Действие деления смешанных чисел
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока ученики смогут находить частное двух смешанных чисел, переводя их в неправильные дроби и применяя правило деления дробей; правильность проверят на двух примерах и одной задаче.
- Образовательная задача: вспомнить смысл взаимно обратных чисел и сформулировать алгоритм деления смешанных чисел.
- Развивающая задача: научиться преобразовывать смешанные числа в неправильные дроби, сокращать вычисления и проверять правдоподобие ответа.
- Развивающая задача: аргументировать порядок действий и находить ошибку в решении одноклассника.
- Воспитательная задача: формировать ответственность за точность вычислений и уважительное отношение к мнению партнёра.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к поиску способа решения практической задачи о длине прямоугольника.
- Осознают, что точность преобразования смешанных чисел влияет на результат вычисления.
- Проявляют готовность проверять собственную работу и спокойно исправлять ошибку.
- Соблюдают правила сотрудничества при обсуждении алгоритма в паре.
Метапредметные
- Извлекают из условия задачи данные о площади и ширине прямоугольника и определяют, что требуется найти.
- Сопоставляют вычисление деления дробей с умножением на обратное число.
- Строят последовательность преобразований и проверяют вычисления обратным действием.
- Объясняют решение партнёру, используя математические термины и запись дробей.
Предметные
- Знают, что смешанное число можно представить в виде неправильной дроби.
- Знают, что деление на дробь заменяется умножением на обратную дробь.
- Умеют находить частное смешанных чисел и сокращать дроби до и после умножения.
- Умеют записать ответ на задачу с единицами измерения и оценить его разумность.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный учебный мотив: научиться находить длину стороны по известной площади.
- Соотносят усилия при вычислении с требованием точного ответа.
- Проявляют самостоятельность, выбирая способ проверки результата.
- Оценивают собственную готовность выполнять деление смешанных чисел.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель после обнаружения затруднения при делении смешанных чисел.
- Планируют решение: преобразовать числа, заменить деление умножением, вычислить и проверить.
- Сверяют промежуточные преобразования с алгоритмом на доске.
- Находят и исправляют ошибку, если смешанное число неверно преобразовано в неправильную дробь.
Познавательные УУД
- Вспоминают определение взаимно обратных чисел и используют его при вычислении.
- Преобразуют смешанное число в неправильную дробь по правилу умножить целую часть на знаменатель и прибавить числитель.
- Моделируют задачу о прямоугольнике выражением частного площади и ширины.
- Сравнивают два способа записи вычисления и обосновывают выбор удобного.
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопрос о непонятном шаге алгоритма и выслушивают ответ партнёра.
- Распределяют действия в паре: один проговаривает преобразования, другой проверяет запись.
- Аргументируют ответ математическими рассуждениями, а не только итоговым числом.
- Корректно указывают на ошибку и предлагают способ её исправления.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить карточки с тремя выражениями из материала урока: 2 6/7 : 1 4/21; 5 1/4 : 1 3/4; 0 : 10 7/15 — по одной карточке на пару.
- Распечатать каждому ученику лист самопроверки с алгоритмом, тремя пунктами проверки и местом для решения двух выражений.
- Подготовить на доске или слайде условие задачи о прямоугольнике: ширина 1 4/21 дм, площадь 2 6/7 дм²; вопрос — найти длину.
- Заранее записать на доске опорные правила: перевод смешанного числа в неправильную дробь; деление дробей через умножение на обратную дробь.
- Подготовить карточки зелёного, жёлтого и красного цвета для быстрой самооценки после объяснения.
- Для групповой проверки подготовить эталон решения задачи и выражений на отдельном листе, закрытом до этапа самопроверки.
- Оборудование: доска, мел или маркеры, проектор при использовании слайда, таймер; каждому ученику нужны тетрадь и ручка.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: организовать класс и вызвать интерес к поиску способа деления смешанных чисел через практическую задачу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, что на парте есть тетрадь и ручка. Сегодня нам понадобится не только аккуратно считать, но и объяснять каждый шаг. Посмотрите на доску: ширина прямоугольника равна 1 4/21 дм, а площадь — 2 6/7 дм². Как можно найти длину прямоугольника? Пока не вычисляйте, а назовите действие, которое связывает площадь и ширину». | Готовят тетради, читают данные на доске и отвечают: «Площадь нужно разделить на ширину». |
2 мин | «Верно, длина равна площади, делённой на ширину. Но здесь и делимое, и делитель — смешанные числа. Подумайте самостоятельно полминуты: сможете ли вы сразу выполнить такое деление? Затем обсудите затруднение с соседом. В конце урока мы вернёмся к этой задаче и проверим, получилось ли найти длину». | Самостоятельно обдумывают задачу 30 секунд, затем обсуждают в паре около минуты; формулируют затруднение: «Не знаем, как делить смешанные числа». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Практическая задача поставлена, а нужное действие мы определили. Теперь вспомним, какие знания о дробях помогут нам найти способ решения».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать перевод смешанных чисел в неправильные дроби и правило деления дробей.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Начнём с короткой разминки. Как представить смешанное число в виде неправильной дроби? Запишите в тетради 2 6/7 и преобразуйте его. Кто готов, объяснит, почему в числителе получается именно это число. Затем так же преобразуйте 1 4/21». | Записывают преобразования: 2 6/7 = 20/7; 1 4/21 = 25/21. Объясняют: целую часть умножают на знаменатель и прибавляют числитель. |
3 мин | «Вспомним деление дробей. Что означает выражение 4/5 : 2/3? Какое действие выполняем вместо деления? Назовите число, обратное 2/3, и объясните, почему оно обратное. Запишем правило на доске: деление на дробь заменяем умножением на обратную дробь. Поднимите зелёную карточку, если правило понятно, жёлтую — если нужен пример, красную — если пока затрудняетесь». | Отвечают: «Умножаем на обратную дробь 3/2»; поясняют, что произведение 2/3 и 3/2 равно 1. Показывают карточку самооценки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы умеем превращать смешанные числа в неправильные дроби и делить дроби. Проверим, достаточно ли этих знаний, чтобы решить исходную задачу».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно наметить алгоритм решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Попробуем записать решение задачи одним выражением. Какое действие между данными числами? Что мешает сразу применить правило деления дробей? Можно ли сначала представить оба смешанных числа неправильными дробями? Сформулируйте, какой шаг нужно сделать первым». Учитель фиксирует на доске выражение 2 6/7 : 1 4/21 и ответы класса. | Называют деление; замечают, что правило деления дробей пока нельзя непосредственно применить к смешанным числам. Предлагают сначала заменить их неправильными дробями. |
2 мин | «Сформулируем цель урока. Сегодня мы должны найти способ деления смешанных чисел и проверить его на задаче о прямоугольнике. Как будет выглядеть наш план? Я записываю ваши предложения: преобразовать оба числа, заменить деление умножением на обратное число, вычислить, сократить и проверить ответ». | Предлагают шаги плана и записывают в тетрадь цель: «Научиться делить смешанные числа, сводя действие к делению дробей». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Затруднение состоит в том, что смешанные числа ещё не представлены дробями. Давайте проверим предложенный план на задаче и выведем общий алгоритм».
Этап 4. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: вывести правило деления смешанных чисел на основе правила деления дробей и применить его в практической задаче.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Вернёмся к условию: ширина прямоугольника равна 1 4/21 дм, площадь — 2 6/7 дм². Чтобы найти длину, делим площадь на ширину. Запишем: 2 6/7 : 1 4/21. Сначала представим каждое смешанное число неправильной дробью. Какую дробь получим для 2 6/7? А для 1 4/21? Теперь деление заменим умножением на дробь, обратную делителю. Не пропускайте преобразования и проговаривайте их». | Записывают: 2 6/7 : 1 4/21 = 20/7 : 25/21 = 20/7 · 21/25. Проговаривают: «Деление заменили умножением на обратную дробь». |
4 мин | «Перед вычислением посмотрите, можно ли сократить множители крест-накрест: 20 и 25 делятся на 5, 21 и 7 делятся на 7. Выполните сокращение, затем найдите произведение. Какая единица измерения должна быть у длины? Проверьте результат обратным действием: ширину умножьте на найденную длину — должна получиться площадь». | Сокращают: 20/25 = 4/5, 21/7 = 3; получают 4/5 · 3 = 12/5 = 2 2/5 дм. Проверяют умножением: 1 4/21 · 2 2/5 = 2 6/7 дм². |
3 мин | «Что общего у решения этой задачи и любого примера на деление смешанных чисел? Сформулируйте правило полным предложением. Я запишу его на доске: чтобы найти частное двух смешанных чисел, нужно представить их неправильными дробями, а затем применить правило деления дробей. Какой шаг особенно важно не перепутать?» | Формулируют правило и записывают его. Отмечают, что при замене деления умножением переворачивают только дробь-делитель, а не обе дроби. |
Запись в тетрадях
Правило: чтобы разделить одно смешанное число на другое, представить оба числа неправильными дробями и делимое умножить на дробь, обратную делителю. Перед умножением, если возможно, сократить множители.
Эталон решения
Длина прямоугольника: 2 6/7 : 1 4/21 = 20/7 : 25/21 = 20/7 · 21/25 = (20 : 5)/(25 : 5) · (21 : 7)/(7 : 7) = 4/5 · 3 = 12/5 = 2 2/5 дм. Проверка: 1 4/21 · 2 2/5 = 25/21 · 12/5 = 20/7 = 2 6/7 дм².
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы нашли длину прямоугольника и вывели правило. Теперь потренируемся выполнять каждый шаг без подсказки и проговаривать, почему деление заменяется умножением».
Этап 5. Первичное закрепление в парах (6 мин)
Цель этапа: закрепить новый алгоритм в совместном решении примеров и разобрать типичную ошибку.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Работаем в парах. На карточке два выражения: 5 1/4 : 1 3/4 и 2 6/7 : 1 4/21. Первый ученик проговаривает перевод смешанных чисел и замену деления, второй проверяет запись и сокращение; затем поменяйтесь ролями. На первое выражение отводится две минуты, второе используйте для быстрой проверки решения задачи». | В парах решают 5 1/4 : 1 3/4, проговаривают каждый шаг; сверяют второе выражение с решением на доске. Получают для первого примера 3. |
3 мин | «Посмотрите на доску: ученик записал 5 1/4 : 1 3/4 = 21/4 · 7/4. Найдите ошибку и объясните, как исправить запись. Подсказка: какое число должно стоять вместо 7/4? После исправления назовите верный ответ и оцените, почему этот ответ правдоподобен». | Обнаруживают, что дробь-делитель перевёрнута неверно: вместо 7/4 нужно 4/7. Исправляют: 21/4 · 4/7 = 3; поясняют, что 5 1/4 больше 1 3/4 примерно втрое. |
Эталон решения
5 1/4 : 1 3/4 = 21/4 : 7/4 = 21/4 · 4/7 = 3.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы верно определили главное место возможной ошибки — обратной должна стать дробь-делитель. Теперь каждый самостоятельно выполнит задания и сверит ход решения с алгоритмом».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить самостоятельное применение алгоритма и организовать самоконтроль по эталону.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | «Сейчас каждый работает самостоятельно. В листе три задания: 5 1/4 : 1 3/4; 2 6/7 : 1 4/21; 0 : 10 7/15. В первых двух обязательно покажите перевод в неправильные дроби и замену деления умножением. В третьем сначала подумайте, что означает деление нуля на ненулевое число. Работайте аккуратно, сокращение записывайте явно». | Индивидуально решают три задания. Получают ответы: 3; 2 2/5; 0. В каждом ненулевом примере записывают преобразование смешанных чисел и обратную дробь. |
4 мин | «Откройте эталон, который я вывешиваю на доске. Не просто исправьте ответ, а найдите конкретный шаг, где разошлись ваши записи. Отметьте: верно ли преобразованы смешанные числа, перевёрнута ли дробь-делитель, выполнено ли сокращение. Поставьте рядом с каждым заданием плюс или вопросительный знак; если ошибка осталась непонятной, поднимите жёлтую карточку». | Сверяют решения по шагам, исправляют ошибки другим цветом, отмечают результат самопроверки. Формулируют вопрос по затруднительному преобразованию или показывают зелёную карточку. |
Эталон решения
5 1/4 : 1 3/4 = 21/4 · 4/7 = 3. 2 6/7 : 1 4/21 = 20/7 · 21/25 = 12/5 = 2 2/5. 0 : 10 7/15 = 0 : 157/15 = 0.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, какие шаги уже выполняются уверенно и где нужна проверка. Перейдём от вычислений к оценке собственного понимания и вернёмся к исходной задаче».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осмыслить новый алгоритм, оценить степень его освоения и зафиксировать посильное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Закончите письменно одну фразу: “Чтобы разделить смешанные числа, я…” или “Мне ещё нужно потренироваться в…”. Затем ответьте на контрольный вопрос: какое число переворачиваем при замене деления умножением? Вернёмся к задаче урока: чему равна длина прямоугольника и как вы проверили ответ? На выходе сдайте короткий билет с одним предложением о главном шаге алгоритма». | Заполняют фразу, отвечают: «Переворачиваем дробь-делитель»; называют длину 2 2/5 дм и проверку умножением. Сдают билет на выход. |
2 мин | «Запишите домашнее задание с доски. Обязательное задание — несколько примеров на деление смешанных чисел с обязательной записью преобразований. Повышенное — составить задачу на нахождение неизвестной стороны прямоугольника через деление площади на известную сторону. Дополнительное — придумать пример с нулём в делимом и объяснить, почему результат равен нулю». | Записывают выбранный уровень домашнего задания и проверяют, что указали количество заданий и требование показывать ход решения. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены все три задания самостоятельной работы; смешанные числа преобразованы правильно, дробь-делитель обращена верно, сокращение и ответы записаны аккуратно.
- «4» — верно решены два задания из трёх; в оставшемся допущена одна вычислительная ошибка при правильном выборе алгоритма.
- «3» — верно решено одно задание из трёх либо в решениях правильно выполнен перевод смешанных чисел, но есть ошибки при замене деления умножением или сокращении.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое действие выполняем после того, как представили смешанные числа неправильными дробями? | Проверка понимания центрального правила темы. |
Какое число нужно обратить при замене деления умножением? | Выявление риска типичной ошибки при работе с обратной дробью. |
На каком шаге самостоятельной работы вы сомневались или исправили ошибку? | Диагностика затруднений в алгоритме и самоконтроле. |
Как вы проверили, что найденная длина прямоугольника верна? | Оценка умения применить обратное действие в практической задаче. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы научились делить смешанные числа, сводя действие к делению дробей. Запомните последовательность: перевести оба числа в неправильные дроби, деление заменить умножением на дробь, обратную делителю, затем вычислить и сократить. Особенно внимательно следите за тем, чтобы не перевернуть делимое вместо делителя. Мы применили новый способ и проверили результат на задаче о прямоугольнике. На следующем уроке продолжим выполнять действия со смешанными числами в более сложных выражениях».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 выражения на деление смешанных чисел, похожих на примеры урока; в каждом показать перевод смешанных чисел в неправильные дроби и замену деления умножением. | Закрепляет алгоритм; при проверке обратить внимание на перевод в неправильные дроби и обращение именно делителя. |
Средний (повышающий) | Решить 2 практические задачи, в которых для нахождения неизвестной величины нужно разделить смешанное число на смешанное число; записать ответ с единицами измерения и выполнить проверку. | Развивает применение правила в жизненном контексте; проверить выбор действия, оформление решения и осмысленность ответа. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственный пример на деление смешанных чисел, подобрать числа так, чтобы при вычислении можно было сократить множители, решить его и объяснить каждый шаг. | Развивает осознанный выбор числового материала и аргументацию; проверить корректность примера, решения и объяснения. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: как смешанное число представить неправильной дробью? На какую дробь заменяем делитель? Как проверить результат деления смешанных чисел?
