Признаки делимости на 9 и на 3
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока учащиеся сформулируют признаки делимости на 3 и на 9 и применят их для проверки не менее 8 натуральных чисел, объясняя ход рассуждений.
- Познакомить учащихся с признаками делимости на 3 и на 9 и научить формулировать их своими словами.
- Сформировать умение применять признаки при устной и письменной проверке делимости натуральных чисел.
- Развивать умения наблюдать закономерности, выдвигать гипотезы, проверять их и аргументировать выводы.
- Воспитывать интерес к математическому поиску, аккуратность записи и готовность сотрудничать при решении учебной задачи.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к поиску математических закономерностей.
- Осознают ценность проверки гипотез на конкретных примерах.
- Развивают уверенность в собственных математических рассуждениях.
- Соблюдают нормы сотрудничества и уважительно относятся к ответам одноклассников.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель и планируют действия для открытия признака делимости.
- Выделяют существенную информацию в числовых данных и устанавливают закономерность.
- Сравнивают результаты, проверяют гипотезы и исправляют ошибки.
- Аргументированно представляют результат работы в паре или группе.
Предметные
- Знать признаки делимости натурального числа на 3 и на 9.
- Уметь находить сумму цифр числа и использовать её для проверки делимости.
- Уметь определять, делится ли число на 3 или на 9 без выполнения деления.
- Различать делимость на 3 и делимость на 9, приводить контрпримеры.
- Владеть способом проверки ответа с помощью непосредственного деления в простых случаях.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осмысливают значение признаков делимости как способа быстро проверять числовую информацию.
- Проявляют готовность преодолевать затруднение при самостоятельном поиске правила.
- Оценивают личный вклад в работу пары или группы.
- Связывают математическое рассуждение с практической задачей быстрой проверки чисел.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель урока.
- Планируют последовательность: найти сумму цифр, сравнить её с 3 или 9, сформулировать вывод.
- Контролируют правильность вычисления суммы цифр.
- Оценивают результат по заданным критериям и исправляют найденные ошибки.
Познавательные УУД
- Анализируют таблицу чисел и их сумм цифр.
- Сравнивают делящиеся и неделящиеся числа, выделяя общий признак.
- Выдвигают и проверяют гипотезу о делимости.
- Моделируют правило в виде краткой схемы или алгоритма.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре и согласуют общий ответ.
- Формулируют вопрос и объясняют способ рассуждения.
- Слушают доказательство одноклассника и задают уточняющие вопросы.
- Корректно обосновывают согласие или несогласие с предложенным выводом.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с числовыми рядами, таблицей сумм цифр и алгоритмом проверки.
- Распечатать карточки для работы в парах: по одному комплекту на каждую парту, всего 15 комплектов.
- Подготовить карточки трёх уровней для самостоятельной работы — по одной на каждого ученика и 3 запасных.
- Распечатать мини-листы для приёма «Билет на выход» — по одному на каждого ученика.
- Подготовить цветные маркеры или магниты трёх цветов для обозначения чисел, делящихся на 3, на 9 и не делящихся ни на 3, ни на 9.
- Вывесить на доске памятку: «1. Найди сумму цифр. 2. Проверь делимость суммы на 3 или 9. 3. Сделай вывод о числе».
- Подготовить таймер, проектор или интерактивную доску и доску с разметкой для групповых ответов.
- Заранее записать на доске тему урока и оставить место для формулировок признаков.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и создать мотивацию к поиску быстрого способа проверки чисел.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и проверяет готовность: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и линейки. Сегодня нам понадобятся внимательность и умение замечать закономерности. На доске вы видите несколько чисел; пока не записывайте их, а только внимательно рассмотрите." | Готовят принадлежности, рассматривают числа на доске: 27, 45, 126, 218, 504, 731. |
2 мин | Учитель показывает на экране числа и говорит: "Представьте, что вам нужно быстро проверить большое количество номеров: какие из них делятся на 3 или на 9. Делить каждое число столбиком долго. Можно ли найти более быстрый способ? Сегодня мы проведём небольшое математическое исследование и сами откроем правило." | Высказывают предположения: "Можно посмотреть на последнюю цифру"; "Нужно сложить цифры"; формулируют готовность проверить гипотезы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели практическую задачу — быстро определить делимость числа. Сначала вспомним уже известные способы проверки и подготовим материал для исследования."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия делителя, кратного и ранее изученные признаки делимости.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель обращается к классу: "Вспомним основные понятия. Что означает: число делится на другое число? Что называют делителем и кратным? Приведите пример для числа 6." Учитель фиксирует точные формулировки на доске. | Отвечают: "При делении получается натуральное число без остатка"; "6 и 12 — кратные 3; 3 — делитель 6"; приводят собственные примеры. |
3 мин | Учитель предлагает устную разминку: "Назовите числа, которые делятся на 2, на 5 и на 10. Как по записи числа это определить? Теперь проверьте делимость чисел 24, 35 и 120 на 2, 5 и 10, не выполняя деление." | Называют признаки: чётность последней цифры, последняя цифра 0 или 5, последняя цифра 0; классифицируют 24, 35 и 120 и объясняют ответы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы умеем использовать последнюю цифру для некоторых признаков. Но для делимости на 3 и на 9 последняя цифра, как мы сейчас увидим, не всегда помогает. Найдём другой ориентир."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (5 мин)
Цель этапа: зафиксировать затруднение и совместно сформулировать цель исследования.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает пары чисел: 27 и 36; 45 и 52; 126 и 128. "Попробуйте определить без деления, какие числа делятся на 3. Можно ли решить задачу только по последней цифре? Обсудите ответ в паре 30 секунд." | Работают в парах, замечают, что числа с разными последними цифрами могут делиться на 3, а одинаковая последняя цифра не даёт полного ответа. |
3 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сформулируйте, что нам нужно узнать. Какой признак позволит проверять делимость на 3 и на 9 без деления? Запишем цель урока одним предложением." Учитель уточняет ответы и записывает цель. | Формулируют цель: "Научиться по цифрам числа определять, делится ли оно на 3 или на 9"; предлагают исследовать сумму цифр числа. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение обнаружено: последняя цифра недостаточна. Мы предположили, что важна сумма цифр; теперь проверим эту гипотезу на таблице чисел и откроем точное правило."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: исследовательским путём вывести признаки делимости на 3 и на 9 и оформить алгоритм применения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт парам карточку с таблицей и говорит: "В первой колонке указаны числа, во второй — результат деления, а в третьей вы найдёте сумму цифр. Для каждого числа вычислите сумму цифр и отметьте, делится ли число на 3 и на 9. Работайте маркерами: зелёный — делится на 9, жёлтый — делится на 3, красный — не делится на 3." На карточке: 27, 45, 63, 72, 108, 124, 216, 305. | В парах находят суммы цифр: 2+7=9, 4+5=9, 6+3=9, 7+2=9, 1+0+8=9, 1+2+4=7, 2+1+6=9, 3+0+5=8; распределяют числа по группам. |
3 мин | Учитель задаёт вопросы эвристической беседы: "Что общего у сумм цифр чисел, делящихся на 9? Что можно сказать о суммах цифр чисел, делящихся на 3? Найдите пример числа, которое делится на 3, но не делится на 9. Почему число 216 попало в обе группы?" | Формулируют: "У чисел, делящихся на 9, сумма цифр делится на 9"; "У чисел, делящихся на 3, сумма цифр делится на 3"; приводят 12 или 15 как пример делимости на 3, но не на 9; объясняют, что делимость на 9 означает и делимость на 3. |
3 мин | Учитель обобщает: "Запишите правило. Чтобы проверить делимость числа на 3, нужно сложить все его цифры и проверить, делится ли полученная сумма на 3. Чтобы проверить делимость на 9, нужно сложить цифры и проверить, делится ли сумма на 9. Обратите внимание: если число делится на 9, оно обязательно делится и на 3, но обратное неверно." | Записывают признаки в тетрадь, задают уточняющие вопросы, приводят собственные примеры: 342 делится на 3, но не на 9; 729 делится и на 3, и на 9. |
Запись в тетрадях
Признак делимости на 3: число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Признак делимости на 9: число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Алгоритм: найти сумму цифр; проверить её делимость; сделать вывод о первоначальном числе.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы проверили гипотезу и вывели два признака. Теперь проговорим алгоритм на конкретных числах, чтобы правило стало рабочим инструментом, а не просто записью в тетради."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: научить применять признаки делимости с проговариванием каждого шага.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель разбирает пример: "Проверим, делится ли 4 572 на 9. Сначала складываем цифры: 4+5+7+2=18. Число 18 делится на 9, значит, и 4 572 делится на 9. Теперь проверим 3 418 на 3: 3+4+1+8=16; 16 на 3 не делится, значит, 3 418 не делится на 3." Учитель подчёркивает, что вывод необходимо обосновывать суммой цифр. | Записывают решения по образцу, хором проговаривают алгоритм: "Сумма цифр — проверка суммы — вывод". |
4 мин | Учитель раздаёт карточки парам: "Определите без деления, делятся ли на 3 и на 9 числа 234, 517, 1 008, 2 345. Для каждого числа запишите сумму цифр и полный вывод. После выполнения сравните ответы с соседней парой." | Решают в парах: для 234 сумма 9 — делится на 3 и 9; для 517 сумма 13 — не делится ни на 3, ни на 9; для 1008 сумма 9 — делится на 3 и 9; для 2345 сумма 14 — не делится ни на 3, ни на 9. Взаимопроверяют записи. |
Эталон решения
234: 2+3+4=9; 9 делится на 3 и на 9, поэтому 234 делится на 3 и на 9. 517: 5+1+7=13; 13 не делится на 3 и на 9, поэтому 517 не делится ни на 3, ни на 9. 1008: 1+0+0+8=9; 1008 делится на 3 и на 9. 2345: 2+3+4+5=14; 2345 не делится ни на 3, ни на 9.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм работает для чисел разного вида: мы не выполняли деление, а использовали сумму цифр. Теперь каждый проверит себя индивидуально, без подсказки товарища."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение признаков и сформировать навык самоконтроля.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней и объясняет: "Выполните обязательную часть. Затем выберите задание повышенного уровня. Во всех ответах записывайте сумму цифр, иначе вывод нельзя будет проверить. У вас шесть минут; время отображается на таймере." Базовая часть: определить делимость на 3 и на 9 чисел 315, 428, 702, 1 111. Повышенная часть: вставить цифру вместо звёздочки, чтобы число 47*2 делилось на 3; назвать все подходящие цифры. | Индивидуально решают задания, записывают суммы цифр и выводы. Для 47*2 составляют условие 4+7+*+2=13+*, выбирают цифры 2, 5 и 8. |
2 мин | Учитель показывает эталон: "Проверьте не только ответ, но и способ. 315: 3+1+5=9; 428: 14; 702: 9; 1111: 4. В повышенном задании сумма равна 13+*. Она должна делиться на 3, поэтому подходят 2, 5 и 8." | Сверяют решения с эталоном, подчёркивают ошибки одной чертой, исправляют их рядом и ставят себе отметку по критериям. |
2 мин | Учитель проводит быстрый «Светофор»: "Покажите зелёную карточку, если уверенно применяете оба признака, жёлтую — если нужна ещё тренировка, красную — если алгоритм пока не получается. По желанию объясните причину выбора." | Показывают карточки, формулируют затруднение: «Путаю делимость суммы на 3 и на 9» или «Забываю складывать нули»; выбирают способ дальнейшей тренировки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что главное место ошибки — не в сложении цифр, а в точном выводе. Осталось связать оба признака и проверить, сможете ли вы объяснить их другому человеку."
Этап 7. Включение в систему знаний и рефлексия (5 мин)
Цель этапа: обобщить способы действий, осознать результат и зафиксировать индивидуальные затруднения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает игру «Верю — не верю»: "Если сумма цифр числа делится на 3, то само число делится на 3. Если сумма цифр делится на 9, то число делится на 3. Если число делится на 3, оно обязательно делится на 9. Последнее утверждение обсудите: верно ли оно?" | Поднимают карточки «верно» или «неверно», объясняют: первые два утверждения верны, третье неверно; приводят контрпример 12: 12 делится на 3, но не делится на 9. |
3 мин | Учитель раздаёт «Билет на выход»: "Ответьте письменно на три вопроса: 1) Как проверить делимость числа на 9? 2) Делится ли 6 318 на 3 и на 9? Обоснуйте. 3) Что оказалось самым трудным? Сдайте билет при выходе." | Записывают: 6+3+1+8=18, значит 6318 делится и на 3, и на 9; формулируют личную трудность или отмечают, что затруднений нет. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы сами открыли признаки делимости на 3 и на 9, проверили их на примерах и научились объяснять решение через сумму цифр. Дома закрепите алгоритм и обратите внимание на различие между делимостью на 3 и на 9."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все четыре задания базовой части и дополнительное задание со звёздочкой; суммы цифр записаны без ошибок, выводы обоснованы.
- «4» — верно выполнены не менее трёх заданий базовой части, допущена не более одной вычислительной ошибки или неточности в формулировке вывода.
- «3» — верно выполнены два задания базовой части, понятен общий алгоритм, но есть ошибки в вычислении суммы цифр или различении признаков на 3 и на 9.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Как сформулировать признак делимости на 3 своими словами? | Проверка осознания основного правила и предметного результата. |
Какой шаг алгоритма помогает определить делимость числа на 9? | Выявление понимания последовательности действий. |
Какое утверждение оказалось неверным и какой контрпример это показывает? | Проверка различения делимости на 3 и на 9 и умения аргументировать. |
Какое задание было самым сложным и почему? | Выявление индивидуальных точек затруднения для планирования коррекции. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы открыли два признака, которые позволяют быстро проверять делимость больших чисел без выполнения деления. Запомните: сначала складываем цифры, затем проверяем полученную сумму на 3 или на 9. Типичная ошибка — считать, что всякое число, делящееся на 3, обязательно делится на 9; число 12 доказывает, что это неверно. На следующем уроке мы продолжим применять признаки делимости при разложении чисел и решении задач."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 6 заданий на определение делимости натуральных чисел на 3 и на 9 без деления; в каждом решении записать сумму цифр и вывод. | Закрепляет алгоритм; при проверке обратить внимание на правильность суммы цифр и точность вывода. |
Средний (повышающий) | Выполнить 4 задания на подбор цифры в записи числа, чтобы оно делилось на 3 или на 9, и объяснить, почему подходят все найденные цифры. | Формирует умение применять признак в обратной задаче и обосновывать полноту ответа. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить три пары чисел: одно число в каждой паре делится на 3, но не на 9; второе делится и на 3, и на 9. Для каждой пары записать проверку по сумме цифр и объяснить различие. | Развивает создание собственных примеров, анализ и аргументацию. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Как найти признак делимости на 3? Чем он отличается от признака делимости на 9? Приведите число, которое делится на 3, но не делится на 9». Jiova
