Действие сложения и вычитания смешанных чисел
Цели и задачи
- Цель: научиться выполнять сложение и вычитание смешанных чисел с разными знаменателями, включая случаи с заимствованием единицы у целой части.
- Образовательная задача: вывести и закрепить алгоритмы сложения и вычитания смешанных чисел, основанные на свойствах действий с натуральными числами и дробями.
- Развивающая задача: развивать логическое мышление и навыки самоконтроля через анализ типичных затруднений при вычитании дробных частей.
- Воспитательная задача: формировать навыки делового сотрудничества при работе в парах и группах.
Планируемые результаты
Личностные
- Формирование устойчивого интереса к изучению математики через решение практико-ориентированных задач.
- Развитие критического мышления при оценке собственных результатов и результатов одноклассников.
- Осознание важности точности вычислений в повседневной жизни (бюджет, строительство, кулинария).
- Готовность к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению.
Метапредметные
- Познавательные: умение анализировать информацию, представленную в виде алгоритмов и схем; строить логическое рассуждение.
- Регулятивные: способность ставить учебные цели, планировать свои действия в соответствии с поставленной задачей, осуществлять самопроверку по эталону.
- Коммуникативные: умение аргументированно высказывать свою точку зрения, слушать партнера и вступать в диалог.
Предметные
- Знать алгоритмы сложения и вычитания смешанных чисел с разными знаменателями.
- Уметь приводить дробные части к наименьшему общему знаменателю.
- Уметь выделять целую часть из неправильной дроби и переводить единицу целой части в дробную (заимствование).
- Владеть навыком решения текстовых задач на движение и расчет периметра с использованием смешанных чисел.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Смыслообразование (установление связи между целью учебной деятельности и ее мотивом).
- Нравственно-этическая ориентация (оценка усваиваемого содержания).
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи.
- Планирование последовательности промежуточных целей.
- Оценка — выделение и осознание того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению.
Познавательные УУД
- Поиск и выделение необходимой информации из текста учебника.
- Моделирование (преобразование объекта из чувственной формы в модель).
- Выбор наиболее эффективных способов решения задач.
Коммуникативные УУД
- Управление поведением партнера (контроль, коррекция, оценка его действий).
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить карточки для актуализации знаний с примерами на перевод неправильных дробей в смешанные числа (по 1 шт. на парту).
- Распечатать алгоритмы сложения и вычитания смешанных чисел (в сокращенном виде) для вклеивания в тетрадь-справочник.
- Подготовить презентацию с визуализацией Примера 4 (случай, когда дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого).
- Выписать на доску ключевые термины: «Наименьший общий знаменатель», «Целая часть», «Дробная часть», «Заимствование единицы».
- Подготовить сигнальные карточки (зеленая/красная) для этапа рефлексии.
Ход урока
Этап 1. Мотивация и самоопределение (3 мин)
Цель этапа: создать эмоциональный настрой и заинтриговать учащихся практической задачей.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Здравствуйте, ребята! Сегодня мы продолжаем наше путешествие в мир дробей. Посмотрите на экран. Перед вами задача из жизни: 'Шелковую ленту разрезали на две части так, что длина одной части равна 6 3/8 м, а другой — на 2 1/5 м меньше. Какой длины была лента первоначально?'. Как вы думаете, сможем ли мы сразу ответить на этот вопрос?" | Приветствуют учителя, читают задачу на экране. Отвечают: "Нет, сначала нужно найти длину второй части, а потом сложить их. Но мы пока не умеем вычитать и складывать такие числа с разными знаменателями." |
2 мин | "Верно. Мы уже умеем работать с обыкновенными дробями, а сегодня научимся справляться со смешанными числами. Это сделает нас настоящими мастерами расчетов. Запишите тему урока в тетради: 'Действие сложения и вычитания смешанных чисел'." | Записывают тему урока в тетради, настраиваются на работу. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Чтобы решить задачу про ленту, нам нужно вооружиться новыми правилами. Но сначала проверим наши инструменты — то, что мы уже знаем."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить опорные знания о смешанных числах и приведении дробей к общему знаменателю.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Давайте проведем математическую разминку. У вас на столах карточки. Задание №1: представьте смешанное число в виде неправильной дроби (например, 2 1/13). Задание №2: запишите смешанное число так, чтобы дробная часть не была неправильной (например, 8 17/4). Работаем в парах 2 минуты." | Работают в парах. Переводят числа: 2 1/13 = 27/13; 8 17/4 = 12 1/4. Обсуждают результаты. |
2 мин | "Проверим результаты. Кто готов объяснить, как из 8 17/4 получилось 12 1/4? Вспомним также, как найти наименьший общий знаменатель для дробей со знаменателями 12 и 8?" | Один ученик объясняет: "Мы выделили из 17/4 целую часть 4 и 1/4, и прибавили 4 к 8". Другой отвечает: "НОК(12, 8) = 24". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Отлично, фундамент готов. Теперь попробуем построить на нем новое знание."
Этап 3. Выявление затруднения и постановка проблемы (5 мин)
Цель этапа: создать ситуацию интеллектуального затруднения, требующую нового способа действия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Решим пример: 14 5/12 + 17 1/6. Здесь все кажется понятным: целые к целым, дробные к дробным. А теперь попробуйте вычислить разность: 5 7/12 - 1 5/8. Приведите к общему знаменателю и посмотрите, что получится." | Записывают пример. Приводят к общему знаменателю 24: 5 14/24 - 1 15/24. Видят проблему: "Из 14 нельзя вычесть 15!" |
3 мин | "В чем причина затруднения? Мы привели к общему знаменателю, но дробная часть уменьшаемого оказалась меньше дробной части вычитаемого. Как вы думаете, что можно сделать в этой ситуации? Вспомните, как мы вычитаем натуральные числа, когда в разряде не хватает единиц?" | Предполагают: "Нужно занять единицу у целой части!" Формулируют цель урока: "Научиться вычитать смешанные числа, если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Ваша догадка верна. Давайте проверим ее, обратившись к алгоритмам в нашем учебнике."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: изучить алгоритмы сложения и вычитания по учебнику и зафиксировать их.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "Откройте учебник на странице 72. Прочитайте алгоритм сложения смешанных чисел. Используйте прием 'Инсерт': ставьте карандашом на полях '+', если информация знакома, и '!', если это что-то новое. Обратите внимание на Пример 2: что делать, если в сумме получилась неправильная дробь?" | Читают текст, делают пометки. Отвечают: "Нужно выделить целую часть и прибавить ее к уже имеющейся целой части". |
5 мин | "Теперь перейдем к странице 73. Изучите алгоритм вычитания. Посмотрите на Пример 4. Как именно мы 'занимаем' единицу? Как она превращается в дробь? Давайте запишем этот ключевой шаг: 5 14/24 = 4 + 1 14/24 = 4 + 38/24." | Разбирают пример. Записывают в тетрадь преобразование: единица представляется как дробь со знаменателем 24 (24/24) и складывается с имеющейся дробной частью (14/24). |
Запись в тетрадях
Алгоритм вычитания:
1) Привести дробные части к НОЗ.
2) Если дробная часть уменьшаемого меньше — занять 1 у целой части.
3) Вычесть отдельно целые и дробные части.
4) Сократить результат (если возможно).
1) Привести дробные части к НОЗ.
2) Если дробная часть уменьшаемого меньше — занять 1 у целой части.
3) Вычесть отдельно целые и дробные части.
4) Сократить результат (если возможно).
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы раскрыли секрет вычитания с заимствованием. Теперь пора применить это оружие на практике."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработать применение алгоритмов на типовых примерах с комментированием.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Выполним задание № 2.205 (а) и № 2.206 (г) у доски. Кто хочет попробовать? Помните: проговариваем каждый шаг алгоритма вслух!" | Один ученик у доски решает 4 2/9 + 3 5/18. Комментирует: "НОЗ равен 18. Дополнительный множитель к первой дроби — 2. Получаем 4 4/18 + 3 5/18 = 7 9/18. Сокращаем на 9, итог 7 1/2". |
3 мин | "Теперь вычитание: 6 - 1 5/9. Как представить целое число 6 в виде смешанного, чтобы можно было вычесть?" | Ученик у доски: "Представим 6 как 5 9/9. Тогда 5 9/9 - 1 5/9 = 4 4/9". |
Эталон решения
$$5 rac{7}{12} - 1 rac{5}{8} = 5 rac{14}{24} - 1 rac{15}{24} = 4 rac{38}{24} - 1 rac{15}{24} = 3 rac{23}{24}$$
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы отлично справляетесь у доски. А теперь проверьте свои силы самостоятельно."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: индивидуальная проверка усвоения темы и коррекция ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | "Предлагаю вам задания трех уровней сложности. Выберите свой путь. Уровень А: № 2.205 (б, в). Уровень Б: № 2.208 (а, б). Уровень В: № 2.212 (а) — решение уравнения. Время пошло!" | Самостоятельно выбирают уровень и решают задачи в тетрадях. |
3 мин | "Время вышло. Посмотрите на экран — там эталоны решений. Сверьте свои ответы. Если всё верно — поставьте на полях '+'. Если есть ошибка — обведите ее в кружок и исправьте." | Проверяют работы по эталону, анализируют ошибки, задают вопросы учителю. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Ошибки — это наши учителя. Главное, что теперь вы знаете, на что обратить внимание при вычитании."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осознание учеником результатов своей деятельности и постановка задач на дом.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Подведем итоги. Вспомните задачу про ленту из начала урока. Теперь мы можем ее решить? Какие знания нам помогли? Используем прием 'Светофор': поднимите зеленую карточку, если тема понятна, желтую — если остались вопросы, красную — если было очень трудно." | Отвечают на вопросы, анализируют свою работу. Поднимают карточки соответствующего цвета. |
2 мин | "Запишите домашнее задание. Оно также разделено по уровням. Выберите тот, который поможет вам закрепить успех." | Записывают домашнее задание в дневники. |
Критерии оценивания практической работы
- "5" — все задания самостоятельной работы выполнены верно, алгоритмы применены без ошибок, записи аккуратны.
- "4" — допущена 1 вычислительная ошибка при верном применении алгоритма или не выполнено сокращение дроби.
- "3" — верно выполнен только уровень А, или допущены ошибки в алгоритме вычитания с заимствованием единицы.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой шаг в алгоритме вычитания кажется тебе самым коварным? | Выявление субъективных трудностей в процессе заимствования единицы. |
Где в жизни тебе может пригодиться сложение смешанных чисел? | Осознание практической значимости темы (функциональная грамотность). |
Оцени свою работу сегодня: что получилось лучше всего? | Формирование позитивной самооценки и навыка самоанализа. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились справляться с самыми сложными случаями сложения и вычитания смешанных чисел. Вы увидели, что математика — это логика, где одно правило вытекает из другого. Если вы сегодня 'заняли' единицу у целой части и не потеряли ее — вы большие молодцы! На следующем уроке мы применим эти навыки для решения сложных уравнений. До встречи!"
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 примера на сложение и 4 на вычитание смешанных чисел (без заимствования), аналогичных № 2.205 (б-г) и № 2.206 (а-в). | Закрепление базового алгоритма приведения к НОЗ и сложения/вычитания частей. |
Средний (повышающий) | Решить 3 примера на вычитание с заимствованием единицы и одну задачу на расчет периметра четырехугольника (как № 2.222). | Отработка сложного случая вычитания и применение знаний в геометрии. |
Продвинутый (дополнительный) | Решить задачу на движение моторной лодки по течению и против течения (как № 2.229), где скорости даны смешанными числами. | Развитие навыков решения комплексных задач и функциональной грамотности. |
Контрольный вопрос: "Как изменится дробная часть уменьшаемого, если мы займем у целой части единицу при знаменателе 15?"
