Наименьшее общее кратное натуральных чисел
Цели и задачи
- Цель: Сформировать понятие наименьшего общего кратного (НОК) и освоить алгоритм его нахождения через разложение на простые множители.
- Образовательная задача: научить находить НОК нескольких чисел разными способами и применять эти знания для решения практических задач.
- Развивающая задача: развивать логическое мышление, навыки анализа и сравнения при поиске оптимального способа решения.
- Воспитательная задача: воспитывать культуру математической речи и умение работать в сотрудничестве при обсуждении проблемных ситуаций.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению.
- Умение ясно, точно и грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи.
- Развитие навыков сотрудничества со взрослыми и сверстниками в разных социальных ситуациях.
Метапредметные
- Познавательные: умение выделять существенную информацию из текстов, строить логические рассуждения и делать выводы.
- Регулятивные: способность принимать и сохранять учебную задачу, планировать свои действия в соответствии с поставленной задачей.
- Коммуникативные: умение аргументировать свою позицию и координировать её с позициями партнёров в сотрудничестве.
Предметные
- Знать определение наименьшего общего кратного (НОК).
- Владеть алгоритмом нахождения НОК на основе разложения чисел на простые множители.
- Уметь находить НОК для чисел, одно из которых делится на другое, и для взаимно простых чисел.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Формирование познавательного интереса к изучению математики через решение жизненных задач.
Регулятивные УУД
- Оценивание правильности выполнения действия на уровне адекватной ретроспективной оценки.
Познавательные УУД
- Установление причинно-следственных связей, построение логической цепи рассуждений.
Коммуникативные УУД
- Умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать карточки для этапа актуализации (задания на нахождение НОД и простых множителей) — по 1 на парту.
- Подготовить на доске схему-алгоритм нахождения НОК с пропусками для заполнения детьми.
- Подготовить презентацию с задачей про Диму и Витю (цены пирожков: 45 р. и 60 р.).
- Распечатать листы самооценки для каждого ученика.
- Проверить работу проектора и ноутбука.
Ход урока
Этап 1. Мотивация и актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: создать эмоциональный настрой на работу и повторить опорные понятия (кратное, делитель, НОД).
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Здравствуйте, ребята! Сегодня мы продолжаем путешествие в мир делимости чисел. На прошлых уроках мы научились находить 'общий знаменатель' интересов чисел — НОД. А сегодня мы посмотрим на числа с другой стороны. Но сначала — разминка. Посмотрите на экран: назовите числа, кратные 15, но меньше 50. А теперь назовите все делители числа 24." | Ученики приветствуют учителя. Устно отвечают: "Числа, кратные 15: 15, 30, 45". Называют делители 24: "1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24". |
3 мин | "Молодцы. Теперь поработаем в парах с карточкой №1. Вам даны два числа: 45 и 60. Разложите их на простые множители и найдите их НОД. Вспомните, как мы это делали: выписывали общие множители." | Работают в парах. Записывают разложения: $45 = 3 \cdot 3 \cdot 5$, $60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$. Находят НОД: $3 \cdot 5 = 15$. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, как раскладывать числа на множители и искать их общие делители. Это умение нам сегодня очень пригодится для решения одной жизненной задачи."
Этап 2. Создание проблемной ситуации и постановка цели (5 мин)
Цель этапа: через практическую задачу выявить потребность в новом знании.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Послушайте задачу. Дима покупал пирожки с яблоками по 45 р., а Витя — с мясом по 60 р. Какую наименьшую сумму должен заплатить каждый мальчик, чтобы расходы ребят были одинаковыми? Подумайте, каким свойством должна обладать эта сумма по отношению к числам 45 и 60?" | Ученики обсуждают. Предполагают: "Сумма должна делиться и на 45, и на 60 без остатка". Формулируют: "Она должна быть кратной обоим числам". |
2 мин | "Верно. Такое число называют общим кратным. А так как нам нужна 'наименьшая сумма', то как мы назовем тему урока? Какую цель поставим?" | Отвечают: "Наименьшее общее кратное". Ставят цель: "Научиться находить наименьшее общее кратное для любых чисел". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Итак, цель ясна. Давайте попробуем решить задачу Димы и Вити методом перебора, а потом найдем более быстрый способ."
Этап 3. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: вывести алгоритм нахождения НОК через разложение на множители.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Давайте выпишем в тетрадь числа, кратные 45 и 60. Начнем с 45: 45, 90, 135, 180, 225... Теперь для 60: 60, 120, 180, 240... Какое число встретилось в обоих списках первым? Сколько пирожков купит Дима на 180 рублей? А Витя?" | Записывают ряды чисел. Находят первое общее: 180. Считают: "Дима купит $180 : 45 = 4$ пирожка, Витя $180 : 60 = 3$ пирожка". |
8 мин | "Метод перебора хорош для маленьких чисел. А если числа будут трехзначными? Давайте используем наши разложения из разминки. Посмотрите на доску: $45 = 3 \cdot 3 \cdot 5$, $60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$. Чтобы число делилось на 60, оно должно содержать все его множители. Выпишем их: $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$. Теперь посмотрим на разложение 45. Каких множителей из 45 не хватает в нашем списке, чтобы число делилось и на 45?" | Ученики анализируют: "В разложении 45 две тройки, а у нас выписана только одна. Значит, надо добавить еще одну тройку". Дописывают: $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 3$. Считают результат: 180. |
Запись в тетрадях
Алгоритм нахождения НОК:
1) Разложить числа на простые множители.
2) Выписать множители из разложения большего числа.
3) Добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел.
4) Найти произведение полученных множителей.
1) Разложить числа на простые множители.
2) Выписать множители из разложения большего числа.
3) Добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел.
4) Найти произведение полученных множителей.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили универсальный инструмент. Теперь проверим, как он работает на других примерах."
Этап 4. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработка алгоритма на типовых примерах.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | "Давайте выполним задание: найдите НОК чисел 12 и 8, а также 14 и 42. Кто хочет пойти к доске и прокомментировать первый пример по алгоритму? Обратите внимание на вторую пару чисел: 42 делится на 14. Каким будет НОК в этом случае?" | Один ученик у доски, остальные в тетрадях. Для 12 и 8: $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$, $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2$. НОК = $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 = 24$. Для 14 и 42 замечают: "42 делится на 14, значит НОК(14, 42) = 42". |
Эталон решения
$12 = 2^2 \cdot 3$, $8 = 2^3$. $НОК(12, 8) = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24$.
$42 : 14 = 3$, следовательно $НОК(14, 42) = 42$.
$42 : 14 = 3$, следовательно $НОК(14, 42) = 42$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы заметили важное правило: если одно число делится на другое, то оно и есть их НОК. Запомним это!"
Этап 5. Включение в систему знаний (8 мин)
Цель этапа: решение практических задач и выявление свойств НОК для взаимно простых чисел.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Решим задачу из жизни автомобилиста. Владелец машины меняет масло каждые 15 тыс. км, а приводной ремень — каждые 60 тыс. км. Через сколько километров пробега эти работы совпадут в первый раз? Используйте наше новое правило." | Ученики анализируют: "Нужно найти НОК(15, 60). Так как 60 делится на 15, то НОК равен 60". Отвечают: "Работы совпадут через 60 тыс. км". |
4 мин | "А теперь рассмотрим пару чисел 9 и 13. Являются ли они взаимно простыми? Найдите их НОК. Какой вывод можно сделать о НОК взаимно простых чисел?" | Проверяют: "Общих делителей нет, они взаимно простые". Находят НОК: $9 \cdot 13 = 117$. Делают вывод: "НОК взаимно простых чисел равен их произведению". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы открыли еще два 'секрета' НОК, которые позволяют считать быстрее. Теперь проверим, как вы усвоили тему самостоятельно."
Этап 6. Самостоятельная работа и рефлексия (3 мин)
Цель этапа: самопроверка усвоения материала и подведение итогов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Выполните мини-тест на листочках: найдите НОК(10, 15, 30) и НОК(7, 11). После выполнения сверьтесь с ответами на доске и заполните лист самооценки: что получилось легко, а где возникли трудности." | Самостоятельно решают: НОК(10, 15, 30) = 30; НОК(7, 11) = 77. Сверяются с эталоном. Отмечают свои успехи в листах самооценки. |
Критерии оценивания практической работы
- "5" — верно найден НОК во всех заданиях, алгоритм применен безошибочно, записи аккуратны.
- "4" — допущена одна вычислительная ошибка при нахождении произведения, но алгоритм выбран верно.
- "3" — верно найден НОК только в простейших случаях (когда одно число делится на другое), есть ошибки в разложении на множители.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
В чем главное отличие НОК от НОД при выборе множителей? | Проверка понимания сути алгоритма. |
В какой жизненной ситуации вам может понадобиться НОК? | Оценка осознания практической значимости темы. |
Какой шаг алгоритма показался самым сложным? | Выявление индивидуальных затруднений для коррекции. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились находить 'общий знаменатель' для разных ситуаций — наименьшее общее кратное. Это знание станет вашим главным помощником, когда мы начнем складывать дроби с разными знаменателями. Если сегодня у вас что-то не получилось — не расстраивайтесь, на следующем уроке мы закрепим навык на более сложных задачах про спутники и планеты. Вы отлично поработали!"
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый | Найти НОК для 5 пар чисел (например, 22 и 55, 40 и 50, 6 и 18). | Закрепление основного алгоритма и частных случаев. |
Средний | Решить задачу о периодичности подвоза товаров в магазин (раз в 2, 3 и 10 дней). | Применение НОК в контексте реальных жизненных циклов. |
Продвинутый | Найти НОК трех чисел, представленных в виде произведений степеней простых чисел. | Подготовка к работе с буквенными выражениями и сложными разложениями. |
Контрольный вопрос: Чему равен НОК двух чисел, если их НОД равен 1?
