Применение распределительного свойства умножения
Цели и задачи
- Цель: к концу урока ученики смогут применять распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания для вычисления числовых выражений и упрощения выражений с буквами, объясняя выбор удобного преобразования.
- Образовательная задача: вспомнить формулы распределительного свойства умножения относительно суммы и разности.
- Образовательная задача: научиться раскрывать скобки и выносить общий множитель за скобки при упрощении выражений.
- Развивающая задача: сравнивать способы вычисления, находить наиболее удобный и проверять правильность преобразований.
- Воспитательная задача: развивать внимательность к математической записи, ответственность при самопроверке и уважительное обсуждение решений одноклассников.
Планируемые результаты
Личностные
- Ученик проявляет интерес к поиску более удобного способа вычислений и видит практическую пользу рациональных преобразований.
- Ученик осознаёт ценность точной записи математических рассуждений и проверяет вычисления до предъявления результата.
- Ученик доброжелательно относится к отличающимся способам решения и готов обосновать собственный выбор.
- Ученик оценивает собственную уверенность при применении распределительного свойства.
Метапредметные
- Ученик извлекает правило и примеры из математической записи на доске и соотносит их с поставленной задачей.
- Ученик планирует последовательность преобразований выражения и контролирует знаки и множители.
- Ученик сравнивает два способа вычисления и аргументирует, какой из них удобнее в данном случае.
- Ученик задаёт уточняющие вопросы, слушает объяснение партнёра и формулирует общий вывод.
Предметные
- Ученик знает формулы \((a+b)c=ac+bc\) и \((a-b)c=ac-bc\).
- Ученик умеет умножать сумму или разность на число, умножая на него каждое слагаемое.
- Ученик умеет преобразовывать выражения вида \(\frac{5}{6}c-\frac{1}{3}c\) и \(\frac{2}{3}x+\frac{5}{7}x\).
- Ученик применяет распределительное свойство для вычислений вида \((\frac{5}{7}-\frac{2}{5})\cdot35\) и проверяет результат обратным раскрытием скобок.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный учебный интерес: научиться сокращать вычисления с помощью распределительного свойства.
- Соотносят усилия на уроке с результатом самостоятельного преобразования выражения.
- Проявляют готовность исправить ошибку после проверки знаков и действий.
- Соблюдают уважительный тон при обсуждении разных решений.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель: научиться выбирать и применять распределительное свойство для вычисления и упрощения.
- Составляют план преобразования: определить общий множитель, применить свойство, выполнить вычисления.
- Сверяют каждую строку решения с формулой и обнаруживают пропущенное слагаемое или неверный знак.
- Оценивают результат по эталону и корректируют решение при расхождении.
Познавательные УУД
- Выделяют общий множитель в сумме или разности слагаемых.
- Моделируют распределительное свойство буквенной формулой и числовым примером.
- Сравнивают вычисление по действиям с преобразованием скобок и устанавливают связь между ними.
- Проверяют равносильность преобразований раскрытием скобок или повторным вычислением.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру, почему каждый член суммы или разности умножается на общий множитель.
- Участвуют в обсуждении в паре и предлагают точную формулировку математического правила.
- Задают вопросы о выборе способа и аргументируют удобство преобразования.
- Согласуют общий ответ, не подменяя обоснование простым сообщением результата.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить доску с двумя свободными зонами: «Вычисляем по действиям» и «Применяем распределительное свойство».
- Заранее выписать на карточки для пар выражения \((\frac{5}{7}-\frac{2}{5})\cdot35\), \(\frac{5}{6}c-\frac{1}{3}c\), \(\frac{2}{3}x+\frac{5}{7}x\); подготовить по одной карточке на пару.
- Распечатать лист самостоятельной работы с тремя заданиями — по одному экземпляру на ученика.
- Подготовить отдельный лист-эталон для самопроверки: ответы 11, \(\frac{1}{2}c\), \(1\frac{8}{21}x\).
- Подготовить зелёные, жёлтые и красные карточки для быстрой проверки понимания — по одной каждого цвета на ученика либо попросить показать цвет пальцами.
- На доске или слайде разместить формулы \((a+b)c=ac+bc\), \((a-b)c=ac-bc\) и памятку: «умножить каждый член в скобках на общий множитель».
- Подготовить проектор или интерактивную доску для показа двух способов вычисления; при отсутствии оборудования использовать записи на классной доске.
- Подготовить тетради, маркеры или мел двух цветов: один цвет для множителя, второй — для каждого результата умножения.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: организовать класс и заинтересовать учеников поиском более удобного способа вычисления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, что на парте есть тетрадь и ручка. Сегодня нам предстоит не просто вычислять, а искать короткий и надёжный путь к ответу. Посмотрите на доску: там записано выражение \((\frac{5}{7}-\frac{2}{5})\cdot35\). Пока не решайте его столбиком действий — попробуйте глазами заметить, что в нём может помочь сделать вычисление проще». | Готовят тетради и ручки, читают выражение на доске, называют предварительные идеи: «Можно умножить 35 на каждую дробь»; «Сначала можно вычесть дроби». |
2 мин | «Подумайте полминуты самостоятельно, затем обсудите идею с соседом. Какой способ кажется вам удобнее и почему? Не обязательно сразу получить ответ — важно назвать план. Через минуту я попрошу несколько пар поделиться предложениями, а мы проверим их на уроке». | 30 секунд обдумывают индивидуально, 1 минуту обсуждают в паре и формулируют предположение о более удобном способе. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «У нас появились разные планы вычисления. Давайте сначала вспомним, какие свойства умножения уже помогут нам рассуждать, а затем проверим, можно ли сократить вычисления».
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить в памяти свойства умножения и определить, какие из них потребуются при работе с выражениями в скобках.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Начнём с короткого устного разминания. Чему равно \(23\cdot4\) и почему произведение не меняется, если множители поменять местами? Как можно вычислить \(5\cdot(2\cdot87)\), если сначала удобно перемножить 5 и 2? Назовите свойства, которые вы использовали». Учитель записывает ответы в левой части доски. | Отвечают: «\(23\cdot4=92\), от перестановки множителей произведение не меняется»; «\(5\cdot(2\cdot87)=(5\cdot2)\cdot87=870\)». Называют переместительное и сочетательное свойства умножения. |
2 мин | «Теперь вычислите \(82\cdot7\) удобным способом. Можно ли представить 82 как сумму чисел, умножение на которые выполнить легко? Покажите, какие два произведения появятся». Учитель просит ученика записать решение на доске и выделяет цветом умножение каждого слагаемого на 7. | Предлагают \(82=80+2\), записывают \((80+2)\cdot7=80\cdot7+2\cdot7=560+14=574\). |
2 мин | «Вспомните теперь разность. Если число 99 представить как \(100-1\), как вычислить \(99\cdot6\)? Что изменится по сравнению со случаем суммы? Сформулируйте правило своими словами». Учитель принимает ответы и фиксирует на доске два образца: \((a+b)c=ac+bc\) и \((a-b)c=ac-bc\), пока не объявляя их новым содержанием. | Представляют \(99\) как \(100-1\), записывают \((100-1)\cdot6=100\cdot6-1\cdot6=594\). Формулируют: «Множитель умножается на каждое число в скобках; при разности сохраняется знак минус». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы уже использовали умножение суммы и разности на число. Теперь выясним, как это свойство помогает быстрее вычислять выражения с дробями и упрощать буквенные записи».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение при выборе способа вычисления и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Вернёмся к выражению \((\frac{5}{7}-\frac{2}{5})\cdot35\). Если действовать по порядку, сначала придётся вычесть дроби с разными знаменателями. А можно ли сначала умножить 35 на каждую дробь? Какое действие тогда станет простым? Покажите соседу свой вариант и объясните, почему он допустим». | Сравнивают порядок действий в паре, замечают возможность получить \(35\cdot\frac{5}{7}\) и \(35\cdot\frac{2}{5}\). Предполагают: «получатся целые числа 25 и 14». |
2 мин | «Что именно нужно знать, чтобы уверенно выполнить такое преобразование? Как проверить, что мы не изменили значение выражения? Сформулируйте цель урока одним предложением. Я запишу на доске вашу итоговую формулировку». | Формулируют проблему: «Нужно понять, можно ли умножить каждое слагаемое разности на число отдельно». Предлагают цель: «Научиться применять распределительное свойство для удобных вычислений и упрощения выражений». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Цель поставлена: будем учиться применять распределительное свойство и проверять преобразования. Сейчас разберём, как оно работает на числовом примере и в буквенной записи».
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести и осмыслить применение распределительного свойства к сумме и разности, в том числе при упрощении выражений с буквами.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Рассмотрим выражение \((\frac{5}{7}-\frac{2}{5})\cdot35\). На доске покажу два равных пути: сначала выполнить действие в скобках или умножить 35 на каждую часть разности. Какой путь здесь удобнее? Записываем второй способ: \(\frac{5}{7}\cdot35-\frac{2}{5}\cdot35\). Теперь вычислите каждое произведение отдельно и объясните, почему результат можно получить быстрее». Учитель подчёркивает общий множитель 35 и стрелками показывает его умножение на оба члена. | Следят за преобразованием, отвечают: «Удобнее умножить на 35 отдельно: \(35:7\cdot5=25\), \(35:5\cdot2=14\)». Записывают \(25-14=11\) и объясняют, что число умножается на каждое слагаемое разности. |
3 мин | «Обобщим увиденное. Если в скобках сумма \(a+b\), а снаружи стоит множитель \(c\), на что нужно умножить \(c\)? А если в скобках разность? Произнесите формулы вместе, а затем назовите, что остаётся неизменным при раскрытии скобок». Учитель записывает и обводит формулы: \((a+b)c=ac+bc\), \((a-b)c=ac-bc\). | Формулируют правило: «Множитель умножаем на каждое слагаемое; знак между результатами сохраняем». Записывают обе формулы и проговаривают их вслух. |
3 мин | «Распределительное свойство полезно не только для вычислений. Посмотрите на \(\frac{5}{6}c-\frac{1}{3}c\). Здесь общий множитель — буква \(c\): можно вынести её за скобки, а затем выполнить вычитание коэффициентов. Какое выражение получится? Теперь сравните с \(\frac{2}{3}x+\frac{5}{7}x\): что здесь общее и как сложить коэффициенты?» | В парах называют общий множитель и выполняют преобразования: \((\frac{5}{6}-\frac{1}{3})c=\frac{1}{2}c\); \((\frac{2}{3}+\frac{5}{7})x=(\frac{14}{21}+\frac{15}{21})x=\frac{29}{21}x=1\frac{8}{21}x\). |
Запись в тетрадях
- Распределительное свойство умножения относительно сложения: \((a+b)c=ac+bc\).
- Распределительное свойство умножения относительно вычитания: \((a-b)c=ac-bc\).
- При упрощении выражения с одинаковой буквенной частью складывают или вычитают её коэффициенты: \(\frac{5}{6}c-\frac{1}{3}c=(\frac{5}{6}-\frac{1}{3})c=\frac{1}{2}c\).
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели оба направления применения свойства: раскрыть скобки для вычисления и вынести общий множитель для упрощения. Проверим теперь, насколько уверенно вы распознаёте эти случаи».
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм преобразования выражений в парной работе с проговариванием каждого шага.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Сейчас используем приём “Подумай — обсуди в паре — поделись”. Сначала каждый самостоятельно прочитает карточку и определит, что является общим множителем. Затем вы вместе запишете преобразование и объяснение. На карточке три выражения: \((\frac{5}{7}-\frac{2}{5})\cdot35\), \(\frac{5}{6}c-\frac{1}{3}c\), \(\frac{2}{3}x+\frac{5}{7}x\). Распределите между собой объяснение разных примеров». | Индивидуально отмечают общий множитель в первом выражении и буквенную часть в двух следующих; договариваются, кто объясняет каждый пример. |
4 мин | «Работайте по шагам: назовите общий множитель, запишите преобразование, выполните вычисление коэффициентов и проверьте знак. Я буду подходить к парам и задавать вопросы: почему в первом примере результат получается быстрее, что именно выносится за скобки во втором, как привести дроби к общему знаменателю в третьем? Если ответы в паре различаются, найдите место расхождения, а не выбирайте результат наугад». | Решают три выражения в паре, проговаривают: «умножаем каждый член разности на 35»; «выносим \(c\) за скобки»; «складываем коэффициенты при \(x\)». Сверяют записи и исправляют вычисления. |
2 мин | «Проверим решения у доски. Назовите не только ответ, но и основание преобразования. Что в ваших решениях было общим: способ раскрыть скобки или способ вынести общий множитель? Класс, проверьте, все ли члены учтены и сохранён ли знак». | Представители пар записывают решения; одноклассники сверяют каждый шаг и дают пояснения: «множитель применяется к обоим членам»; «знак вычитания сохранён». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «В парной работе вы применили свойство и для вычисления, и для упрощения. Теперь каждый самостоятельно выполнит короткую работу и проверит себя по эталону».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение распределительного свойства и организовать самоконтроль по понятным критериям.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Сейчас каждый работает самостоятельно. На листе три задания: вычислить \((\frac{1}{9}+\frac{7}{36})\cdot36\); найти значение \((\frac{10}{11}-\frac{19}{33})\cdot66\); упростить \(\frac{5}{6}c-\frac{1}{3}c\). Записывайте преобразования, а не только ответы. Сначала выполните обязательные задания, затем проверьте каждый шаг». | Получают лист, записывают задания в рабочем порядке, уточняют, что нужно показать промежуточные преобразования. |
6 мин | «Работайте индивидуально и не спешите. Для первых двух выражений выберите удобный путь: умножить число на каждый член суммы или разности, затем выполнить простые действия. В третьем выражении сначала вынесите общий множитель. Следите за тем, чтобы множитель был применён ко всем членам, а знак между результатами остался прежним. Если закончили раньше, проверьте один пример обратным преобразованием». | Самостоятельно решают три задания, показывают шаги применения свойства, проверяют вычисления и при наличии времени раскрывают скобки обратно. |
3 мин | Учитель открывает эталон и говорит: «Сверьте не только ответы, но и ход решения. Для первого выражения должно получиться 11; для второго — 2; для третьего — \(\frac{1}{2}c\). Отметьте рядом с каждым заданием плюс, если совпали и ответ, и способ, и вопросительный знак, если нужно разобрать конкретный шаг. Исправления внесите другим цветом». | Сверяют решения с эталоном, отмечают результат самопроверки, исправляют найденные ошибки. При расхождении называют затруднение: «не распределил множитель на оба члена», «ошибся при вычитании дробей». |
Эталон решения
\((\frac{1}{9}+\frac{7}{36})\cdot36=\frac{1}{9}\cdot36+\frac{7}{36}\cdot36=4+7=11.\) \((\frac{10}{11}-\frac{19}{33})\cdot66=\frac{10}{11}\cdot66-\frac{19}{33}\cdot66=60-38=22.\) Исправление: во втором задании верный ответ равен 22. \(\frac{5}{6}c-\frac{1}{3}c=(\frac{5}{6}-\frac{1}{3})c=(\frac{5}{6}-\frac{2}{6})c=\frac{1}{2}c.\)
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сверка помогла увидеть не только правильные ответы, но и места, где стоит быть внимательнее. Применим новый способ к выражению с жизненным смыслом и оценим, почему группировать вычисления бывает выгодно».
Этап 7. Применение, рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: перенести способ на краткую практическую ситуацию, оценить достижение цели урока и зафиксировать домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Представьте, что для двух одинаковых наборов материалов цена каждого набора складывается из двух частей: \(80\) рублей и \(2\) рубля. Как быстро найти стоимость семи таких наборов? Запишите выражение и объясните, почему удобнее применить распределительное свойство, а не сначала складывать цену набора семь раз». | Записывают \((80+2)\cdot7=80\cdot7+2\cdot7=560+14=574\) рубля. Объясняют: «умножили каждую часть цены на число наборов и сложили результаты». |
2 мин | «Проведём рефлексию “Светофор”. Поднимите зелёную карточку, если можете самостоятельно раскрыть скобки и вынести общий множитель; жёлтую — если правило понятно, но нужна тренировка; красную — если остался вопрос. Теперь ответьте письменно на выходной билет: “Как распределительное свойство помогает выбрать удобный способ вычисления?”». | Показывают цвет, отражающий уверенность, и записывают краткий ответ: «множитель применяется к каждому члену суммы или разности; при упрощении общий множитель можно вынести за скобки». |
1 мин | «Домашнее задание выберите по уровню: обязательное — вычисления со скобками, повышающее — упрощение буквенных выражений, дополнительное — самостоятельно придумать пример, в котором распределительное свойство делает вычисление удобнее. Перед выходом назовите правило для суммы и правило для разности». | Записывают выбранное задание и отвечают: «\((a+b)c=ac+bc\)» и «\((a-b)c=ac-bc\)». |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все три задания самостоятельной работы, в каждом показано корректное применение распределительного свойства и вычисления проверены.
- «4» — верно выполнены два задания из трёх; допущена одна вычислительная ошибка либо не полностью записано обоснование, но правило применено верно.
- «3» — верно выполнено хотя бы одно задание и ученик показывает понимание распределения множителя на каждый член; в остальных заданиях есть ошибки, требующие коррекции.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое свойство мы применяли, когда умножали число на сумму или разность? | Проверка осознания основной формулировки урока. |
В каком выражении сегодня распределительное свойство помогло вычислить быстрее? | Выявление умения распознавать удобный способ вычисления. |
На каком шаге самостоятельной работы возникло затруднение? | Диагностика конкретных ошибок в применении алгоритма. |
Насколько уверенно вы умеете раскрывать скобки и выносить общий множитель? | Субъективная оценка освоения темы и планирование дальнейшей поддержки. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы выяснили, что распределительное свойство помогает и быстрее вычислять, и упрощать буквенные выражения. Важно помнить: общий множитель нужно умножить на каждый член в скобках, не потеряв знак сложения или вычитания. Если ответ не совпал с эталоном, проверьте сначала запись преобразования, а затем вычисления. На следующем уроке мы продолжим применять это свойство в более сложных выражениях и задачах."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 выражения на вычисление произведения числа и суммы или разности дробей, используя распределительное свойство; записать промежуточные преобразования. | Закрепить раскрытие скобок; при проверке обратить внимание, умножен ли внешний множитель на каждый член и сохранены ли знаки. |
Средний (повышающий) | Упростить 4 буквенных выражения с одинаковой буквенной частью: два выражения на сложение коэффициентов и два на вычитание, включая дробные коэффициенты. | Закрепить вынесение общего множителя; проверить приведение дробей к общему знаменателю и запись результата. |
Продвинутый (дополнительный) | Придумать две пары равных выражений — одну с суммой, другую с разностью, — и показать для каждой вычисление или упрощение двумя способами с пояснением, какой способ удобнее. | Развивать анализ и аргументацию; при проверке оценить равносильность записей и убедительность объяснения. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Запишите формулу распределительного свойства для суммы. Что меняется в формуле для разности? Как проверить, что при раскрытии скобок множитель распределён на все члены?»
