Натуральные числа: НОД, НОК, степени и порядок действий
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться применять разложение натуральных чисел на простые множители для нахождения НОД и НОК, вычислять числовые выражения с учётом порядка действий и использовать НОК при решении задач о периодических событиях.
- Закрепить умения распознавать простые и составные числа, выполнять разложение натурального числа на простые множители и находить НОД и НОК нескольких чисел.
- Научиться объяснять выбор НОД или НОК в практической задаче и проверять полученный результат.
- Развивать навыки сотрудничества, математической речи, самоконтроля и работы по алгоритму.
- Формировать ответственное отношение к точности вычислений и понимание практической ценности математики.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение точных вычислений при решении практических задач о расписаниях, сигналах и упаковке.
- Проявляют интерес к поиску рационального способа решения и готовность проверять собственный результат.
- Развивают самостоятельность и положительное отношение к преодолению вычислительных затруднений.
- Соблюдают правила сотрудничества и доброжелательно оценивают решения одноклассников.
Метапредметные
- Выделяют условие и требование задачи, выбирают НОД или НОК в зависимости от смысла ситуации.
- Планируют последовательность вычислений и осуществляют пошаговую самопроверку.
- Смыслово читают математический текст, извлекают числовые данные и представляют решение в краткой записи.
- Аргументируют ответ в паре и корректируют решение после сравнения с эталоном.
Предметные
- Знать различия между простыми и составными числами и уметь раскладывать натуральные числа на простые множители.
- Уметь находить НОД и НОК двух и нескольких чисел с помощью разложения на простые множители.
- Уметь применять НОК для решения задач о совпадении периодических событий.
- Знать порядок действий в выражениях со скобками, степенями, умножением, делением, сложением и вычитанием.
- Уметь вычислять значения выражений и проверять результаты обратным действием или оценкой.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную цель: научиться безошибочно выбирать способ решения заданий рабочего листа.
- Оценивают собственную готовность применять НОД, НОК и порядок действий.
- Проявляют настойчивость при поиске наименьшего числа с заданными остатками.
- Понимают связь математических правил с организацией времени и практическими расчётами.
Регулятивные УУД
- Принимают и сохраняют цель урока, сформулированную на основе проблемной ситуации.
- Планируют решение по алгоритму разложения чисел и контролируют каждый этап вычисления.
- Сверяют промежуточные результаты с эталоном и исправляют найденные ошибки.
- Оценивают результат по критериям и формулируют индивидуальное затруднение.
Познавательные УУД
- Классифицируют числа на простые и составные, выделяют существенные признаки.
- Моделируют условие задачи о периодических событиях с помощью кратных чисел.
- Устанавливают связи между разложением на множители, НОД и НОК.
- Анализируют порядок действий и объясняют, почему изменение последовательности приводит к ошибке.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру выбор НОД или НОК и используют математические термины.
- Задают уточняющие вопросы о промежуточных шагах решения.
- Согласовывают общий способ решения и распределяют действия в паре.
- Аргументированно сравнивают два решения и корректно указывают на ошибку.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать рабочий лист «Натуральные числа» по одному экземпляру на каждого ученика.
- Подготовить карточки для парной работы с заданиями о сигналах и автобусах — по одной карточке на парту.
- Подготовить карточки трёх уровней для самостоятельной работы — по одной на каждого ученика.
- Вывести на доску памятку: «НОД — наибольший общий делитель; НОК — наименьшее общее кратное».
- Подготовить схему разложения: 84 = 2² · 3 · 7; для НОД брать общие простые множители в меньших степенях, для НОК — все множители в больших степенях.
- Подготовить слайд с выражением 3² · (18 − 12) + 20 и выделенными этапами порядка действий.
- Подготовить магнитные карточки с числами 24, 36, 60 и карточки «НОД», «НОК».
- Подготовить таймер, маркеры, листы для взаимопроверки и зелёные/жёлтые/красные карточки самооценки.
- Организовать работу в парах: на столах должны быть тетради, ручки, рабочие листы и карточки с алгоритмами.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и обозначить практическую проблему урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность: тетрадь, ручка, рабочий лист и карточка должны лежать перед вами. Сегодня нам понадобится внимательность, потому что несколько небольших ошибок могут изменить весь ответ." | Проверяют принадлежности, записывают дату, готовят рабочий лист. |
2 мин | Учитель показывает на доске условие: "Три сигнала повторяются через 24, 36 и 60 секунд. Они включились одновременно. Через сколько секунд это произойдёт снова? Подумайте: какое математическое понятие поможет ответить?" Учитель принимает гипотезы и сообщает: "Сегодня мы будем выбирать между НОД и НОК, вычислять выражения и применять правила к задачам рабочего листа." | Читают условие, предлагают ответы: "Нужно искать общее кратное", "Подойдёт НОК", формулируют ожидание: научиться выбирать способ решения. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что натуральные числа помогают описывать реальные повторяющиеся события. Сначала проверим знания, которые уже нужны для решения, а затем построим точный алгоритм."
Этап 2. Актуализация знаний. Приём «Светофор» (5 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия простого числа, разложения на множители, НОД, НОК и порядок действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает утверждения: "Число 17 простое. Число 21 составное. НОД(12,18)=6. НОК(12,18)=36." Просит поднять зелёную карточку при согласии, жёлтую при сомнении, красную при несогласии, затем просит объяснить два ответа. | Поднимают карточки, называют делители 17 и 21, объясняют: "6 — наибольший общий делитель, 36 — наименьшее общее кратное". |
3 мин | Учитель записывает выражение 2³ · 3 + 5² и спрашивает: "Что выполняем первым? Почему нельзя сначала сложить 3 и 5?" Затем предлагает устно вычислить выражение и напоминает: "Сначала степень, затем умножение, затем сложение." | Отвечают: "Сначала степени", вычисляют: 8 · 3 + 25 = 49, проговаривают порядок действий. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили признаки простых чисел, различие НОД и НОК и порядок действий. Теперь разберём, как один алгоритм помогает быстро решать задания рабочего листа."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение при выборе НОД или НОК и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт парам две короткие ситуации: "36 красных и 60 синих карандашей нужно разложить в наибольшее число одинаковых наборов" и "автобусы отправляются каждые 12 и 18 минут". Вопрос: "В обеих задачах нужно общее число. Почему способы должны быть разными?" | Обсуждают в парах, предполагают: "В первой задаче делим без остатка и ищем НОД, во второй ждём совпадения и ищем НОК". |
2 мин | Учитель фиксирует на доске таблицу: "Разделить на наибольшее число равных групп — НОД. Дождаться первого совпадения периодов — НОК." Спрашивает: "Какую цель поставим?" | Формулируют цель: "Научиться выбирать НОД или НОК, находить их разложением и применять в вычислениях и задачах". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы обнаружили главный вопрос урока: что именно требуется найти — общий делитель или общее кратное. Теперь построим алгоритм, который позволит не угадывать, а доказывать выбор."
Этап 4. Открытие нового знания (9 мин)
Цель этапа: вывести алгоритмы нахождения НОД и НОК через разложение на простые множители и связать их с заданиями рабочего листа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает: "Разложим 84 и 126 на простые множители: 84 = 2² · 3 · 7; 126 = 2 · 3² · 7. Для НОД выбираем общие множители в меньших степенях. Для НОК выбираем все множители в больших степенях." Учитель выделяет множители цветными маркерами. | Переписывают разложения, выделяют общие множители, формулируют: "НОД(84,126)=2 · 3 · 7=42; НОК(84,126)=2² · 3² · 7=252". |
3 мин | Учитель обращается к задаче о сигналах: "Сигналы повторяются через 24, 36 и 60 секунд. Совпадение произойдёт через число, кратное каждому из трёх периодов, поэтому ищем НОК. Разложите числа на множители вместе со мной." | В парах раскладывают: 24=2³·3, 36=2²·3², 60=2²·3·5; записывают НОК=2³·3²·5=360 секунд. |
3 мин | Учитель демонстрирует порядок действий на выражении 4² · (18 − 12) : 3: "Сначала скобки, затем степень, затем умножение и деление слева направо. Записываем каждый переход, а не только ответ." | Записывают: 4²·(18−12):3=16·6:3=96:3=32; объясняют последовательность. |
Запись в тетрадях
- «НОД — наибольший общий делитель; при разложении берём общие простые множители в меньших степенях».
- «НОК — наименьшее общее кратное; при разложении берём все простые множители в больших степенях».
- «Порядок действий: скобки, степени, умножение и деление слева направо, сложение и вычитание слева направо».
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм построен: разложили числа, выбрали нужные степени и проверили смысл задачи. Теперь применим его к конкретным заданиям рабочего листа, сначала вместе, затем самостоятельно."
Этап 5. Первичное закрепление по рабочему листу (8 мин)
Цель этапа: отработать выбор НОК и НОД на практических задачах и вычислениях.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель предлагает задание 1: "Три сигнала включаются одновременно в 10:00. Первый повторяется каждые 24 секунды, второй — каждые 36 секунд, третий — каждые 60 секунд. Через какое наименьшее время они снова включатся одновременно?" Учитель просит назвать модель и разложить числа. | Решают в парах: 24=2³·3, 36=2²·3², 60=2²·3·5; находят НОК=360 секунд, отвечают: "Через 6 минут, в 10:06". |
2 мин | Учитель задаёт вопрос к заданию 7: "36 красных и 60 синих карандашей нужно разложить в одинаковые наборы. Почему здесь нужен НОД, а не НОК?" Затем просит выполнить первый шаг и назвать ответ. | Объясняют: "Нужно найти наибольшее число одинаковых наборов, значит НОД"; находят НОД(36,60)=12, определяют: в каждом наборе 3 красных и 5 синих карандашей. |
2 мин | Учитель организует мини-проверку: "Сравните решение с партнёром. Если ответ совпал, поставьте рядом знак плюс; если нет, найдите первый шаг расхождения. Не исправляйте молча — объясните партнёру причину." | Сверяют разложения и вычисления, исправляют ошибки, формулируют правило выбора НОД или НОК. |
Эталон решения
Для сигналов: 24=2^3·3, 36=2^2·3^2, 60=2^2·3·5. Тогда НОК(24,36,60)=2^3·3^2·5=360 секунд=6 минут. Для карандашей: 36=2^2·3, 60=2^2·3·5, поэтому НОД(36,60)=2^2·3=12. Получится 12 наборов; в каждом наборе 36:12=3 красных и 60:12=5 синих карандашей.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В задачах на совпадение периодов мы ищем НОК, а в задачах на наибольшее число одинаковых групп — НОД. Теперь каждый выполнит задания индивидуально и покажет, умеет ли применять оба алгоритма без подсказки."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить самостоятельное применение алгоритмов к вычислительным и текстовым заданиям рабочего листа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней. Инструкция: "Минимум для всех: решите выражения из задания 4 — 36−4·2²; (18+6):3+5; 45:(7−2)+3². Затем выполните задание 5 про автобусы и задание 10 с НОД и НОК. Записывайте промежуточные действия." | Индивидуально вычисляют: 20; 13; 18. Для автобусов находят НОК(12,18)=36 минут. Для задания 10 раскладывают числа и находят НОД(84,126,210)=42, НОК(24,36,60)=360. |
2 мин | Учитель выводит эталон: "Сверьте не только ответы, но и порядок действий. Если ошибка есть, обведите место, где нарушен алгоритм, и перепишите одну строку правильно." | Сверяют решения, исправляют ошибки, отмечают в листе: «могу сам», «нужна помощь». |
2 мин | Учитель предлагает повышенное задание 9: "Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 6 даёт остаток 5, а при делении на 8 — остаток 7. Запишите проверку." | Подбирают и проверяют числа: 23 делится на 6 с остатком 5 и на 8 с остатком 7; отвечают: "23". Объясняют, что проверка выполнена двумя делениями. |
Эталон решения
Для задания 4: 36−4·2^2=36−4·4=20; (18+6):3+5=24:3+5=8+5=13; 45:(7−2)+3^2=45:5+9=9+9=18. Для задания 5: НОК(12,18)=2^2·3^2=36, поэтому автобусы отправятся одновременно через 36 минут. Для задания 9: проверяем 23: 23=6·3+5 и 23=8·2+7; меньшие натуральные числа с остатком 7 при делении на 8 — 7, 15, 23, и только 23 даёт остаток 5 при делении на 6.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что правильный ответ зависит от точного соблюдения алгоритма. Осталось обобщить, какие признаки помогали нам выбирать действие, и определить личный результат урока."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: осмыслить способы решения, выявить затруднения и определить дальнейшую практику.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём «Светофор»: "Зелёная карточка — я уверенно нахожу НОД и НОК; жёлтая — иногда путаю способ; красная — мне нужна совместная тренировка. Поднимите карточку и назовите один шаг, который вы уже умеете выполнять." | Поднимают карточки, называют конкретный навык: "умею раскладывать на множители", "умею находить НОК", "соблюдаю порядок действий". |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Как понять, что нужен НОД? Как понять, что нужен НОК? Почему в выражении сначала выполняется степень?" | Отвечают: "НОД нужен для равного деления на наибольшее число групп; НОК — для совпадения периодов; степень выполняется раньше умножения". |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание: "Выберите обязательный уровень. Желающие выполняют повышенный или дополнительный. В каждом решении должны быть промежуточные записи и проверка ответа." | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы, отмечают выбранный уровень. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы связали разложение на простые множители с НОД и НОК, применили их к периодическим событиям и упаковке, а также потренировали порядок действий. Проверьте дома не только ответ, но и обоснование каждого шага."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены не менее 90% выбранных заданий, правильно выбраны НОД или НОК, разложения и порядок действий записаны полностью, ответы проверены.
- «4» — верно выполнены не менее 70% заданий, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, общий способ решения выбран правильно.
- «3» — верно выполнены не менее 50% заданий, есть затруднения в разложении чисел или выборе НОД и НОК, но основные алгоритмы применяются с частичной помощью.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Как определить по условию задачи, нужен НОД или НОК? | Проверить осознанность выбора математической модели. |
Какой шаг разложения на простые множители оказался самым трудным? | Выявить точки затруднения в алгоритме. |
Какое выражение рабочего листа вы теперь можете решить без подсказки? | Оценить перенос нового способа на самостоятельную работу. |
Как вы проверяли правильность своего ответа? | Выявить сформированность самоконтроля. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы увидели, что НОД помогает делить предметы на наибольшее число одинаковых групп, а НОК — находить первое совпадение повторяющихся событий. Мы научились связывать эти понятия с разложением чисел на простые множители и применять порядок действий в выражениях. Типичная ошибка — выбрать НОД или НОК только по числам, не прочитав смысл задачи. На следующем уроке мы продолжим решать задачи на делимость, остатки и практические ситуации, где потребуется внимательно обосновывать каждый шаг."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 3 выражения с квадратами и кубами, скобками, умножением, делением, сложением и вычитанием; решить 2 задачи на НОД и НОК по образцу задач об упаковке и периодических событиях. | Закрепить порядок действий и выбор НОД или НОК; при проверке смотреть на промежуточные записи и смысл ответа. |
Средний (повышающий) | Решить 4 задания: найти НОД и НОК трёх пар или троек чисел разложением на простые множители; найти наименьшее число с двумя заданными остатками; решить одну задачу на совпадение расписаний. | Развить умение применять алгоритм в изменённой ситуации; проверить корректность разложения и обязательную проверку остатков. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить собственную практическую задачу о трёх периодических событиях или об одинаковой упаковке, используя не менее трёх натуральных чисел, а затем объяснить, почему нужен НОД или НОК. | Развить математическое моделирование и аргументацию; при проверке оценить реалистичность условия, правильность модели и полноту решения. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какой знак условия указывает на НОК? Какой — на НОД? В каком порядке выполняются действия в выражении со скобками и степенью? Как проверить число с заданными остатками?»
