Понятие множества
Цели и задачи
- Цель: сформировать у учащихся представление о множестве как о математическом объекте, научить использовать символику принадлежности, пересечения и объединения множеств для решения практических задач.
- Образовательные задачи: ввести понятия «множество», «элемент множества», «пустое множество», «подмножество»; научить записывать множества с помощью фигурных скобок и специальных символов (∈, ∉, ∅, ⊂, ∩, ∪).
- Развивающие задачи: развивать логическое мышление через анализ диаграмм Эйлера-Венна и классификацию объектов по заданным признакам.
- Воспитательные задачи: формировать навыки коллективной деятельности и умение аргументированно отстаивать свою точку зрения в процессе обсуждения.
Планируемые результаты
Личностные
- Формирование устойчивого интереса к изучению математики как универсального языка описания мира.
- Развитие критического мышления при оценке истинности математических утверждений.
- Готовность к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению.
Метапредметные
- Познавательные: умение выделять существенные признаки объектов, классифицировать их, работать с информацией, представленной в виде схем и символов.
- Регулятивные: способность ставить учебные цели, планировать свои действия в соответствии с поставленной задачей, осуществлять самоконтроль.
- Коммуникативные: умение организовывать учебное сотрудничество с учителем и сверстниками, воспринимать и передавать информацию в соответствии с целями коммуникации.
Предметные
- Знать определения множества, элемента, подмножества, пересечения и объединения.
- Уметь записывать множества перечислением элементов и с помощью характеристического свойства.
- Владеть навыками использования символов принадлежности (∈, ∉) и операций над множествами.
- Уметь решать простейшие комбинаторные и логические задачи с использованием кругов Эйлера.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Установление связи между целью учебной деятельности и ее мотивом.
- Нравственно-этическая ориентация в рамках коллективной работы.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что еще неизвестно.
- Оценка — выделение и осознание учащимся того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению.
Познавательные УУД
- Анализ объектов с целью выделения признаков (существенных, несущественных).
- Синтез — составление целого из частей, в том числе самостоятельное достраивание с восполнением недостающих компонентов.
Коммуникативные УУД
- Инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации.
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать карточки для приема «Сортировка» (наборы слов: «карась», «щука», «окунь», «берёза», «дуб» и т.д.) — 15 комплектов.
- Подготовить два цветных гимнастических обруча (красный и синий) для демонстрации пересечения множеств.
- Создать презентацию со слайдами: 1) Однозначные числа; 2) Символы ∈ и ∉; 3) Диаграммы Эйлера-Венна.
- Распечатать листы самооценки «Мои достижения на уроке» по количеству учеников.
- Проверить наличие мела/маркеров разных цветов для рисования схем на доске.
Ход урока
Этап 1. Мотивация и самоопределение (3 мин)
Цель этапа: создать психологический настрой на работу, вызвать интерес к новой теме через жизненные примеры.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель: «Здравствуйте, ребята! Посмотрите вокруг. Мы часто объединяем предметы в группы. Как мы называем группу птиц? Верно, стая. А группу коров? Стадо. В математике для обозначения совокупности предметов, объединенных общим признаком, используют одно универсальное слово. Сегодня мы узнаем, что это за слово и как математики работают с такими группами. Готовы совершить открытие?» Учитель записывает на доске слово «МНОЖЕСТВО». | Ученики приветствуют учителя, отвечают на вопросы: «Стая», «Стадо», «Косяк рыб». Записывают тему урока в тетрадь. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Итак, мы выяснили, что в жизни мы постоянно сталкиваемся с группами объектов. Теперь давайте перейдем на язык математики.»
Этап 2. Актуализация знаний и фиксация затруднения (5 мин)
Цель этапа: повторить понятия натуральных чисел и подготовить почву для введения символьной записи множеств.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель: «Откройте учебник на странице 37. Посмотрите на координатную прямую. Какие числа там отмечены? От 0 до 9. Эти числа образуют группу. В математике мы скажем: "Множество однозначных чисел". Давайте обозначим его буквой A. Как нам записать все эти числа, чтобы было понятно, что они — одна команда? В учебнике предложен вариант с фигурными скобками. Попробуйте записать в тетрадь: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. А теперь вопрос: число 10 входит в это множество? А число 5? Как нам коротко записать ответ на этот вопрос, не используя много слов?» | Ученики находят числа в учебнике, делают запись в тетради. Пытаются ответить на вопрос: «10 не входит, потому что оно двузначное», «5 входит». Сталкиваются с проблемой отсутствия краткой записи. |
Запись в тетрадях
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} — множество однозначных чисел.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что перечислять элементы в скобках удобно, но нам нужны специальные знаки-помощники для утверждений о принадлежности.»
Этап 3. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: ввести основные термины и символику темы на основе текста учебника.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель организует работу с текстом (прием «Инсерт»): «Прочитайте текст на стр. 37 со слов "Каждый предмет, входящий в множество..." до конца страницы. Отметьте карандашом: V — знал, + — новое для меня. После чтения ответьте: как называется предмет в множестве? Каким символом обозначается принадлежность? Что такое пустое множество?» Учитель выводит на слайд символы ∈ и ∉. | Ученики читают текст, делают пометки. Отвечают на вопросы: «Предмет называется элементом», «Символ ∈ — принадлежит», «Пустое множество ∅ не содержит элементов». |
6 мин | Учитель вводит понятие подмножества, используя рис. 1.18 на стр. 38: «Посмотрите на рисунок. Множество B находится внутри множества A. Мы говорим, что B — подмножество A. Запишем это: B ⊂ A. Например, если A — это наш класс, то B — это множество девочек нашего класса. Верно ли, что B ⊂ A?» Учитель демонстрирует на доске запись: 9 ∈ A, 14 ∉ A. | Ученики анализируют рисунок, приводят свои примеры подмножеств (например, множество четных чисел в множестве натуральных). Записывают символы в тетрадь. |
Запись в тетрадях
- ∈ — принадлежит (элемент входит в множество)
- ∉ — не принадлежит
- ∅ — пустое множество (нет элементов)
- ⊂ — подмножество (часть множества)
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Теперь мы владеем языком множеств. Пора научиться совершать над ними действия, как в настоящей лаборатории.»
Этап 4. Первичное закрепление и работа с операциями (10 мин)
Цель этапа: изучить операции пересечения и объединения множеств, используя визуализацию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель кладет на пол два обруча так, чтобы они пересекались. «Представьте, что в красном обруче — множество учеников, любящих математику (M), а в синем — спорт (С). Куда встанут те, кто любит и то, и другое? Правильно, в общую часть. Это называется ПЕРЕСЕЧЕНИЕ. Посмотрите на стр. 38, рис. 1.19. Символ ∩. Запишем: M ∩ C.» | Ученики наблюдают за демонстрацией, соотносят ее с рисунком в учебнике. Записывают определение пересечения. |
5 мин | Учитель: «А если мы хотим собрать всех вместе — и математиков, и спортсменов? Это будет ОБЪЕДИНЕНИЕ. Символ ∪. Посмотрите на рис. 1.20 на стр. 38. Давайте выполним задание 1.166 (а, б) из учебника устно. Назовите элементы множества двузначных чисел от 40 до 50.» | Ученики отвечают: «40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50». Для пункта (б) перечисляют: «18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99». |
Эталон решения (задача 1.172)
A = {1, 2, 4, 5, 10, 20} (делители 20)
B = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} (делители 30)
A ∩ B = {1, 2, 5, 10}
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 15, 20, 30}
B = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} (делители 30)
A ∩ B = {1, 2, 5, 10}
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 15, 20, 30}
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы научились находить общие элементы и объединять группы. Теперь проверим, как вы справитесь с логической задачей.»
Этап 5. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: применить полученные знания при решении текстовой задачи на множества.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
8 мин | Учитель предлагает решить задачу № 1.175 со стр. 40: «На соревнования пришли 27 пап и 39 мам. Всего 53 ученика, у каждого был хотя бы один родитель. Сколько учеников пришли с обоими родителями? Используйте диаграмму как на стр. 39.» Учитель ходит по классу, помогает тем, кто затрудняется. | Ученики рисуют два круга (Мамы и Папы). Решают: 27 + 39 = 66 (всего посещений). 66 - 53 = 13. Ответ: 13 учеников пришли с мамой и папой вместе. Сверяют решение с эталоном на доске. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Диаграммы множеств помогли нам распутать сложную задачу. Это мощный инструмент логики!»
Этап 6. Рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: осознание учащимися своей учебной деятельности, самооценка результатов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель проводит рефлексию: «Ребята, посмотрите на наши цели. Мы узнали, что такое множество? Да. Мы научились использовать символы? Да. Поднимите зеленую карточку, если вам все понятно, желтую — если остались вопросы, красную — если тема показалась очень сложной.» | Ученики поднимают карточки, анализируют свои успехи. Заполняют листы самооценки. |
3 мин | Учитель диктует домашнее задание и дает пояснения по уровням сложности. «Обратите внимание на задачу 1.176 — она похожа на ту, что мы решили в классе, попробуйте применить круги Эйлера.» | Записывают задание в дневники, задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — ученик верно выполнил все записи символики, правильно решил задачу 1.175 с построением диаграммы, не допустил ошибок в перечислении элементов множеств в упражнении 1.166.
- «4» — задача 1.175 решена верно, но допущены 1-2 ошибки в символах принадлежности или пропущены элементы при перечислении множеств.
- «3» — ученик понимает смысл понятия «множество», но затрудняется в использовании символики (путает ∩ и ∪) и не смог самостоятельно довести до конца решение логической задачи.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой символ было сложнее всего запомнить и почему? | Выявление трудностей в усвоении новой абстрактной символики. |
Где в реальной жизни нам может пригодиться понятие пересечения множеств? | Проверка понимания практической значимости темы (функциональная грамотность). |
Какую оценку ты бы поставил себе за работу на этапе открытия нового знания? | Развитие навыка адекватной самооценки. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы с вами открыли дверь в удивительный мир теории множеств. Вы увидели, что математика — это не только цифры, но и строгий порядок, классификация и логика. Мы научились видеть структуру там, где раньше видели просто группу предметов. На следующем уроке мы продолжим исследовать отношения между множествами и узнаем, как они помогают решать еще более запутанные загадки. Спасибо за активную работу, вы сегодня были настоящими исследователями!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Стр. 39, № 1.164, 1.165 | Привести примеры нечисловых множеств и найти обобщающее слово для групп объектов. |
Средний (повышающий) | Стр. 39, № 1.169, 1.170 | Проверить истинность утверждений о принадлежности элементов и составить подмножества. |
Продвинутый (дополнительный) | Стр. 40, № 1.176 | Решить логическую задачу про 100 учеников, используя диаграмму Эйлера-Венна для трех множеств. |
Контрольный вопрос: «Как вы думаете, может ли множество быть подмножеством самого себя? Подумайте над этим дома!»
