой приём помогает считать быстрее?" | Вычисляют: 8, 50, 5; объясняют способы: «10% — разделить на 10», «25% — найти четверть». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что процент переводится в сотую долю, и потренировались находить простые проценты устно. Теперь выясним, как определить тип задачи по её условию."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: научить распознавать тип задачи и сформулировать план решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт парам три коротких условия: «Найти 18% от 250»; «45 — это 15% какого числа?»; «30 из 120 — это сколько процентов?». "Прочитайте условия и разложите их на три группы. Что в каждой задаче известно и что требуется найти?" | В парах классифицируют задачи. Формулируют: «В первой ищем часть от целого, во второй — целое по известной части, в третьей — процентное отношение». |
2 мин | Учитель фиксирует на доске три схемы и спрашивает: "Какую цель поставим на урок? Какие шаги помогут не перепутать формулы?" | Предлагают цель: «Научиться определять тип задачи, выбирать формулу, решать и проверять задачи на проценты». Записывают краткий план: определить величины — выбрать способ — вычислить — проверить. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Тип задачи определяется не по отдельным словам, а по тому, что нужно найти. Сейчас мы разберём три алгоритма и проверим их на конкретных примерах."
Этап 4. Систематизация способов решения (9 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритмы решения трёх типов задач на проценты через разбор жизненных ситуаций.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель разбирает задачу: "В магазине цена рюкзака 2400 рублей. Скидка составляет 15%. Сколько рублей составляет скидка? Запишем: 2400 рублей — 100%, x рублей — 15%. Ищем часть от целого, поэтому умножаем 2400 на 0,15. После вычисления проверяем: скидка должна быть меньше 2400." | Записывают краткую запись, решение и ответ. Отвечают: «Скидка составляет 360 рублей». |
3 мин | Учитель разбирает задачу: "После того как 20% числа использовали, осталось 160 единиц. Важно заметить: 160 — это 80% исходного числа. Чтобы найти 100%, делим 160 на 0,8. Почему нельзя делить на 0,2?" | Объясняют: «160 — оставшаяся часть, а не использованные 20%, поэтому это 80% числа». Получают 200. |
3 мин | Учитель разбирает задачу: "В кружке 12 девочек и 8 мальчиков. Сколько процентов всех участников составляют девочки? Сначала найдём общее число: 12+8=20. Затем определим, какую часть 12 составляет от 20, и умножим на 100%." | Записывают решение: 20 участников; 12:20·100%=60%. Формулируют ответ: «Девочки составляют 60% участников». |
Запись в тетрадях
Записать памятку: «1. Найти процент от числа: a·p/100. 2. Найти число по его проценту: b:p/100. 3. Найти, сколько процентов составляет b от a: b:a·100%. Перед решением определить, что является целым, частью и процентом».
Эталон решения
1) 2400·15/100=360 рублей. 2) 160:80/100=200 единиц. 3) (12:20)·100%=60%. Проверка: 360<2400; 200·0,8=160; 20·0,6=12.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "У каждого типа задачи есть свой вопрос и свой способ действия. Теперь вы попробуете применить эти способы в парах, объясняя не только ответ, но и причину выбора формулы."
Этап 5. Первичное закрепление в парах. Приём «Подумай — обсуди в паре — поделись» (7 мин)
Цель этапа: закрепить распознавание типов задач и алгоритмы решения через сотрудничество.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку. "Сначала каждый прочитайте условие молча и определите тип задачи. Не спешите считать: назовите целое, часть и процент." | Индивидуально определяют тип задачи и отмечают в карточке известные величины. |
3 мин | Учитель предлагает решить задачу: "В школьной библиотеке 800 книг, 35% из них посвящены естественным наукам. Сколько таких книг? Запишите формулу и полный ответ." Учитель напоминает: "Один ученик объясняет, второй проверяет смысл ответа, затем поменяйтесь ролями." | В парах решают: 800·0,35=280. Объясняют: «Найдена часть от целого». Проверяют, что 280 меньше 800. |
3 мин | Учитель организует обмен карточками: "Передайте решение соседней паре. Проверьте по трём пунктам: тип задачи определён верно, вычисления выполнены верно, ответ записан с единицами. Поставьте две звезды и одно пожелание." | Проверяют решение соседей, отмечают два достоинства и одну рекомендацию, затем возвращают карточку и исправляют ошибку при необходимости. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы увидели, что объяснение решения помогает обнаружить ошибку раньше, чем готовый ответ. Теперь проверим, сможете ли вы самостоятельно выбрать способ и решить задачу без подсказки пары."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение алгоритмами решения задач на проценты и организовать коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор: "Выполните обязательное задание. Если закончите раньше, выберите повышенный или дополнительный уровень. Работайте самостоятельно, сначала определите тип каждой задачи, затем записывайте решение." | Выбирают уровень, подписывают карточку и готовят место для краткой записи. |
6 мин | Учитель предлагает обязательные задания: «1. Найдите 12% от 350. 2. 42 составляет 14% какого числа? 3. В классе 25 учеников, 40% посещают спортивную секцию. Сколько это учеников?» Дополнительное задание: «Цена товара 1500 рублей. Сначала её увеличили на 20%, затем уменьшили на 20%. Вернулась ли цена к первоначальной?» | Решают индивидуально: 42; 300; 10. Для дополнительного задания получают 1440 рублей и формулируют: «Цена не вернулась, потому что проценты применялись к разным величинам». |
3 мин | Учитель открывает эталон на доске: «1) 350·0,12=42. 2) 42:0,14=300. 3) 25·0,4=10». "Сверьте каждую строку, подчеркните место ошибки, если она есть, и рядом запишите, как её исправить." | Выполняют самопроверку, отмечают количество верных заданий, исправляют ошибки и показывают сигнал: зелёный — всё понял, жёлтый — нужна тренировка, красный — нужна помощь. |
Эталон решения
1) 350·12/100=42. 2) 42:14/100=42:0,14=300. 3) 25·40/100=10. Дополнительная задача: 1500·1,2=1800 рублей; 1800·0,8=1440 рублей; итог отличается от 1500 рублей, поскольку увеличение на 20% и уменьшение на 20% выполняются от разных исходных величин.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самопроверка показала не только количество правильных ответов, но и характер затруднения. Если ошибка связана с выбором типа задачи, сейчас мы разберём её вместе; если с вычислением — проверим действие и единицы измерения."
Этап 7. Коррекция и включение знаний в систему (3 мин)
Цель этапа: разобрать типичные ошибки и связать три способа решения в единую систему.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает три ошибочные записи: «18% от 200 = 200:0,18», «30 — это 15% числа, значит число = 30·0,15», «20 из 50 = 20:50=0,4%». "Найдите ошибку в каждой записи. Какой вопрос нужно задать себе перед вычислением?" | Работают фронтально: исправляют записи на 200·0,18=36; 30:0,15=200; 20:50·100%=40%. Формулируют вопрос: «Что требуется найти — часть, целое или процент?» |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Главная защита от ошибки — не механически выбирать действие, а сначала назвать неизвестную величину. Осталось подвести личный итог и определить, что стоит потренировать дома."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: осознать результат обучения, зафиксировать затруднения и получить посильное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт лист самооценки: "Закончите три фразы: «Теперь я умею…», «Мне ещё нужно потренироваться…», «В задаче на проценты я сначала…». Затем поставьте себе отметку по критериям: 5 — всё выполняю самостоятельно, 4 — иногда нужна проверка, 3 — нужна помощь." | Заполняют лист самооценки, формулируют личный результат и поднимают карточку выбранного цвета. |
1 мин | Учитель объявляет домашнее задание и задаёт контрольный вопрос: "Что вы будете искать первым: процент, часть или целое? Запишите ответ одним предложением." | Записывают домашнее задание и отвечают: «Сначала определю, что известно и что требуется найти, затем выберу формулу». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы закрепили три основных типа задач на проценты и научились проверять разумность ответа. Важно не запоминать формулу отдельно от смысла: сначала определяйте целое, часть и процент. На следующем уроке мы продолжим работать с процентами в более сложных задачах и рассмотрим последовательные изменения величины."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены все три обязательные задачи, правильно определены их типы, записаны формулы, вычисления и полные ответы; дополнительная задача решена с обоснованием.
- «4» — верно решены две обязательные задачи из трёх, в третьей допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, при самопроверке ошибка исправлена.
- «3» — верно решена хотя бы одна обязательная задача, ученик понимает назначение формул, но допускает ошибки при выборе типа задачи или вычислениях.
- «Дополнительный балл к текущей работе» — самостоятельно решена задача о последовательном изменении цены и объяснено, почему увеличение и уменьшение на один и тот же процент не взаимно уничтожаются.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового или важного вы сегодня закрепили о задачах на проценты? | Выявление осознанного понимания трёх типов задач и их различий. |
Какой вопрос помогает выбрать правильную формулу? | Проверка сформированности алгоритма анализа условия. |
Какое задание оказалось самым сложным и почему? | Выявление точек затруднения: смысл задачи, выбор действия или вычисления. |
Где в жизни вам может понадобиться умение работать с процентами? | Осознание практической значимости математического знания и развитие мотивации. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы систематизировали три способа решения задач на проценты: находили процент от числа, число по его проценту и процентное отношение. Самая частая ошибка — начать считать, не определив, что является целым, частью и процентом. Всегда проверяйте, соответствует ли ответ условию и разумен ли его размер. На следующем уроке мы применим эти знания в задачах на последовательное изменение величины и скидки."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи: две на нахождение процента от числа, одну на нахождение числа по его проценту и одну на нахождение процентного отношения. В каждой задаче записать краткую запись, решение и ответ. | Закрепляет три базовых алгоритма; при проверке обратить внимание на определение типа задачи, перевод процента в дробь и единицы измерения. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи с жизненным контекстом: скидка на товар, доля участников школьного мероприятия и содержание вещества в растворе. Для каждой задачи письменно объяснить выбор действия. | Развивает функциональную грамотность и умение связывать математическую модель с условием; проверить наличие объяснения и оценку разумности ответа. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить собственную задачу на последовательное изменение величины двумя процентами, например наценку и скидку. Сравнить конечное значение с исходным и объяснить результат. | Формирует умение создавать математическую задачу, анализировать разные исходные величины и аргументировать вывод. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как найти процент от числа?», «Как найти число по известному проценту?», «Как определить, сколько процентов составляет одна величина от другой?», «Что нужно сделать перед выбором формулы?»
