Целые числа вокруг нас: сравнение и сложение чисел с разными знаками
Цели и задачи
- Цель: к концу урока ученики смогут изображать целые числа на координатной прямой, сравнивать их и применять правила сложения чисел с одинаковыми и разными знаками для решения практических задач.
- Образовательная задача: вспомнить смысл положительных и отрицательных чисел, противоположных чисел и модуля, связав их с температурой, этажами и изменением уровня.
- Развивающая задача: научиться объяснять выбор знака результата при сложении и проверять вычисления по числовой прямой.
- Развивающая задача: развивать умение читать условие задачи, выделять изменения величин и согласовывать общий план решения в паре.
- Воспитательная задача: поддерживать ответственность за общий результат, уважительное обсуждение разных способов решения и уверенность при самостоятельной проверке.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к применению целых чисел для описания температуры, высоты и изменения показаний.
- Осознают ценность точности при чтении знака числа и записи математического решения.
- Проявляют готовность проверять собственный результат, а не полагаться только на ответ партнёра.
- Уважительно относятся к объяснениям одноклассников и корректно уточняют непонятные шаги.
Метапредметные
- Извлекают из практического условия исходное значение, направление изменения и требуемый результат.
- Сравнивают числа по их положению на координатной прямой и объясняют вывод словами.
- Планируют решение задачи в паре, распределяют вычисления и проверяют общий ответ.
- Используют числовую прямую на доске или экране как модель изменения величины и оценивают правдоподобие результата.
Предметные
- Различают положительные, отрицательные и нулевые числа, называют целые числа и противоположные пары.
- Находят модуль целого числа как расстояние от соответствующей точки до нуля.
- Сравнивают целые числа, учитывая их положение на координатной прямой.
- Формулируют и применяют правила сложения чисел с одинаковыми и разными знаками.
- Решают практические задачи на последовательные изменения величин и объясняют смысл ответа.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Соотносят изучение целых чисел с необходимостью описывать реальные изменения температуры, высоты и уровня величины.
- Формулируют личную цель на урок: увереннее сравнивать числа или выбирать правило сложения.
- Проявляют настойчивость при исправлении ошибки в знаке числа.
- Оценивают собственную готовность применять новый способ без подсказки.
Регулятивные УУД
- Совместно формулируют цель урока из обнаруженного затруднения при вычислении изменения температуры.
- Составляют краткий план решения: определить знаки, выбрать правило, вычислить модуль результата, проверить смысл.
- Сверяют самостоятельное решение с эталоном и отмечают место возможной ошибки.
- Корректируют вычисление, если знак ответа не соответствует модели на числовой прямой.
Познавательные УУД
- Извлекают математические данные из кратких текстов о температуре и изменении уровня.
- Моделируют целые числа точками на координатной прямой и движением вправо или влево.
- Выявляют общее и различие в правилах сложения чисел с одинаковыми и разными знаками.
- Обосновывают сравнение чисел через их положение относительно нуля.
- Проверяют вычислительную гипотезу с помощью числовой прямой или обратного действия.
Коммуникативные УУД
- Задают партнёру уточняющие вопросы о знаке числа и выбранном правиле.
- Представляют решение практической задачи, используя математические термины и полные объяснения.
- Согласуют в паре порядок действий и распределяют вычисления при совместной работе.
- Аргументированно принимают или корректируют способ решения после проверки на координатной прямой.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить на доске крупную горизонтальную координатную прямую от −10 до 10 с отмеченным нулём и одинаковым шагом.
- Подготовить презентацию с фотографиями или простыми изображениями термометра, лифта с подземными этажами и изменения уровня воды; использовать их на мотивации и при практической задаче.
- Подготовить интерактивный слайд с числовой прямой и карточками-числами для перемещения или, если интерактивная доска недоступна, распечатать карточки на магнитах.
- Распечатать карточки для парной игры «Температурный маршрут» — по одной карточке на пару, всего по числу пар; в каждой карточке три последовательных изменения температуры.
- Распечатать самостоятельную мини-работу на сравнение чисел и числовые промежутки — по одному экземпляру на ученика, с кратким ключом для самопроверки учителя.
- Подготовить красные и синие карточки со знаками плюс и минус — один комплект на парту, а также зелёные, жёлтые и красные карточки для сигнала понимания — по одной на ученика.
- Подготовить слайд-шпаргалку: правило сложения чисел с одинаковыми знаками и правило сложения чисел с разными знаками; скрыть её до открытия нового способа.
- Освободить безопасное пространство между рядами для двухминутной физкультминутки с шагами вправо и влево; заранее обозначить, что ученики не бегут и сохраняют дистанцию.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и проблемный крючок (2 мин)
Цель этапа: организовать класс и заинтересовать учеников задачей, для решения которой понадобятся числа с разными знаками.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель выводит на экран изображение термометра: утром было −3 °C, днём температура повысилась на 7 °C. «Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем не просто считать числа со знаками, а разберёмся, как с их помощью описать изменение температуры. Посмотрите на термометр: утром было три градуса ниже нуля, затем потеплело на семь градусов. Как думаете, можно ли найти новую температуру, не перечисляя каждый градус по очереди? Сначала каждый подумайте несколько секунд, затем коротко обсудите ответ с соседом». | Рассматривают термометр, индивидуально обдумывают задачу и обсуждают её в паре; предполагают: «Стало 4 °C», «Нужно прибавить 7 к −3». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы уже предложили связать изменение температуры с действием над числами. Проверим, какие знания о числах со знаками помогут нам обосновать ответ».
Этап 2. Актуализация знаний: числа на прямой (5 мин)
Цель этапа: актуализировать представления о противоположных числах, модуле и сравнении целых чисел.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель указывает на числовую прямую от −10 до 10. «Посмотрите на прямую. В какую сторону от нуля расположены положительные числа, а в какую — отрицательные? Какие числа являются противоположными? Покажите, где находится число, противоположное числу 4, и объясните, почему расстояния от этих точек до нуля одинаковы». | Показывают направление вправо для положительных и влево для отрицательных чисел; отвечают: «Противоположное числу 4 — число −4»; объясняют, что точки равноудалены от нуля. |
3 мин | Учитель показывает на экране числа −6, 2, 0 и −1 и задаёт вопросы. «Какое из этих чисел самое большое и почему? Чему равен модуль числа −6? Если число −1 находится левее числа 2, какое из них меньше? Сейчас важно не угадывать, а ссылаться на положение точки». | Сравнивают числа, отвечают: «Самое большое — 2», «Модуль −6 равен 6», «−1 меньше 2, потому что левее на прямой»; приводят объяснение через расстояние до нуля и положение точки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили, что знак показывает положение числа относительно нуля, а модуль — расстояние до нуля. Теперь выясним, какой способ вычисления позволяет быстро определить новое значение при изменении температуры».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение при сложении чисел с разными знаками и сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске: −3 + 7 = ? и рядом изображает перемещение по прямой. «Вернёмся к утренней температуре. Было −3 °C, повышение на 7 °C можно записать как −3 + 7. Мы предполагаем, что ответ равен 4. Как проверить это перемещением по прямой? С какой точки начнём и куда будем двигаться при прибавлении положительного числа?» | Предлагают начать в точке −3 и пройти 7 единичных шагов вправо; доходят до 4 и подтверждают результат. |
2 мин | Учитель записывает рядом −7 + 3 и предлагает сравнить два случая. «А здесь мы начинаем с −7 и прибавляем 3. Будет ли ответ положительным? Что именно мешает быстро ответить, если мы пока запомнили только движение по прямой? Сформулируйте, чему нужно научиться сегодня, чтобы считать быстрее и не ошибаться со знаком». | Обнаруживают, что разные знаки требуют выбора знака результата; формулируют цель: «Нужно научиться складывать числа с одинаковыми и разными знаками и объяснять знак ответа». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Цель поставлена: вывести и применить правила сложения целых чисел. Для этого сопоставим движение по прямой с длинами шагов и проверим правило на нескольких примерах».
Этап 4. Открытие нового знания (8 мин)
Цель этапа: вывести правила сложения чисел с одинаковыми и разными знаками на основе координатной прямой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель отмечает на доске последовательные перемещения: 0 → 3 → 7. «Сначала рассмотрим 3 + 4. От нуля идём вправо на 3 единицы, затем ещё на 4. Куда пришли? Сколько всего единиц прошли от нуля? А теперь сравните с примером (−3) + (−4): оба движения направлены влево. Какой знак будет у результата и какова его абсолютная величина? Давайте сформулируем правило своими словами». | Определяют, что 3 + 4 = 7, а (−3) + (−4) = −7; формулируют: «При одинаковых знаках складываем модули и сохраняем общий знак». |
3 мин | Учитель показывает на прямой пример (−7) + 3. «Начинаем в точке −7 и движемся на три шага вправо. К какой точке приходим? Какой отрезок движения оказался длиннее — семь шагов влево или три вправо? Как определить и модуль, и знак результата без полного пересчёта? Сравним модули: 7 больше 3, значит знак результата будет отрицательным, а модуль равен разности модулей». | Моделируют движение и получают −4; называют больший модуль 7 и объясняют, что результат отрицательный; формулируют правило: «При разных знаках вычитаем меньший модуль из большего и ставим знак числа с большим модулем». |
2 мин | Учитель открывает подготовленную шпаргалку на экране и предлагает проверить случаи 8 + (−8) и (−5) + 2. «Что происходит, если модули равны? Сравните это с движением на одинаковое число шагов в противоположные стороны. Запишите правила в тетрадь и рядом добавьте один собственный пример к каждому правилу». | Отвечают: «8 + (−8) = 0, перемещения взаимно уничтожаются»; получают (−5) + 2 = −3; записывают правила и придумывают примеры. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Запись в тетрадях
- При сложении чисел с одинаковыми знаками складывают их модули и ставят общий знак.
- При сложении чисел с разными знаками из большего модуля вычитают меньший и ставят знак числа с большим модулем.
- Противоположные числа имеют одинаковые модули и противоположные знаки; их сумма равна нулю.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вывели правило и проверили его числовой прямой. Теперь немного разомнёмся и одновременно ещё раз покажем, как знак числа задаёт направление движения».
Этап 5. Физкультминутка «Шаги по прямой» (2 мин)
Цель этапа: снять напряжение и закрепить связь знака с направлением движения на числовой прямой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель обозначает ноль между рядами и задаёт безопасный темп. «Встаньте рядом с партой, оставьте достаточно места. Положительное число означает шаг вправо, отрицательное — шаг влево. На команду “плюс два” сделайте два небольших шага вправо, на команду “минус один” — один шаг влево. Не торопимся и не обгоняем друг друга. Начинаем с нуля: плюс два, минус три, плюс один. Где оказались?» | Выполняют движения на месте или в свободном проходе, сохраняя дистанцию; считают перемещения и отвечают: «Вернулись в ноль». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Движение помогло увидеть, почему сумма меняется в ту или другую сторону. Садимся и проверим, умеем ли мы выбрать правило и объяснить вычисление самостоятельно».
Этап 6. Первичное закрепление: математическая эстафета (6 мин)
Цель этапа: закрепить выбор правила сложения и отработать объяснение знака результата.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт парам карточку с примерами и включает видимый таймер на три минуты. «Перед вами четыре примера: 6 + 5; (−4) + (−3); 9 + (−4); (−8) + 3. Сначала рядом с каждым примером отметьте, одинаковые или разные знаки, затем вычислите. Обязательно подпишите, почему выбран именно такой знак ответа. Один ученик пары объясняет первый и третий пример, второй — второй и четвёртый». | В парах классифицируют примеры по знакам, решают и проговаривают ход рассуждений: 11; −7; 5; −5. Проверяют, совпало ли правило для каждого случая. |
3 мин | Учитель приглашает одну пару объяснить примеры с разными знаками и уточняет типичные ошибки. «В третьем примере модули равны 9 и 4. Какой больше? Поэтому какой знак сохраняем? В четвёртом примере больший модуль принадлежит числу −8, значит результат отрицательный. Не путайте вычитание модулей с вычитанием самих чисел. Сверьте ответы и исправьте ошибки другим цветом». | Представляют решение у доски, объясняют выбор знака, сверяют результаты; исправляют вычисления и отмечают правило, которое помогло. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы уже можете выбирать правило по знакам и обосновывать знак суммы. Теперь выполните короткую работу каждый самостоятельно, а затем проверьте себя по эталону».
Этап 7. Самостоятельная работа с самопроверкой (12 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное умение сравнивать целые числа, работать с числовым промежутком и применять правила сложения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт каждому лист самостоятельной работы и поясняет уровни. «Выполните обязательные задания самостоятельно: сравните числа −5 и 2, −3 и −8; назовите модуль числа −6; отметьте все целые числа из промежутка от −2 до 2 включительно. Затем решите два примера на сложение. Если закончите раньше, выберите дополнительную практическую задачу на обратной стороне». | Получают лист, читают задания и отмечают порядок выполнения; задают уточняющий вопрос, если неясно обозначение промежутка. |
6 мин | Учитель включает таймер и наблюдает за самостоятельной работой, не подсказывая ответ. «Сначала сравните числа по их положению относительно нуля. При вычислении сложения сначала определите знаки слагаемых и сравните модули, если знаки разные. Запишите ход рассуждений, а не только ответ. Для промежутка укажите именно целые числа, которые входят в заданные границы». | Индивидуально выполняют сравнение, находят модуль, перечисляют целые числа промежутка и решают примеры, например −7 + 4 и (−3) + (−5); сильные ученики берут дополнительную задачу. |
3 мин | Учитель выводит на экран эталон: −5 < 2; −8 < −3; |−6| = 6; целые числа промежутка [−2; 2]: −2, −1, 0, 1, 2; −7 + 4 = −3; (−3) + (−5) = −8. «Проверьте каждый пункт, поставьте галочку у верного ответа и исправьте ошибку другим цветом. Если ответ отличается, найдите конкретный шаг, где изменился знак или неверно прочитана граница». | Сверяют работу с эталоном, исправляют ошибки другим цветом и отмечают, что именно вызвало затруднение. |
2 мин | Учитель просит показать карточки светофора. «Зелёная карточка — вы можете объяснить оба правила сложения; жёлтая — один случай пока требует проверки; красная — нужна помощь с выбором знака или сравнением чисел. Поднимите карточку так, чтобы я видел сигнал. Запишите рядом с ошибкой один вопрос, который поможет вам разобраться». | Показывают сигнал понимания; записывают вопрос или отмечают освоенный способ; учитель фиксирует, кому нужна поддержка. |
Эталон решения
Сравнение: −5 < 2, поскольку отрицательное число меньше положительного; −8 < −3, поскольку точка −8 расположена левее точки −3. Модуль: |−6| = 6. Промежуток [−2; 2] включает границы, поэтому целые числа: −2, −1, 0, 1, 2. Сложение: −7 + 4 = −(7 − 4) = −3, так как знаки разные, а больший модуль у числа −7; (−3) + (−5) = −(3 + 5) = −8, так как знаки одинаковые.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная проверка показала, что важно не только посчитать, но и увидеть, почему ответ положительный, отрицательный или равен нулю. Применим этот способ в жизненной ситуации и вместе составим решение».
Этап 8. Практическая задача и совместная работа (6 мин)
Цель этапа: применить целые числа и сложение к задаче о температуре, совместно проверить ответ и создать короткую задачу по аналогичной модели.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает на экране условие целиком: «В начале наблюдения температура воздуха была −4 °C. За первый час она повысилась на 6 °C, а за второй час понизилась на 5 °C. Какой стала температура в конце наблюдения?» «Работаем в паре. Один человек записывает начальную температуру и два изменения с их знаками, другой проверяет вычисления числовой прямой или правилом. Затем поменяйтесь ролями и согласуйте один ответ с объяснением». | Записывают модель: −4 + 6 + (−5); вычисляют сначала −4 + 6 = 2, затем 2 + (−5) = −3; проверяют на числовой прямой; формулируют ответ: «В конце температура стала −3 °C». |
3 мин | Учитель просит пару представить решение и задаёт вопросы на осмысление. «Почему повышение записали положительным числом, а понижение — отрицательным? Можно ли изменить порядок сложения, не изменив результат? Теперь придумайте для соседа похожую задачу о лифте, высоте или уровне воды, используя два изменения, и запишите к ней выражение. Проверьте, чтобы в условии было понятно, что означает каждое изменение». | Объясняют знаки изменений и решение; предлагают задачу, например: «Лифт был на этаже −2, поднялся на 5 этажей и спустился на 4. На каком этаже он оказался?» Записывают выражение −2 + 5 + (−4) и обмениваются задачами с соседней парой. |
Эталон решения
Обозначим повышение положительным изменением, а понижение — отрицательным: $t = -4 + 6 + (-5)$. Сначала $-4 + 6 = 2$, затем $2 + (-5) = -3$. Следовательно, итоговая температура равна $-3\ ^\circ\mathrm{C}$. Проверка по прямой: от −4 пройти 6 единиц вправо до 2, затем 5 единиц влево до −3.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы описали реальное изменение температуры выражением с целыми числами и проверили результат двумя способами. Перед выходом подведём итог: что стало понятнее, а что ещё нужно потренировать».
Этап 9. Рефлексия и билет на выход (6 мин)
Цель этапа: помочь ученикам оценить освоение способов сравнения и сложения целых чисел и собрать данные для планирования следующего урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт небольшие листки для билета на выход. «Закончите две фразы: “Чтобы сложить числа с разными знаками, я…” и “Сегодня мне помогло…” Затем решите один короткий пример: −6 + 9. Напишите не только ответ, но и одну фразу о выборе знака. Сдайте листок у выхода, даже если в ответе пока не уверены». | Письменно завершают фразы, решают −6 + 9 = 3 и объясняют: «Знаки разные, из 9 вычитаем 6, знак положительный, потому что модуль 9 больше»; сдают билет. |
3 мин | Учитель предлагает устную рефлексию «Одноминутка». «Что сегодня оказалось самым полезным: координатная прямая, правило сложения или работа с реальной задачей? Какое место вызвало затруднение: сравнение отрицательных чисел, модуль или выбор знака суммы? Можно ответить кратко, но назовите конкретный шаг. Спасибо за честную самооценку — по вашим ответам я выберу примеры для следующей тренировки». | Называют конкретный способ или затруднение; оценивают собственную работу и слушают ответы одноклассников без перебивания. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня мы использовали целые числа, чтобы описать положение и изменение величины, и вывели способы сложения. На следующем уроке продолжим применять эти правила в более сложных вычислениях и задачах».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания на сравнение чисел, модуль и числовой промежуток; правильно решены оба примера на сложение; в практической задаче записано выражение, обоснован знак ответа и дан ответ с единицей измерения.
- «4» — допущена одна вычислительная ошибка или неточность в объяснении, но правила сравнения и сложения выбраны верно, практическая задача решена по подходящей модели.
- «3» — верно выполнена большая часть заданий на сравнение и модуль, однако при сложении допущены ошибки в определении знака или практическая задача решена только с опорой на подсказку.
- При формирующей проверке учитываются не только ответы, но и объяснение выбора знака, аккуратность записи и способность самостоятельно обнаружить ошибку при сверке с эталоном.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Как определить, какое из двух отрицательных чисел меньше? | Проверить понимание сравнения целых чисел через положение на координатной прямой. |
Какое правило вы примените, чтобы вычислить −8 + 3, и почему? | Выявить, понимает ли ученик выбор знака и разность модулей при разных знаках. |
Как координатная прямая помогла решить задачу об изменении температуры? | Оценить перенос математической модели на практический контекст. |
Что вам ещё нужно потренировать: сравнение, модуль или сложение чисел с разными знаками? | Получить самооценку ученика и определить содержание последующей адресной поддержки. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы увидели, что положительные и отрицательные числа помогают описывать температуру, этажи и изменения величин. Вы научились сравнивать числа по их положению на прямой и применять правила сложения, объясняя знак результата. Помните типичную ошибку: при разных знаках нельзя просто складывать модули — сначала их сравнивают, а затем находят разность. Если ответ кажется неожиданным, проверьте его движением по координатной прямой. На следующем уроке мы продолжим решать задачи и закрепим вычисления с целыми числами."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 6 примеров: 2 на сравнение положительного и отрицательного числа, 2 на сравнение отрицательных чисел и 2 на сложение чисел с одинаковыми или разными знаками. К каждому примеру на сложение кратко указать выбранное правило. | Закрепляет сравнение и алгоритмы сложения; при проверке обратить внимание на сохранение знака числа с большим модулем и на сравнение отрицательных чисел. |
Средний (повышающий) | Решить 3 практические задачи на изменение температуры, положения лифта или уровня воды; в каждой записать выражение с целыми числами, выполнить вычисления и написать ответ с пояснением. | Формирует умение переводить жизненную ситуацию в математическую модель; проверить, соответствуют ли знаки направлению изменения и смыслу результата. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить собственную задачу с двумя или тремя последовательными изменениями величины, используя положительные и отрицательные числа; нарисовать схему на координатной прямой и придумать проверочный вопрос к задаче. | Развивает создание математической модели и самопроверку; при проверке оценить ясность условия, корректность знаков и согласованность решения со схемой. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как сравнить −7 и −2? Чему равен модуль числа −9? Сколько будет −5 + 8 и почему ответ положительный? Какое правило помогает сложить два отрицательных числа?»
