Нахождение числа по его дроби
Цели и задачи
- Цель: к концу урока ученики смогут находить число по его дроби и десятичной дроби, деля известное значение на соответствующую дробь, и объяснять ход решения на задачах из урока.
- Образовательная задача: сформулировать правило нахождения числа по значению его дроби и применять его к правильным, неправильным и десятичным дробям.
- Образовательная задача: разобрать модели задач о площади полей и производительности станка, различая известную часть и целое.
- Развивающая задача: развивать умение переводить условие задачи в математическую запись, выбирать действие и проверять правдоподобие ответа.
- Воспитательная задача: формировать внимательность к смыслу условия, ответственность за самостоятельную проверку и уважительное взаимодействие при обсуждении.
Планируемые результаты
Личностные
- Ученик проявляет интерес к поиску неизвестного целого в задачах с понятным практическим содержанием.
- Ученик осознаёт, что проверка результата помогает обнаружить ошибку и повышает надёжность вычислений.
- Ученик проявляет готовность выслушать математическое объяснение одноклассника и корректно уточнить его.
- Ученик оценивает собственную уверенность в выборе действия и обращается за помощью при затруднении.
Метапредметные
- Ученик извлекает из текстовой задачи известное значение части и дробь, которой эта часть соответствует.
- Ученик составляет краткую математическую модель задачи и объясняет связь между частью и целым.
- Ученик планирует решение по правилу, выполняет вычисления и сверяет ответ с условием.
- Ученик формулирует вывод по результатам парного обсуждения и аргументирует выбор деления.
Предметные
- Ученик знает правило: чтобы найти число по значению, соответствующему данной дроби, нужно это значение разделить на дробь.
- Ученик умеет находить целое по значению его правильной или неправильной дроби.
- Ученик умеет находить целое по значению десятичной дроби и процентов, предварительно представляя проценты десятичной дробью.
- Ученик решает практические задачи на нахождение целого и проверяет ответ умножением найденного числа на данную дробь.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Соотносят тему с практическими ситуациями, в которых известна часть величины, но требуется найти всё количество.
- Осознают личный смысл аккуратной записи математической модели и проверки результата.
- Проявляют учебную инициативу, предлагая способ решения задачи о полях или станке.
- Сопоставляют свою уверенность в теме с результатом самостоятельной работы.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе затруднения: научиться находить целое по известной части.
- Планируют решение: выделить дробь, определить соответствующее ей значение, разделить значение на дробь.
- Сверяют вычисления с образцом и проверяют ответ обратным действием.
- Исправляют ошибку, если найденная часть не совпадает с данными условия.
Познавательные УУД
- Выделяют в тексте задачи величину целого, известную часть и дробь, задающую эту часть.
- Строят схему «целое — дробная часть» и переводят её в выражение деления.
- Сравнивают два способа записи дроби: обыкновенной и десятичной, устанавливая общий смысл правила.
- Оценивают разумность полученного ответа с учётом того, какая часть целого дана.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру, почему для нахождения целого известное значение делят на соответствующую дробь.
- Задают уточняющие вопросы о том, что именно обозначает дробь в условии задачи.
- Сравнивают решения в паре, указывая на совпадения или конкретное место расхождения.
- Представляют общий вывод классу, используя математические термины «целое», «часть», «дробь» и «деление».
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить на доске или слайде схему-отрезок: весь отрезок обозначает целое, выделенная часть — известное значение, над ней указана соответствующая дробь.
- Распечатать карточки с задачей о 3600 га и десятичной дробью 0,6 — по одной на пару.
- Распечатать карточки с задачей о станке: прирост 15% равен 105 деталям — по одной на каждого ученика для самостоятельной работы.
- Подготовить лист самопроверки с правилом и двумя контрольными равенствами: 6000 · 0,6 = 3600; 700 · 0,15 = 105.
- Подготовить зелёные, жёлтые и красные карточки для быстрой самооценки — по одной на ученика.
- На доске оставить место для записи темы, алгоритма и выражений 3600 : 0,6 и 105 : 0,15.
- Подготовить проектор или интерактивную доску для показа схемы и текста задачи; при отсутствии оборудования заранее начертить схему на доске.
- Проверить, что у учеников есть тетради, ручки и черновики для вычислений.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить шестиклассников в работу и заинтересовать вопросом о восстановлении целого по известной части.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на доске отрезок, у которого выделена часть с подписью «3600 га — это 0,6 всех полей». Говорит: «Здравствуйте, ребята. Проверьте, что на парте есть тетрадь, ручка и черновик. Сегодня начнём с вопроса, где уже известная часть не помогает сразу назвать целое. Посмотрите на схему: 3600 гектаров составляют 0,6 всех засеянных полей. Как вы думаете, что нужно найти?» | Готовят принадлежности, рассматривают схему, отвечают: «Нужно найти площадь всех полей». |
2 мин | Учитель предлагает приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: «Сначала подумайте молча полминуты, какое действие может помочь найти всё, если известна только часть. Затем обсудите вариант с соседом одну минуту. Не называйте ответ наугад — объясните, что в условии означает 0,6». Выслушивает одну-две пары. | Обдумывают задачу, обсуждают в паре возможное действие; предлагают: «Нужно разделить 3600 на 0,6, потому что 3600 — это только 0,6 целого». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что известное число 3600 обозначает не всё количество, а только его часть. Сейчас проверим, какие знания помогут нам найти целое и почему простое умножение здесь может не подойти».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: вспомнить смысл дроби, деление на десятичную дробь и проверку умножением.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает схему с целым отрезком и выделенной частью, над которой записано 0,6. Говорит: «Давайте вспомним, что показывает дробь, соответствующая части величины. Если весь отрезок принять за единицу, что обозначает число 0,6? Может ли 0,6 быть больше целого? Покажите на схеме, где целое, а где часть». | Отвечают: «0,6 показывает шесть десятых целого»; указывают на весь отрезок и выделенную часть. Отмечают, что 0,6 меньше единицы. |
3 мин | Учитель записывает на доске равенство □ · 0,6 = 3600 и спрашивает: «Какое действие поможет восстановить число в пустой клетке? Как можно проверить найденное число? Вспомните правило деления на десятичную дробь и объясните, почему результат должен быть больше 3600». | Предлагают уравнение и называют обратное действие: «Нужно разделить 3600 на 0,6»; объясняют, что целое больше своей части; вспоминают проверку умножением. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили, что часть получается умножением целого на соответствующую дробь, а значит, целое можно восстановить обратным действием. Теперь точно сформулируем затруднение и поставим цель».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (5 мин)
Цель этапа: обнаружить способ нахождения неизвестного целого и сформулировать план открытия правила.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращает внимание класса к записи □ · 0,6 = 3600 и задаёт вопросы: «Что именно нам неизвестно? Что означает множитель 0,6? Если мы умножили целое на 0,6 и получили 3600, каким действием вернёмся к целому? Почему нельзя просто вычесть 0,6 из 3600?» | Формулируют: «Неизвестно целое»; «0,6 — это доля целого»; «Нужно делить на 0,6»; поясняют, что 0,6 — не величина в гектарах, а доля. |
3 мин | Учитель фиксирует на доске вопросы урока: «Как найти число по значению его дроби? Как проверить ответ? Будет ли тот же способ работать, если дана обыкновенная дробь или процент?» Говорит: «Сформулируйте нашу цель своими словами. Затем предложите порядок действий, который позволит решить задачу и убедиться в результате». | Предлагают цель: «Научиться находить целое, если известна его часть»; записывают план: выделить дробь и значение части, разделить значение на дробь, проверить умножением. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Цель поставлена: найти правило, которое работает для разных дробей. Проверим его сначала на задаче о полях и будем каждый шаг связывать со смыслом условия».
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести и записать правило нахождения числа по значению его дроби, применив его к десятичной и обыкновенной дробям.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с условием: «Убрано 3600 га подсолнечника, что составляет 0,6 всех засеянных полей. Чему равна площадь всех засеянных полей?» Говорит: «Прочитайте условие и подчеркните число, которое обозначает известную часть. Обведите дробь, которая показывает, какую часть целого она составляет. В паре запишите действие и проговорите, почему выбрали именно его». | Читают условие, подчёркивают 3600 га, обводят 0,6; составляют выражение 3600 : 0,6 и объясняют: «3600 гектаров — это 0,6 целого, поэтому делим значение части на долю». |
3 мин | Учитель записывает на доске решение и произносит: «Вычислим 3600 : 0,6. Чтобы выполнить деление, можно умножить делимое и делитель на 10: 36000 : 6 = 6000. Проверим смысл результата: если площадь всех полей 6000 гектаров, то 0,6 от 6000 действительно равны 3600. Какое правило можно сформулировать?» | Записывают вычисление, выполняют проверку 6000 · 0,6 = 3600 и формулируют правило: «Чтобы найти число по значению, соответствующему данной дроби, нужно это значение разделить на дробь». |
3 мин | Учитель показывает вторую ситуацию: «После усовершенствования станка стали изготавливать на 105 деталей за смену больше, что составило 15% прежней производительности. Сколько деталей за смену станок изготавливал первоначально?» Спрашивает: «Что здесь соответствует неизвестному целому? Как записать 15% десятичной дробью? Какое выражение найдёт исходное количество?» | Отвечают: «Неизвестна прежняя производительность»; «15% = 0,15»; записывают 105 : 0,15 и находят 700 деталей. |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «Чтобы найти число по значению, соответствующему данной дроби, нужно это значение разделить на дробь». Примеры: 3600 : 0,6 = 6000; 105 : 0,15 = 700. Проверка: 6000 · 0,6 = 3600; 700 · 0,15 = 105.
Эталон решения
Поля: пусть S — площадь всех полей. Тогда 0,6S = 3600, поэтому S = 3600 : 0,6 = 36000 : 6 = 6000 га. Проверка: 6000 · 0,6 = 3600. Станок: 15% = 0,15; если x — прежнее количество деталей, то 0,15x = 105, значит x = 105 : 0,15 = 10500 : 15 = 700 деталей. Проверка: 700 · 0,15 = 105.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вывели правило и проверили его на десятичной дроби и процентах. Обратите внимание: делим именно известное значение части на дробь, которой эта часть соответствует. Теперь применим правило к обыкновенной дроби и объясним решение друг другу».
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм решения и проговаривание связи между известной частью и целым.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает условие: «Наземная часть столба равна 5 1/2 м, а в землю врыто 3/11 его длины. Найдите длину столба». Говорит: «Не спешите складывать числа. Определите, какая часть длины столба известна: наземная или подземная? Какую долю всей длины составляет наземная часть? Составьте выражение». | Обсуждают в парах: подземная часть — 3/11, наземная — 1 − 3/11 = 8/11 всей длины; составляют выражение 5 1/2 : 8/11. |
4 мин | Учитель просит одну пару объяснить решение у доски и задаёт уточнение: «Почему в делителе стоит 8/11, а не 3/11? Как проверить, что найденная длина подходит условию? Сравните найденную длину с наземной частью: целое должно быть больше своей части». | Ученик у доски вычисляет 5 1/2 : 8/11 = 11/2 · 11/8 = 121/16 = 7 9/16 м. Класс проверяет: 7 9/16 · 8/11 = 5 1/2; проговаривает выбор дроби. |
Эталон решения
В землю врыто 3/11 длины, значит наземная часть составляет 1 − 3/11 = 8/11 длины. Если 8/11 длины равны 5 1/2 м, то вся длина: 5 1/2 : 8/11 = 11/2 · 11/8 = 121/16 = 7 9/16 м. Проверка: 7 9/16 · 8/11 = 5 1/2 м.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы верно нашли, какая именно часть известна, и только после этого применили правило. Теперь каждый самостоятельно решит задачу, а затем проверит себя по эталону».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить самостоятельное применение правила к десятичной дроби, процентам и обыкновенной дроби.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки с тремя заданиями и поясняет критерии до начала работы: «Первое задание обязательное для всех, затем выберите ещё одно из двух. Записывайте не только ответ, но и дробь, которая показывает известную часть. За верную модель, вычисление и проверку можно получить три отметки в листе самоконтроля. Работайте самостоятельно». | Получают карточки, читают задания и готовят место для решения. |
6 мин | Учитель предлагает карточки: «А. Первая часть фильма длится 1,55 часа, что составляет 0,62 времени всего фильма. Найдите продолжительность фильма. Б. При распродаже цена уменьшилась на 24%, уменьшение составило 57,6 рубля. Найдите цену до распродажи. В. На участке 14 соток занимают 0,56 всего участка. Найдите площадь участка». Наблюдает за работой, задаёт индивидуальные вопросы: «Какую долю целого обозначает данное значение? На что нужно разделить?» | Самостоятельно решают обязательное задание и одно выбранное. Записывают соответственно 1,55 : 0,62; 57,6 : 0,24; или 14 : 0,56. Переводят 24% в 0,24 и оставляют вычисления в тетради. |
3 мин | Учитель открывает на доске эталон и говорит: «Сверьте решение по шагам: правильно ли выделили дробь, выбрали ли деление, верно ли вычислили и проверили результат умножением. Отметьте в листе: зелёный — все шаги понятны, жёлтый — нужна проверка вычислений, красный — пока трудно выбрать дробь. Исправление выполните другим цветом». | Сверяют: 1,55 : 0,62 = 2,5 ч; 57,6 : 0,24 = 240 руб.; 14 : 0,56 = 25 соток. Проверяют умножением и отмечают уровень уверенности цветной карточкой. |
Эталон решения
А: 1,55 : 0,62 = 155 : 62 = 2,5 ч; проверка 2,5 · 0,62 = 1,55. Б: 24% = 0,24; 57,6 : 0,24 = 5760 : 24 = 240 руб.; это исходная цена, поскольку 57,6 рубля составляют 24% исходной цены. В: 14 : 0,56 = 1400 : 56 = 25 соток; проверка 25 · 0,56 = 14.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы самостоятельно применили одно правило к разным формам записи дроби. Если ответ вызвал сомнение, вернитесь к проверке: найденное целое, умноженное на данную долю, должно дать известное значение. Сейчас соберём общий вывод и оценим, что уже получается уверенно».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: обобщить алгоритм, выявить оставшиеся затруднения и объяснить домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём «Одноминутка»: «На маленьком листке закончите две фразы: “Чтобы найти целое по его дроби, нужно…” и “Проверить ответ можно…” Запишите также один вопрос, который ещё остался. Затем передайте листок при выходе». | Письменно формулируют алгоритм: «Нужно известное значение разделить на соответствующую дробь»; называют проверку умножением; указывают оставшийся вопрос, если он есть. |
3 мин | Учитель подводит итог: «Сегодня мы научились восстанавливать целое по известной части. Дома выберите обязательный уровень и, если чувствуете уверенность, добавьте повышающий или дополнительный. В каждом решении обязательно покажите, какая дробь соответствует известному значению, и проверьте ответ. Перед выходом ответьте устно: что именно делим, когда ищем целое?» | Записывают домашнее задание, отвечают: «Известное значение части делим на дробь, которой эта часть соответствует»; сдают листок-одноминутку. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно составлены модели обязательного задания и выбранного задания, правильно выполнены вычисления, указана соответствующая дробь и проведена проверка умножением.
- «4» — способ выбран верно и модель составлена правильно, но допущена одна вычислительная ошибка либо пропущена проверка в одном задании.
- «3» — ученик верно определил известное значение части и соответствующую дробь хотя бы в одном задании, но допустил ошибку в выборе действия или вычислении.
- При самооценке отдельно отмечаются три шага: определение дроби, деление известного значения на дробь, проверка ответа.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Как сформулировать правило нахождения числа по значению его дроби? | Проверить осознание главного способа решения. |
Почему в задаче о полях нужно было вычислить 3600 : 0,6? | Выявить понимание связи между известной частью и целым. |
Как вы проверите, что найденное число подходит условию? | Уточнить, освоена ли проверка умножением. |
На каком шаге самостоятельной работы вы сомневались и что помогло разобраться? | Определить затруднения при выборе дроби, действия или вычисления. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы выяснили, как найти целое, если известно значение его части: нужно разделить это значение на соответствующую дробь. Мы применили правило к десятичным и обыкновенным дробям, а также к процентам. Самая частая ошибка — разделить на долю, которая не соответствует данному значению, поэтому сначала внимательно определяйте, какая именно часть известна. Проверяйте результат умножением: найденное целое должно дать исходное значение части. На следующем уроке продолжим решать задачи, где для нахождения целого сначала нужно определить, какая его часть дана."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи на нахождение числа по значению его десятичной или обыкновенной дроби; как минимум в одной задаче выполнить проверку умножением. | Закрепляет правило деления известного значения на соответствующую дробь; при проверке смотреть на правильный выбор дроби и оформление вычислений. |
Средний (повышающий) | Решить 3 практические задачи: одну на нахождение целого по процентам, одну по десятичной дроби и одну по обыкновенной дроби; записать краткую модель и проверку. | Развивает умение извлекать данные из текста и переводить проценты в десятичную дробь; проверить обоснование выбранного действия. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную задачу с реальным сюжетом, в которой известное значение составляет заданную дробь или процент целого; решить её и показать проверку. | Развивает перенос правила и математическое моделирование; проверить, что условие однозначно, а найденный ответ удовлетворяет ему. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как найти число по значению его дроби? Как определить, какую дробь использовать в делении? Чем проверить ответ?»
