Делители суммы и произведения
Цели и задачи
- Цель: к концу урока ученики смогут объяснять и применять свойства делимости суммы и произведения, проверяя рассуждение на числовых примерах и не делая выводов об обратных утверждениях без проверки.
- Образовательная задача: сформулировать, что общий делитель двух слагаемых является делителем их суммы, а делитель одного из множителей является делителем произведения.
- Развивающая задача: учиться обосновывать делимость через представление числа в виде произведения делителя на целое число и находить ошибки в рассуждениях.
- Развивающая задача: развивать навыки планирования и самопроверки при решении коротких задач в паре и самостоятельно.
- Воспитательная задача: формировать уважительное отношение к аргументам одноклассников и готовность корректно исправлять математические ошибки.
Планируемые результаты
Личностные
- Ученик проявляет интерес к поиску закономерностей делимости и понимает, где такие свойства помогают быстро проверять вычисления.
- Ученик доброжелательно обсуждает решение с партнёром, выслушивает аргументы и корректно предлагает исправления.
- Ученик оценивает собственную готовность применять свойства и сообщает, какое действие пока требует тренировки.
Метапредметные
- Ученик извлекает сведения из записи чисел и условий задач и переводит словесное утверждение в математическую запись.
- Ученик сравнивает примеры и контрпримеры, выделяет условие, необходимое для вывода о делимости суммы.
- Ученик планирует решение, сверяет его с критериями и исправляет обнаруженную ошибку.
- Ученик формулирует вывод связно и приводит числовое подтверждение или объяснение через целое частное.
Предметные
- Ученик знает определение делителя и понимает запись $a=dk$, где $k$ — целое число.
- Ученик формулирует свойство: если число делит каждое из двух слагаемых, то оно делит их сумму.
- Ученик формулирует свойство: если число делит хотя бы один множитель, то оно делит произведение.
- Ученик применяет свойства для проверки делимости конкретных сумм и произведений и объясняет ход рассуждения.
- Ученик отличает верное прямое утверждение от неверного обратного и подбирает контрпример.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Соотносят изучаемое свойство с личной целью: научиться быстрее и обоснованно проверять делимость.
- Проявляют познавательную инициативу, предлагая собственные числовые примеры.
- Принимают разные способы объяснения, если они математически обоснованы.
- Соблюдают доброжелательность при взаимопроверке и обсуждении ошибок.
Регулятивные УУД
- Совместно формулируют цель урока после обнаружения затруднения в проверке делимости суммы.
- Планируют решение: выделяют делитель, проверяют условие для каждого слагаемого или множителя.
- Сверяют ответ с эталоном и отмечают шаг, на котором возникла ошибка.
- Оценивают освоение свойств по чек-листу и выбирают подходящий уровень домашней тренировки.
Познавательные УУД
- Используют определение делителя и запись числа в виде произведения для обоснования вывода.
- Сравнивают примеры и контрпримеры, чтобы установить границы применимости свойства.
- Структурируют свойства в схему «сумма» и «произведение».
- Переводят текстовое условие в математические записи и проверяют гипотезу вычислением.
Коммуникативные УУД
- Работают в паре, распределяя роли решающего и проверяющего.
- Формулируют уточняющие вопросы: «Делит ли число оба слагаемых?» и «Как это доказать?».
- Аргументируют вывод полным предложением и математической записью.
- Согласуют общий ответ группы и корректно сообщают классу о найденной ошибке.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с проблемным примером: $12+18$, $12\cdot5$ и утверждением «если делит одно слагаемое, то делит сумму».
- Распечатать карточки с примерами и утверждениями для парной работы — по одной на пару, ориентировочно 15 карточек.
- Подготовить индивидуальные листы самостоятельной работы с тремя уровнями заданий — по одному на ученика.
- Подготовить зелёные, жёлтые и красные карточки для быстрой проверки понимания — по одному комплекту на ученика либо использовать сигналы пальцами.
- Вывести на доску пустую схему из двух частей: «Делимость суммы» и «Делимость произведения», оставив место для условий и примеров.
- Подготовить эталон с доказательствами: $d\mid a$, $d\mid b$ означает $a=dm$, $b=dn$, поэтому $a+b=d(m+n)$; если $a=dm$, то $ab=d(mb)$.
- Подготовить таймер для парных заданий и самостоятельной работы; обеспечить видимость отсчёта всему классу.
- Оборудование: доска и маркеры или мел, проектор при использовании слайдов, карточки и тетради учеников.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: организовать класс и заинтересовать учеников задачей на быструю проверку делимости.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на доске числа 12, 18 и 30: «Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовы ли тетрадь и ручка. Сегодня начнём с математического вызова: число 6 делит 12 и 18. Как думаете, поможет ли это сразу узнать, делит ли 6 их сумму? Не выкрикиваем — сначала каждый выберет ответ про себя». | Готовят тетради и ручки, рассматривают запись, мысленно выбирают ответ: «Да, делит» или «Нужно проверить». |
2 мин | Учитель предлагает приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: «Полминуты подумайте самостоятельно, затем минуту сравните ответ с соседом. Подготовьте одно объяснение, а не только “да” или “нет”. Кто готов, назовите сумму и объясните, что в ней происходит». | Думают 30 секунд, обсуждают в паре 1 минуту, затем несколько пар сообщают: «12+18=30, 6 делит 30»; объясняют, что оба слагаемых делятся на 6. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели пример, в котором делимость каждого слагаемого помогает проверить сумму. Но всегда ли для суммы достаточно, чтобы делилось только одно слагаемое? Сейчас выясним, какие условия действительно нужны».
Этап 2. Актуализация знаний и обнаружение затруднения (6 мин)
Цель этапа: восстановить понятие делителя и обнаружить ошибочность поспешного вывода о делимости суммы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель пишет на доске 4, 8, 12, 15 и спрашивает: «Напомните, какое число называют делителем другого числа? Как проверить, что 4 — делитель 12? Можно ли записать 12 как произведение 4 и целого числа?» Ожидаемый вывод фиксирует рядом: $12=4\cdot3$. | Отвечают: «Делитель делит число без остатка»; «12=4·3, значит, 4 — делитель 12». Записывают определение своими словами или воспроизводят его из изученного материала. |
2 мин | Учитель предлагает устный блиц: «Поднимите большой палец, если утверждение верно, и положите руку на парту, если неверно. 3 делит 12; 5 делит 15; 4 делит 15. Теперь поясните один ответ делением или умножением». | Показывают сигнал и объясняют: «3 делит 12, потому что 12=3·4»; «4 не делит 15, потому что при делении остаётся остаток». |
2 мин | Учитель записывает утверждение «Если число делит одно слагаемое, то оно делит сумму» и предлагает проверить на $8+9$: «Не принимайте фразу на веру. Проверим примером: 4 делит 8, но делит ли 4 сумму 8+9? Что показывает деление 17 на 4?» | Вычисляют $8+9=17$, проверяют $17:4=4$ остаток 1 и формулируют: «Нет, 4 не делит сумму; одного делящегося слагаемого недостаточно». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы нашли затруднение: одного делящегося слагаемого недостаточно, а пример 12 и 18 подсказал, что важны оба слагаемых. Сформулируем цель и проверим эту догадку».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать вопрос урока и наметить план открытия свойств делимости суммы и произведения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель обращает внимание на две записи: $12+18$ и $12\cdot5$: «В первом примере 6 делит оба слагаемых. Во втором 6 делит один множитель. Какой вопрос поможет нам понять закономерность? Как будем проверять гипотезы, чтобы это было не просто совпадением?» | Предлагают вопросы: «Когда делитель чисел делит их сумму?»; «Если делитель делит множитель, делит ли он произведение?» Предлагают проверять на примерах и объяснять через умножение. |
2 мин | Учитель фиксирует цель и план на доске: «Сегодня выясним два свойства, проверим их на примерах, а затем попробуем найти ошибку в неверном обратном рассуждении. В конце каждый решит задания сам и оценит, что уже умеет. Согласны с таким планом?» | Записывают тему «Делители суммы и произведения», принимают план; называют ожидаемый результат: «Сможем применять свойства и объяснять, почему они работают». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вопрос поставлен: какие условия гарантируют делимость суммы и произведения? Начнём с суммы и попробуем объяснить закономерность не только примерами, но и буквенной записью».
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести и записать свойства делимости суммы и произведения с опорой на определение делителя.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель записывает на доске: 12=6·2, 18=6·3 и просит продолжить рассуждение: «Если делитель 6 делит оба числа, как выразить каждое через 6? Сложите записи. Что можно вынести за скобки? Посмотрите: 12+18=6·2+6·3=6·(2+3). Значит, сумма тоже делится на 6. А можно ли заменить 2 и 3 другими целыми числами и рассуждать так же?» | Называют $12=6\cdot2$, $18=6\cdot3$, получают $30=6\cdot5$. В паре формулируют обобщение: если $d$ делит оба слагаемых, то сумма представима как $d$ умножить на целое число. |
3 мин | Учитель заполняет схему «Делимость суммы» и проговаривает: «Пусть $d$ делит $a$ и $b$. Тогда $a=dm$, $b=dn$, где $m$ и $n$ — целые числа. Сложим равенства: $a+b=d(m+n)$. Поскольку $m+n$ — целое число, сумма делится на $d$. Обратите внимание: условие относится к каждому слагаемому. Какое слово в формулировке нельзя пропускать?» | Записывают вывод, отвечают: «Каждое» или «оба». Формулируют свойство: «Если число делит каждое из двух слагаемых, то оно делит их сумму». |
3 мин | Учитель показывает произведение $14\cdot9$: «Теперь рассмотрим произведение. Пусть 7 делит 14, значит, 14=7·2. Тогда $14\cdot9=7\cdot(2\cdot9)$, а в скобках целое число. Получается, достаточно, чтобы делитель делил хотя бы один множитель. А если он делит второй множитель, рассуждение изменится?» | Отвечают: «Нет, можно вынести делитель из второго множителя»; записывают свойство: если $d$ делит хотя бы один множитель, то $d$ делит произведение. Приводят пример: 3 делит 9, значит, 3 делит $14\cdot9$. |
Запись в тетрадях
- Если $d\mid a$ и $d\mid b$, то $d\mid(a+b)$.
- Если $d$ делит хотя бы один из множителей, то $d$ делит произведение этих множителей.
- Обоснование: представить делимое число как произведение $d$ на целое число.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вывели оба свойства и записали условия, при которых они работают. Теперь потренируемся применять их вслух и отдельно проверим, почему нельзя автоматически переворачивать утверждение».
Этап 5. Первичное закрепление и анализ ошибок (7 мин)
Цель этапа: закрепить применение свойств и научиться обнаруживать неверное обратное рассуждение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт парные карточки и объявляет «Математическую эстафету»: «В первой задаче объясните, почему 5 делит сумму 25+40. Во второй — почему 4 делит произведение 7·12. На каждую задачу у вас полторы минуты: один ученик записывает обоснование, второй проверяет, названы ли все условия. Затем поменяйтесь ролями». | В парах решают задачи. Записывают: 25 и 40 делятся на 5, значит, их сумма делится на 5; 12 делится на 4, значит, произведение 7·12 делится на 4. Проверяющий подчёркивает условие свойства. |
2 мин | Учитель предлагает анализ утверждения: «Один ученик сказал: “Если 3 делит сумму 10+11, то 3 обязательно делит каждое слагаемое”. Проверьте сумму, а затем решите, подтверждается ли вывод. Найдите, где ученик перепутал направление рассуждения». | Вычисляют $10+11=21$, отмечают, что 3 делит 21, но не делит ни 10, ни 11. Формулируют: «Свойство суммы работает в прямом направлении; обратное утверждение неверно». |
2 мин | Учитель просит одну пару показать рассуждение и задаёт вопрос классу: «Какой контрпример убедительнее всего опровергает обратное утверждение? Почему примера достаточно, чтобы показать, что слово “обязательно” здесь неверно?» | Представляют контрпример $10+11=21$: 3 делит сумму, но не делит слагаемые. Остальные сверяют и дополняют объяснение. |
Эталон решения
1) $25=5\cdot5$ и $40=5\cdot8$, поэтому $25+40=5\cdot(5+8)=5\cdot13=65$; сумма делится на 5. 2) $12=4\cdot3$, поэтому $7\cdot12=7\cdot4\cdot3=4\cdot21$; произведение делится на 4. 3) $10+11=21=3\cdot7$, но 10 и 11 на 3 без остатка не делятся; обратное утверждение опровергнуто.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы применили оба свойства и разобрали контрпример, который защищает от слишком смелого вывода. Теперь каждый проверит себя самостоятельно, а затем мы сверим не только ответы, но и качество объяснения».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное умение применять свойства и обосновывать делимость.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт листы трёх уровней и поясняет выбор: «Все выполняют обязательное задание. Затем выберите базовое или повышенное по своей уверенности; можно перейти к более сложному, если обязательное выполнено. Записывайте короткое обоснование, потому что сегодня оцениваем не угадывание ответа, а применение свойства. На экране идёт таймер». | Индивидуально выполняют обязательное задание: определить, делит ли 7 сумму 21+35 и делит ли 6 произведение 5·18, записав обоснование. По выбору решают дополнительное задание листа: найти контрпример утверждению «если число делит сумму, оно делит каждое слагаемое». |
3 мин | Учитель выводит эталон: «Сверьте решение по двум пунктам: верно ли определили условие свойства и показали ли целое частное. Отметьте галочкой верный шаг и исправьте ошибку другим цветом. Поднимите зелёную карточку, если объяснение получилось самостоятельно, жёлтую — если нужна подсказка, красную — если пока не получается». | Сверяют: $21=7\cdot3$, $35=7\cdot5$, значит, сумма делится на 7; $18=6\cdot3$, значит, $5\cdot18=6\cdot15$, произведение делится на 6. Исправляют работу и показывают цветовой сигнал. |
Эталон решения
$21+35=7\cdot3+7\cdot5=7\cdot8=56$, следовательно, сумма делится на 7. Поскольку $18=6\cdot3$, имеем $5\cdot18=5\cdot6\cdot3=6\cdot15$, следовательно, произведение делится на 6. Контрпример: $8+10=18$ делится на 3, но ни 8, ни 10 на 3 не делятся.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, что важно не просто назвать ответ, а связать его с условием свойства. Осталось перенести эти рассуждения в практические ситуации и оценить, какое свойство удобнее использовать».
Этап 7. Применение, рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: применить свойства в контекстной задаче, осмыслить результат урока и записать дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предъявляет ситуацию: «Для школьной ярмарки подготовили 24 яблочных и 36 грушевых наборов. Организатор хочет разложить все наборы в коробки по 6 штук, не пересчитывая каждый набор по отдельности. Как обосновать, что общее число наборов делится на 6? А если бы яблочных наборов было 25, можно ли было бы применить это свойство к сумме 25+36?» | В парах объясняют: 6 делит 24 и 36, поэтому делит сумму 60; в случае 25 и 36 условие не выполнено, и одно только свойство суммы не гарантирует делимость. Отмечают, что можно отдельно проверить сумму. |
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Билет на выход»: «Запишите на маленьком листе одно завершённое предложение: “Если число делит оба слагаемых, то…”; затем приведите пример, когда сумма делится на число, хотя отдельные слагаемые — нет. Добавьте, какой шаг сегодня был самым трудным». | Пишут билет: формулируют свойство суммы, приводят контрпример или отмечают затруднение. Передают лист учителю. |
2 мин | Учитель раздаёт или показывает таблицу домашней работы и говорит: «Обязательный уровень выполняют все. Повышенный и дополнительный выбирайте по готовности; сначала добейтесь правильного объяснения, затем увеличивайте сложность. Перед выходом ответьте устно: какое условие нужно для суммы и что достаточно для произведения?» | Записывают выбранное домашнее задание. Отвечают: «Для суммы делитель должен делить оба слагаемых; для произведения достаточно, чтобы он делил хотя бы один множитель». |
Запись в тетрадях
Домашнее задание: выбрать задания по уровням из таблицы завершающей части плана; в каждом решении записать, какое свойство применено и почему выполнено его условие.
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены обязательные задания на делимость суммы и произведения, записаны полные обоснования через оба слагаемых или один множитель, а обратное утверждение опровергнуто корректным контрпримером.
- «4» — правильно применены оба свойства, но в одном объяснении пропущено промежуточное обоснование либо допущена одна вычислительная неточность, исправленная при самопроверке.
- «3» — верно решено хотя бы одно обязательное задание и распознано условие одного свойства, но объяснение второго свойства неполное или контрпример подобран с помощью подсказки.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Как сформулировать свойство делимости суммы своими словами? | Проверить осознанное усвоение условия: делитель должен делить каждое слагаемое. |
Что достаточно знать о множителях, чтобы утверждать, что делитель делит произведение? | Проверить понимание условия свойства произведения. |
Какой пример показал, что обратное утверждение о сумме неверно? | Выявить умение анализировать контрпример и различать прямое и обратное утверждения. |
Какой шаг решения пока вызывает затруднение и какая помощь была бы полезна? | Получить информацию для адресной коррекции и планирования следующего урока. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы вывели два свойства: общий делитель слагаемых делит их сумму, а делитель одного множителя делит произведение. Главное — внимательно проверять условие, а не переносить вывод на обратное утверждение автоматически. Контрпример с суммой 10 и 11 показал, почему одного удачного примера недостаточно для обратного доказательства. На следующем уроке мы продолжим применять свойства делимости в вычислениях и задачах, где понадобится выбирать наиболее удобный способ рассуждения. Спасибо за точные объяснения и внимательную взаимопроверку».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задания: в двух проверить делимость суммы, когда заданное число делит оба слагаемых; в двух проверить делимость произведения, когда оно делит один из множителей. В каждом задании записать короткое обоснование через свойство. | Закрепить формулировки свойств и проверку их условий; при проверке обратить внимание, названы ли оба слагаемых и делящийся множитель. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задания: два на применение свойств в выражениях с несколькими слагаемыми или множителями и одно на подбор чисел, чтобы сумма делилась на указанное число. Объяснить ход рассуждения. | Научиться переносить свойства на составные выражения; проверить последовательность аргументации и корректность подобранных чисел. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить по одному верному примеру и контрпримеру к утверждению «если число делит сумму, то оно делит каждое слагаемое», а также написать короткое объяснение, почему прямое свойство суммы не доказывает обратное. | Развивать анализ и математическую аргументацию; оценить, действительно ли контрпример опровергает утверждение, а объяснение различает направления вывода. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Какое условие необходимо для применения свойства суммы? Что должно выполняться для произведения? Почему из делимости суммы не следует делимость каждого слагаемого?»
