Дробные выражения: состав и вычисление значений
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока ученики смогут распознавать дробное выражение, называть его числитель и знаменатель и находить значение простого дробного выражения, выполняя действия в числителе и знаменателе и затем деление.
- Образовательная задача: сформировать представление о дробном выражении как записи частного двух чисел или выражений, в которой знак деления обозначен чертой.
- Образовательная задача: научить определять числитель и знаменатель дробного выражения, в том числе если они содержат действия или буквенные выражения.
- Развивающая задача: развивать умение анализировать структуру математической записи, устанавливать порядок действий и проверять вычисления.
- Воспитательная задача: формировать аккуратность математической записи, готовность аргументировать ответ и доброжелательно обсуждать способы решения.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к тому, как привычное деление можно записать компактно с помощью дробной черты.
- Осознают ценность точной записи числителя и знаменателя для получения верного результата.
- Проявляют готовность проверять собственные вычисления и спокойно исправлять обнаруженную ошибку.
- Соблюдают уважительный порядок обсуждения при работе в паре и при представлении решения классу.
Метапредметные
- Извлекают из математической записи информацию о делимом и делителе, выделяют числитель и знаменатель.
- Сравнивают запись частного со знаком деления и соответствующую запись с дробной чертой.
- Планируют порядок вычислений в дробном выражении и объясняют его словами.
- В паре формулируют вывод, приводят пример и оценивают, соответствует ли ответ исходной записи.
Предметные
- Знают, что частное двух чисел или выражений, в котором знак деления обозначен чертой, называют дробным выражением.
- Умеют определять числитель как выражение над чертой, а знаменатель — как выражение под чертой.
- Умеют записывать частное чисел и выражений с помощью дробной черты.
- Умеют вычислять простые дробные выражения по правилу действий с обыкновенными дробями: сначала находить значения числителя и знаменателя, затем делить значение числителя на значение знаменателя.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный учебный результат: научиться читать и вычислять дробные выражения.
- Соотносят точность записи с надежностью математического ответа.
- Проявляют ответственность за индивидуальную работу и готовность принять помощь партнера.
- Поддерживают учебную мотивацию, формулируя вопрос о новой записи и находя на него ответ.
Регулятивные УУД
- Принимают учебную задачу после обнаружения затруднения при чтении составной записи частного.
- Планируют вычисление по шагам: числитель, знаменатель, деление полученных значений.
- Сверяют промежуточные результаты с образцом и контролируют порядок действий.
- Находят и исправляют ошибку, если деление выполнено до вычисления выражений над чертой или под ней.
Познавательные УУД
- Читают математическую запись и преобразуют частное со знаком деления в дробное выражение.
- Классифицируют числитель и знаменатель как числа, числовые выражения или буквенные выражения.
- Сопоставляют две формы записи одного и того же частного и формулируют общее правило.
- Используют известные правила действий с обыкновенными дробями при вычислении значения дробного выражения.
Коммуникативные УУД
- Слушают объяснение партнера и уточняют, какая часть записи является числителем или знаменателем.
- Задают вопросы о порядке вычислений и отвечают, используя математические термины.
- Аргументируют выбор последовательности действий на примере дробного выражения.
- Согласуют общий ответ в паре и корректно сообщают классу найденный способ.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске: частное 3 : 7 = 3/7 и образец перехода от записи частного к дробной черте.
- Подготовить крупную наглядную схему с обозначениями «числитель» над дробной чертой и «знаменатель» под ней.
- Распечатать карточки с выражениями для парной работы — по одной карточке на пару; включить запись (5,5 − 3,6 − 3,7) : (10,8 : 2,7 − 3,6) и два коротких примера на определение числителя и знаменателя.
- Распечатать индивидуальный лист самопроверки с двумя заданиями: назвать числитель и знаменатель и вычислить дробное выражение; по одному листу на ученика.
- Подготовить цветные карточки или стикеры трех цветов для быстрой проверки понимания: зеленый — понял, желтый — есть вопрос, красный — нужна помощь.
- Заранее записать на доске проблемный вопрос: «Как записать частное двух выражений так, чтобы было ясно, где заканчивается делимое и начинается делитель?»
- Подготовить доску или слайд с алгоритмом вычисления: найти значение числителя; найти значение знаменателя; разделить значение числителя на значение знаменателя.
- Обеспечить оборудование: доска и мел или маркеры; проектор и компьютер при использовании презентации; таймер для коротких парных и индивидуальных заданий.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: организовать класс и заинтересовать учеников новой компактной записью частного.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и проверяет готовность: «Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, что на парте есть тетрадь, ручка и линейка. Сегодня нам пригодятся внимательность и умение объяснять ход вычислений. Посмотрите на доску: там записано частное 3 : 7. Как вы обычно его читаете?» | Готовят тетради и ручки, читают запись вслух: «Три разделить на семь». |
2 мин | Учитель показывает рядом запись 3/7: «А теперь посмотрите на ту же идею в другой форме. Здесь нет привычного знака деления, но есть черта. Как вы думаете, какое действие обозначает эта запись? Чем она удобна, если делимое и делитель — не одно число, а целые выражения? Запишите предположение одним предложением». | Сравнивают две записи, индивидуально формулируют предположение, затем обмениваются им с соседом. Ожидаемые ответы: «Это тоже деление»; «Черта отделяет делимое от делителя». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы заметили, что дробная черта может обозначать деление. Но как читать такую запись, если над чертой и под ней стоят целые выражения? Сначала вспомним, как мы выполняем обычное деление и действия в выражениях».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать понимание частного, порядка действий и вычисления выражений в скобках.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске 12 : 16 и 12/16: «Прочитайте обе записи. Как называются числа 12 и 16 при делении? Что показывает результат деления? Подумайте, одинаково ли обозначено действие в этих записях». Учитель выслушивает несколько ответов и уточняет термины «делимое», «делитель», «частное». | По очереди читают записи: «Двенадцать разделить на шестнадцать»; называют 12 делимым, 16 делителем, а результат — частным; делают вывод, что дробная черта может заменить знак деления. |
3 мин | Учитель предлагает короткую устную разминку: «Вычислите по порядку: 10,8 : 2,7 и 5,5 − 3,6 − 3,7. Объясните, какое действие выполняли первым и почему. Эти выражения мы позже увидим над чертой и под чертой, поэтому важно внимательно установить их значения». Учитель фиксирует ответы на доске. | Устно вычисляют: 10,8 : 2,7 = 4; 5,5 − 3,6 − 3,7 = 1,9 − 3,7 = −1,8. Замечают, что последовательные действия выполняются по правилам порядка действий и слева направо для действий одной ступени. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили, что частное — результат деления, и умеем находить значение составных выражений. Теперь проверим, можно ли одной дробной чертой обозначить частное, в котором и делимое, и делитель имеют собственные действия».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение при записи частного выражений и совместно определить цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает выражение (5,5 − 3,6 − 3,7) : (10,8 : 2,7 − 3,6): «Прочитайте выражение и определите, что здесь делимое, а что делитель. Как переписать его без знака деления, чтобы скобки не мешали чтению? Попробуйте сначала самостоятельно, затем сравните вариант с соседом». | Самостоятельно анализируют запись, затем обсуждают в паре. Предлагают записать первое выражение над чертой, второе — под чертой; отмечают, что необходимо сохранить границы обоих выражений. |
2 мин | Учитель задает проблемный вопрос: «Что нужно узнать, чтобы уверенно читать такую запись и находить ее значение? Как назвать части над и под чертой? В какой последовательности вычислять?» Учитель фиксирует сформулированную детьми цель и план: распознать запись, назвать ее части, вычислить пример. | Формулируют цель: «Научиться распознавать дробное выражение и вычислять его». Предлагают план: «Сначала разобраться с чертой, потом определить числитель и знаменатель, затем выполнить деление». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы выяснили, что одной чертой можно отделить целое выражение-делимое от целого выражения-делителя. Теперь сами откроем правило: как называется такая запись и как называются ее части».
Этап 4. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: вывести определение дробного выражения, установить названия его частей и открыть порядок вычисления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает на доске 3 : 7 = 3/7 и 12 : 16 = 12/16: «Рассмотрим запись частного с дробной чертой. Что находится над чертой? Что находится под ней? В обычном делении 3 : 7 число 3 — делимое, а 7 — делитель. Значит, как мы назовем 3 и 7 в дробной записи?» Учитель обводит верхнюю и нижнюю части разными цветами. | Наблюдают за схемой, отвечают: «Над чертой стоит делимое, под чертой — делитель»; усваивают названия «числитель» и «знаменатель». |
3 мин | Учитель открывает на доске запись (82,3 − 45,4) / (12,7 + 36,5): «Здесь и сверху, и снизу записаны не отдельные числа, а выражения. Прочитайте числитель и знаменатель. Что обозначает дробная черта? Сформулируйте определение так, чтобы оно подходило и к записи с числами, и к записи с выражениями». Учитель подводит класс к точной формулировке. | Читают числитель: «82,3 − 45,4», знаменатель: «12,7 + 36,5»; формулируют: «Дробным выражением называют запись частного двух чисел или выражений, в которой знак деления обозначен чертой». |
3 мин | Учитель показывает образец с буквами (m − n) / (m + n): «Могут ли числитель и знаменатель быть буквенными выражениями? Назовите их в этом примере. Обратите внимание: числитель — все выражение над чертой, знаменатель — все выражение под ней. Границу задает сама черта, поэтому не отделяйте от них отдельный фрагмент». | Называют числитель «m − n», знаменатель «m + n»; делают вывод, что в числителе и знаменателе могут стоять числа, числовые или буквенные выражения. |
3 мин | Учитель записывает алгоритм: «Теперь выясним, как найти значение дробного выражения. Сначала вычисляем выражение в числителе, затем — выражение в знаменателе. Последним действием значение числителя делим на значение знаменателя. В примере (2/5) / (2/3) числитель и знаменатель — дроби. Умножим их на 15, общий знаменатель чисел 5 и 3: получим (6/15) / (10/15) = 6/10 = 0,6. Почему деление выполняем последним?» | Записывают порядок вычислений и отвечают: «Потому что дробная черта обозначает деление всего числителя на весь знаменатель». Сопоставляют алгоритм с разбором примера. |
Запись в тетрадях
Ученики записывают определение: «Дробным выражением называют запись частного двух чисел или выражений, в которой знак деления обозначен чертой». Ниже записывают: «Выражение над чертой — числитель; выражение под чертой — знаменатель». Алгоритм: «1) вычислить значение числителя; 2) вычислить значение знаменателя; 3) разделить значение числителя на значение знаменателя».
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы открыли определение и порядок вычисления: сначала находим значения двух частей, а затем выполняем деление. Проверим, насколько уверенно мы распознаем числитель и знаменатель в новых записях».
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить чтение дробных выражений и применение алгоритма вычисления с проговариванием шагов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздает каждой паре карточку с выражением (5,5 − 3,6 − 3,7) / (10,8 : 2,7 − 3,6): «Работаем в паре. Один ученик указывает и называет числитель, второй — знаменатель; затем вместе решите, как находить значение. Не перепрыгивайте через шаги: сначала вычислите верхнюю часть, потом нижнюю. На обсуждение у вас три минуты». | В парах подчеркивают числитель и обводят знаменатель, записывают вычисления: числитель 5,5 − 3,6 − 3,7 = −1,8; знаменатель 10,8 : 2,7 − 3,6 = 4 − 3,6 = 0,4; затем делят −1,8 на 0,4. |
2 мин | Учитель предлагает паре объяснить решение: «Проговорите вычисление так, чтобы классу был ясен каждый шаг. Остальные проверьте, не пропущено ли действие в числителе или знаменателе. Если вы согласны с ответом, покажите зеленую карточку; если видите затруднение — желтую». | Представитель пары объясняет последовательность действий; класс сверяет промежуточные значения и поднимает карточки. Ожидаемое значение выражения: −1,8 : 0,4 = −4,5. |
2 мин | Учитель показывает выражение (82,3 − 45,4) / (12,7 + 36,5): «Не вычисляя до конца, назовите числитель и знаменатель и составьте план вычисления. Что будет последним действием? Почему нельзя сначала разделить отдельные числа, расположенные по обе стороны черты?» | Называют числитель 82,3 − 45,4 и знаменатель 12,7 + 36,5; планируют сначала выполнить вычитание и сложение, затем разделить результаты; объясняют, что черта обозначает деление всего числителя на весь знаменатель. |
Эталон решения
Для парного выражения: числитель 5,5 − 3,6 − 3,7 = 1,9 − 3,7 = −1,8; знаменатель 10,8 : 2,7 − 3,6 = 4 − 3,6 = 0,4; значение дробного выражения: −1,8 : 0,4 = −4,5. Для выражения (82,3 − 45,4) / (12,7 + 36,5): числитель равен 36,9, знаменатель равен 49,2; значение равно 36,9 : 49,2 = 0,75.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы правильно разделили вычисления на числитель, знаменатель и итоговое деление. Теперь каждый самостоятельно выполнит похожие действия и проверит себя по алгоритму».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное понимание определения, частей дробного выражения и порядка вычислений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздает листы и объясняет критерии: «Работаем самостоятельно. В первом задании подпишите числитель и знаменатель у записи (3,6) / (1,5). Во втором вычислите значение (2/5) / (2/3), обязательно показывая преобразование. Для всех обязательны оба задания. Если справитесь раньше, выполните дополнительное: назовите части выражения (5n + 4m) / (8,1c − 2)». | Получают листы, читают условия, задают уточняющие вопросы о порядке выполнения и готовят место для записи промежуточных действий. |
5 мин | Учитель наблюдает за индивидуальной работой и при необходимости напоминает: «Проверьте себя: назвали ли вы целиком выражение над чертой? Не потеряли ли часть выражения под чертой? Во втором задании найдите значение числителя и знаменателя, а потом выполните деление. Не стирайте ход решения — по нему можно понять, где возникла ошибка». | Самостоятельно выполняют два задания: называют числитель 3,6 и знаменатель 1,5; вычисляют дробное выражение (2/5) / (2/3), показывая промежуточные преобразования. При наличии времени называют буквенные числитель 5n + 4m и знаменатель 8,1c − 2. |
3 мин | Учитель выводит на доску эталон: «Сверьте каждый шаг, а не только конечный ответ. В выражении (2/5) / (2/3) умножаем числитель и знаменатель дробного выражения на 15: получаем (6/15) / (10/15) = 6/10 = 0,6. Отметьте галочкой верные шаги; если нашли расхождение, исправьте его другим цветом». | Сверяют решение с эталоном, отмечают совпавшие шаги и самостоятельно исправляют неточности. Поднимают зеленую, желтую или красную карточку, показывая степень уверенности. |
Эталон решения
Задание 1: в записи (3,6) / (1,5) числитель — 3,6, знаменатель — 1,5. Задание 2: умножаем числитель и знаменатель дробного выражения на 15: (2/5) / (2/3) = (6/15) / (10/15) = 6/10 = 0,6. Дополнительное задание: числитель — 5n + 4m; знаменатель — 8,1c − 2.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самопроверка показала, что важно внимательно прочитать всю запись и выполнить деление последним. Теперь перенесем этот способ на задачу с готовым частным и выясним, как оформить его дробным выражением».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: обобщить новое знание, получить обратную связь и объяснить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращается к проблемному вопросу: «Как записать частное двух выражений, чтобы было ясно, где делимое и где делитель? Закончите фразу: “Дробным выражением называют…” Затем назовите, что находится над чертой и под ней, и сформулируйте три шага вычисления». | Формулируют определение, называют числитель и знаменатель, воспроизводят алгоритм: сначала вычислить числитель и знаменатель, затем разделить их значения. |
1 мин | Учитель проводит рефлексию «Одноминутка»: «На небольшом листке напишите одно правило, которое сегодня стало понятнее, и один вопрос, который еще остался. Подпишите листок и сдайте мне при выходе». | Письменно фиксируют усвоенное правило и возможный вопрос; сдают листок учителю. |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание: «Обязательный уровень выполняют все. Выберите также средний уровень, если хотите потренироваться, или продвинутый — если уверенно справились на уроке. В каждом вычислении обязательно отделяйте нахождение числителя и знаменателя от последнего деления. Перед выходом ответьте устно: что означает дробная черта?» | Записывают выбранное домашнее задание; отвечают: «Дробная черта обозначает деление числителя на знаменатель»; называют по одному действию, необходимому для вычисления выражения. |
Итоговая реплика учителя: «Сегодня мы научились узнавать дробное выражение и выяснили, что дробная черта обозначает деление. Вы теперь умеете называть числитель и знаменатель и вычислять значение выражения по шагам. Самая частая ошибка — начать делить, не найдя сначала значения числителя и знаменателя. Дома потренируйтесь записывать промежуточные действия, а на следующем уроке продолжим вычислять дробные выражения и применять этот способ в более сложных примерах».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — ученик верно определил числитель и знаменатель в обоих типах записи, правильно вычислил самостоятельное задание, показал промежуточные шаги и объяснил, почему деление выполняется последним.
- «4» — ученик верно распознал числитель и знаменатель и применил алгоритм, но допустил одну вычислительную неточность либо не полностью записал промежуточные шаги.
- «3» — ученик с помощью алгоритма определил числитель и знаменатель хотя бы в одном примере и выполнил часть вычислений, но допустил затруднение при нахождении значения или последовательности действий.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что называют дробным выражением? | Проверить понимание нового определения. |
Как называются выражение над чертой и выражение под чертой? | Проверить усвоение понятий «числитель» и «знаменатель». |
Какой шаг вычисления дробного выражения оказался для вас самым трудным? | Выявить точку затруднения в алгоритме и определить необходимость дополнительного разбора. |
Насколько уверенно вы сможете самостоятельно вычислить новое дробное выражение: уверенно, с проверкой или пока нужна помощь? | Получить субъективную самооценку освоения темы и спланировать поддержку. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы узнали, что дробная черта — это знак деления, а дробное выражение может содержать числа или целые выражения. Мы научились находить числитель, знаменатель и значение выражения. Помните о типичной ошибке: нельзя начинать с деления, пока не вычислены обе части дробного выражения. На следующем уроке мы продолжим вычисления и будем применять это правило в новых заданиях».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания на определение числителя и знаменателя в дробных выражениях с числами и буквенными выражениями; вычислить 2 простых дробных выражения, сначала отдельно найдя значения числителя и знаменателя. | Закрепить определения и последовательность вычисления; при проверке обратить внимание, верно ли указаны выражения целиком и выполнено ли деление последним. |
Средний (повышающий) | Вычислить 3 дробных выражения, в числителе и знаменателе которых есть действия сложения, вычитания или деления; к каждому примеру записать промежуточные значения обеих частей. | Развить навык планирования порядка действий; проверить аккуратность вычислений в числителе и знаменателе. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить одно дробное выражение с числовыми выражениями в числителе и знаменателе, вычислить его значение и записать краткое объяснение алгоритма из трех шагов. | Развить умение самостоятельно конструировать математическую запись и объяснять способ решения; проверить корректность структуры и обоснованность порядка действий. |
Контрольные вопросы перед выходом: что называется дробным выражением? Как называются части над чертой и под чертой? В каком порядке находят значение дробного выражения?
