Действие сложения. Свойства сложения
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока учащиеся сформулируют переместительное и сочетательное свойства сложения, применят их для рационального вычисления не менее чем в четырёх из пяти заданий и объяснят выбор удобного порядка действий.
- Сформировать представление о переместительном и сочетательном свойствах сложения натуральных чисел, целых чисел и дробей.
- Научить применять свойства сложения для группировки слагаемых и упрощения вычислений.
- Развивать умение сравнивать способы решения, находить закономерность, аргументировать ответ и работать в паре.
- Формировать навыки самоконтроля, взаимопроверки и осознанного отношения к математическим действиям в практических ситуациях.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к поиску более удобного способа вычисления и понимают практическую ценность математической экономии усилий.
- Осознают важность точности, последовательности и ответственности при выполнении вычислений.
- Принимают правила сотрудничества, корректно обсуждают решение с одноклассником и учитывают его аргументы.
- Формируют положительное отношение к самостоятельному преодолению затруднения.
Метапредметные
- Выделяют существенные признаки свойств сложения и формулируют вывод на основе наблюдения за примерами.
- Планируют способ решения вычислительного задания, сравнивают несколько способов и выбирают рациональный.
- Используют математическую речь для объяснения преобразований и работают с информацией на экране.
- Осуществляют взаимопроверку по эталону, обнаруживают ошибку и корректируют решение.
- Сотрудничают в паре, распределяют действия и представляют общий результат.
Предметные
- Знать формулировки переместительного и сочетательного свойств сложения.
- Уметь записывать свойства сложения с помощью буквенной и числовой моделей.
- Уметь применять свойства при сложении натуральных, целых чисел и обыкновенных дробей.
- Уметь группировать слагаемые для устного и письменного рационального вычисления.
- Уметь объяснять, почему результат сложения не изменяется при перестановке и перегруппировке слагаемых.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную цель: научиться находить удобный порядок сложения.
- Осознают смысл изучения свойств через связь с быстрыми вычислениями в бытовых и учебных ситуациях.
- Оценивают собственный вклад в парную работу и готовность исправлять ошибки.
- Проявляют самостоятельность при выборе уровня задания.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель урока на основе выявленного затруднения.
- Составляют план открытия свойства по числовым примерам.
- Контролируют порядок преобразований и сверяют результат с эталоном.
- Оценивают результат по критериям и при необходимости выполняют коррекцию.
Познавательные УУД
- Сравнивают выражения и устанавливают инвариантность результата.
- Моделируют свойства с помощью буквенных равенств и схем.
- Классифицируют способы группировки слагаемых.
- Преобразуют числовую информацию и выбирают рациональный алгоритм вычисления.
- Находят и объясняют ошибку в готовом решении.
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопрос и гипотезу в паре.
- Объясняют партнёру ход рассуждения, используя математические термины.
- Слушают ответ одноклассника и задают уточняющий вопрос.
- Согласовывают общий вариант формулировки и аргументируют его перед классом.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную доску с примерами перестановки и группировки слагаемых, алгоритмом рационального вычисления и заданиями для самопроверки.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Распечатать карточки для парной работы с выражениями на сложение дробей и целых чисел — по одной карточке на пару.
- Подготовить цветные стикеры трёх цветов для приёма «Светофор» — по одному комплекту на парту.
- Вывести на доску тему урока, план открытия свойства и памятку: «Переместительное: a+b=b+a; сочетательное: (a+b)+c=a+(b+c)».
- Подготовить таймер на 2–3 минуты для парной работы и самостоятельного задания.
- Подготовить проектор, ноутбук или интерактивную доску, маркеры и магнитные карточки с числами.
- Освободить место у доски для короткой физкультминутки с математическими движениями.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и создать мотивацию к поиску удобного способа сложения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность: тетрадь, ручка, линейка должны лежать перед вами. Сегодня нам понадобится не только точность, но и математическая смекалка. Запишите дату и тему урока: «Действие сложения. Свойства сложения»." | Проверяют готовность, записывают дату и тему урока. |
2 мин | Учитель показывает на экране выражения 27+13+3 и 13+27+3: "Представьте, что вы быстро считаете стоимость трёх покупок. Какой порядок действий выберете? Можно ли переставлять слагаемые? Сегодня мы выясним, как делать это правильно и зачем это нужно." | Сравнивают выражения, предполагают: «Сумма не изменится», «удобно сначала сложить 27 и 3». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что один и тот же пример можно записать по-разному. Сейчас проверим нашу гипотезу на знакомых вычислениях и найдём правило."
Этап 2. Актуализация знаний и выявление затруднения (5 мин)
Цель этапа: актуализировать смысл сложения, компоненты действия и навыки устного вычисления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает устный счёт: "Выполните цепочку: 8+7, 15+20, 35+5. Назовите компоненты действия сложения. Что произойдёт с суммой, если поменять местами слагаемые? Не спешите, сначала подумайте, затем обсудите ответ с соседом." | Решают примеры, отвечают: «Слагаемые и сумма». В паре формулируют предположение: «При перестановке слагаемых сумма не изменяется». |
3 мин | Учитель записывает пары равенств: 4+9=9+4; 6+8=8+6; 12+5+3 и 12+3+5. Спрашивает: "Что общего у первых равенств? А что изменилось в последних выражениях? Можем ли мы доказать, что результат сохраняется не случайно?" | Сравнивают записи, выделяют перестановку двух слагаемых, замечают изменение порядка трёх слагаемых и формулируют затруднение: «Нужно объяснить и записать общее правило». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы умеем проверять отдельные примеры, но нам нужно получить общее правило, которое будет работать всегда. Сформулируем цель нашего исследования."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную задачу и план открытия свойств сложения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сначала 30 секунд подумайте самостоятельно: какое правило описывает перестановку слагаемых? Затем обсудите формулировку в паре. Важно использовать слова «сумма», «слагаемые», «не изменяется»." | Самостоятельно формулируют правило, затем обсуждают его в паре и предлагают варианты: «От перестановки слагаемых сумма не изменяется». |
2 мин | Учитель фиксирует цель: "Сегодня мы установим два свойства: одно связано с перестановкой, другое — с группировкой. План такой: исследуем примеры, запишем свойства буквами, применим их к вычислениям и проверим себя." | Записывают цель и план урока, задают уточняющие вопросы. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: не просто запомнить названия, а понять, как свойства помогают считать быстрее. Переходим к математическому исследованию."
Этап 4. Открытие нового знания. Парная работа и ИКТ (10 мин)
Цель этапа: вывести переместительное и сочетательное свойства сложения через сравнение числовых выражений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель выводит на экран пары выражений: 7+12 и 12+7; 25+18 и 18+25. "Выполните вычисления в тетради. Сравните результаты. Что изменилось в записи и что осталось неизменным? Запишите вывод словами, а затем проверим его всем классом." | Вычисляют значения, сравнивают результаты и записывают вывод: «При перестановке слагаемых значение суммы не изменяется». |
3 мин | Учитель показывает выражения (2+5)+3 и 2+(5+3), (10+4)+6 и 10+(4+6): "Теперь обратите внимание не на порядок чисел, а на скобки. Посчитайте двумя способами. Как изменилось объединение слагаемых?" | Вычисляют выражения, отмечают, что меняется группировка, но результат одинаков: «Можно по-разному объединять слагаемые». |
3 мин | Учитель формулирует и записывает на доске: "Переместительное свойство: a+b=b+a. Сочетательное свойство: (a+b)+c=a+(b+c). В первом случае меняем порядок слагаемых, во втором — группировку. Приведите собственные примеры и объясните, какое свойство использовали." | Записывают формулы, составляют по одному числовому примеру на каждое свойство, объясняют: «В примере 8+3=3+8 использовано переместительное свойство»; «В примере (4+6)+5=4+(6+5) использовано сочетательное свойство». |
Запись в тетрадях
Переместительное свойство сложения: a+b=b+a. От перестановки слагаемых сумма не изменяется. Сочетательное свойство сложения: (a+b)+c=a+(b+c). Чтобы сложить несколько чисел, можно группировать слагаемые любым способом.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы открыли два свойства сложения. Теперь проверим их действие не только на простых примерах, но и в рациональных вычислениях, где правильная группировка действительно экономит время."
Этап 5. Первичное закрепление и физкультминутка (7 мин)
Цель этапа: закрепить распознавание свойств и применить их в вычислениях с проговариванием действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт карточки парам: "В каждой карточке три задания. Определите, какое свойство использовано, вставьте пропущенное выражение и вычислите удобным способом: 36+14+4; 2,7+5,3+1,4; 3/8+1/8+5/8. Обсуждайте каждое решение и подготовьте объяснение одного задания." | В парах группируют слагаемые, решают задания, проговаривают: «36+4=40, затем 40+14=54»; «2,7+5,3=8, затем +1,4=9,4»; «Сначала складываем числители дробей с одинаковыми знаменателями». |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Обменяйтесь карточками с соседней парой. Проверьте не только ответ, но и объяснение выбранного свойства. Если нашли ошибку, поставьте рядом вопросительный знак, а не исправляйте за автора." | Проверяют карточку другой пары, отмечают верные решения и задают уточняющий вопрос по ошибке. |
1 мин | Учитель проводит физкультминутку: "Если я называю переместительное свойство, хлопните один раз; если сочетательное — два раза. При слове «сумма» потянитесь вверх, при слове «слагаемое» наклонитесь вправо." | Выполняют движения по инструкции, различают два свойства и переключают внимание. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы научились узнавать свойства и использовать удобную группировку. После короткой двигательной паузы каждый проверит, может ли применить новый способ самостоятельно."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное понимание свойств и умение выбирать рациональный способ вычисления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель предлагает задания трёх уровней: "Выберите уровень по своей готовности. Минимум: назовите свойство в равенствах 8+11=11+8 и (3+7)+2=3+(7+2). Базовый: вычислите 48+17+2 и 6,4+3,6+1,5 удобным способом. Повышенный: объясните, почему выражение 19+28+1 удобнее считать как 19+(28+1). Записывайте все преобразования." | Индивидуально выполняют выбранный вариант, подписывают использованное свойство и показывают промежуточную группировку. |
3 мин | Учитель открывает на экране эталон: "Сверьте каждую строку. Если ошибка есть, зачеркните неверный шаг одной линией, рядом запишите исправление и укажите причину ошибки. Оцените себя по количеству верных заданий." | Сверяют решения с эталоном, исправляют ошибки, выставляют условный результат: «всё верно», «нужна тренировка», «нужна помощь». |
Эталон решения
48+17+2=48+2+17=50+17=67. Использовано переместительное свойство и удобная группировка слагаемых. 6,4+3,6+1,5=(6,4+3,6)+1,5=10+1,5=11,5. 19+28+1=19+(28+1)=19+29=48.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что правило становится полезным только тогда, когда вы умеете объяснить каждый шаг. Осталось связать свойства с другими предметами и жизненными вычислениями."
Этап 7. Межпредметное применение и рефлексия (5 мин)
Цель этапа: применить свойства сложения в реальном контексте и осознать результат обучения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает на экране данные о времени маршрута: 12 мин пешком, 18 мин на автобусе и 2 мин ожидания. "Составьте выражение для общего времени. Выберите удобный порядок сложения и объясните, почему он удобен. Где ещё встречается необходимость объединять данные: в информатике, физике, экономике?" | Составляют 12+18+2, преобразуют в 12+2+18=14+18=32 мин, объясняют выбор. Приводят примеры: «в таблицах и программах», «при сложении промежутков времени», «при подсчёте расходов». |
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: "Поднимите зелёный стикер, если можете сформулировать оба свойства и применить их; жёлтый — если формулировку знаете, но нужна тренировка; красный — если требуется разбор. На стикере допишите одно предложение: «Сегодня я научился…»." | Выбирают цвет, дописывают фразу, формулируют: «Сегодня я научился группировать слагаемые для быстрого счёта» или «Мне нужно повторить сочетательное свойство». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня свойства сложения помогли нам быстрее считать и объяснять свои действия. Запишем домашнее задание, а затем ответим на контрольные вопросы."
Этап 8. Подведение итогов и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: зафиксировать ключевые выводы, организовать самооценку и объяснить домашнюю работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель спрашивает: "Как звучит переместительное свойство? Чем оно отличается от сочетательного? Какое свойство помогло в вычислении 19+28+1? Запишите домашнее задание по выбранному уровню и отметьте, какой навык хотите закрепить." | Отвечают: «Переместительное меняет порядок слагаемых, сочетательное — их группировку». Записывают домашнее задание и личную цель. |
1 мин | Учитель завершает урок: "Проверьте, что в тетради есть две формулы и один собственный пример каждого свойства. Если запись полная, урок можно считать завершённым." | Проверяют тетради по чек-листу, сдают стикеры или поднимают зелёный сигнал готовности. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранного уровня, правильно названы оба свойства, преобразования записаны последовательно, объяснение рациональной группировки математически обосновано.
- «4» — верно выполнено не менее 80% заданий, свойства названы правильно, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, не повлиявшая на общий способ решения.
- «3» — верно выполнено не менее половины заданий, узнаётся хотя бы одно свойство, но требуется помощь при выборе порядка сложения или объяснении преобразований.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о порядке слагаемых и группировке? | Выявление осознания двух свойств сложения. |
Какое выражение сегодня вы научились считать удобнее всего? | Проверка переноса свойства в практическое вычисление. |
Что было труднее: сформулировать правило, выбрать группировку или проверить решение? | Выявление точки затруднения в алгоритме. |
Какой цвет «Светофора» вы выбрали и что поможет перейти на следующий уровень? | Субъективная оценка освоения темы и планирование коррекции. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы выяснили, что при сложении можно менять порядок слагаемых и их группировку, не изменяя сумму. Эти свойства помогают не только записывать равенства, но и быстро находить удобные пары чисел. Типичная ошибка — перепутать перестановку слагаемых с изменением знаков или неверно раскрыть скобки. На следующем уроке мы продолжим использовать свойства сложения при действиях с рациональными числами и разберём более сложные выражения."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4–5 выражений на распознавание переместительного и сочетательного свойств и вычисление сумм натуральных и десятичных чисел. | Закрепить формулировки свойств и проверять, какое преобразование выполнено. |
Средний (повышающий) | Решить 4–5 выражений на рациональную группировку слагаемых, включая два примера с обыкновенными дробями и один пример с отрицательными числами. | Отработать выбор удобного порядка сложения и аккуратную запись преобразований. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить три собственных примера, в которых применение свойств сокращает вычисление, и письменно объяснить каждый шаг; дополнительно придумать задачу из жизненного контекста. | Развить умение создавать математическую модель, аргументировать выбор способа и переносить знания в новую ситуацию. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как формулируется переместительное свойство? Как формулируется сочетательное свойство? Как удобнее вычислить 37+24+3 и какое свойство вы применили? Чем перестановка слагаемых отличается от их группировки?»
