Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа
Цели и задачи
- Цель: к концу урока учащиеся смогут находить наибольший общий делитель (НОД) двух и более чисел методом разложения на простые множители и определять взаимно простые числа.
- Образовательные задачи: изучить определение НОД и взаимно простых чисел; освоить алгоритм нахождения НОД; научиться применять полученные знания при решении текстовых задач.
- Развивающие задачи: развивать навыки логического мышления, анализа и сравнения; формировать умение выделять главное и структурировать информацию.
- Воспитательные задачи: воспитывать культуру математической речи, настойчивость в достижении результата и навыки эффективного сотрудничества в парах.
Планируемые результаты
Личностные
- Формирование ответственного отношения к учению и готовности к саморазвитию.
- Развитие критичности мышления при анализе полученных результатов.
- Воспитание уверенности в своих силах при решении практических жизненных задач.
Метапредметные
- Умение самостоятельно определять цели обучения и планировать пути их достижения.
- Развитие навыков смыслового чтения при работе с условием задачи и текстом учебника.
- Умение создавать обобщения и устанавливать аналогии.
Предметные
- Знать определение наибольшего общего делителя и взаимно простых чисел.
- Уметь находить НОД методом перебора делителей и методом разложения на простые множители.
- Уметь применять свойства делимости для упрощения вычислений НОД в частных случаях.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Установление связи между целью учебной деятельности и ее мотивом.
- Формирование ценностных ориентиров при решении задач с реальным контекстом.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что еще неизвестно.
- Оценка — выделение и осознание учащимся того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению.
Познавательные УУД
- Поиск и выделение необходимой информации из текста задачи.
- Анализ объектов с целью выделения признаков (простых множителей).
- Построение логической цепи рассуждений.
Коммуникативные УУД
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами коммуникации.
- Инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с условием задачи про зайчиков и белочек (источник: стр. 50).
- Распечатать карточки для самостоятельной работы с задачами 2.68 и 2.69 (по одной на парту).
- Выписать на доску ключевые слова урока: «наибольший общий делитель», «взаимно простые числа».
- Подготовить листы самооценки «Светофор» (красный, желтый, зеленый кружки) для каждого ученика.
- Проверить наличие мела/маркеров и работоспособность проектора.
Ход урока
Этап 1. Мотивация и самоопределение (3 мин)
Цель этапа: создать эмоциональный настрой и подготовить учеников к открытию нового знания через практическую ситуацию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Здравствуйте, ребята! Сегодня мы отправимся на праздник 'Весна пришла'. Представьте: в детском саду 18 детей в костюмах зайчиков и 24 в костюмах белочек. Нам нужно разбить их на группы для танца так, чтобы в каждой группе было одинаковое количество 'зайчиков' и 'белочек'. Как вы думаете, какое наибольшее число таких групп мы сможем создать? Подумайте 30 секунд самостоятельно." | Слушают учителя, визуализируют задачу. Пытаются в уме подобрать число, на которое делятся и 18, и 24. Некоторые предлагают варианты: '2 группы', '3 группы'. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Интересные предложения! Чтобы ответить точно, нам нужно найти число, которое является общим делителем для 18 и 24, причем самым большим из возможных. Этим мы сегодня и займемся."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить понятия делителей и простых чисел, необходимые для изучения новой темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Прежде чем решать задачу, давайте вспомним: что такое делитель числа? Запишите в тетрадях все делители числа 18 и все делители числа 24. Используйте наш метод перебора пар." | Записывают в тетрадях: Делители 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Делители 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. |
3 мин | "А теперь посмотрите на свои списки. Какие числа встречаются в обоих перечнях? Обведите их в кружок. Какое из этих чисел самое большое?" | Находят общие делители: 1, 2, 3, 6. Выделяют число 6 как самое большое. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы нашли самое большое число групп — 6. Математики называют такое число 'Наибольший общий делитель'. Запишем тему урока."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Цель этапа: выявить затруднение при работе с большими числами и сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Метод перебора хорош для маленьких чисел. А если бы у нас было 525 помидоров и 3750 огурцов (как в задаче 2.73)? Удобно ли будет выписывать все делители? Конечно, нет. Значит, нам нужен другой способ. Как вы думаете, что мы должны сегодня узнать и чему научиться?" | Отвечают: "Нам нужно найти способ находить этот самый большой делитель быстрее", "Нужно узнать, как работать с большими числами", "Научиться решать задачи с этими делителями". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Верно! Наша цель — освоить универсальный алгоритм нахождения НОД, используя разложение на простые множители."
Этап 4. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: ввести определение НОД, алгоритм его нахождения и понятие взаимно простых чисел.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Откройте учебник на странице 50. Прочитайте определение в розовой рамке. Как мы сокращенно будем называть наибольший общий делитель? Запишем в тетрадь: НОД(18, 24) = 6. А теперь давайте разложим 18 и 24 на простые множители, как мы делали на прошлом уроке." | Читают определение. Записывают: 18 = 2 * 3 * 3; 24 = 2 * 2 * 2 * 3. |
4 мин | "Посмотрите на разложения. Какие множители есть и там, и там? Подчеркните их. Это одна 'двойка' и одна 'тройка'. Найдите их произведение. Что получилось? Правильно, 6! Вот мы и нашли наш алгоритм. Давайте сформулируем его по шагам, глядя на страницу 51." | Подчеркивают общие множители. Считают: 2 * 3 = 6. Вместе с учителем проговаривают шаги: 1) разложить, 2) подчеркнуть общее, 3) перемножить. |
4 мин | "Теперь рассмотрим пример со страницы 51: числа 21 и 40. Разложите их. Что вы заметили? У них нет общих простых множителей, кроме 1. Такие числа называются взаимно простыми. Запишите определение из учебника." | Разкладывают: 21 = 3 * 7; 40 = 2 * 2 * 2 * 5. Отвечают: "Общих множителей нет!". Записывают определение взаимно простых чисел. |
Запись в тетрадях
- НОД (a; b) — наибольшее натуральное число, на которое делятся a и b без остатка.
- Алгоритм НОД: 1. Разложить на простые множители. 2. Выделить общие множители. 3. Найти их произведение.
- Взаимно простые числа — числа, НОД которых равен 1.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь у нас есть мощный инструмент для работы с любыми числами. Проверим его в деле?"
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработать алгоритм нахождения НОД на конкретных примерах из источника.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | "Выполним задание 2.60 (а, б) со страницы 51. Нужно найти НОД(42, 63) и НОД(30, 40). Один человек работает у доски, остальные в тетрадях. Помните про аккуратность записи разложения 'столбиком'!" | Ученик у доски раскладывает 42 = 2 * 3 * 7 и 63 = 3 * 3 * 7. Подчеркивает 3 и 7. Пишет НОД = 21. Класс проверяет. Затем аналогично решают второй пример. |
Эталон решения
а) 42 = 2 · 3 · 7; 63 = 3² · 7. Общие: 3 и 7. НОД(42, 63) = 3 · 7 = 21.
б) 30 = 2 · 3 · 5; 40 = 2³ · 5. Общие: 2 и 5. НОД(30, 40) = 2 · 5 = 10.
б) 30 = 2 · 3 · 5; 40 = 2³ · 5. Общие: 2 и 5. НОД(30, 40) = 2 · 5 = 10.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Отлично, алгоритм работает! А теперь попробуем применить его к реальной жизненной ситуации."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (7 мин)
Цель этапа: проверить умение применять НОД при решении текстовых задач в условиях ограниченного времени.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "Работаем с задачей 2.68 (а) со страницы 52. В магазине 84 помидора и 112 огурцов расфасовали в одинаковые упаковки. Какое наибольшее число упаковок получилось? Решите самостоятельно. Время пошло!" | Записывают краткое условие. Раскладывают числа 84 и 112 на множители. Находят НОД(84, 112). |
2 мин | "Время вышло. Посмотрите на экран — там эталон решения. Сверьте свои разложения и ответ. Поднимите зеленую карточку, если ответ 28, и красную, если возникли трудности." | Сверяют решение. 84 = 2 * 2 * 3 * 7; 112 = 2 * 2 * 2 * 2 * 7. НОД = 2 * 2 * 7 = 28. Сигнализируют карточками о результате. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Большинство справилось! Кто ошибся — не расстраивайтесь, мы еще потренируемся дома. Главное — правильно найти все простые множители."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (4 мин)
Цель этапа: подвести итоги урока, оценить уровень усвоения материала и дать инструкции по домашнему заданию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Наш урок подходит к концу. Что нового вы сегодня узнали? Чему научились? Запишите домашнее задание из таблицы на доске. Обратите внимание: задачи творческого уровня потребуют от вас смекалки! Спасибо за работу." | Отвечают на вопросы. Заполняют листы самооценки. Записывают домашнее задание в дневники. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все этапы алгоритма в 3 и более примерах, решена текстовая задача без ошибок.
- «4» — алгоритм понят, но допущены 1-2 вычислительные ошибки при разложении на множители или умножении.
- «3» — ученик умеет находить делители перебором, но затрудняется в использовании метода разложения на простые множители.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой шаг в алгоритме нахождения НОД показался самым трудным? | Выявление этапа, требующего дополнительной отработки (разложение или поиск общих множителей). |
Где в жизни нам может пригодиться умение находить НОД? | Осознание практической значимости темы (распределение ресурсов, упаковка товаров). |
Как проверить, являются ли числа взаимно простыми? | Закрепление ключевого определения урока. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы открыли важный секрет чисел — их 'самый большой общий интерес', то есть НОД. Этот навык станет вашим верным помощником при сокращении дробей, которое мы начнем изучать совсем скоро. Помните: математика — это не только цифры, но и умение находить порядок в хаосе, как мы сегодня навели порядок в группах зайчиков и белочек. До встречи на следующем уроке!"
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Найти НОД для 4 пар чисел (например, 22 и 105, 36 и 48) методом разложения на множители. | Закрепление технического навыка использования алгоритма. |
Средний (повышающий) | Решить задачу про спортивные соревнования (аналог 2.69): распределить 108 мальчиков и 144 девочки на максимально возможные равные группы. | Развитие навыка применения НОД в текстовых задачах. |
Продвинутый (дополнительный) | Задание 2.84: представить числа от 5 до 20 в виде суммы наименьшего числа простых слагаемых. | Развитие исследовательских навыков и логического мышления. |
