Наибольший общий делитель
Цели и задачи
- Цель урока: к концу урока научиться находить наибольший общий делитель двух или трёх натуральных чисел перебором делителей и с помощью разложения на простые множители, объясняя выбор способа.
- Сформировать представление о делителе числа, общем делителе и наибольшем общем делителе; ввести обозначение НОД.
- Научить находить НОД чисел в практических ситуациях и проверять результат по признакам делимости.
- Развивать умение сравнивать способы решения, работать в паре, формулировать и аргументировать математический вывод.
- Воспитывать аккуратность вычислений, ответственность за общий результат и интерес к применению математики в задачах планирования.
Планируемые результаты
Личностные
- Ученик осознаёт практическую ценность НОД при равном распределении предметов и материалов без остатка.
- Проявляет интерес к поиску нескольких способов решения одной задачи.
- Соблюдает математическую аккуратность и принимает ответственность за результат парной работы.
- Оценивает собственное продвижение и конструктивно относится к ошибкам.
Метапредметные
- Формулирует учебную проблему и совместно с одноклассником планирует способ её решения.
- Извлекает информацию из условия задачи, таблицы делителей и записи разложения числа.
- Сравнивает способы нахождения НОД и обосновывает более рациональный способ.
- Осуществляет самопроверку по критериям и корректирует ошибочное решение.
- Использует математическую речь для объяснения хода рассуждений.
Предметные
- Знать определения делителя числа, общего делителя и наибольшего общего делителя.
- Уметь находить делители натурального числа и выделять общие делители двух чисел.
- Уметь находить НОД перебором делителей и разложением чисел на простые множители.
- Уметь записывать результат с использованием обозначения НОД и проверять его делимостью исходных чисел.
- Уметь применять НОД в задаче о разбиении набора предметов на одинаковые группы.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения НОД через задачу о справедливом распределении.
- Проявляют готовность к сотрудничеству и уважительно относятся к иной стратегии решения.
- Формируют положительное отношение к самостоятельному поиску математического правила.
- Оценивают собственную уверенность в нахождении НОД.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель урока.
- Планируют последовательность нахождения НОД.
- Сверяют решение с эталоном и находят место ошибки.
- Оценивают результат по заданным критериям и выбирают дальнейший уровень задания.
Познавательные УУД
- Выделяют существенный признак общего делителя.
- Составляют и читают таблицу делителей.
- Сравнивают множества делителей и моделируют разложение чисел на простые множители.
- Устанавливают связь между НОД и задачей на равное разбиение.
- Формулируют обобщённый алгоритм.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: вычислитель и проверяющий.
- Задают уточняющие вопросы о способе решения.
- Аргументируют, почему выбранное число является наибольшим общим делителем.
- Слушают партнёра и согласуют общий ответ.
- Представляют результат парной работы классу.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или записи на доске: определения, алгоритм нахождения НОД и схема разложения на простые множители.
- Распечатать карточки для работы в парах: по одной карточке на парту, всего 15 карточек, с заданиями трёх уровней.
- Распечатать листы самопроверки с эталонами для индивидуальной работы — по одному на каждого ученика.
- Подготовить цветные карточки или стикеры для приёма «Светофор» — по три цвета на ученика.
- Подготовить карточку с практической задачей о составлении одинаковых наборов карандашей и наклеек.
- Раздать каждой паре черновой лист и линейку для оформления таблицы делителей.
- Вывести на доску числа 18 и 24, а также пустые поля для записи их делителей.
- Подготовить таймер на 2–4 минуты для смены форматов работы.
- Подготовить калькуляторы только для проверки после выполнения заданий, а не для основного решения.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учеников в учебную деятельность и показать практическую необходимость поиска общего делителя.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и проводит приём «Готовность к математическому поиску»: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, есть ли у вас тетрадь, ручка и линейка. Сегодня мы будем не только считать, но и искать закономерность. Работать будем индивидуально и в парах, поэтому важно услышать друг друга и записывать рассуждения аккуратно." | Проверяют принадлежности, записывают дату, поворачиваются к соседу по парте и готовятся к парной работе. |
2 мин | Учитель показывает на доске условие: "У нас есть 18 красных и 24 синих карандаша. Нужно составить одинаковые наборы так, чтобы в каждом наборе было одинаковое число красных и одинаковое число синих карандашей, а остатка не осталось. Какое наибольшее число наборов можно составить? Подумайте молча, затем обсудите ответ с соседом." | Сначала предлагают индивидуальные варианты, затем обсуждают в паре 1 минуту и формулируют предположение: «6 наборов, потому что 18 и 24 делятся на 6». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что для практической задачи нужно найти число, на которое делятся и 18, и 24. Сегодня узнаем, как называется такое число и как находить самый большой подходящий вариант."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить знания о делителях, кратных и признаках делимости, необходимые для открытия нового способа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит устный приём «Математическая цепочка»: "Назовите делители числа 12. Чем число 3 отличается от числа 12 в записи 3 · 4 = 12? Какие числа называют делителями? Постарайтесь ответить полным предложением." Учитель фиксирует ответы на доске. | Называют делители 12: «1, 2, 3, 4, 6, 12»; объясняют: «3 — делитель 12, потому что 12 делится на 3 без остатка»; формулируют определение делителя. |
3 мин | Учитель раздаёт каждой паре мини-карточку: «Отметьте числа, на которые делятся одновременно 18 и 24: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 12. Объясните выбор». Учитель напоминает: "Не угадывайте, а проверяйте делимость вычислением или признаком." | В парах проверяют числа, записывают общие делители 18 и 24: «1, 2, 3, 6», и объясняют: «4 не подходит для 18, 5 не подходит ни для одного, 8 не подходит для 18, 9 и 12 не делят оба числа». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, как находить делители и проверять делимость. Общие делители уже нашли, но пока не назвали главный из них. Теперь определим, какое затруднение возникло и какое понятие нам необходимо."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную проблему и цель урока через анализ найденных общих делителей.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель обращает внимание на запись: «1, 2, 3, 6». "Перед нами несколько общих делителей. В задаче про наборы нужно выбрать самый большой. Как назвать это число одним математическим термином? Как понять, что оно действительно самое большое?" Учитель принимает гипотезы и не сообщает термин сразу. | Предполагают: «Нужно выбрать 6, потому что он больше остальных»; формулируют проблему: «Нужно научиться находить самый большой общий делитель двух чисел». |
2 мин | Учитель сообщает тему и организует приём «Цель урока»: "Запишите тему: «Наибольший общий делитель». Сформулируйте цель по началу фразы: «Сегодня я научусь…». В конце урока мы проверим, можем ли найти НОД двумя способами и применить его в задаче." | Записывают тему, предлагают цели: «находить НОД перебором делителей», «находить НОД по разложению на простые множители», «применять НОД в задаче». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы поставили цель: научиться находить наибольший общий делитель и использовать его в практической задаче. Сначала откроем смысл нового понятия на уже знакомых делителях, затем построим алгоритм."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести определение НОД и освоить два способа его нахождения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель записывает на доске: «Делители 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18; делители 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24». "Подчеркните общие делители. Какой из них наибольший? Запишите вывод словами: «6 — … делитель чисел 18 и 24»." | В парах подчёркивают 1, 2, 3, 6, называют 6 и формулируют: «6 — наибольший общий делитель чисел 18 и 24». |
3 мин | Учитель вводит запись: "Наибольший общий делитель сокращённо записывают так: НОД(18; 24) = 6. Запомните определение: НОД двух или нескольких натуральных чисел — это наибольшее натуральное число, на которое делится каждое из данных чисел. Проверим: 18 : 6 = 3, 24 : 6 = 4." | Записывают определение и равенство, выполняют проверку делимости, проговаривают: «6 делит 18 и 24, а большего общего делителя нет». |
3 мин | Учитель показывает второй способ на примере: "Разложим числа на простые множители: 18 = 2 · 3 · 3, 24 = 2 · 2 · 2 · 3. Общие простые множители — 2 и 3. Их произведение 2 · 3 = 6, значит НОД равен 6. Сравните этот способ с перебором делителей: когда разложение может быть удобнее?" | Составляют разложения в тетради, выделяют общие множители 2 и 3, получают 6; отвечают: «При больших числах разложение может быть удобнее, чем запись всех делителей». |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «НОД — наибольший общий делитель двух или нескольких натуральных чисел». Алгоритм: 1) разложить числа на простые множители; 2) выбрать общие множители; 3) перемножить их; 4) записать НОД и проверить делимостью.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы открыли определение НОД и два способа его нахождения. Теперь проверим алгоритм на новом примере, проговаривая каждый шаг, чтобы решение стало понятным и устойчивым."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм нахождения НОД и развить умение объяснять решение партнёру.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт карточки и говорит: "Приём «Подумай — обсуди в паре — поделись». Решите вместе задачу: найдите НОД(30; 45) перебором делителей. Один ученик составляет списки делителей, второй проверяет их и подчёркивает общие. Затем поменяйтесь ролями на втором примере НОД(16; 24)." | Выписывают делители 30 и 45, получают общие делители 1, 3, 5, 15 и записывают НОД(30;45)=15; для 16 и 24 получают общие делители 1, 2, 4, 8 и записывают НОД(16;24)=8. Объясняют решение партнёру. |
3 мин | Учитель приглашает две пары представить решения: "Расскажите не только ответ, но и почему выбранное число является наибольшим. Остальные сверяют записи и показывают зелёную карточку, если решение полное, или жёлтую, если нужно уточнение." | Представляют решения, задают вопросы, сравнивают записи, используют карточки «Светофора», исправляют пропущенный общий делитель или ошибку в сравнении. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы научились находить НОД перебором делителей и объяснять выбор ответа. Теперь каждый самостоятельно проверит, насколько уверенно владеет алгоритмом, а затем сверит решение с эталоном."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное понимание алгоритма и научить выполнять самопроверку.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт индивидуальные карточки трёх уровней: "Выберите уровень по своей готовности. Минимум: найдите НОД(12;18) и НОД(20;30) перебором делителей. Базовый: найдите НОД(36;48) разложением на простые множители и решите задачу: из 24 яблок и 36 груш составляют одинаковые наборы без остатка; каково наибольшее число наборов? Повышенный: найдите НОД(42;70;98) и объясните способ." | Индивидуально решают выбранный вариант, записывают все шаги, в практической задаче формулируют ответ: «12 наборов; в каждом наборе 2 яблока и 3 груши». |
4 мин | Учитель выводит эталон: "Проверьте не только ответ, но и ход решения. Отметьте плюсами правильные шаги: разложение или список делителей, выделение общих множителей, вычисление НОД, проверка делимости. Если нашли ошибку, зачеркните только неверный шаг и исправьте его рядом." | Сверяют решение с эталоном, отмечают правильные шаги, исправляют ошибки, ставят себе количество выполненных пунктов и показывают карточку «Светофора». |
Эталон решения
Для НОД(36;48): 36 = 2 · 2 · 3 · 3, 48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3. Общие множители: 2 · 2 · 3, поэтому НОД(36;48)=12. Для задачи: НОД(24;36)=12; значит, можно составить 12 одинаковых наборов. В каждом наборе 24:12=2 яблока и 36:12=3 груши. Проверка: 12 · 2 = 24, 12 · 3 = 36.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что алгоритм можно применять и к вычислительному примеру, и к жизненной задаче. Осталось связать НОД с другими областями и ещё раз сформулировать, зачем он нужен."
Этап 7. Межпредметное применение и рефлексия (5 мин)
Цель этапа: применить понятие НОД в контексте технологии и информатики, осознать результат урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает изображение прямоугольной панели размером 24 см на 36 см: "В технологии нужно разрезать панель на одинаковые квадратные плитки наибольшего возможного размера без обрезков. Какой длины должна быть сторона плитки? Как математика помогла решить технологическую задачу?" | В парах находят НОД(24;36)=12 и отвечают: «Сторона плитки — 12 см; НОД помогает разделить обе длины без остатка на самые крупные равные части». |
3 мин | Учитель проводит приём «Одноминутная рефлексия»: "Закончите три фразы: «НОД — это…», «Чтобы найти НОД разложением, нужно…», «Сегодня мне нужно ещё потренироваться…». Затем поднимите зелёную, жёлтую или красную карточку." | Записывают три фразы, формулируют: «НОД — самый большой общий делитель»; «нужно разложить числа, выбрать общие множители и перемножить»; показывают цвет самооценки. |
Этап 8. Подведение итогов и домашнее задание (0 мин)
Цель этапа: зафиксировать результат урока и сообщить дифференцированное домашнее задание. Этап объединён с рефлексией последней минуты урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
0 мин | Учитель сообщает задание: "Выберите обязательный уровень и, если готовы, добавьте повышающий или дополнительный. Перед выходом ответьте на два контрольных вопроса: что такое НОД и как проверить найденный результат?" | Записывают домашнее задание, отвечают: «НОД — наибольший общий делитель», «нужно убедиться, что число делит каждое исходное число и что большего общего делителя нет». |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранного уровня, записаны списки делителей или разложения, выделены общие множители, ответ обоснован и практическая задача решена с единицами измерения.
- «4» — верно выполнена основная часть работы, допущена одна неточность в записи или вычислении, не повлиявшая на понимание алгоритма; проверка результата выполнена частично.
- «3» — правильно найден НОД хотя бы в одном задании, но есть ошибки в оформлении алгоритма или объяснении практического ответа; требуется дополнительная тренировка.
- Ниже базового уровня — решение не завершено либо не установлено, какие числа являются общими делителями; учитель фиксирует конкретный шаг для коррекции.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что такое НОД двух чисел? | Проверка осознания определения и существенного признака понятия. |
Какие два способа нахождения НОД мы использовали? | Выявление понимания алгоритмов и возможности выбора способа. |
На каком шаге решения возникло затруднение? | Выявление точек затруднения: список делителей, разложение или выделение общих множителей. |
Где НОД может пригодиться вне урока? | Осознание функциональной и межпредметной значимости математического понятия. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы выяснили, что НОД — это самый большой общий делитель чисел, и научились находить его перебором делителей и разложением на простые множители. Особенно важно не просто назвать ответ, а доказать, что он делит каждое исходное число и является наибольшим общим делителем. Типичная ошибка — выбрать общий делитель, не сравнив его с остальными, поэтому всегда выполняйте проверку. На следующем уроке мы продолжим работу с делителями и увидим, как использовать их для решения более сложных задач."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задания на нахождение НОД двух чисел перебором делителей; в каждом задании записать делители обоих чисел, общие делители и итоговую запись НОД. | Закрепляет определение и последовательность поиска; при проверке смотреть на полноту списков и обоснование наибольшего общего делителя. |
Средний (повышающий) | Решить 4 задания на нахождение НОД двух или трёх чисел разложением на простые множители и одну практическую задачу о составлении одинаковых наборов без остатка. | Формирует навык выбора общего множителя и применения НОД в реальном контексте; при проверке смотреть на корректность разложения и единицы измерения. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить собственную задачу на разбиение предметов или измерение прямоугольной панели, в которой используется НОД трёх чисел; привести два способа проверки ответа. | Развивает функциональную грамотность, математическое моделирование и умение создавать задачу; при проверке смотреть на реалистичность условия и доказательность решения. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какое число называют наибольшим общим делителем? Почему НОД(18;24)=6, а не 3? Как проверить найденный НОД?»
