Положительные и отрицательные числа: координатная прямая, модуль и сравнение чисел
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться изображать положительные и отрицательные числа на координатной прямой, находить модуль числа и сравнивать целые числа, объясняя каждое решение с помощью модели координатной прямой.
- Сформировать понимание того, что положительные и отрицательные числа описывают величины, расположенные по разные стороны от нуля: температуру, высоту, глубину, доходы и расходы.
- Научить строить координатную прямую, отмечать на ней точки с заданными координатами, определять координаты отмеченных точек и находить расстояние от точки до начала отсчёта.
- Развивать умение сравнивать и упорядочивать целые числа, применять правило положения чисел на координатной прямой и аргументировать ответ.
- Воспитывать математическую аккуратность, готовность сотрудничать и осознанно использовать математические модели для описания жизненных ситуаций.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность положительных и отрицательных чисел при описании температуры, высоты, глубины и финансовых изменений.
- Проявляют интерес к исследованию математической модели и готовность проверять собственную гипотезу.
- Формируют ответственное отношение к точности записи чисел, знаков и единиц измерения.
- Развивают уверенность в возможности преодолеть затруднение через последовательное рассуждение и сотрудничество.
Метапредметные
- Извлекают информацию из жизненной ситуации, таблицы, координатной прямой и интерактивной модели.
- Планируют решение, формулируют гипотезу, проверяют её на примерах и корректируют вывод.
- Участвуют в проблемном диалоге, слушают партнёра, задают уточняющие вопросы и аргументируют ответ.
- Используют цифровую модель координатной прямой для проверки построений и результатов.
Предметные
- Знать определения положительных, отрицательных и целых чисел, противоположных чисел и модуля числа.
- Уметь строить координатную прямую с началом отсчёта, единичным отрезком и направлением, отмечать заданные числа точками.
- Уметь находить модуль положительного, отрицательного числа и нуля как расстояние от точки до начала отсчёта.
- Уметь сравнивать целые числа и упорядочивать их, используя положение точек на координатной прямой.
- Уметь переводить жизненные ситуации с положительными и отрицательными величинами в математическую модель.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения чисел со знаком через примеры температуры, высоты и финансовых изменений.
- Оценивают собственную готовность работать с отрицательными числами и фиксируют индивидуальное затруднение.
- Проявляют учебную самостоятельность при выборе уровня задания и способа проверки ответа.
- Соблюдают нормы сотрудничества при обсуждении разных способов решения.
Регулятивные УУД
- Совместно с учителем формулируют цель урока и составляют последовательность действий.
- Сверяют построение координатной прямой с критериями: начало отсчёта, единичный отрезок, направление, равномерность делений.
- Осуществляют самопроверку по эталону и с помощью цифровой модели.
- Находят ошибку в знаке, масштабе или порядке чисел и исправляют её.
Познавательные УУД
- Классифицируют величины на положительные, отрицательные и нулевые.
- Моделируют числа точками координатной прямой и устанавливают связь между координатой и положением точки.
- Выводят правило нахождения модуля через геометрическое расстояние до нуля.
- Сравнивают числа на основе наблюдения, обобщают результаты и формулируют правило.
- Преобразуют информацию из текста и таблицы в схему и математическую запись.
Коммуникативные УУД
- Формулируют полный ответ с использованием математических терминов «координата», «модуль», «противоположные числа».
- Работают в парах и мини-группах, распределяют роли чертёжника, докладчика и проверяющего.
- Доказывают, почему одно число больше другого, ссылаясь на положение точек на прямой.
- Корректно сравнивают решения, задают вопросы и принимают обоснованные замечания.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную модель координатной прямой с точками от −6 до 6, стрелкой направления и изменяемым единичным отрезком.
- Вывести на экран фотографии или пиктограммы термометра, подземного уровня, высоты над морем и банковского баланса для мотивационной ситуации.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: зелёные — базовые, жёлтые — повышающие, синие — исследовательские; по одной карточке на каждого ученика.
- Подготовить для каждой пары полоску координатной прямой, набор карточек с числами −6, −3, −1, 0, 2, 5 и стрелки направления.
- Распечатать мини-лист самопроверки на каждого ученика с пунктами «начало отсчёта», «единичный отрезок», «направление», «знак», «модуль».
- Записать на доске или подготовить на слайде алгоритм: построить прямую — выбрать ноль — отметить единичный отрезок — указать направление — нанести числа — сравнить положение точек.
- Подготовить интерактивную доску или проектор, ноутбук, доступ к ЭОР с координатной прямой и таймером.
- Подготовить маркеры, магниты, стикеры двух цветов и тетради для записи определений и схем.
- В качестве методических ресурсов использовать материалы ФОП по математике для 6 класса, электронную модель координатной прямой и задания из действующего учебника без привязки к номерам и страницам.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (4 мин)
Цель этапа: включить учеников в учебную деятельность и показать практическую необходимость чисел со знаком.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и обращается к ученикам: «Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность: тетрадь, ручка, линейка и цветной карандаш должны лежать на парте. Сегодня нам понадобится не только вычислять, но и изображать числа, поэтому аккуратный чертёж будет нашим помощником». | Проверяют принадлежности, открывают тетради, записывают дату. |
3 мин | Учитель показывает на экране четыре обозначения: +7 °C, −7 °C, 300 м над уровнем моря, 12 м ниже уровня моря. «Посмотрите на экран. Где мы встречаем такие записи? Что означает знак перед числом? Можно ли заменить все эти величины обычными натуральными числами?» Учитель принимает ответы и фиксирует на доске слова «выше — ниже», «теплее — холоднее», «доход — расход». | Рассматривают изображения, предполагают: «Плюс означает увеличение или положение выше нуля, минус — уменьшение или положение ниже нуля». Приводят примеры температуры и глубины. Формулируют вывод: «Для направления или положения относительно нуля нужны числа со знаком». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что знак перед числом сообщает важную информацию о направлении и положении величины. Теперь выясним, как изобразить такие числа на одной понятной модели и как по этой модели сравнивать их».
Этап 2. Актуализация знаний и выявление затруднения (6 мин)
Цель этапа: актуализировать знания о числовом луче, нуле, единичном отрезке и обнаружить затруднение при работе с отрицательными числами.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель чертит на доске числовой луч и говорит: «Вспомним знакомую модель. Что нужно указать, чтобы по ней можно было однозначно определить число? Где располагается начало отсчёта? В какую сторону увеличиваются числа?» | Называют начало отсчёта, единичный отрезок и направление. Отвечают: «Числа увеличиваются вправо». |
2 мин | Учитель отмечает точки A и B справа от нуля и задаёт вопрос: «Какая точка имеет большую координату и почему?» Затем добавляет точку C слева от нуля: «Попробуйте записать координату точки C, если расстояние до нуля равно трём единичным отрезкам». | Сравнивают координаты A и B. Предполагают координату точки C: «−3», объясняя, что точка находится слева от нуля. |
2 мин | Учитель предлагает проблемный пример: «Расположите по возрастанию числа −2, 4, −5 и 0. Один ученик утверждает: −5 больше, чем −2, потому что 5 больше 2. Согласны ли вы?» Учитель не сообщает правило сразу, а предлагает обсудить ответ в парах. | Обсуждают в парах 30 секунд, затем формулируют: «Утверждение неверно: на прямой −5 расположено левее −2, поэтому −5 меньше −2». Фиксируют возникшее затруднение: нужно понимать расположение отрицательных чисел и расстояние до нуля. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы умеем работать с числовым лучом, но для отрицательных чисел его недостаточно: нужно продолжить его влево от нуля. Наша задача — построить координатную прямую, связать с ней понятие модуля и вывести надёжное правило сравнения».
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (3 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную проблему, цель и план исследования.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель показывает на экране координатную прямую без подписей слева от нуля: «Как исправить эту модель, чтобы она описывала и температуру ниже нуля, и глубину, и отрицательный баланс? Что должно появиться слева от нуля?» | Предлагают продолжить прямую влево и нанести отрицательные числа. |
2 мин | Учитель организует приём «Снежный ком»: «Сначала каждый запишите, чему сегодня нужно научиться. Затем обсудите запись с соседом и сформулируйте общий план из трёх шагов». Учитель собирает формулировки и фиксирует план: построить модель; исследовать модуль; вывести правила сравнения. | Индивидуально записывают цель, обсуждают её в парах и предлагают классу: «Построить координатную прямую, найти расстояние до нуля, сравнить числа по расположению точек». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Цель определена: от конкретной модели прийти к общим правилам. Работать будем как исследователи: сначала построим, затем измерим, сравним и сформулируем вывод».
Этап 4. Открытие нового знания. Координатная прямая и модуль числа (10 мин)
Цель этапа: самостоятельно вывести способ изображения чисел на координатной прямой и геометрический смысл модуля.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт парам полоски и говорит: «Постройте координатную прямую. Отметьте начало отсчёта O с координатой 0, выберите единичный отрезок, проведите стрелку вправо. От нуля отложите по три единичных отрезка вправо и влево. Подпишите полученные числа». Учитель показывает образец на доске, но оставляет подписи слева незаполненными. | В парах строят прямую, отмечают 0, 1, 2, 3 справа и предполагают подписи −1, −2, −3 слева. Проверяют равенство единичных отрезков. |
3 мин | Учитель задаёт исследовательские вопросы: «Какой координатой обладает точка, расположенная на два единичных отрезка левее нуля? Что общего у чисел 3 и −3? Где находятся их точки? Чем отличаются расстояние до нуля и координата точки?» | Отвечают: «Координата равна −2»; «3 и −3 находятся на одинаковом расстоянии от нуля, но по разные стороны». Формулируют: «Расстояние не бывает отрицательным». |
2 мин | Учитель вводит термин: «Расстояние от точки, изображающей число a, до начала отсчёта называют модулем числа a и обозначают |a|. Запишем: |3| = 3, |−3| = 3, |0| = 0». Учитель обращает внимание на отсутствие знака минус у расстояния. | Записывают определение и примеры в тетрадь. На прямой соединяют точки −3 и 3 с нулём одинаковыми отрезками. |
2 мин | Учитель демонстрирует в ЭОР перемещение точки и спрашивает: «Если точка перемещается с координаты −4 на координату −1, меняется ли её модуль? Как найти |−4| без вычислений?» | Наблюдают за цифровой моделью, отвечают: «Модуль −4 равен 4, потому что это расстояние от точки до нуля». |
Запись в тетрадях
Координатная прямая имеет начало отсчёта, единичный отрезок и направление. Число справа от нуля положительное, слева — отрицательное. Модуль числа — расстояние от точки, изображающей число, до начала отсчёта: |a| ≥ 0; |a| = |−a|.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Модель готова: знак показывает сторону от нуля, а модуль показывает расстояние до нуля. Теперь используем эту модель, чтобы открыть правило сравнения целых чисел».
Этап 5. Исследование и формулирование правила сравнения (7 мин)
Цель этапа: вывести правила сравнения положительных и отрицательных чисел через положение точек на координатной прямой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт группам карточки с парами чисел: 2 и 5; −2 и −5; −3 и 1; 0 и −4. «Разложите пары на координатной прямой и поставьте знак сравнения. Не пользуйтесь готовым правилом — докажите ответ расположением точек». | В группах отмечают числа на полосках, ставят знаки > или < и готовят объяснение: «Чем правее точка, тем больше соответствующее число». |
2 мин | Учитель проводит фронтальную проверку: «Сравните 2 и 5. Теперь сравните −2 и −5. Почему нельзя просто сравнить модули и сохранить тот же знак? Сравните −3 и 1. Как расположено любое отрицательное число относительно нуля?» | Отвечают: «2 < 5»; «−2 > −5, потому что −2 правее»; «Любое отрицательное число меньше нуля, а любое положительное больше нуля». |
2 мин | Учитель просит сформулировать общее правило и фиксирует его на доске: «На координатной прямой больше то число, точка которого расположена правее. Любое положительное число больше нуля и любого отрицательного числа; любое отрицательное число меньше нуля». | Записывают правила, приводят собственные примеры и проверяют их по координатной прямой. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Правило сравнения не нужно заучивать изолированно: его можно восстановить по координатной прямой. Далее проверим, умеете ли вы применять новый способ сначала вместе, а затем самостоятельно».
Этап 6. Первичное закрепление и дифференцированная практика (8 мин)
Цель этапа: закрепить изображение чисел, нахождение модуля и сравнение целых чисел с учётом индивидуального уровня подготовки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает фронтальную разминку «Математический светофор»: «Поднимите зелёную карточку, если утверждение верно, и жёлтую, если нужно исправить. Первое: |−6| = −6. Второе: |−6| = 6. Третье: −4 > −1. Четвёртое: 3 > −8». После каждого ответа просит короткое объяснение. | Поднимают карточки, исправляют утверждения: «|−6| = 6»; «−4 < −1»; «3 > −8». Обосновывают ответы положением точек или смыслом расстояния. |
4 мин | Учитель раздаёт карточки по выбору. «Зелёная карточка: изобразите на прямой −4, 0, 2 и найдите их модули. Жёлтая: упорядочьте −7, 3, −2, 0, 5, −1 и объясните два соседних сравнения. Синяя: придумайте два разных числа с модулем 4 и объясните, почему других целых чисел с таким модулем нет». Учитель консультирует группы. | Выбирают уровень. Решают индивидуально, затем сверяют один ответ с соседом. Базовый уровень строит прямую и находит модули; повышенный упорядочивает числа; исследовательский доказывает наличие двух противоположных чисел. |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку по критериям на доске: «Проверьте наличие нуля, одинакового масштаба, правильного направления, знаков чисел и записи модуля. Поставьте партнёру две отметки: «получилось» и «нужно уточнить».» | Проверяют работу партнёра по пяти критериям, записывают одну сильную сторону и один совет по исправлению. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы применили новое знание на трёх уровнях: построили модель, использовали правило и доказали свойство. Теперь каждый покажет, насколько самостоятельно умеет работать с числами со знаком».
Этап 7. Самостоятельная работа с самопроверкой (5 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение ключевых действий урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт мини-лист: «Выполните четыре задания без обсуждения. 1) Отметьте на прямой числа −3 и 4. 2) Найдите |−8| и |5|. 3) Сравните −6 и −2. 4) Расположите по возрастанию 2, −4, 0, −1. Записывайте краткое объяснение хотя бы к одному ответу». | Индивидуально выполняют задания, строят прямую и записывают ответы: |−8| = 8, |5| = 5, −6 < −2, −4 < −1 < 0 < 2. |
2 мин | Учитель открывает эталон на экране: «Проверьте не только результат, но и способ. Если ошибка связана со знаком или направлением, обведите её и рядом напишите, какое правило нужно повторить». | Сверяют решения, отмечают ошибки цветным карандашом, ставят себе условный балл и формулируют, что требуется повторить. |
Эталон решения
1) На координатной прямой точка с координатой −3 находится на 3 единичных отрезка левее нуля, точка с координатой 4 — на 4 единичных отрезка правее нуля. 2) |−8| = 8, так как расстояние до нуля равно 8; |5| = 5. 3) Точка −6 расположена левее точки −2, поэтому −6 < −2. 4) При движении слева направо числа увеличиваются: −4 < −1 < 0 < 2.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, что основной алгоритм уже доступен. Ошибки в знаках и масштабе — это не повод отказываться от решения, а сигнал вернуться к модели и проверить каждый шаг».
Этап 8. Межпредметное применение, ИКТ и рефлексия (2 мин)
Цель этапа: связать математическую модель с естественно-научными и географическими данными и осмыслить результат урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на экране короткую таблицу: «Температура утром −4 °C, днём 2 °C; вершина холма 350 м, подземная стоянка −8 м. Объясните, какие числа положительные и отрицательные, какое значение ближе к нулю и чему равны модули −4 и −8». Затем просит завершить фразы: «Сегодня я понял…», «Теперь я умею…», «Мне нужно потренировать…». | Читают таблицу, отвечают: «−4 °C и −8 м — отрицательные, 2 °C и 350 м — положительные; −4 ближе к нулю, |−4| = 4, |−8| = 8». Заполняют устную рефлексию или стикер выхода. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно построена координатная прямая, правильно отмечены все числа, без ошибок найдены модули, выполнены сравнение и упорядочивание, приведены математические объяснения.
- «4» — выполнены все основные задания, допущена одна неточность в построении или одна вычислительная ошибка, правило сравнения сформулировано верно.
- «3» — правильно выполнена базовая часть: отмечены не менее трёх чисел и найдены не менее двух модулей, но допущены ошибки при сравнении отрицательных чисел или упорядочивании.
- Ниже «3» — не выполнены базовые действия или координатная прямая построена без начала отсчёта, единичного отрезка и направления; требуется индивидуальная отработка.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что показывает знак числа на координатной прямой? | Проверка понимания связи между знаком и расположением точки относительно нуля. |
Как объяснить значение модуля числа без вычислений? | Выявление понимания геометрического смысла модуля как расстояния до начала отсчёта. |
Какое правило помогло сравнить −6 и −2? | Диагностика освоения правила сравнения отрицательных чисел. |
Какое действие оказалось самым трудным и почему? | Выявление индивидуальных затруднений для последующей дифференциации. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы научились видеть за числом со знаком его положение на координатной прямой. Мы установили, что модуль — это расстояние до нуля, поэтому он не может быть отрицательным, а сравнение чисел определяется их расположением: правее — значит больше. Самая частая ошибка — считать, что −5 больше −2 только потому, что 5 больше 2; проверяйте себя по прямой. На следующем уроке мы будем использовать эту модель при сложении и вычитании положительных и отрицательных чисел».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4–5 заданий на построение координатной прямой, изображение положительных и отрицательных чисел, нахождение модуля и сравнение целых чисел; одно задание оформить с пояснением по модели. | Закрепляет базовый алгоритм; при проверке обратить внимание на начало отсчёта, равенство единичных отрезков, направление и знаки. |
Средний (повышающий) | Решить 4 задачи на упорядочивание целых чисел и применение модуля в контексте температуры, высоты, глубины или изменения баланса; составить к одной задаче координатную модель. | Развивает перенос знания в жизненную ситуацию; проверить правильность перевода текста в числа и обоснование порядка чисел. |
Продвинутый (дополнительный) | Создать мини-постер или цифровую схему «Числа со знаком вокруг нас»: привести не менее пяти примеров, изобразить их на координатной прямой и добавить два собственных утверждения с доказательством. | Развивает творческое мышление, моделирование и математическую аргументацию; проверить точность примеров, наличие нуля, масштаба и объяснений. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Где на координатной прямой расположено отрицательное число? Чему равен модуль числа −9? Какое число больше: −3 или −7? Почему? Как упорядочить числа −2, 0, 4 и −5 по возрастанию?»
