Делители и кратные числа. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться находить НОД и НОК двух натуральных чисел способом разложения на простые множители и применять эти понятия при решении практических задач.
- Сформировать представление о делителе и кратном числа, установить связь между этими понятиями и разложением числа на простые множители.
- Научиться находить НОД и НОК двух чисел, объяснять выбор действия и проверять результат.
- Развивать умение моделировать условие задачи с помощью кругов Эйлера, таблиц и числовых схем, сотрудничать в парах и группах.
- Воспитывать ответственность за общий результат, интерес к математике через игровой и жизненный контекст.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность НОД и НОК при планировании повторяющихся действий и распределении объектов.
- Проявляют учебную мотивацию через участие в математической игре и решение задач с выбором стратегии.
- Оценивают собственный вклад в парную и групповую работу.
- Формируют положительное отношение к точному рассуждению и проверке результата.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель после анализа проблемной ситуации.
- Извлекают информацию из условия задачи, схемы, таблицы и записи разложения на простые множители.
- Сравнивают способы решения, выделяют общий признак и делают вывод.
- Планируют действия, распределяют роли в группе, осуществляют взаимопроверку и коррекцию ошибок.
Предметные
- Знать определения делителя числа, кратного числа, НОД и НОК.
- Уметь перечислять делители числа и первые кратные числа, находить общие делители и общие кратные.
- Уметь находить НОД и НОК двух чисел разложением на простые множители.
- Уметь выбирать НОД или НОК в практической задаче и обосновывать выбор.
- Владеть способом проверки: НОД делит оба исходных числа, а НОК делится на оба исходных числа.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают смысл изучения НОД и НОК для решения задач из повседневной жизни.
- Проявляют готовность к сотрудничеству и принимают правила математической игры.
- Оценивают собственную уверенность при выполнении заданий разного уровня.
- Развивают ответственность за точность личного ответа и общий результат группы.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель урока после выявления затруднения.
- Планируют последовательность действий при разложении чисел на простые множители.
- Сверяют решение с критериями и эталоном.
- Находят ошибку в вычислениях, исправляют её и объясняют причину.
Познавательные УУД
- Различают понятия «делитель» и «кратное» по направлению рассуждения.
- Моделируют отношения между делителями и общими делителями с помощью схемы.
- Анализируют разложения чисел на простые множители.
- Выбирают максимальную общую часть для НОД и минимальный набор множителей для НОК.
Коммуникативные УУД
- Формулируют полный ответ и задают уточняющие вопросы.
- Распределяют роли в группе: вычислитель, проверяющий, секретарь, докладчик.
- Аргументируют выбор НОД или НОК в паре.
- Слушают решения одноклассников и корректно предлагают исправление.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с ключевыми словами: «делитель», «кратное», «НОД», «НОК», а также с алгоритмами и критериями проверки.
- Распечатать карточки для парной работы трёх уровней: зелёные — базовые, жёлтые — повышенные, синие — творческие; по одной карточке на пару.
- Подготовить четыре конверта для групповой игры «Математический маршрут», в каждом — задания на НОД, НОК и выбор способа решения.
- Подготовить карточки с числами 12, 18, 24, 30, 36, 40, 45, 60 и отдельные карточки с названиями «делитель», «кратное», «НОД», «НОК».
- Распечатать лист самооценки и билет на выход по одному экземпляру на каждого ученика.
- Подготовить листы А4, маркеры и стикеры для моделирования в группах; по одному комплекту на группу из четырёх человек.
- Вывести на экран или записать на доске таблицу простых множителей чисел 12, 18 и 30.
- Организовать свободное место между рядами для короткой физкультминутки с математическими командами.
- Подготовить таймер, проектор или интерактивную доску и магнитные крепления для групповых схем.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (4 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность через игровую ситуацию и связать тему с жизненной задачей.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на доске изображение двух расписаний: один автобус отправляется каждые 6 минут, другой — каждые 8 минут. «Здравствуйте, ребята. Сегодня мы станем диспетчерами математического маршрута. Нам нужно определить, через сколько минут автобусы снова отправятся одновременно. Как вы думаете, какое математическое понятие может нам помочь?» | Рассматривают расписания, предполагают: «Нужно искать число, которое делится и на 6, и на 8», формулируют связь с кратными числами. |
3 мин | Учитель объявляет игру «Математический маршрут»: «На каждом этапе вы будете получать часть маршрута. Команда получает жетон, если не только называет ответ, но и объясняет способ. Ошибка — это не проигрыш, а указатель, где нужно остановиться и проверить рассуждение». Учитель распределяет учащихся по группам и напоминает правила сотрудничества. | Распределяют роли в группе, записывают тему урока, принимают правила игры, называют ожидаемый результат: «Научиться находить НОД и НОК и применять их в задачах». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что повторяющиеся события можно описывать с помощью кратных чисел. Сейчас проверим, какие знания о делимости уже помогут нам двигаться дальше».
Этап 2. Актуализация знаний в парах (6 мин)
Цель этапа: актуализировать знания о делителях, кратных и простых множителях, выявить затруднение при поиске общих чисел.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с числами 12 и 18. «Подумайте самостоятельно 30 секунд, затем обсудите с соседом. Запишите все делители числа 12 и первые пять чисел, кратных 12. Повторите для числа 18». Учитель напоминает приём «Подумай — обсуди в паре — поделись». | Самостоятельно записывают делители и кратные, затем сверяют записи в паре. Называют: «Делители 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12; кратные 12: 12, 24, 36, 48, 60». |
2 мин | Учитель просит выделить общие элементы: «Обведите делители, которые встречаются у обоих чисел, и подчеркните первые общие кратные. Что общего вы заметили?» | Находят общие делители 1, 2, 3, 6 и общие кратные 36, 72. Формулируют: «Общих делителей несколько, общих кратных бесконечно много». |
2 мин | Учитель показывает запись 12 = 2 · 2 · 3 и 18 = 2 · 3 · 3. «Сравните разложения. Какие множители совпадают? Можно ли по ним сразу увидеть самый большой общий делитель?» | Выделяют множители 2 и 3, предполагают: «Их произведение 6, значит, самый большой общий делитель может быть равен 6». Фиксируют возникший вопрос о способе поиска НОК. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы умеем находить общие делители и общие кратные перебором, но при больших числах этот способ становится неудобным. Значит, нам нужен более быстрый и надёжный алгоритм».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать проблему урока и определить способы её решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает ситуацию: «В школьной столовой 24 яблока и 36 груш нужно разложить в одинаковые наборы без остатка. Какое самое большое число одинаковых наборов можно составить? А если два звонка повторяются через 12 и 18 минут, через сколько минут они прозвучат одновременно?» Учитель фиксирует на доске два вопроса: «самое большое число групп» и «самое маленькое общее время». | Обсуждают ситуацию в парах. Предполагают: «В первой задаче нужен самый большой общий делитель, во второй — самое маленькое общее кратное». |
2 мин | Учитель задаёт цепочку вопросов: «Как отличить задачу на НОД от задачи на НОК? Как найти результат, не выписывая длинные ряды делителей и кратных? Какая модель поможет увидеть общую часть множителей?» Учитель принимает гипотезы и формулирует цель вместе с классом. | Формулируют цель: «Научиться находить НОД и НОК по разложениям на простые множители и выбирать нужное понятие по условию задачи». Предлагают использовать таблицу и схему-модель. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Цель поставлена. Сначала мы построим модель на знакомых числах, затем проверим её в парах и применим в практической задаче».
Этап 4. Открытие нового знания. Метод моделирования (9 мин)
Цель этапа: открыть алгоритмы нахождения НОД и НОК через разложение чисел на простые множители и их графическую модель.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает на доске: 12 = 2 · 2 · 3 и 18 = 2 · 3 · 3. «Посмотрите на две цепочки множителей. Для НОД нам нужна общая часть, причём нельзя взять множитель дважды, если он встречается в одном разложении только один раз. Обведём по одному общему 2 и одному общему 3». Учитель записывает: НОД(12;18) = 2 · 3 = 6. | Наблюдают за моделью, обводят общие множители на карточках, проговаривают: «Для НОД берём общие простые множители в наименьших степенях». Проверяют: 12 : 6 = 2, 18 : 6 = 3. |
3 мин | Учитель продолжает: «Для НОК нужно число, которое делится на оба исходных числа. Поэтому берём все простые множители, встречающиеся в обоих разложениях, в наибольших степенях: два множителя 2 и два множителя 3». Записывает: НОК(12;18) = 2 · 2 · 3 · 3 = 36. | Составляют из карточек цепочку 2 · 2 · 3 · 3, записывают НОК(12;18) = 36. Проверяют: 36 : 12 = 3, 36 : 18 = 2. |
3 мин | Учитель предлагает оформить алгоритм: «Сейчас каждая группа создаст мини-модель. На листе изобразите два множества множителей для чисел 20 и 30. В пересечении покажите множители для НОД, а объединением покажите множители для НОК. Докладчик объяснит модель за 30 секунд». | В группах раскладывают карточки: 20 = 2 · 2 · 5, 30 = 2 · 3 · 5. В пересечении помещают 2 и 5, получают НОД = 10; в объединении учитывают 2, 2, 3, 5, получают НОК = 60. Докладчики объясняют модель. |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «НОД — наибольший общий делитель двух или нескольких чисел. НОК — наименьшее натуральное число, кратное каждому из данных чисел. При разложении на простые множители НОД получают умножением общих множителей в наименьших степенях, а НОК — умножением всех множителей в наибольших степенях».
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Модель показала различие: НОД — это общая часть, а НОК — полный набор множителей, необходимый для делимости на оба числа. Теперь проверим алгоритм в короткой парной игре».
Этап 5. Первичное закрепление. Парная игра «Математический светофор» (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм нахождения НОД и НОК и научиться объяснять выбор действия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт парам карточки: «Вычислите НОД и НОК чисел 24 и 36. Один ученик выполняет разложение, второй контролирует степени множителей, затем поменяйтесь ролями». Учитель показывает на доске три сигнала: зелёный — решение готово, жёлтый — нужна проверка, красный — требуется помощь. | В парах раскладывают 24 = 2 · 2 · 2 · 3 и 36 = 2 · 2 · 3 · 3. Записывают НОД = 2 · 2 · 3 = 12, НОК = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 72. Показывают зелёную карточку после проверки. |
2 мин | Учитель предлагает две ситуации: «Первый фонарь мигает каждые 8 секунд, второй — каждые 12 секунд. Через сколько секунд они мигнут вместе? В коробке 28 красных и 42 синих карандаша. Какое наибольшее число одинаковых наборов можно сделать?» Просит сначала назвать понятие, затем считать. | Определяют: для фонарей нужен НОК, для наборов — НОД. Решают: НОК(8;12) = 24 секунды; НОД(28;42) = 14 наборов. |
2 мин | Учитель проводит взаимопроверку по критериям: «Проверьте три пункта: разложения верны, степени выбраны правильно, ответ соответствует условию. Поставьте партнёру две звезды за сильные стороны и одно пожелание». | Проверяют работу партнёра, отмечают два верных действия и формулируют пожелание, например: «Проверь делимость НОК на оба числа». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы уже умеете не только вычислять НОД и НОК, но и объяснять, зачем они нужны в задаче. Сделаем короткую математическую физкультминутку, чтобы сохранить внимание для самостоятельной работы».
Этап 6. Физкультминутка «Делитель или кратное?» (2 мин)
Цель этапа: снять утомление и одновременно закрепить различие между делителем и кратным числом.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель объясняет: «Если я называю делитель числа 12, поднимите руки вверх; если называю кратное 12, потянитесь в стороны; если число не подходит, присядьте. Числа будут 3, 24, 5, 6, 36, 7. Выполняйте движение только после короткого обдумывания». Учитель проговаривает числа и корректирует ответы. | Выполняют движения: для 3 и 6 поднимают руки, для 24 и 36 тянутся в стороны, для 5 и 7 приседают. Объясняют: «3 и 6 делят 12 без остатка; 24 и 36 делятся на 12». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Движение помогло ещё раз различить направление: делитель делит данное число, а кратное получается умножением данного числа на натуральное число. Переходим к самостоятельной проверке».
Этап 7. Самостоятельная работа с дифференциацией (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритма и обеспечить возможность выбора задания по уровню подготовки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней: «Зелёная карточка обязательна для всех, жёлтая выполняется при готовности, синяя содержит творческое задание. Работайте самостоятельно. Сначала выпишите разложения, затем выберите минимальные или максимальные степени». | Выбирают карточку с учётом своих возможностей, записывают фамилию и начинают решение. |
5 мин | Учитель наблюдает и адресно помогает вопросами: «Какое понятие требуется в условии? Какие множители общие? Как проверить ответ делимостью?» На доске заранее закрыт эталон. | Решают задания. Зелёный уровень: найти НОД(36;48) и НОК(36;48). Жёлтый уровень: решить задачу о двух кружках, занятия которых проходят каждые 6 и 10 дней, определить день ближайшей совместной встречи. Синий уровень: придумать жизненную задачу на НОД или НОК с числами 18 и 24 и решить её. |
2 мин | Учитель открывает эталон: «Сверьте не только ответ, но и каждый шаг. Если нашли ошибку, зачеркните неверную строку одной чертой и рядом запишите исправление». | Проверяют: 36 = 2² · 3², 48 = 2⁴ · 3; НОД = 2² · 3 = 12, НОК = 2⁴ · 3² = 144. Исправляют ошибки и отмечают уровень самостоятельности. |
Эталон решения
36 = 2^2 \cdot 3^2; 48 = 2^4 \cdot 3. Для НОД берём общие простые множители в наименьших степенях: НОД(36;48) = 2^2 \cdot 3 = 12. Для НОК берём все простые множители в наибольших степенях: НОК(36;48) = 2^4 \cdot 3^2 = 144. Проверка: 36 : 12 = 3, 48 : 12 = 4; 144 : 36 = 4, 144 : 48 = 3.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, что алгоритм можно применять к разным числам и ситуациям. Осталось обобщить: как быстро понять по условию, что перед нами задача на НОД или на НОК?»
Этап 8. Включение в систему знаний и творческое задание (3 мин)
Цель этапа: применить новые знания в межпредметном и творческом контексте.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает группам выбрать один контекст: «В биологии два наблюдения повторяются через 4 и 6 дней; в технологии два станка требуют проверки через 9 и 12 минут; в музыке два ритмических рисунка повторяются через 6 и 8 долей. Составьте короткую задачу, определите НОД или НОК, решите и оформите ответ на стикере. В задаче должны быть числа, вопрос и пояснение выбора». | В группах создают задачу, выбирают НОД или НОК, записывают решение на стикере. Представитель группы зачитывает условие и объясняет выбор. Остальные определяют, верно ли использовано понятие. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы перенесли математический способ в биологию, технологию и музыку. Это и есть сила модели: один алгоритм помогает решать разные жизненные задачи».
Этап 9. Рефлексия и домашнее задание (2 мин)
Цель этапа: осмыслить результат урока, зафиксировать затруднения и объяснить домашнюю работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт билеты на выход: «Закончите две фразы: “НОД выбираю, когда…” и “НОК нахожу, когда…”. Затем решите устно: НОД(8;12) или НОК(8;12) нужно для определения времени совместного сигнала двух устройств, которые срабатывают каждые 8 и 12 минут?» | Записывают: «НОД выбираю для наибольшего общего делителя и разбиения без остатка; НОК — для ближайшего общего момента». Отвечают: «Нужен НОК, он равен 24». |
1 мин | Учитель объясняет домашнее задание и обращается к самооценке: «Поставьте в листе самооценки знак “+” рядом с умением, которое получилось, и знак “?” рядом с тем, которое нужно повторить. Сдайте билет на выход при выходе». | Заполняют самооценку, записывают домашнее задание, сдают билет на выход. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранной карточки, разложения на простые множители записаны без ошибок, НОД и НОК обоснованы, практическая задача решена с пояснением и выполнена проверка делимостью.
- «4» — правильно выполнено большинство вычислений, допущена одна несущественная ошибка в записи или проверке, выбор НОД или НОК объяснён.
- «3» — верно определено понятие в практической задаче и выполнена основная часть алгоритма, но есть две ошибки в разложении, выборе степеней или вычислениях.
- Дополнительный творческий балл — за самостоятельно составленную корректную жизненную задачу, ясное условие, правильный выбор НОД или НОК и полное решение.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о различии между НОД и НОК? | Выявление осознанности ключевого различия между общей частью и общим кратным. |
По какому признаку в условии задачи вы выбираете НОД или НОК? | Проверка умения переносить понятия в практический контекст. |
На каком шаге алгоритма разложения возникло затруднение? | Выявление точек затруднения для последующей коррекции. |
Какой вклад вы внесли в работу пары или группы? | Осмысление сотрудничества и личной ответственности за общий результат. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы научились видеть в разложении чисел на простые множители общую структуру. НОД помогает разделить объекты на наибольшее число одинаковых групп, а НОК — найти ближайший общий момент повторения. Помните о типичной ошибке: нельзя выбирать НОД только потому, что в задаче встречается слово “общий”; нужно понять, требуется ли деление на группы или совпадение повторяющихся событий. На следующем уроке мы продолжим решать практические задачи и сравним разные способы нахождения НОД и НОК».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задачи на нахождение НОД и НОК двух чисел разложением на простые множители: две вычислительные задачи и две задачи на распределение предметов без остатка или совпадение повторяющихся событий. | Закрепить алгоритм и научиться распознавать НОД и НОК по условию; при проверке смотреть на правильность степеней и пояснение выбора. |
Средний (повышающий) | Решить 3 практические задачи с числами до 100: одну на составление одинаковых наборов, одну на совместное повторение действий и одну, где требуется сравнить НОД и НОК. В каждой задаче записать краткое обоснование. | Развивать функциональную математическую грамотность и умение переводить текст в математическую модель. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить две собственные задачи: одну на НОД и одну на НОК, используя контекст расписания, спорта, музыки или технологии. Представить решение в виде схемы или таблицы. | Развивать творческое мышление, моделирование и способность объяснять выбор математического инструмента. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Что называется делителем числа? Чем кратное отличается от делителя? Когда в задаче выбирают НОД? Когда выбирают НОК? Как проверить найденный НОД и НОК?»
