Умножение обыкновенных дробей: открытие правила и его применение
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока учащиеся самостоятельно сформулируют правило умножения обыкновенных дробей и решат не менее четырёх из пяти предложенных приме ров, включая одну практическую задачу.
- Закрепить понимание числителя, знаменателя, сокращения дробей и основного свойства дроби как опоры для нового действия.
- Вывести и применить алгоритм умножения обыкновенных дробей, в том числе с предварительным сокращением множителей.
- Развивать умение анализировать математическую модель жизненной ситуации, выбирать порядок действий и проверять результат.
- Воспитывать ответственность за общий результат, готовность аргументировать решение и корректно обсуждать ответы одноклассников.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют учебную мотивацию через решение практической задачи о части величины.
- Осознают ценность аккуратной записи и проверки вычислений.
- Принимают необходимость сотрудничества и доброжелательного отношения к ошибкам одноклассников.
- Оценивают собственную готовность применять правило умножения дробей в новых ситуациях.
Метапредметные
- Формулируют учебную проблему и планируют действия для её решения.
- Извлекают информацию из условия задачи, таблицы и математической записи.
- Сравнивают способы вычисления, находят ошибку и обосновывают более рациональный способ.
- Работают в паре, задают уточняющие вопросы и представляют общий вывод.
- Осуществляют самопроверку по эталону и корректируют решение.
Предметные
- Знать правило умножения обыкновенных дробей.
- Уметь умножать дробь на дробь, натуральное число и смешанное число.
- Уметь выполнять предварительное сокращение числителя одного множителя со знаменателем другого.
- Уметь решать текстовые задачи на нахождение дроби от числа.
- Владеть навыком проверки порядка величины и правильности полученного ответа.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения действия с дробями через связь с измерениями, рецептами и долями величин.
- Проявляют готовность преодолевать затруднение вместо отказа от выполнения задания.
- Оценивают собственный вклад в работу пары или команды.
- Соблюдают математическую культуру записи и взаимного общения.
Регулятивные УУД
- Принимают и сохраняют цель урока, сформулированную на основе проблемной ситуации.
- Планируют последовательность: понять условие, записать действие, вычислить, сократить, проверить.
- Контролируют соответствие решения правилу и условию задачи.
- Находят и исправляют вычислительную ошибку.
- Оценивают результат по предложенным критериям и формулируют следующий шаг.
Познавательные УУД
- Анализируют связь между нахождением части от числа и умножением дробей.
- Строят математическую модель практической ситуации.
- Выделяют существенные признаки алгоритма умножения дробей.
- Используют основное свойство дроби для сокращения результата.
- Сравнивают вычисление с предварительным сокращением и без него.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре или мини-группе и согласуют общий ответ.
- Формулируют объяснение с использованием математических терминов.
- Задают вопросы: «Почему можно сократить?», «На каком шаге появилась эта дробь?».
- Аргументированно принимают или опровергают решение одноклассника.
- Соблюдают правила математической дискуссии.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с изображением прямоугольника, разделённого на равные части, и выделенными долями.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: зелёные — базовые, жёлтые — повышенные, красные — творческие; по одной карточке на каждого ученика.
- Подготовить карточки с дробями для игровой эстафеты: $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{5}{6}$, $\frac{7}{8}$ и натуральные множители.
- Вывести на доску памятку: «1. Перемножить числители. 2. Перемножить знаменатели. 3. Сократить. 4. Выделить целую часть. 5. Оценить ответ».
- Распечатать лист самооценки и билет на выход — по одному экземпляру на каждого ученика.
- Подготовить таймер на 3 минуты для парной игры и цветные маркеры для фиксации решений.
- Организовать проектор или интерактивную доску; при их отсутствии подготовить крупные плакаты с моделями дробей.
- Разложить на парты тетради, ручки и наборы карточек; предусмотреть несколько карточек с подсказкой для учащихся, которым нужна поддержка.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практический смысл нахождения дроби от дроби.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и линейки. Сегодня мы будем не просто выполнять примеры, а откроем новое правило как исследователи. На доске вы видите изображение шоколадной плитки: сначала от плитки взяли $\frac{2}{3}$, а затем от этой части — $\frac{3}{4}$. Как узнать, какую часть всей плитки получили?» | Проверяют готовность, рассматривают модель, выдвигают предположения: «Нужно найти часть от части», «Наверное, понадобится умножение». |
2 мин | «Запишите тему урока: “Умножение обыкновенных дробей”. Пока не записываем готовое правило. Наша задача — вывести его самим, опираясь на уже известные знания о дробях, сокращении и нахождении части от числа». | Записывают тему и формулируют предварительную цель: «Понять, как умножать две дроби и применять это в задачах». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели ситуацию “часть от части”. Чтобы решить её уверенно, сначала вспомним, что уже умеем делать с обыкновенными дробями, а затем найдём новый способ вычисления».»
Этап 2. Актуализация знаний. Игровая разминка «Математический светофор» (6 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия числителя и знаменателя, сокращение дробей, приведение к общему знаменателю и нахождение дроби от числа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Показываю три утверждения. Поднимите зелёную карточку, если утверждение верно, красную — если неверно, жёлтую — если требуется уточнение. Первое: в дроби $\frac{5}{8}$ число 8 показывает, на сколько равных частей разделили целое. Второе: дробь $\frac{6}{9}$ нельзя сократить. Третье: чтобы сложить дроби с разными знаменателями, достаточно сложить их числители». | Поднимают карточки и объясняют: «Первое верно», «Второе неверно, дробь сокращается на 3», «Третье неверно, сначала нужен общий знаменатель». |
2 мин | «Решите устно: сократите $\frac{12}{18}$; сравните $\frac{3}{5}$ и $\frac{4}{5}$; представьте смешанное число $2\frac{1}{3}$ в виде неправильной дроби. Обсудите ответы с соседом и приготовьте объяснение одного задания». | В парах получают ответы: $\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$; $\frac{3}{5}<\frac{4}{5}$; $2\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$. Объясняют использованные правила. |
2 мин | «Последнее задание связано с нашей проблемой. Найдите $\frac{3}{4}$ от 20. Сначала назовите известный вам способ. Что изменится, если вместо 20 будет дробь $\frac{2}{3}$?» | Решают $20:4\cdot3=15$, формулируют затруднение: «Мы знаем, как найти дробь от натурального числа, но ещё не знаем, как найти дробь от дроби». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили сокращение, сравнение и нахождение части от числа. Теперь точно видим место затруднения: нужно научиться находить часть не только от натурального числа, но и от другой дроби».»
Этап 3. Постановка проблемы и построение проекта выхода (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную проблему, цель и план исследования.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Вернёмся к шоколадной плитке. От целого взяли $\frac{2}{3}$, а от полученной части — $\frac{3}{4}$. Как можно представить задачу рисунком? Что будет первым действием, а что вторым? Запишите гипотезу: возможно, результат можно получить умножением числителей и знаменателей». | Предлагают разделить прямоугольник на трети, затем каждую треть — на четыре части. Формулируют: «Получится часть, равная $\frac{6}{12}$, то есть $\frac{1}{2}$». Записывают гипотезу. |
2 мин | «Составим план открытия: сначала построим модель, затем сравним её с вычислением, сформулируем правило, проверим его на примерах и применим в задаче. Какие знания понадобятся? Назовите их». | Называют: «Сокращение дробей», «умножение натуральных чисел», «основное свойство дроби», «проверка результата». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Проблема поставлена, план есть. Теперь работаем как исследовательские группы: модель поможет нам понять, почему правило выглядит именно так».»
Этап 4. Открытие нового знания. Работа в парах «Математическая лаборатория» (9 мин)
Цель этапа: вывести правило умножения обыкновенных дробей через наглядную модель и серию примеров.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «На экране прямоугольник разделён на 3 равные вертикальные части. Выделены 2 части. Теперь каждую из них разделим на 4 равные горизонтальные полосы и выделим 3 полосы из каждой выбранной части. На сколько всего равных частей разделён прямоугольник? Сколько из них выделено? Запишите полученную дробь и сократите её». | Рассматривают модель, называют 12 равных частей и 6 выделенных частей, записывают $\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$. |
3 мин | «Сравним модель с записью: $\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}=\frac{2\cdot3}{3\cdot4}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$. Что произошло с числителями? Что произошло со знаменателями? Почему результат нужно сократить?» | Формулируют: «Числители перемножили между собой, знаменатели — между собой. Сокращение даёт более простой вид дроби». |
3 мин | «Запишем правило в рамке: чтобы умножить дробь на дробь, нужно числитель первой дроби умножить на числитель второй, знаменатель первой — на знаменатель второй. Получившуюся дробь сократить, если это возможно. До умножения полезно сокращать общий множитель числителя одной дроби и знаменателя другой». Учитель показывает пример $\frac{4}{15}\cdot\frac{25}{8}$ и выполняет сокращение крест-накрест. | Записывают правило и решают по шагам: $\frac{4}{15}\cdot\frac{25}{8}=\frac{1}{3}\cdot\frac{5}{2}=\frac{5}{6}$. Объясняют сокращение 4 и 8, 25 и 15. |
Запись в тетрадях
Записать алгоритм: 1) разложить смешанные числа в неправильные дроби, если они есть; 2) выполнить предварительное сокращение; 3) перемножить числители и знаменатели; 4) сократить результат; 5) выделить целую часть неправильной дроби; 6) оценить ответ.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вывели правило не по памяти, а из модели “часть от части”. Сейчас проверим его на коротких примерах и научимся замечать удобное сокращение ещё до умножения».»
Этап 5. Первичное закрепление. Игровая эстафета «Передай множитель» (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм умножения дробей и предварительного сокращения в совместной практической деятельности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Каждая пара получает карточку. Первый участник выполняет предварительное сокращение, второй перемножает оставшиеся числа, затем пара вместе проверяет ответ. Через две минуты карточка передаётся соседней паре. Работайте аккуратно: сокращать можно только множитель числителя с множителем знаменателя». | В парах решают $\frac{2}{7}\cdot\frac{14}{15}$ и $\frac{5}{12}\cdot\frac{18}{25}$, распределяют роли и записывают каждый шаг. |
3 мин | «Проверим решения на доске. Для первого примера спросим: какой общий множитель можно сократить? Для второго: можно ли сократить до перемножения? Объясняйте не только ответ, но и действие». | Представители пар записывают: $\frac{2}{7}\cdot\frac{14}{15}=\frac{2}{7}\cdot\frac{2}{15}=\frac{4}{15}$; $\frac{5}{12}\cdot\frac{18}{25}=\frac{1}{12}\cdot\frac{18}{5}=\frac{3}{10}$. Класс сверяет решения. |
2 мин | «Мини-игра “Найди ошибку”. На доске решение: $\frac{3}{8}\cdot\frac{4}{9}=\frac{12}{72}=\frac{1}{6}$. Один ученик утверждает, что получил $\frac{1}{6}$, другой — $\frac{1}{2}$. Кто прав? Покажите ошибку или подтвердите решение». | Проверяют: $\frac{3}{8}\cdot\frac{4}{9}=\frac{12}{72}=\frac{1}{6}$. Объясняют, что сокращать 3 и 9, 4 и 8 можно заранее, но результат остаётся $\frac{1}{6}$. |
Эталон решения
$\frac{3}{8}\cdot\frac{4}{9}=\frac{3\cdot4}{8\cdot9}=\frac{12}{72}$. Делим числитель и знаменатель на 12: $\frac{12}{72}=\frac{1}{6}$. При предварительном сокращении: $\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$ и $\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$, поэтому $\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Алгоритм работает, а предварительное сокращение делает вычисления короче и надёжнее. Теперь каждый проверит себя индивидуально, выбрав посильный уровень и выполнив задания без подсказки товарища».»
Этап 6. Самостоятельная работа с дифференциацией (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение правила и умение применять его в задаче.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Выберите карточку по цвету. Зелёная — обязательный минимум, жёлтая — повышенный уровень, красная — дополнительное исследовательское задание. Можно начать с зелёной, а затем перейти выше. В каждой записи должны быть видны сокращение, умножение и ответ». | Выбирают уровень, подписывают карточку и готовят рабочее место. |
6 мин | «Работайте индивидуально. На зелёной карточке: вычислите $\frac{3}{5}\cdot\frac{10}{21}$, $\frac{7}{8}\cdot\frac{4}{7}$ и найдите $\frac{2}{9}$ от 27. На жёлтой: вычислите $\frac{15}{28}\cdot\frac{14}{25}$, $2\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{7}$ и решите задачу: “Для компота взяли $\frac{3}{4}$ имеющихся ягод, а $\frac{2}{5}$ этой порции составила малина. Какую часть всех ягод составила малина?” На красной: составьте два разных примера умножения дробей с результатом $\frac{3}{8}$ и объясните, почему они верны». | Самостоятельно решают задания выбранного уровня. Для задачи составляют модель $\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{5}$. Сильные учащиеся составляют собственные примеры и проверяют их обратным действием или сокращением. |
3 мин | «Откройте на экране эталон. Проверьте каждый шаг, поставьте знак “+” рядом с верным действием, а ошибку исправьте другим цветом. Не стирайте неверный вариант: важно увидеть, на каком шаге возникло затруднение». | Сверяют ответы: $\frac{3}{5}\cdot\frac{10}{21}=\frac{2}{7}$; $\frac{7}{8}\cdot\frac{4}{7}=\frac{1}{2}$; $\frac{2}{9}$ от 27 равна 6; $\frac{15}{28}\cdot\frac{14}{25}=\frac{3}{10}$; $2\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{7}=1$; задача: $\frac{3}{10}$. Отмечают место ошибки и уровень выполнения. |
Эталон решения
Для задачи: сначала берём $\frac{3}{4}$ всех ягод, затем $\frac{2}{5}$ от этой части. Поэтому $\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{5}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$. Ответ: малина составила $\frac{3}{10}$ всех ягод.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, что правило уже можно применять без пошаговой подсказки. Осталось связать новый алгоритм с ранее изученными действиями и проверить, умеем ли мы объяснять смысл результата».»
Этап 7. Включение в систему знаний и рефлексия (6 мин)
Цель этапа: обобщить новый способ, соотнести его с изученными действиями и осознать индивидуальный результат.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Составим на доске кластер “Действия с дробями”. В центре — обыкновенная дробь. Какие действия мы уже умеем выполнять? Как умножение отличается от сложения и вычитания дробей?» | Называют: «Сокращение, сравнение, сложение, вычитание, умножение». Формулируют: «При умножении общий знаменатель не нужен; числители и знаменатели перемножаются». |
2 мин | «Заполните лист самооценки: “Я могу объяснить правило”; “Я умею сокращать до умножения”; “Я могу найти дробь от дроби”; “Мне нужно повторить…”. Поставьте зелёный, жёлтый или красный знак напротив каждого пункта». | Заполняют лист самооценки, отмечают сильные стороны и конкретное затруднение. |
2 мин | «Билет на выход: ответьте письменно на два вопроса: 1) Как вычислить . $\frac{5}{6}\cdot\frac{9}{10}$ рациональным способом? 2) Почему при умножении дробей не требуется приводить их к общему знаменателю?» | Пишут: $\frac{5}{6}\cdot\frac{9}{10}=\frac{3}{4}$; объясняют, что общий знаменатель нужен для сложения и вычитания, а при умножении перемножаются числители и знаменатели. Сдают билеты при выходе. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня вы сами открыли правило умножения дробей, проверили его на модели, примерах и задаче. Важно не только получить ответ, но и показать сокращение и объяснить смысл действия».»
Критерии оценивания практической работы
- «5» — правильно выполнены все задания выбранной карточки, предварительное сокращение и дальнейшие действия записаны последовательно, текстовая задача решена с пояснением, ответ проверен.
- «4» — правильно выполнено не менее 80% заданий, допущена одна вычислительная ошибка или недостаточно подробно оформлено пояснение к задаче.
- «3» — правильно выполнено не менее половины заданий обязательного уровня, правило в целом применено верно, но есть ошибки в сокращении, умножении или оформлении.
- Ниже базового уровня — учитель фиксирует конкретное затруднение и предлагает повторно выполнить два аналогичных примера с опорой на памятку.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового правила вы сегодня вывели и как его сформулировали? | Проверка осознания алгоритма, а не механического запоминания записи. |
На каком шаге решения вы чувствовали наибольшую уверенность, а на каком возникло затруднение? | Выявление точки затруднения: сокращение, умножение, перевод смешанного числа или работа с условием. |
Почему при умножении дробей не нужно приводить их к общему знаменателю? | Проверка понимания различия между умножением и сложением дробей. |
Какой пример из жизни можно описать умножением дробей? | Перенос математического правила в практический контекст и развитие функциональной грамотности. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня вы сами открыли правило умножения обыкновенных дробей и увидели его смысл как нахождение части от части. Запомните: при умножении общий знаменатель не нужен, но сокращение до умножения помогает избежать больших чисел и ошибок. Особенно внимательно проверяйте перевод смешанного числа в неправильную дробь. На следующем уроке мы продолжим применять действия с дробями в более сложных выражениях и текстовых задачах».»
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 5 примеров на умножение обыкновенных дробей: два без сокращения, два с предварительным сокращением и один пример с переводом смешанного числа в неправильную дробь. | Закрепляет алгоритм; при проверке смотреть на порядок действий, сокращение и окончательный вид ответа. |
Средний (повышающий) | Решить 3 текстовые задачи на нахождение дроби от числа или дроби от дроби, составив краткую запись, выражение и ответ. | Формирует умение переводить жизненную ситуацию в математическую модель; проверять смысл и величину результата. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить две собственные задачи: одну на умножение двух дробей, вторую — на умножение смешанных чисел; к каждой записать решение и кратко объяснить выбор действия. | Развивает создание математического текста, аргументацию и перенос правила в новую ситуацию. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Как перемножить две обыкновенные дроби? Когда удобно выполнять предварительное сокращение? Нужен ли общий знаменатель при умножении? Как найти дробь от дроби? Что необходимо сделать со смешанным числом перед умножением?»
