Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное: закрепление способов нахождения
Цели и задачи
- Цель: к концу урока ученики смогут объяснить и применить алгоритмы нахождения НОД и НОК натуральных чисел, выбрать подходящий алгоритм и решить не менее двух задач на закрепление.
- Закрепить понимание понятий делителя, кратного, НОД и НОК и воспроизвести алгоритмы их нахождения.
- Отработать вычисления с десятичными дробями в устном счёте и разложение натуральных чисел на простые множители.
- Развивать умение сравнивать решения, находить ошибки и аргументированно объяснять выбор НОД или НОК.
- Поддерживать готовность к взаимопомощи и доброжелательной проверке работы одноклассника.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к поиску эффективного способа решения задач на НОД и НОК.
- Понимают ценность точных вычислений при решении учебных и бытовых задач.
- Соблюдают доброжелательный тон при парной проверке и обсуждении ошибок.
- Оценивают собственную готовность применять алгоритмы и формулируют, какая помощь им нужна.
Метапредметные
- Извлекают из формулировки задачи данные и определяют, требуется ли найти общий делитель или общее кратное.
- Составляют последовательность вычислений и сверяют её с алгоритмом.
- Сравнивают способы решения, выявляют ошибочный шаг и обосновывают исправление.
- Взаимодействуют в паре: задают уточняющие вопросы, объясняют ход решения и используют критерии взаимопроверки.
Предметные
- Знают смысл понятий «делитель», «кратное», «наибольший общий делитель» и «наименьшее общее кратное».
- Умеют находить НОД разложением чисел на простые множители, выбирая общие множители с наименьшими показателями.
- Умеют находить НОК разложением чисел на простые множители, выбирая все множители с наибольшими показателями.
- Проверяют результат нахождения НОД и НОК по смыслу: НОД делит исходные числа, а НОК делится на каждое из них.
- Решают простые практические задачи на распределение предметов поровну и совпадение повторяющихся событий.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Соотносят учебную цель с личной задачей: уверенно выбирать между НОД и НОК.
- Осознают, что проверка вычислений помогает обнаружить и исправить ошибку.
- Проявляют ответственность за собственный результат и вклад в парную работу.
- Принимают помощь и готовы предложить однокласснику объяснение без готового ответа.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока и планируют последовательность решения примеров на НОД и НОК.
- Сверяют каждый этап разложения на простые множители с образцом алгоритма.
- Проверяют ответ делимостью исходных чисел и исправляют обнаруженные ошибки.
- Оценивают результат по критериям и выбирают подходящий уровень домашней работы.
Познавательные УУД
- Воспроизводят и применяют алгоритмы нахождения НОД и НОК.
- Выделяют общие и отличающиеся множители в разложениях чисел.
- Моделируют задачу с помощью записи разложений на простые множители и объясняют смысл полученного результата.
- Анализируют неверное решение и устанавливают, на каком шаге перепутаны правила для НОД и НОК.
Коммуникативные УУД
- Слушают объяснение партнёра и задают вопросы о выборе общих множителей и их показателей.
- Аргументируют выбор НОД или НОК, опираясь на смысл задачи.
- Распределяют действия в паре: один ученик решает, второй проверяет, затем роли меняются.
- Корректно сообщают об ошибке и предлагают способ её исправить.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить на доске или экране две памятки: алгоритм нахождения НОД и алгоритм нахождения НОК разложением на простые множители.
- Подготовить устные примеры на умножение десятичной дроби на число и сложение и вычитание десятичных дробей для фронтального счёта.
- Распечатать карточки трёх уровней на каждого ученика: базовый, основной и повышенный; включить в каждую карточку задания на НОД и НОК.
- Распечатать по одной парной карточке на каждую пару: задачи на распределение предметов и периодическое совпадение событий.
- Подготовить по одному листу с ошибочным решением на парту для задания на поиск и исправление ошибки.
- Подготовить мини-лист самооценки на каждого ученика с пунктами «могу объяснить алгоритм», «могу выбрать НОД или НОК», «проверяю ответ».
- Подготовить таймер для коротких заданий и маркеры для выделения общих множителей на доске.
- Проверить, что ученики могут использовать учебник по теме для сверки определения и алгоритмов; конкретные страницы не задавать.
- На доске оставить место для темы, примеров устного счёта, разложений чисел на простые множители и итоговой памятки «НОД — общие множители с меньшими показателями; НОК — все множители с большими показателями».
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и настрой на работу (2 мин)
Цель этапа: организовать класс и настроить учеников на активное повторение способов нахождения НОД и НОК.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и проверяет готовность: «Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, что на парте есть тетрадь, ручка и учебник. Сегодня мы будем не просто повторять определения, а проверять, насколько уверенно умеем выбирать и применять алгоритмы. В конце урока каждый сможет назвать, что получается хорошо и что стоит потренировать». | Готовят тетради и ручки, открывают учебник на теме урока; отвечают: «Готовы к работе». |
1 мин | Учитель обозначает правило сотрудничества: «Сегодня у нас будут фронтальные ответы, самостоятельная работа и работа в парах. При проверке сначала объясняем ход решения, а не называем только ответ. Если заметили ошибку, говорим, какой шаг нужно проверить». | Слушают инструкцию, подтверждают готовность работать по очереди и проверять решение по шагам. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Рабочие материалы готовы, договорённость о сотрудничестве принята. Начнём с короткого устного счёта и вспомним, как внимательно выполнять вычисления».
Этап 2. Устный счёт и актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать навыки вычислений с десятичными дробями и понятия, необходимые для работы с НОД и НОК.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит фронтальный устный счёт и показывает на доске примеры: 0,7 · 6; 1,25 · 4; 3,8 + 2,45; 7,2 − 3,65. «Решаем без записи столбиком, но называем способ проверки. Сколько будет 0,7 умножить на 6? Как проверить сложение и вычитание десятичных дробей? Не торопитесь: сначала оцените, каким примерно должен быть ответ». | Называют ответы: «4,2», «5», «6,25», «3,55»; поясняют, что при умножении учитывают положение запятой, а сложение и вычитание проверяют обратным действием. |
2 мин | Учитель записывает на доске слова «делитель» и «кратное»: «Вспомните, что значит, что одно натуральное число является делителем другого. Приведите пример для числа 12. А какие числа называют кратными 4? Сегодня эти понятия понадобятся нам для проверки ответов». | Приводят примеры: «3 — делитель 12», «12, 16, 20 — кратные 4»; формулируют, что делитель делит число без остатка. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вычисления повторили и опорные понятия вспомнили. Теперь проверим, можем ли мы точно воспроизвести алгоритмы, а не только узнать их по записи».
Этап 3. Проверка понимания алгоритмов НОД и НОК (10 мин)
Цель этапа: за десять минут проверить, понимают ли ученики последовательность действий при нахождении НОД и НОК и различают ли правила выбора множителей.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит фронтальный опрос по памятке на доске: «Назовите шаги алгоритма нахождения НОД разложением на простые множители. Что берём из разложений? Какие показатели выбираем? Затем назовите алгоритм нахождения НОК. Объясните, почему для НОК недостаточно взять только общие множители». Учитель просит нескольких учеников дополнять друг друга, не повторяя предыдущий ответ. | Формулируют алгоритмы: «Разложить числа на простые множители, выбрать общие множители и взять их с наименьшими показателями — это НОД»; «Для НОК взять все множители, встречающиеся в разложениях, с наибольшими показателями». |
4 мин | Учитель записывает на доске разложения 24 = 2³ · 3 и 36 = 2² · 3². «Работаем по шагам. Сначала назовите, что одинаково в разложениях. Теперь отдельно найдите НОД, затем НОК. Как объяснить, почему в НОД у двойки показатель 2, а в НОК — 3? Проверьте полученные числа делимостью». | Отвечают фронтально и записывают в тетради: НОД(24, 36) = 2² · 3 = 12; НОК(24, 36) = 2³ · 3² = 72. Проверяют: 12 делит 24 и 36; 72 делится на 24 и 36. |
3 мин | Учитель раздаёт на каждую парту карточку с двумя ошибочными записями: «Для пары 18 и 30 ученик написал: НОД = 2 · 3 · 5, НОК = 2 · 3. Найдите, что перепутано, и исправьте решение. Сначала каждый подумайте 30 секунд, затем обсудите в паре одну минуту. В конце назовите правило, которое помогло обнаружить ошибку». | Индивидуально анализируют записи, затем обсуждают в паре; исправляют: 18 = 2 · 3², 30 = 2 · 3 · 5; НОД = 2 · 3 = 6, НОК = 2 · 3² · 5 = 90. Объясняют, что в НОД берут только общие множители, а в НОК — все нужные множители. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Эталон решения
24 = 2³ · 3, 36 = 2² · 3². НОД(24, 36) = 2² · 3 = 12. НОК(24, 36) = 2³ · 3² = 72. Для пары 18 и 30: 18 = 2 · 3², 30 = 2 · 3 · 5; НОД(18, 30) = 2 · 3 = 6, НОК(18, 30) = 2 · 3² · 5 = 90.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы восстановили оба алгоритма и увидели, что ошибка часто появляется, когда правила для НОД и НОК меняют местами. Теперь применим эти правила к заданиям разной сложности и будем обязательно проверять результат».
Этап 4. Практическая отработка в парах (10 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритмы нахождения НОД и НОК на вычислительных и практических задачах, распределяя роли в паре.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку и объясняет порядок: «В первой задаче один ученик находит НОД, второй проверяет; во второй поменяйтесь ролями и найдите НОК. Затем вместе решите текстовую задачу. Записывайте разложения полностью, чтобы партнёр мог проверить каждый шаг». | Получают карточки, распределяют роли и договариваются, кто начинает с первой задачи. |
4 мин | Учитель предлагает задания на карточке: «Найдите НОД(42, 56) и НОК(42, 56). После вычислений проверьте результат делимостью. Если закончили раньше, объясните партнёру, почему для НОК понадобились множители, которых нет в НОД». Учитель проходит между рядами и задаёт уточняющие вопросы. | В паре решают: 42 = 2 · 3 · 7, 56 = 2³ · 7; находят НОД = 14 и НОК = 168. Сверяют разложения и проверяют делимость 168 на 42 и 56. |
4 мин | Учитель читает практическую задачу: «Для школьного праздника приготовили 24 яблока и 36 мандаринов. Нужно составить одинаковые наборы без остатка, используя все фрукты. Какое наибольшее число наборов можно сделать и сколько яблок и мандаринов будет в каждом?» Затем напоминает: «Определите, какое слово в условии подсказывает нужное действие, но обоснуйте выбор смыслом, а не только ключевым словом». | Решают в паре, выбирают НОД: НОД(24, 36) = 12. Получается 12 наборов; в каждом 24 : 12 = 2 яблока и 36 : 12 = 3 мандарина. Записывают ответ с пояснением. |
1 мин | Учитель просит быстро сверить ответы с критериями на доске: «Проверьте, записаны ли разложения, указаны ли НОД или НОК и есть ли проверка либо объяснение. Поставьте партнёру две отметки: за верный алгоритм и за понятную запись». | Сверяют решение партнёра, отмечают правильность выбора алгоритма и полноту записи; при необходимости исправляют вычисления. |
Эталон решения
42 = 2 · 3 · 7, 56 = 2³ · 7; НОД(42, 56) = 2 · 7 = 14; НОК(42, 56) = 2³ · 3 · 7 = 168. В задаче о фруктах число наборов не превосходит ни число яблок, ни число мандаринов и должно делить оба количества. Наибольшее такое число — НОД(24, 36) = 12. В каждом наборе 24 : 12 = 2 яблока и 36 : 12 = 3 мандарина.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы применили алгоритмы и увидели, как НОД помогает распределить предметы поровну. Теперь каждый самостоятельно покажет, какой способ он освоил и где ещё требуется внимательность».
Этап 5. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: индивидуально проверить умение находить НОД и НОК, выбирать уровень задания и контролировать правильность результата.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней и поясняет выбор: «Каждый выполняет обязательное базовое задание. Затем выберите одно задание основного уровня; если чувствуете уверенность, можно вместо него взять повышенное. Выбор уровня — это способ проверить себя, а не соревнование. На доске записаны критерии: верное разложение, правильный выбор множителей, проверка ответа». | Выбирают карточку или уровень задания; готовят место для разложений и проверки. |
6 мин | Учитель напоминает условия самостоятельной работы: «Решайте тихо и самостоятельно. Базовая часть: найдите НОД(32, 48) и НОК(32, 48). Основное задание: найдите НОД и НОК чисел 45 и 60. Повышенное задание: два автобуса отправляются от остановки одновременно; один возвращается каждые 12 минут, другой — каждые 18 минут. Через сколько минут они снова одновременно окажутся на остановке? Запишите, почему здесь нужен именно НОК». Учитель наблюдает за работой, не подсказывая вычисления. | Самостоятельно решают выбранные задания. В базовой части получают разложения 32 = 2⁵, 48 = 2⁴ · 3; находят НОД = 16, НОК = 96. В основном задании используют 45 = 3² · 5 и 60 = 2² · 3 · 5. В повышенном задании моделируют повторение интервалов и обосновывают выбор НОК. |
3 мин | Учитель открывает на доске эталоны и предлагает самопроверку: «Сначала отметьте галочкой правильное разложение, затем проверьте выбор показателей. Исправления делайте другим цветом. Для задачи про автобусы сравните свой ответ с наименьшим временем, которое делится и на 12, и на 18». Учитель собирает краткую информацию о затруднениях. | Проверяют базовое задание: НОД(32, 48) = 16, НОК(32, 48) = 96; основное: НОД(45, 60) = 15, НОК(45, 60) = 180; повышенное: НОК(12, 18) = 36 минут. Исправляют ошибки и отмечают пункт, который нужно повторить. |
Эталон решения
32 = 2⁵, 48 = 2⁴ · 3; НОД = 2⁴ = 16, НОК = 2⁵ · 3 = 96. 45 = 3² · 5, 60 = 2² · 3 · 5; НОД = 3 · 5 = 15, НОК = 2² · 3² · 5 = 180. Автобусы снова встретятся через наименьшее общее число минут, кратное 12 и 18: 12 = 2² · 3, 18 = 2 · 3², НОК = 2² · 3² = 36 минут.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, что ответ нужно проверять не только вычислением, но и смыслом. Перед итоговой рефлексией обобщим, по каким признакам отличать задачи на НОД от задач на НОК».
Этап 6. Обобщение и выбор алгоритма по условию задачи (5 мин)
Цель этапа: систематизировать признаки задач на НОД и НОК и закрепить аргументированный выбор алгоритма.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает фронтальное сравнение и чертит на доске две колонки «НОД» и «НОК»: «Вспомните задачу о наборах фруктов и задачу об автобусах. В какую колонку поместим каждую? Какие слова и смысл отношения между величинами помогают выбрать? Не ограничивайтесь словами „поровну“ или „одновременно“ — объясните, что именно должно делить числа или быть кратным обоим интервалам». | Называют признаки: для НОД ищут наибольшее число равных групп без остатка, которое делит оба количества; для НОК ищут наименьшее общее время или количество, кратное исходным числам. |
2 мин | Учитель задаёт короткий вопрос на перенос: «Есть 18 красных и 24 синих флажка. Нужно сделать максимально возможное число одинаковых комплектов без остатка. Какой алгоритм применим? А если два сигнала повторяются через 18 и 24 минуты, когда они впервые совпадут?» | Отвечают: «Для комплектов нужен НОД(18, 24) = 6»; «Для сигналов нужен НОК(18, 24) = 72 минуты». Объясняют различие смыслов. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Теперь вы можете выбирать алгоритм по смыслу ситуации и объяснять свой выбор. Осталось оценить собственный прогресс и зафиксировать вопрос, который ещё требует внимания».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: помочь ученикам оценить освоение алгоритмов, обозначить затруднение и понять содержание домашней работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает заполнить лист самооценки и провести «Одноминутку»: «Отметьте, что вы уже умеете: объяснить алгоритм НОД, объяснить алгоритм НОК, выбрать способ по условию задачи, проверить результат. На отдельной строке напишите, какой шаг сегодня потребовал наибольшего внимания. Можно завершить фразу: „Теперь я понимаю, что НОД нужен, когда…“». | Отмечают освоенные умения, записывают один вывод и один вопрос; при желании зачитывают фразу: «НОД нужен, когда требуется разделить количества на наибольшее число равных групп» или «НОК нужен, когда ищем ближайшее общее повторение». |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание: «Выберите обязательный уровень для всех; если базовый алгоритм уже уверенно получается, добавьте задание среднего уровня. Продвинутый вариант выполняется по желанию. Перед выходом ответьте на контрольный вопрос: чем различается правило выбора множителей для НОД и НОК?» | Записывают выбранный вариант домашнего задания и устно отвечают: «Для НОД берём только общие множители с наименьшими показателями, для НОК — все необходимые множители с наибольшими показателями». |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены задания выбранного уровня, разложения на простые множители записаны корректно, правила выбора множителей для НОД и НОК не перепутаны, практическая задача решена с пояснением и проверкой.
- «4» — алгоритм выбран верно, но допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, которая исправлена при самопроверке; смысл ответа в практической задаче объяснён.
- «3» — верно выполнена базовая часть или основная часть решения, но есть затруднения при выборе показателей, проверке результата либо объяснении выбора НОД или НОК.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое правило помогает не перепутать алгоритмы нахождения НОД и НОК? | Проверить осознанное усвоение различий между алгоритмами. |
На каком шаге решения сегодня пришлось остановиться и перепроверить себя? | Выявить затруднения в разложении чисел и выборе множителей. |
Какую задачу было легче объяснить: про равные наборы или про совпадающие события? Почему? | Оценить перенос математических понятий на практическую ситуацию. |
Что вы теперь можете сделать самостоятельно, чего не были уверены делать в начале урока? | Зафиксировать личный прогресс и субъективную оценку освоения темы. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы повторили и применили алгоритмы нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного. Важно не только разложить числа на простые множители, но и понять, что именно ищет задача: наибольшее число равных групп или наименьшее общее повторение. Самая частая ошибка — выбрать правило для НОД вместо правила для НОК или наоборот, поэтому всегда проверяйте смысл результата. Спасибо за внимательную работу в парах и самостоятельную проверку. На следующем уроке продолжим применять делимость и общие кратные в новых задачах».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 примера: в двух найти НОД и в двух найти НОК двузначных натуральных чисел разложением на простые множители; в каждом примере записать разложение и проверку ответа. | Закрепить порядок действий; при проверке обратить внимание на правильность разложения и выбор общих либо всех множителей. |
Средний (повышающий) | Решить 2 практические задачи: одну на составление наибольшего числа одинаковых наборов без остатка и одну на определение времени ближайшего совпадения двух повторяющихся событий; вычислить нужные НОД и НОК и объяснить выбор. | Научиться выбирать алгоритм по смыслу ситуации; проверить, обоснован ли выбор НОД или НОК и дан ли ответ с единицами измерения. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную задачу из жизни на НОД или НОК, решить её для двух натуральных чисел и записать разбор, объясняющий, почему другой алгоритм здесь не подходит. | Развивать математическую речь и умение создавать модель практической ситуации; при проверке оценить ясность условия и обоснование решения. |
Контрольные вопросы перед выходом: что называют НОД и НОК? Какие множители и показатели выбирают при нахождении каждого из них? Как проверить, что результат найден верно? В какой ситуации из сегодняшних задач потребовался НОД, а в какой — НОК?
