Построение круговых диаграмм
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться по данным таблицы вычислять углы секторов и строить круговую диаграмму с помощью транспортира, а также объяснять, какую информацию она передаёт.
- Закрепить умение находить долю величины от целого и переводить её в градусную меру центрального угла.
- Научить выбирать масштаб диаграммы, вычислять углы секторов и аккуратно строить их в круге.
- Развивать умение анализировать данные, работать в паре, проверять вычисления и аргументировать выбранный способ построения.
- Формировать интерес к применению математики для представления результатов опросов и наблюдений.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к представлению реальных данных в наглядной форме.
- Осознают практическую ценность математических вычислений при анализе результатов опросов.
- Развивают ответственность за точность вычислений и аккуратность построения.
- Понимают значение сотрудничества и доброжелательного обсуждения решения.
Метапредметные
- Извлекают информацию из таблицы и преобразуют её в графическую модель.
- Планируют последовательность построения круговой диаграммы и контролируют промежуточные результаты.
- Сравнивают способы представления данных, формулируют выводы по диаграмме.
- Работают в паре, задают уточняющие вопросы и аргументируют правильность вычислений.
Предметные
- Знать, что круговая диаграмма представляет целое в виде круга, а части целого — в виде секторов.
- Знать, что полный круг соответствует 360°, и уметь находить угол сектора по формуле \(\alpha=\frac{a}{A}\cdot360^\circ\).
- Уметь вычислять углы секторов по данным таблицы и строить их транспортиром.
- Уметь подписывать сектора, составлять легенду и проверять, что сумма углов равна 360°.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный вклад в парную работу и оценивают значимость точного построения.
- Связывают изучаемое понятие с результатами реальных опросов и наблюдений.
- Формируют положительное отношение к самостоятельному поиску способа решения.
Регулятивные УУД
- Принимают учебную задачу и формулируют цель построения диаграммы.
- Планируют действия: найти общее количество, вычислить углы, построить и подписать сектора.
- Проверяют сумму углов и соответствие диаграммы исходным данным.
- Исправляют ошибки после сверки с эталоном и оценивают результат по критериям.
Познавательные УУД
- Выделяют главное в таблице и соотносят часть с целым.
- Преобразуют числовую информацию в геометрическую модель.
- Используют формулу, выполняют вычисления с дробями и десятичными числами.
- Анализируют готовую диаграмму и формулируют выводы по размерам секторов.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: вычислитель, строитель, затем меняются ролями.
- Объясняют партнёру смысл вычисленного угла.
- Согласовывают общий способ решения и корректно указывают на ошибку.
- Представляют результат классу и отвечают на уточняющие вопросы.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с изображением круга, таблицей данных и примером готовой круговой диаграммы без подписей.
- Распечатать карточки с таблицами данных трёх уровней: по одной карточке на пару, всего 15 карточек.
- Подготовить индивидуальные листы с алгоритмом построения и критериями самопроверки — по одному на каждого ученика.
- Подготовить цветные карандаши или фломастеры — по одному набору на парту.
- Проверить наличие у каждого ученика линейки, циркуля, транспортира, карандаша и ластика.
- Записать на доске тему урока, формулу \(\alpha=\frac{a}{A}\cdot360^\circ\) и условие: «Сумма углов секторов — 360°».
- Подготовить магнитные карточки с этапами алгоритма: «найти целое», «вычислить угол», «построить сектор», «подписать», «проверить».
- Подготовить таймер на 3 минуты для вычислений и на 7 минут для построения диаграммы.
- Подготовить слайд с критериями: точность вычислений, сумма углов, аккуратность, наличие подписей и вывод.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учеников в учебную деятельность и показать практическую необходимость круговой диаграммы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране результаты опроса: «Как вы добираетесь до школы?» — пешком 8 человек, на автобусе 12, на автомобиле 4, на велосипеде 1. «Ребята, перед вами реальные данные. Как представить их так, чтобы за несколько секунд понять, какой способ самый распространённый?» | Рассматривают таблицу, предлагают варианты: «столбчатая диаграмма», «круговая диаграмма», объясняют, что по одной таблице сравнивать данные не всегда удобно. |
2 мин | Учитель показывает готовый круг, разделённый на разноцветные части: «Сегодня мы научимся превращать числа в сектора круга. Как вы думаете, почему круг подходит для такой задачи? Что должен изображать весь круг?» Учитель фиксирует ответы и объявляет тему. | Отвечают: «Весь круг показывает общее количество», «каждый сектор показывает часть всех учащихся». Формулируют предположение: «Размер сектора зависит от количества». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что круговая диаграмма помогает быстро сравнивать части одного целого. Чтобы построить её точно, нам понадобится связать количество объектов с углом сектора. Сначала вспомним необходимые знания».
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать знания о долях, процентах, полном угле и работе с транспортиром.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Математическая разминка»: «Сколько градусов в полном угле? Какая часть круга соответствует половине? Четверти? Трём четвертям? Запишите ответы в тетради и через 30 секунд сравните их с соседом». | Записывают: 360°, 180°, 90°, 270°. Сверяют ответы в парах, исправляют неточности. |
2 мин | Учитель записывает на доске: «В классе 20 учеников, 5 из них выбрали чтение. Какую часть класса составляют эти ученики? Сколько это процентов?» Просит объяснить способ. | Решают: \(\frac{5}{20}=\frac14=25\%\). Объясняют: «Пять — это часть, двадцать — целое». |
2 мин | Учитель показывает круг и спрашивает: «Как построить угол 90° транспортиром? Где будет начальная сторона? Как проверить, что построение выполнено верно?» | Проговаривают последовательность: поставить центр транспортира в вершину, совместить нулевую отметку со стороной, отметить нужное число градусов, провести луч. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили, что целый круг равен 360°, а часть целого можно выразить дробью или процентом. Теперь выясним, как быстро перевести количество объектов в градусы».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (5 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение и совместно сформулировать алгоритм поиска угла сектора.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращает данные опроса: «Пешком идут 8 человек из 25. Мы знаем количество, но пока не знаем, какой угол должен занимать этот сектор. Можно ли просто отметить на круге число 8 градусов?» Учитель просит обосновать ответ. | Обсуждают в парах. Отвечают: «Нет, 8 — это количество человек, а угол измеряется в градусах»; «Нужно узнать, какую долю от 25 составляет 8». |
3 мин | Учитель организует «Снежный ком»: «Сначала каждый запишите, какие действия нужны. Затем обсудите в паре и выберите общий порядок». После обсуждения подводит к алгоритму: «Что обозначает 360°? Как связать часть и целое?» | Индивидуально предлагают шаги, затем объединяют их в парах. Формулируют цель: «Научиться по части и целому находить угол сектора и строить круговую диаграмму». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Затруднение найдено: количество нельзя непосредственно откладывать транспортиром. Нужно сначала определить долю части от целого, а затем перевести эту долю в градусы. Откроем способ вместе».
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести формулу вычисления угла сектора и построить первый сектор по алгоритму.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает на доске задачу: «В опросе участвовали 25 учеников. Пешком в школу идут 8 учеников. Найдите угол сектора круговой диаграммы, соответствующего этой группе». «Сначала найдём долю: \(\frac{8}{25}\). Весь круг — 360°. Значит, угол равен \(\frac{8}{25}\cdot360^\circ\). Почему мы умножаем на 360°?» | Записывают условие и рассуждают: «Доля показывает, какую часть полного круга нужно взять, поэтому умножаем долю на 360°». Вычисляют: \(\frac{8}{25}\cdot360^\circ=115{,}2^\circ\). |
3 мин | Учитель поясняет: «Получился десятичный угол, его можно построить транспортиром. Для данных, где количество делит общее число без остатка, вычисления будут проще. Рассмотрим автобус: \(\frac{12}{25}\cdot360^\circ=172{,}8^\circ\). Важно сохранить точность до построения». Учитель записывает общий алгоритм. | Записывают формулу \(\alpha=\frac{a}{A}\cdot360^\circ\), где \(a\) — часть, \(A\) — целое. Перечисляют шаги алгоритма и задают вопросы о записи десятичных градусов. |
4 мин | Учитель демонстрирует построение сектора: «Провожу окружность циркулем, отмечаю радиус-начало. Прикладываю транспортир центром к центру круга, совмещаю нулевую линию с радиусом и отмечаю 90°. Затем провожу второй радиус». Учитель показывает, как подписать сектор и оформить легенду. | Следят за демонстрацией, строят круг в тетради, проводят радиус-начало и сектор 90° для примера «четверть участников». Подписывают сектор: «25%» и «90°». |
Запись в тетрадях
Круговая диаграмма показывает состав целого круга. Полный круг — 360°. Угол сектора вычисляют по формуле: \(\alpha=\frac{a}{A}\cdot360^\circ\), где \(a\) — значение части, \(A\) — значение целого. Алгоритм: 1) найти целое; 2) вычислить угол каждого сектора; 3) построить круг и сектора транспортиром; 4) обозначить сектора и составить легенду; 5) проверить сумму углов.
Эталон решения
Для 8 учеников из 25: \(\alpha=\frac{8}{25}\cdot360^\circ=8\cdot14{,}4^\circ=115{,}2^\circ\). Ответ: угол сектора, соответствующего 8 ученикам, равен \(115{,}2^\circ\). Проверка для всех секторов: \(\frac{8+12+4+1}{25}\cdot360^\circ=360^\circ\).
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вывели формулу и увидели, как число превращается в угол. Теперь каждая пара применит алгоритм к данным и проверит, получится ли сумма секторов 360°».
Этап 5. Первичное закрепление в парах (8 мин)
Цель этапа: закрепить вычисление углов и последовательность построения круговой диаграммы в совместной деятельности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с данными: «Любимый вид спорта у 20 учеников: футбол — 8, плавание — 5, баскетбол — 4, волейбол — 3». «Сначала вычислите углы всех секторов. Один ученик считает, второй заносит данные в таблицу; затем поменяйтесь ролями и проверьте вычисления». | В парах находят углы: футбол — \(144^\circ\), плавание — \(90^\circ\), баскетбол — \(72^\circ\), волейбол — \(54^\circ\). Проверяют сумму: \(144+90+72+54=360^\circ\). |
5 мин | Учитель даёт инструкцию: «Постройте круг радиусом 3–4 см. Выберите начальный радиус. Отложите сектора последовательно, не меняя направление отсчёта. Раскрасьте их разными цветами и оформите легенду. В конце один член пары объяснит классу ход построения». Учитель консультирует пары. | Строят круговую диаграмму транспортиром, подписывают сектора «футбол», «плавание», «баскетбол», «волейбол», составляют легенду. Объясняют партнёру, почему сектор футбола самый большой. |
Эталон решения
Общее количество: \(A=20\). Футбол: \(\frac{8}{20}\cdot360^\circ=144^\circ\). Плавание: \(\frac{5}{20}\cdot360^\circ=90^\circ\). Баскетбол: \(\frac{4}{20}\cdot360^\circ=72^\circ\). Волейбол: \(\frac{3}{20}\cdot360^\circ=54^\circ\). Проверка: \(144^\circ+90^\circ+72^\circ+54^\circ=360^\circ\).
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вычисления совпали, а сумма углов равна 360°. Мы научились строить диаграмму по таблице. Теперь проверим, насколько самостоятельно каждый из вас умеет выполнять весь алгоритм».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритма вычисления углов и построения диаграммы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт индивидуальные карточки базового уровня: «В кружке 30 учеников: 12 занимаются танцами, 9 — рисованием, 6 — робототехникой, 3 — шахматами. Вычислите углы секторов». Напоминает: «Сначала найдите целое, затем применяйте формулу». | Индивидуально записывают общее количество и вычисляют углы: 144°, 108°, 72°, 36°. |
5 мин | Учитель предлагает построить диаграмму и выводит на экран чек-лист: «Проверьте наличие круга, начального радиуса, всех четырёх секторов, подписей и легенды. Сложите вычисленные углы». Затем показывает эталон углов. | Строят диаграмму, сверяют углы с эталоном, исправляют ошибки цветным карандашом. Проверяют сумму: \(144+108+72+36=360^\circ\). |
2 мин | Учитель проводит самопроверку «Светофор»: «Зелёная карточка — алгоритм выполнен без помощи, жёлтая — была одна неточность, красная — нужен разбор». Просит отметить конкретный затруднительный шаг. | Поднимают карточки, отмечают в листе самооценки: «Я умею находить целое», «Я умею вычислять угол», «Я умею строить сектор», «Мне нужна помощь с ...». |
Эталон решения
Общее количество: \(A=12+9+6+3=30\). Танцы: \(\frac{12}{30}\cdot360^\circ=144^\circ\). Рисование: \(\frac{9}{30}\cdot360^\circ=108^\circ\). Робототехника: \(\frac{6}{30}\cdot360^\circ=72^\circ\). Шахматы: \(\frac{3}{30}\cdot360^\circ=36^\circ\). Сумма: \(144^\circ+108^\circ+72^\circ+36^\circ=360^\circ\).
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, что большинство уже может пройти весь путь от таблицы до диаграммы. Осталось обсудить, какую информацию можно извлечь из готовой диаграммы и как проверить её достоверность».
Этап 7. Рефлексия, применение и домашнее задание (4 мин)
Цель этапа: обобщить способ построения круговой диаграммы, выявить затруднения и сообщить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает готовую диаграмму по данным о видах спорта и спрашивает: «Как определить самый популярный вид спорта? Что означает сектор 90°? Как проверить, что диаграмма построена правильно?» | Формулируют ответы: «Самый популярный вид спорта соответствует самому большому сектору»; «90° — это четверть всех участников»; «Нужно проверить сумму углов и соответствие подписей исходным данным». |
2 мин | Учитель проводит «Билет на выход»: «На стикере запишите формулу угла сектора, один обязательный шаг алгоритма и вопрос, который у вас остался. Домашнее задание выберите по уровню». | Записывают формулу \(\alpha=\frac{a}{A}\cdot360^\circ\), называют шаг алгоритма и фиксируют оставшийся вопрос. Прикрепляют стикеры на доску. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно найдено общее количество, вычислены все углы, их сумма равна 360°, диаграмма аккуратно построена, сектора и легенда подписаны, сформулирован вывод по данным.
- «4» — алгоритм выполнен верно, но допущена одна неточность в вычислении, подписи или аккуратности, не повлиявшая на общий смысл диаграммы.
- «3» — правильно найдено целое и вычислены не менее двух углов, диаграмма построена частично либо требуется исправление суммы углов и подписей.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что показывает полный круг на круговой диаграмме? | Проверка понимания модели «целое — части». |
Как вычислить угол сектора, если известны часть и целое? | Выявление осознания формулы и последовательности действий. |
На каком шаге построения возникло затруднение? | Выявление точек затруднения в алгоритме и планирование коррекции. |
Как по диаграмме определить наиболее распространённую категорию? | Проверка умения анализировать графическое представление данных. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы научились превращать таблицу чисел в наглядную круговую диаграмму. Главное — помнить, что весь круг равен 360°, а угол сектора вычисляется как доля от целого, умноженная на 360°. Частая ошибка — перепутать количество объектов с величиной угла или забыть проверить сумму секторов. Дома вы закрепите алгоритм на новых данных. На следующем уроке мы продолжим анализировать диаграммы и делать по ним обоснованные выводы».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи на вычисление углов секторов по известным значениям частей и целого; для одной таблицы построить круговую диаграмму с четырьмя секторами и легендой. | Закрепляет формулу и базовый алгоритм; при проверке обратить внимание на правильность общего количества и сумму углов 360°. |
Средний (повышающий) | Составить по предложенной таблице круговую диаграмму с пятью категориями, вычислить все углы, раскрасить сектора и написать два вывода по диаграмме. | Развивает точность вычислений, навыки графического представления и анализа данных; проверить соответствие размеров секторов исходным значениям. |
Продвинутый (дополнительный) | Провести небольшой опрос не менее чем среди 20 человек на тему выбора вида спорта, транспорта или свободного времени, оформить результаты в таблице и построить круговую диаграмму. | Формирует функциональную грамотность и умение самостоятельно создавать математическую модель; оценить корректность вопроса, полноту данных, вычисления и выводы. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Чему равен полный круг?», «Какие величины нужны для вычисления угла сектора?», «Почему сумма углов всех секторов должна быть равна 360°?»
