Площадь. Формула площади прямоугольника
Цели и задачи
- Цель: к концу урока учащиеся смогут вычислять площадь прямоугольника и квадрата по формулам, применять свойства площадей для решения практических задач и различать равные и равновеликие фигуры.
- Образовательная задача: вывести формулы S = ab и S = a², ввести понятие квадратного сантиметра и изучить основные свойства площадей.
- Развивающая задача: развивать логическое мышление через сравнение геометрических фигур и анализ способов измерения их площади.
- Воспитательная задача: формировать навыки сотрудничества при работе в парах и понимание практической значимости математики в архитектуре и быту.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к саморазвитию и осознанному выбору профиля обучения в будущем.
- Умение ясно и грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи.
- Понимание роли математики как фундамента для технологий и строительства.
Метапредметные
- Познавательные: умение выделять существенную информацию из текстов и иллюстраций учебника, устанавливать причинно-следственные связи.
- Регулятивные: способность ставить учебную задачу, планировать действия по алгоритму и проводить самопроверку по эталону.
- Коммуникативные: умение работать в паре, аргументировать свою позицию и слушать мнение партнёра.
Предметные
- Знать определения площади, равных и равновеликих фигур.
- Уметь применять формулы площади прямоугольника и квадрата для решения задач с разными единицами измерения.
- Владеть свойствами аддитивности площади (площадь целого равна сумме площадей его частей).
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Формирование устойчивого познавательного интереса к изучению геометрии.
- Развитие критичности мышления при оценке результатов вычислений.
Регулятивные УУД
- Самостоятельное формулирование цели урока.
- Контроль процесса и результатов деятельности (самопроверка).
Познавательные УУД
- Моделирование ситуации измерения площади с помощью единичных квадратов.
- Анализ объектов с целью выделения признаков (равенство фигур).
Коммуникативные УУД
- Организация учебного взаимодействия в парах.
- Адекватное использование речевых средств для дискуссии.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать карточки для работы в парах с изображениями фигур P, Q, R (на основе рис. 4.6 источника) — по 1 на парту.
- Подготовить демонстрационные модели: два равных бумажных прямоугольника разного цвета и один прямоугольник, разрезанный на части.
- Вывести на экран чертеж прямоугольника 3x6 см (рис. 4.2 из источника) для вывода формулы.
- Подготовить листы самооценки для каждого ученика.
- Проверить работу проектора и наличие мела/маркеров.
Ход урока
Этап 1. Мотивация и самоопределение (3 мин)
Цель этапа: создать эмоциональный настрой и включить учащихся в мыслительную деятельность через жизненный контекст.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Здравствуйте, ребята! Представьте, что вы — начинающие дизайнеры интерьера. Вам нужно заказать ламинат для комнаты, но вы не знаете, сколько его купить. Продавец спрашивает: 'Какова площадь вашей комнаты?'. А вы знаете только длину стен. Как нам быть? Сегодня мы научимся отвечать на такие вопросы не только в магазине, но и в архитектуре, географии и даже в искусстве. Готовы совершить открытие?" | Слушают учителя, настраиваются на работу. Высказывают предположения: "Нужно измерить пол", "Надо умножить стороны". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Итак, наша задача сегодня — понять, что такое площадь и как её быстро вычислить, не пересчитывая каждый сантиметр пола вручную."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить навыки быстрого счета и базовые геометрические понятия, необходимые для новой темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Для начала проведем математическую разминку. Посмотрите на экран (задание 4.55 из нашего источника). Давайте решим цепочки устно. 39 разделить на 3, прибавить 37, разделить на 5... Кто первый дойдет до знака вопроса?" Учитель опрашивает нескольких учеников по разным цепочкам. | Выполняют устные вычисления, поднимают руки. Отвечают: "В первой цепочке будет 55", "Во второй цепочке — 15". |
2 мин | "Вспомните, какие фигуры мы называем прямоугольниками? Чем квадрат отличается от прямоугольника? Молодцы. А теперь посмотрим на рисунок 4.1. Из чего состоит эта фигура?" | Отвечают: "У прямоугольника все углы прямые", "У квадрата все стороны равны". Глядя на рисунок, говорят: "Фигура состоит из маленьких квадратиков". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили свойства фигур и потренировались в счете. Теперь перейдем к главному вопросу: как измерить то, что находится внутри границ фигуры?"
Этап 3. Постановка проблемы и открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести формулу площади прямоугольника через разбиение на единичные квадраты.
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Посмотрите на рисунок 4.2. Перед нами прямоугольник со сторонами 3 см и 6 см. Если мы разобьем его на квадраты со стороной 1 см, как показано на рисунке, сколько таких квадратов получится? Давайте посчитаем столбики и ряды. Сколько квадратов в одном столбике? А сколько всего столбиков?" | Считают по рисунку: "В одном столбике 6 квадратов, а всего таких столбиков 3. Значит, 6 умножить на 3 — будет 18 квадратов". |
3 мин | "Верно! Площадь одного такого квадрата мы будем называть квадратным сантиметром и записывать как 1 см². Значит, площадь нашего прямоугольника — 18 см². Обратите внимание: мы умножили 3 на 6. Что это за числа для прямоугольника? Сформулируйте правило: как найти площадь, зная измерения?" | Формулируют правило: "Чтобы найти площадь прямоугольника, надо перемножить два его измерения — длину и ширину". Записывают в тетрадь формулу S = ab. |
3 мин | "А теперь подумайте: если у квадрата все стороны равны и мы обозначим сторону буквой 'a', как будет выглядеть формула его площади? Посмотрите в учебник, как называют запись a²?" | Делают вывод: "S = a · a, или S = a²". Отвечают: "Запись a² называют квадратом числа a". |
Запись в тетрадях
Тема: Площадь прямоугольника.
1 см² — площадь квадрата со стороной 1 см.
S = a · b — площадь прямоугольника.
S = a² — площадь квадрата.
1 см² — площадь квадрата со стороной 1 см.
S = a · b — площадь прямоугольника.
S = a² — площадь квадрата.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вывели формулы. Теперь мы можем быстро считать площади, просто измерив стороны линейкой. Но у площади есть и другие интересные свойства."
Этап 4. Первичное закрепление и работа со свойствами (7 мин)
Цель этапа: изучить свойства равенства и аддитивности площадей.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Возьмите две фигуры А и В с рисунка 4.5. Если я наложу их друг на друга, и они совпадут, что мы можем сказать об их площадях? Прочитайте первое свойство в учебнике. А теперь посмотрите на рисунок 4.3. Линия разбивает прямоугольник на две части. Чему равна общая площадь?" | Отвечают: "Если фигуры равны, то их площади тоже равны". Читают второе свойство: "Площадь фигуры равна сумме площадей её частей". Считают: 8 + 10 = 18 см². |
4 мин | "Давайте решим задачу 4.41. Посмотрите на фигуры P, Q и R на рисунке 4.6. Сторона клетки — 1 дм. Посчитайте площадь каждой фигуры, просто считая клетки. Есть ли среди них фигуры с одинаковой площадью?" | Считают клетки: "P = 7 дм², Q = 7 дм², R = 7 дм²". Удивляются: "Они все разные по форме, но площадь у них одинаковая!" |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Такие фигуры называются равновеликими. Запомните: равные фигуры всегда имеют равные площади, но фигуры с равными площадями не всегда равны друг другу!"
Этап 5. Физкультминутка (2 мин)
Цель этапа: смена деятельности, снятие физического напряжения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Встали, ребята. Давайте 'начертим' фигуры в воздухе. Правой рукой рисуем в воздухе большой прямоугольник. Левой рукой — маленький квадрат. А теперь обеими руками рисуем круг (хотя мы его сегодня не изучали, но площадь у него тоже есть!). Потянулись вверх, как будто хотим измерить площадь потолка, и присели, коснувшись пола — измеряем площадь фундамента." | Выполняют упражнения, повторяя движения за учителем. |
Этап 6. Практическая работа в парах (10 мин)
Цель этапа: применение полученных знаний в совместной деятельности, развитие навыков измерения и вычисления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | "Работаем в парах. У вас на столах карточки с заданием 4.47. Длина прямоугольника CDOP равна 56 мм, а ширина в 4 раза меньше. Найдите: а) площадь этого прямоугольника; б) площадь треугольника, если его разрезать по диагонали (как на рис. 4.4). Обсудите план решения с соседом." | Обсуждают в парах. Сначала находят ширину: 56 : 4 = 14 мм. Затем площадь: 56 * 14. Для пункта 'б' вспоминают свойство из учебника: площадь треугольника будет равна половине площади прямоугольника. |
3 мин | "Давайте проверим результаты. Какой ответ в пункте 'а'? А в пункте 'б'? Как вы рассуждали при поиске площади треугольника?" | Одна пара представляет решение у доски, остальные сверяются. Ответ: а) 784 мм²; б) 392 мм². Объясняют: "Так как диагональ делит прямоугольник на два равных треугольника, их площади равны, значит, делим общую площадь на 2". |
Эталон решения
1) $b = 56 : 4 = 14$ (мм) — ширина.
2) $S_{rect} = 56 \cdot 14 = 784$ (мм²) — площадь прямоугольника.
3) $S_{tri} = 784 : 2 = 392$ (мм²) — площадь треугольника.
2) $S_{rect} = 56 \cdot 14 = 784$ (мм²) — площадь прямоугольника.
3) $S_{tri} = 784 : 2 = 392$ (мм²) — площадь треугольника.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы отлично справились с задачей! Обратите внимание, как знание свойств площади помогло нам найти площадь фигуры (треугольника), для которой мы еще не знаем специальной формулы."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (8 мин)
Цель этапа: подведение итогов урока, самооценка деятельности учащихся.
Критерии оценивания практической работы
- "5" — верно выполнены оба пункта задачи 4.47, вычисления точны, дано логическое обоснование площади треугольника.
- "4" — верно найдены ширина и площадь прямоугольника, но допущена ошибка в вычислении площади треугольника или в единицах измерения.
- "3" — верно найдена только ширина, или площадь прямоугольника найдена с арифметической ошибкой, работа выполнена не до конца.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что такое 1 см² и как он связан с площадью? | Проверка понимания единицы измерения площади. |
В чем разница между равными и равновеликими фигурами? | Выявление усвоения понятийных различий. |
Где в жизни вам пригодится умение вычислять площадь? | Осознание практической значимости темы (связь с жизнью). |
Какое задание вызвало наибольшее затруднение? | Диагностика проблемных зон для учителя. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы с вами сделали важное открытие: площадь — это не просто число, это характеристика пространства, которую можно вычислить с помощью логики и умножения. Мы научились экономить время, используя формулы S=ab и S=a². На следующем уроке мы узнаем, как измеряются огромные площади — такие как территории стран или океанов. Вы сегодня работали как настоящая команда инженеров. Спасибо за урок!"
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый | Вычислить площадь прямоугольника со сторонами 42 см и 49 см. Найти сторону квадрата, если его площадь 64 см². | Закрепление прямого применения формул S=ab и S=a². |
Средний | Решить задачу: ширина прямоугольника 12 см, что в 3 раза меньше длины. Найти площадь. Выяснить, являются ли равновеликими этот прямоугольник и квадрат со стороной 24 см. | Развитие навыка многоходовых задач и сравнения площадей. |
Продвинутый | Творческое задание: измерить дома площадь пола своей комнаты и рассчитать, сколько плиток размером 20х20 см понадобится, чтобы его закрыть. | Связь с реальностью (функциональная грамотность) и работа с разными единицами измерения. |
Контрольный вопрос: Если длину прямоугольника увеличить в 2 раза, а ширину не менять, как изменится его площадь? (Ответ: увеличится в 2 раза).
