Делимость суммы и произведения натуральных чисел
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться применять признаки делимости суммы и произведения натуральных чисел на 2, 3, 5 и 10, объясняя выбор правила и решая не менее четырёх из пяти предложенных заданий.
- Сформировать понимание того, при каких условиях сумма или произведение делится на заданное число без выполнения полного деления.
- Научить применять свойства делимости при решении учебных и практических задач, в том числе при проверке утверждений.
- Развивать умение рассуждать, сравнивать способы решения, работать в паре и аргументировать ответ.
- Воспитывать ответственность за общий результат команды, интерес к математическим закономерностям и готовность проверять собственное решение.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к поиску математических закономерностей через игровое соревнование.
- Осознают ценность точного рассуждения и проверки ответа перед его предъявлением.
- Принимают правила сотрудничества, честного соревнования и распределения ролей в группе.
- Оценивают собственный вклад в работу пары или команды и определяют личную зону затруднения.
Метапредметные
- Извлекают информацию из условия, таблицы и карточки с заданиями.
- Сравнивают способы проверки делимости суммы и произведения и выделяют существенные признаки.
- Планируют последовательность решения, осуществляют самопроверку по эталону и исправляют ошибки.
- Формулируют объяснение полного ответа, слушают партнёра и аргументированно оценивают утверждение.
Предметные
- Знать свойства: если каждое слагаемое делится на число, то и сумма делится на это число; если хотя бы один множитель произведения делится на число, то и произведение делится на это число.
- Понимать, что для доказательства делимости суммы достаточно установить делимость всех слагаемых, а для произведения — одного множителя.
- Уметь определять делимость чисел на 2, 3, 5 и 10 по известным признакам.
- Уметь применять свойства делимости в выражениях и объяснять ход рассуждения.
- Уметь находить ошибку в рассуждении о делимости и составлять собственный пример.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную цель: научиться быстро проверять делимость выражений.
- Проявляют готовность преодолевать затруднение через обсуждение и повторную попытку.
- Соблюдают правила доброжелательного математического спора.
- Осознают связь математических правил с практической проверкой количества предметов и упаковок.
Регулятивные УУД
- Принимают и сохраняют цель урока, сформулированную на основе игровой проблемной ситуации.
- Планируют алгоритм проверки: определить вид выражения, выбрать признак, сформулировать вывод.
- Сверяют решение с эталоном и находят причину ошибки.
- Оценивают результат по критериям и выбирают уровень домашнего задания.
Познавательные УУД
- Анализируют состав суммы и произведения, выделяют слагаемые и множители.
- Устанавливают причинно-следственную связь между делимостью частей выражения и делимостью результата.
- Моделируют рассуждение короткой схемой и математической записью.
- Создают примеры и контрпримеры к утверждениям о делимости.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в команде: чтец, вычислитель, проверяющий, докладчик.
- Задают уточняющие вопросы и формулируют аргументированный ответ.
- Согласуют общий вариант решения и представляют его классу.
- Корректно указывают на ошибку партнёра и предлагают способ исправления.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или записи на доске: признаки делимости на 2, 3, 5 и 10, а также две схемы свойств суммы и произведения.
- Распечатать по одной игровой карте на каждую команду из 4 человек: задания трёх раундов «Разминка», «Детектив», «Конструктор».
- Подготовить по одному набору карточек с числами и знаками делимости на каждую пару.
- Распечатать лист самооценки на каждого ученика и эталон самостоятельной работы по одному экземпляру на парту.
- Подготовить жетоны или магнитные баллы для команд, таймер и цветные маркеры.
- Разделить класс на команды по 4 человека, заранее обозначить рабочие места и роли.
- Вывесить на доску критерии: правильность, объяснение правила, совместная работа, аккуратная запись.
- Подготовить слайд с практической ситуацией: «Можно ли разложить 126 яблок поровну в коробки по 3 и по 5?».
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и игровая мотивация (4 мин)
Цель этапа: включить учащихся в совместную деятельность и создать проблемную ситуацию, требующую нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и говорит: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы станем командами математических детективов. На доске вы видите вопрос: можно ли быстро понять, разделится ли количество предметов поровну, не выполняя деление? Проверьте готовность: тетрадь, ручка, карточка команды и хорошее настроение должны быть на столе." | Проверяют принадлежности, объединяются в команды, выбирают роли и придумывают короткое название команды. |
3 мин | Учитель показывает на экране ситуацию: "На складе 126 яблок. Их хотят разложить поровну сначала в коробки по 3 яблока, а затем по 5 яблок. Не выполняйте деление столбиком. Поднимите зелёную карточку, если можете сразу дать ответ, и жёлтую, если нужно подумать. Объясните, по какому признаку вы рассуждали." | Поднимают карточки, обсуждают ситуацию в командах, предполагают: "На 3 разделится, потому что сумма цифр 1+2+6=9 делится на 3; на 5 не разделится, потому что число не оканчивается на 0 или 5". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы уже умеете проверять делимость отдельных чисел. Сегодня выясним, как эти знания помогают исследовать сумму и произведение, а затем проверим себя в командной игре."
Этап 2. Актуализация знаний. Игра «Сигнал» (6 мин)
Цель этапа: восстановить признаки делимости и подготовить их применение к выражениям.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель объясняет правила игры: "Я называю число, а вы одновременно показываете карточку с делителем 2, 3, 5 или 10, если число делится на него. После сигнала один представитель команды объясняет признак. Числа будут такие: 48, 75, 120, 134." | Показывают карточки 2, 3, 5 или 10 и объясняют: "48 делится на 2, потому что оканчивается на 8; 75 делится на 3 и 5; 120 делится на 2, 3, 5 и 10; 134 делится на 2". |
4 мин | Учитель раздаёт парам четыре карточки: «36+24», «45+18», «7·15», «14·22». "Определите, какие выражения делятся на 2, 3, 5 или 10. Пока не вычисляйте результат полностью: объясните выбор признака и выделите слагаемые или множители." | В парах подчёркивают слагаемые одной линией, множители двумя, заполняют таблицу делимости и формулируют: "36+24 делится на 3, потому что оба слагаемых делятся на 3; 7·15 делится на 5, потому что множитель 15 делится на 5". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили признаки делимости и увидели, что выражение можно исследовать по его частям. Теперь проверим, всегда ли такого наблюдения достаточно, и сформулируем точное правило."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать правила делимости суммы и произведения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске два утверждения: «12+15 делится на 3» и «4+5 делится на 3». "Сравните выражения. В первом случае оба слагаемых делятся на 3, а во втором — нет. Можно ли сделать одинаковый вывод? Что нужно проверить?" | Сравнивают выражения, вычисляют при необходимости и формулируют затруднение: "Нужно знать, делятся ли все слагаемые; одного слагаемого недостаточно". |
2 мин | Учитель показывает произведения $6\cdot 7$ и $4\cdot 8$. "В каком произведении можно доказать делимость на 2, не вычисляя результат? Сформулируйте цель урока одним предложением." | Обсуждают в парах и формулируют цель: "Научиться определять делимость суммы по всем слагаемым, а произведения — по одному подходящему множителю". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение найдено: для суммы и произведения действуют разные условия. Сейчас мы исследуем их на примерах и запишем правила, которыми будем пользоваться в игре и самостоятельной работе."
Этап 4. Открытие нового знания. Исследовательская игра «Математическая лаборатория» (9 мин)
Цель этапа: вывести и зафиксировать свойства делимости суммы и произведения натуральных чисел.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт командам карточки с парами выражений: $18+24$, $21+30$, $14+25$, $27+36$. "Сначала отметьте, на какие числа делится каждое слагаемое: на 2, 3, 5 или 10. Затем определите, делится ли сумма. Сравните случаи, когда оба слагаемых делятся на одно число, и случаи, когда только одно. Запишите наблюдение." | Распределяют примеры между участниками, проверяют делимость слагаемых, вычисляют суммы и формулируют наблюдение: "Если каждое слагаемое делится на число, то сумма делится на это число". |
3 мин | Учитель предлагает исследовать произведения: $6\cdot 25$, $14\cdot 9$, $7\cdot 11$, $12\cdot 15$. "Найдите в каждом произведении хотя бы один множитель, делящийся на 2, 3, 5 или 10. Можно ли сделать вывод о произведении до вычисления?" | Выделяют подходящий множитель и формулируют: "Если хотя бы один множитель произведения делится на число, то всё произведение делится на это число". |
2 мин | Учитель оформляет на доске «Шпаргалку-напоминание»: "$a$ и $b$ делятся на $d$ $\Rightarrow$ $a+b$ делится на $d$; $a$ или $b$ делится на $d$ $\Rightarrow$ $a\cdot b$ делится на $d$." "Перепишите правила и подчеркните слова «каждое» и «хотя бы один»." | Записывают правила в тетрадь, подчёркивают ключевые слова, задают вопросы и приводят собственные примеры: "$12+18$ делится на 3; $8\cdot 15$ делится на 5". |
Запись в тетрадях
1. Если каждое слагаемое суммы делится на $d$, то сумма делится на $d$.
2. Если хотя бы один множитель произведения делится на $d$, то произведение делится на $d$.
3. Для суммы проверяем все слагаемые, для произведения — достаточно найти один подходящий множитель.
2. Если хотя бы один множитель произведения делится на $d$, то произведение делится на $d$.
3. Для суммы проверяем все слагаемые, для произведения — достаточно найти один подходящий множитель.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Главное различие зафиксировано: в сумме нужно увидеть делимость каждого слагаемого, а в произведении — хотя бы одного множителя. Теперь проверим правила в коротком командном раунде и научимся объяснять решение полным ответом."
Этап 5. Первичное закрепление. Командная игра «Детективы делимости» (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм применения свойств делимости в выражениях.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель выдаёт каждой команде карточку раунда «Разминка»: «Определите без полного вычисления, делятся ли на 3 выражения $27+42$, $18+25$, $9\cdot 14$, $8\cdot 15$. Обязательно запишите причину». "За каждый правильный ответ команда получает жетон, ещё один жетон — за ясное объяснение." | Распределяют четыре выражения, записывают ответы и причины: "$27+42$ делится на 3, потому что оба слагаемых делятся на 3; $9\cdot14$ делится на 3, потому что множитель 9 делится на 3". |
3 мин | Учитель проводит раунд «Найди ошибку»: "Ученик рассуждал так: 18 делится на 3, значит сумма 18+25 делится на 3. Согласны ли вы? Другая запись: 7·12 делится на 3, потому что 12 делится на 3. Найдите ошибку или подтвердите рассуждение." | Обсуждают, поднимают сигнальные карточки и объясняют: "Первое рассуждение неверно: второе слагаемое 25 не делится на 3, а сумма 43 не делится на 3. Второе рассуждение верно". |
2 мин | Учитель предлагает финальный вопрос: "Составьте произведение двух натуральных чисел, которое точно делится на 10, и сумму двух чисел, каждое из которых делится на 5. Докладчик объясняет решение за 30 секунд." | Создают примеры, например "$4\cdot15$ и $20+35$", записывают их и объясняют, какое свойство использовали. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Команды показали, что умеют не только назвать ответ, но и доказать его. Теперь каждый самостоятельно проверит, умеет ли применять оба свойства без помощи команды."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритма и организовать коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней. "Выберите уровень по своей готовности. Уровень 1: определите делимость на 2, 3, 5 или 10 у выражений $16+28$, $35+40$, $7\cdot18$. Уровень 2: объясните, делится ли $24+33$ на 3 и делится ли $14\cdot25$ на 5. Уровень 3: найдите ошибку в утверждении «если сумма делится на 5, то каждое слагаемое делится на 5» и приведите контрпример." | Индивидуально решают выбранный вариант, записывают не только ответ, но и основание: название признака или свойство делимости. |
3 мин | Учитель открывает эталон на экране: «$16+28$ делится на 2, потому что оба слагаемых чётные; $14\cdot25$ делится на 5, потому что множитель 25 делится на 5». "Сверьте каждую строку, поставьте знак + рядом с верным ответом и исправьте одну ошибку полностью." | Сверяют работу с эталоном, исправляют ошибки, отмечают в листе самооценки: «умею самостоятельно», «нужна тренировка» или «нужна помощь». |
Эталон решения
$24+33$: оба слагаемых делятся на 3, так как сумма цифр 24 равна 6, а сумма цифр 33 равна 6. Следовательно, сумма делится на 3.
$14\cdot25$: множитель 25 делится на 5, поэтому произведение делится на 5. Полностью вычислять произведение не требуется.
Контрпример к неверному утверждению: $2+3=5$ делится на 5, но ни 2, ни 3 на 5 не делятся.
$14\cdot25$: множитель 25 делится на 5, поэтому произведение делится на 5. Полностью вычислять произведение не требуется.
Контрпример к неверному утверждению: $2+3=5$ делится на 5, но ни 2, ни 3 на 5 не делятся.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, какое правило уже стало уверенным, а какое ещё требует тренировки. Запомните: свойство суммы является достаточным условием, но обратное утверждение не всегда верно. Завершим урок рефлексией и проверим главный вопрос."
Этап 7. Рефлексия, подведение итогов и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: обобщить изученное, оценить достижение цели и определить дальнейший уровень работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель возвращается к проблеме: "На складе 126 яблок. Можно ли разложить их поровну по 3 и по 5? Объясните без деления столбиком. Затем закончите фразы: «Для суммы нужно проверить…», «Для произведения достаточно найти…»." | Отвечают: "На 3 можно, потому что 1+2+6=9 делится на 3; на 5 нельзя, потому что последняя цифра 6. Для суммы нужно проверить каждое слагаемое, для произведения — хотя бы один множитель". |
2 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если можете объяснить оба свойства; жёлтую — если уверенно решаете, но затрудняетесь объяснять; красную — если нужна совместная тренировка. Запишите на стикере один вопрос или один пример, который теперь умеете решать." | Показывают карточки, записывают на стикерах личный результат и прикрепляют их к доске в зоны «умею», «тренируюсь», «нужна помощь». |
2 мин | Учитель объявляет результаты игры и домашнее задание: "Сегодня победила команда, которая набрала больше жетонов, но математический успех каждого определяется не только скоростью, а правильным объяснением. Выберите уровень домашней работы, ориентируясь на лист самооценки. Перед выходом ответьте на контрольный вопрос: почему для произведения достаточно одного делящегося множителя?" | Слушают итог, фиксируют домашнее задание, устно отвечают: "Потому что произведение содержит этот множитель, а значит, может быть представлено как число, кратное делителю, умноженное на другой множитель". |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — правильно выполнены все задания выбранной карточки, для каждого ответа указано соответствующее свойство или признак, ошибка в контрпримере объяснена.
- «4» — правильно выполнено не менее 80% заданий, но в одном объяснении допущена неточность или пропущено обоснование.
- «3» — правильно выполнено не менее половины заданий, различие между свойствами суммы и произведения в целом понято, но требуется помощь при формулировке доказательства.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о делимости суммы и произведения? | Выявление осознания двух ключевых свойств урока. |
Какое слово помогает не ошибиться при проверке суммы, а какое — при проверке произведения? | Проверка понимания различия «каждое» и «хотя бы один». |
Какое задание оказалось самым сложным и почему? | Выявление точек затруднения в алгоритме рассуждения. |
Какой пример вы теперь сможете объяснить однокласснику? | Оценка переноса знания и готовности к аргументации. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились исследовать выражение по его частям, не выполняя лишних вычислений. Для суммы важно проверить каждое слагаемое, а для произведения достаточно найти хотя бы один множитель, делящийся на нужное число. Будьте внимательны: делимость суммы не означает автоматически делимость каждого слагаемого. На следующем уроке мы продолжим применять свойства делимости и научимся использовать их при разложении чисел на множители."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4–5 выражений на делимость суммы и произведения на 2, 3, 5 и 10; в каждом случае записать полное объяснение с названием свойства. | Закрепляет распознавание слагаемых и множителей; при проверке обратить внимание на правильный выбор свойства. |
Средний (повышающий) | Решить 5 заданий, в которых нужно определить делимость выражения без полного вычисления, и исправить 2 готовых ошибочных рассуждения. | Развивает применение правила и поиск ошибки; проверить наличие аргумента, а не только ответа. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить 3 собственных задания: пример суммы, делящейся на 3, пример произведения, делящегося на 10, и контрпример к утверждению «если сумма делится на число, то каждое слагаемое делится на него», затем дать решения. | Формирует умение создавать примеры и контрпримеры; проверить математическую корректность и ясность объяснения. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какое условие нужно для делимости суммы?», «Какое условие достаточно для делимости произведения?», «Почему выражение $2+3$ является контрпримером к обратному утверждению о сумме?»
