Отношения, пропорции, масштаб и проценты
Цели и задачи
- Цель: к концу урока научиться применять отношения, пропорции, масштаб и проценты для решения вычислительных и практических задач из рабочего листа, объясняя выбор способа решения и выполняя проверку результата.
- Закрепить умение делить число в данном отношении и сокращать отношения, в том числе отношения десятичных дробей.
- Сформировать умение составлять и решать пропорции, используя основное свойство пропорции.
- Научиться находить процент от величины, величину по её проценту и выражать отношение в процентах.
- Развивать умение переводить расстояния по масштабу, анализировать условие практической задачи и оценивать разумность ответа.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность математических знаний при работе с картами, планами, покупками и распределением денежных средств.
- Проявляют познавательный интерес к поиску разных способов решения одной задачи.
- Формируют ответственное отношение к точности вычислений и проверке результата.
- Развивают готовность к сотрудничеству и доброжелательному обсуждению ошибок.
Метапредметные
- Извлекают данные из текста задачи, таблицы и математической записи.
- Планируют последовательность решения и выбирают подходящую модель: отношение, пропорцию, дробь или процент.
- Сравнивают полученный результат с условием и выполняют проверку обратным действием.
- Аргументируют решение в паре, формулируют вопросы и корректируют работу после взаимопроверки.
Предметные
- Знать смысл отношения двух чисел, масштаба, пропорции и процента.
- Уметь делить число в отношении 3:4 и 4:5, сокращать отношения и находить неизвестный член пропорции.
- Уметь решать задачи на масштаб, проценты, увеличение и уменьшение величины.
- Уметь выполнять действия с обыкновенными дробями, десятичными дробями и процентами, соблюдая порядок действий.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную значимость умения рассчитывать расстояния, скидки и доли величин.
- Осознают необходимость аккуратной записи промежуточных действий.
- Оценивают собственную готовность применять математические знания в бытовой ситуации.
- Проявляют настойчивость при поиске ошибки в вычислениях.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель работы и составляют план решения практической задачи.
- Работают по алгоритму нахождения процента, величины по проценту и неизвестного члена пропорции.
- Проверяют вычисления обратным действием или оценкой результата.
- Фиксируют затруднение и выбирают способ его исправления.
Познавательные УУД
- Сравнивают отношение, дробь и процент как способы описания части величины.
- Преобразуют единицы длины и проценты в удобную для решения форму.
- Строят математическую модель задачи на масштаб или пропорциональную зависимость.
- Анализируют порядок действий в выражениях рабочего листа и выделяют существенные данные.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру выбор действия и математической модели.
- Задают уточняющие вопросы по условию задачи.
- Сравнивают решения без оценивания личности одноклассника.
- Приходят к общему выводу и представляют его классу.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать рабочий лист с 25 заданиями — по одному экземпляру на каждого ученика.
- Подготовить карточки трёх уровней для самостоятельной работы: базовые, повышающие и практические — по одной на каждого ученика.
- Вывести на доску памятку: 1% = 0,01; p% от a = a · p/100; a по его p% = a : p · 100.
- Подготовить схему масштаба: 1:50 000 означает 1 см на плане — 50 000 см на местности.
- Подготовить карточки для взаимопроверки с ответами к заданиям №1, №3, №9, №11, №14 и №17.
- Подготовить маркеры, стикеры трёх цветов и таймер.
- Организовать работу с проектором или интерактивной доской; заранее вывести задания на масштаб и проценты.
- Разделить класс на пары и четыре малые группы по 4–5 человек.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учеников в практическую ситуацию и обозначить проблему урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и рабочего листа. Сегодня мы будем не просто считать, а решать задачи, которые встречаются на карте, плане комнаты, при покупке товара и распределении денег." | Проверяют готовность, кладут рабочий лист перед собой, записывают дату. |
2 мин | Учитель показывает на доске задачу: "На плане с масштабом 1:50 000 маршрут имеет длину 7,2 см. Как узнать его длину на местности? А если второй участок на 25% длиннее первого? Какие знания понадобятся?" Учитель фиксирует ответы без исправления. | В парах обсуждают 30 секунд и формулируют предположения: "Нужно умножить 7,2 на 50 000", "Нужно найти 25%", "Понадобится перевод сантиметров в километры". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы объединим несколько способов описания частей и величин: отношения, пропорции, масштаб и проценты. Наша задача — выбрать верный способ и объяснить каждый шаг."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить опорные вычислительные умения, необходимые для рабочего листа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём "Математическая разминка": "Вычислите: 2/5+0,7; 3,6:3/4; 7/8−0,25. Запишите промежуточные преобразования. Помните: десятичную дробь можно представить обыкновенной дробью." | Решают в тетради: 2/5+0,7=1,1; 3,6:3/4=4,8; 7/8−0,25=5/8. Сверяют ответы с соседом. |
2 мин | Учитель спрашивает: "Что означает отношение 18:24? Как его сократить? Как сократить отношение 1,2:0,8?" На доске записывает общий делитель и результат. | Отвечают: "Отношение показывает, во сколько раз одна величина соотносится с другой"; сокращают 18:24 до 3:4, 1,2:0,8 до 3:2. |
2 мин | Учитель предлагает устно найти: "25% от 160; 18% некоторого числа равны 36; отношение 3:5 выразите в процентах." Просит назвать не только ответ, но и способ. | Решают: 40; 200; 60%. Объясняют: 25%=1/4, число находят делением 36 на 0,18, отношение 3:5 — это 3/5=60%. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы повторили дроби, десятичные записи, отношения и проценты. Теперь выясним, как связать отношения в равенство и использовать эту связь для решения задач."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать алгоритм работы с пропорцией.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает: x:8=9:4 и спрашивает: "Как найти x? Можно ли рассуждать через отношение? Как проверить ответ?" Затем предлагает сравнить с задачей: 4 тетради стоят 96 рублей, сколько стоят 7 тетрадей? | Предлагают способы: "Найти цену одной тетради и умножить на 7"; "Составить пропорцию 4:7=96:x". Замечают, что нужно сохранить порядок величин. |
2 мин | Учитель формулирует проблемный вопрос: "Как по двум равным отношениям находить неизвестное и не нарушать смысл задачи?" После ответов сообщает цель: "Сегодня научимся распознавать пропорциональную зависимость и выбирать удобный способ решения." | Записывают тему и цель урока, называют шаги плана: определить величины, составить отношение или пропорцию, вычислить, проверить единицы и смысл ответа. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы определили, что одной формулы недостаточно: важно правильно составить отношение. Сейчас выведем правило, которое позволит уверенно находить неизвестный член пропорции."
Этап 4. Открытие нового знания (9 мин)
Цель этапа: вывести и применить основное свойство пропорции на задачах рабочего листа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает на доске: a:b=c:d и обращается к классу: "В пропорции произведение крайних членов равно произведению средних. Поэтому a·d=b·c. Рассмотрим x:8=9:4. Умножаем крест-накрест: 4x=72, значит x=18. Выполним проверку: 18:8=9:4." | Записывают правило, выделяют крайние и средние члены, решают x:8=9:4, проверяют подстановкой. |
3 мин | Учитель разбирает задание №1: "Разделите число 84 в отношении 3:4. Сначала найдите сумму частей: 3+4=7. Одна доля равна 84:7=12. Первая часть 12·3=36, вторая 12·4=48. Проверка: 36+48=84." | Записывают алгоритм, формулируют ответ: "Число 84 разделено на части 36 и 48". Объясняют, почему сначала складывают числа отношения. |
3 мин | Учитель возвращается к маршруту: "На плане 7,2 см, масштаб 1:50 000. На местности: 7,2·50 000=360 000 см=3 600 м=3,6 км. Второй участок на 25% длиннее: 3,6·1,25=4,5 км. Общая длина: 3,6+4,5=8,1 км. Почему нельзя оставить ответ в сантиметрах?" | Выписывают цепочку единиц, отвечают: "Потому что вопрос задан в километрах"; проверяют, что второй участок больше первого на 0,9 км, то есть на 25%. |
Запись в тетрадях
- a:b=c:d ⇒ a·d=b·c.
- Чтобы разделить число S в отношении m:n, находят одну долю S:(m+n), затем умножают её на m и n.
- p% от a = a·p/100; величина по её p% = часть: p·100.
- При масштабе 1:N длина на местности равна длине на плане, умноженной на N; затем выполняют перевод единиц.
Эталон решения: x:8=9:4; 4x=8·9; 4x=72; x=18. Проверка: 18:8=2,25 и 9:4=2,25. Задача о маршруте: 7,2·50 000=360 000 см=3,6 км; 3,6·25/100=0,9 км; второй участок 4,5 км; общий путь 8,1 км.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили четыре опоры: отношение, пропорцию, процент и масштаб. Теперь проверим их в коротких заданиях и научимся замечать типичные ошибки."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритмы на заданиях рабочего листа с проговариванием действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель организует приём "Подумай — обсуди в паре — поделись": "Выполните №8: сократите отношения 18:24, 35:49, 1,2:0,8. Сначала решите самостоятельно, затем сравните общий множитель и способ работы с десятичными дробями." | Решают: 3:4; 5:7; 3:2. Объясняют партнёру, что 1,2:0,8 заменяют отношением 12:8. |
2 мин | Учитель предлагает №14: "Найдите неизвестное в пропорциях x:8=9:4, 6:x=3:5, 11:22=x:6. Не забывайте записывать равенство произведений." | Решают и сверяют: x=18; x=10; x=3. Отмечают в карточке место, где применили основное свойство пропорции. |
2 мин | Учитель проводит взаимопроверку: "Обменяйтесь тетрадями. За каждый верный ответ поставьте точку, а рядом с ошибкой напишите короткое пожелание: ‘Проверь порядок членов’ или ‘Проверь перевод единиц’." | Проверяют три ответа по эталону на доске, записывают одну сильную сторону и один совет партнёру. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В парной работе вы увидели, что ошибка чаще возникает не в умножении, а при составлении отношения. Теперь каждый проверит, умеет ли самостоятельно выбрать способ решения."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное понимание материала и применить знания в практических задачах.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель предлагает выбор: "Выполните обязательные задания №9 и №11. Затем выберите одно из заданий №13, №17 или №21. Записывайте формулу, вычисления и ответ с единицами." | Записывают номера выбранных заданий и планируют порядок работы. |
6 мин | Учитель напоминает алгоритмы: "В №9 найдите 40% от 30; в №11 восстановите число по его 18%; в №13 сначала найдите сумму скидки, затем вычтите её из цены; в №17 внимательно переведите сантиметры плана в метры; в №21 найдите сумму частей отношения 4:5." Учитель наблюдает и адресно задаёт вопросы, не сообщая ответ. | Решают индивидуально: №9 — 12 учеников; №11 — 200; №13 — 2040 рублей; №17 — 5 м и 3 м; №21 — 2400 и 3000 рублей. |
3 мин | Учитель выводит эталоны: "Для №9: 30·0,4=12. Для №11: 36:0,18=200. Для №13: 2400·0,15=360; 2400−360=2040. Для №17: 5·100 см=500 см=5 м; 3·100 см=300 см=3 м. Для №21 одна часть 5400:9=600; 4 части — 2400, 5 частей — 3000." | Сверяют решения, ставят отметку по критериям, исправляют ошибки другим цветом и формулируют причину ошибки. |
Эталон решения
Для задания №5: длина маршрута на местности 7,2·25 000=180 000 см=1800 м. В первый день пройдено 1800·0,4=720 м, осталось 1080 м. Во второй день пройдено 1080·3/5=648 м. Осталось 1080−648=432 м.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что один и тот же процент можно находить как дробью, так и умножением на десятичную запись. Перед итоговой рефлексией применим знания в смешанном выражении и проверим порядок действий."
Этап 7. Включение в систему знаний и рефлексия (6 мин)
Цель этапа: обобщить способы решения, проверить понимание и зафиксировать дальнейшую учебную задачу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает задание №3: "Вычислите общую длину маршрута по плану: масштаб 1:50 000, первый участок 7,2 см, второй на 25% длиннее. Составьте краткую схему решения и назовите единицы после каждого шага." | В группах называют последовательность: план — местность — километры — 25% — сумма; получают 8,1 км. |
2 мин | Учитель задаёт вопросы приёма "Светофор": "Зелёная карточка — могу решить; жёлтая — путаю один шаг; красная — нужна помощь. Что означает запись 1:200 000? Как найти 75% от 80? Как найти число, если 20% равны 18?" | Поднимают карточки, отвечают: "1 см — 200 000 см"; "80·0,75=60"; "18:0,2=90". |
1 мин | Учитель проводит "Билет на выход": "Запишите одно правило, которое сегодня стало понятнее, и одну ошибку, которую вы теперь умеете проверять." | Пишут два предложения и сдают листочки при выходе. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы научились переводить жизненную ситуацию на язык отношений, пропорций и процентов. Проверьте домашнее задание по своему уровню и выберите задание, в котором сможете показать не только ответ, но и грамотное объяснение."
Критерии оценивания практической работы
- "5" — верно выполнены обязательные задания и выбранная практическая задача, записаны формулы и промежуточные действия, единицы переведены правильно, выполнена проверка результата.
- "4" — верно выполнены основные вычисления, но допущена одна неточность в записи, единицах или проверке, не повлиявшая на общий способ решения.
- "3" — правильно выполнена хотя бы часть базовых заданий, понятен способ нахождения процента или решения пропорции, но есть две и более вычислительные ошибки.
- Ниже минимального уровня — решение требует индивидуальной доработки по алгоритму, указанному в рабочем листе.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что сегодня помогло решить задачу на масштаб? | Выявление понимания связи между длиной на плане, масштабом и единицами измерения. |
Как найти величину по известному проценту? | Проверка освоения обратной задачи на проценты. |
Где в пропорции чаще всего возникает ошибка? | Выявление затруднений при расположении членов и применении основного свойства. |
Какое задание рабочего листа ты готов решить самостоятельно? | Субъективная оценка уровня освоения и планирование дальнейшей помощи. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы увидели, что отношения, пропорции, масштаб и проценты связаны между собой и помогают решать реальные задачи. Особенно важно не только выполнить вычисление, но и проверить единицы, порядок действий и разумность ответа. Типичная ошибка — перепутать величину с её процентом или неправильно перевести сантиметры в метры и километры. На следующем уроке мы продолжим решать практические задачи и сравним несколько способов их оформления."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания рабочего листа: одно на сокращение отношения, одно на пропорцию, одно на нахождение процента от числа и одно на нахождение числа по его проценту. Записать решения полностью. | Закрепить базовые алгоритмы; при проверке смотреть на запись формулы, порядок действий и ответ. |
Средний (повышающий) | Решить 3 практические задачи: на деление 5400 рублей в отношении 4:5, на план комнаты с масштабом 1:100 и на скидку или увеличение цены на 12–15%. | Научиться выбирать математическую модель и правильно переводить единицы; проверить соответствие ответа условию. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить собственную задачу, объединяющую масштаб и проценты, по образцу маршрута: указать условие, решение в 4–6 действий и проверку результата. | Развивать умение создавать математическую модель, объяснять ход решения и оценивать разумность ответа. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: "Что означает масштаб 1:50 000? Как разделить число в отношении 3:4? Как найти 25% от 160? Как восстановить число, если 18% равны 36? Как проверить найденный член пропорции?"
