Делимость суммы и произведения
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока учащиеся применят признаки делимости суммы и произведения при решении не менее четырёх из пяти заданий, объясняя выбранный способ и проверяя результат.
- Закрепить умение использовать свойства делимости суммы: если каждое слагаемое делится на число, то и сумма делится на это число.
- Закрепить умение применять свойства делимости произведения: если один из множителей делится на число, то и произведение делится на это число.
- Развивать умение анализировать состав выражения, выбирать рациональный способ решения и аргументировать ответ.
- Формировать ответственное отношение к совместной работе, самопроверке и корректному математическому объяснению.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к поиску коротких и рациональных способов решения математических задач.
- Понимают ценность точного обоснования ответа и проверки результата.
- Осознают личную ответственность за вклад в работу пары или группы.
- Положительно воспринимают ситуацию учебного затруднения как возможность найти новый способ действия.
Метапредметные
- Планируют последовательность действий при проверке делимости выражения.
- Сравнивают несколько способов решения и выбирают наиболее рациональный.
- Извлекают информацию из условия, математической записи и схемы-напоминания.
- Формулируют выводы, аргументируют решение и осуществляют взаимопроверку по критериям.
- Используют математическую речь для объяснения, почему сумма или произведение делится на заданное число.
Предметные
- Знать формулировки свойств делимости суммы и произведения.
- Уметь определять, делится ли сумма на число, если известна делимость её слагаемых.
- Уметь устанавливать делимость произведения по делимости одного или нескольких множителей.
- Уметь применять свойства при вычислении и преобразовании числовых выражений.
- Уметь записывать краткое доказательство делимости с использованием обозначений и словесного пояснения.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают смысл изучаемых свойств делимости для рационального вычисления.
- Проявляют готовность преодолевать затруднение через рассуждение и проверку гипотез.
- Оценивают собственную уверенность при решении задач на делимость.
- Соблюдают нормы сотрудничества и уважительно относятся к иному способу решения.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель закрепления и планируют действия для её достижения.
- Соотносят полученный ответ с условием задания.
- Проверяют решение по эталону и находят место ошибки.
- Корректируют способ решения после обсуждения с партнёром.
- Оценивают результат по предложенным критериям.
Познавательные УУД
- Выделяют признак делимости, необходимый для решения конкретного выражения.
- Классифицируют задания на делимость суммы и делимость произведения.
- Преобразуют выражение, группируя слагаемые или множители.
- Строят логическое рассуждение от известного свойства к выводу.
- Моделируют решение с помощью краткой записи и математических символов.
Коммуникативные УУД
- Работают в паре, распределяя роли решающего и проверяющего.
- Задают уточняющие вопросы о выбранном признаке делимости.
- Объясняют решение последовательными математическими высказываниями.
- Сравнивают способы решения без отрицательной оценки партнёра.
- Приходят к общему ответу и представляют его классу.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с двумя свойствами: делимость суммы и делимость произведения, а также с алгоритмом рассуждения.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего 30 экземпляров.
- Подготовить 8 карточек для групповой игры «Математическое домино» с выражениями и ответами.
- Распечатать листы самооценки и «билеты на выход» по одному на каждого ученика.
- Подготовить цветные маркеры или магниты двух цветов для обозначения суммы и произведения.
- Вывести на экран таблицу критериев: свойство выбрано верно, рассуждение записано, ответ проверен.
- Подготовить таймер на 2–4 минуты для смены форм работы.
- Организовать на доске место для записи эталона: «Делится каждое слагаемое — делится сумма» и «Делится один множитель — делится произведение».
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую ценность быстрых рассуждений о делимости.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Здравствуйте, ребята. Проверьте, всё ли готово к работе: тетрадь, ручка, линейка и карточка для записи. Сегодня мы будем не просто считать, а искать самый короткий путь к ответу. На доске записано выражение 48 + 72. Как быстро понять, делится ли оно на 8, не выполняя сложение?» | Проверяют готовность, читают выражение, предлагают варианты: «Можно сложить», «Можно проверить каждое слагаемое». |
2 мин | «Подумайте — обсудите в паре — поделитесь. Сначала 30 секунд решите самостоятельно, затем одну минуту сравните рассуждения с соседом. После этого несколько пар объяснят способ классу. Важно не только назвать ответ, но и сказать, почему он верен». | Решают выражение или анализируют делимость слагаемых, обсуждают в парах, формулируют: «48 и 72 делятся на 8, значит, их сумма тоже делится на 8». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что иногда свойства чисел позволяют не выполнять длинные вычисления. Сейчас вспомним правила, которые помогут нам обосновывать такие решения».
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить определения делителя и кратного и актуализировать признаки делимости, необходимые для работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «На доске записаны числа 6, 18, 24 и 35. Назовите пары, в которых первое число является делителем второго. Объясните ответ полным предложением. Что означает запись 24 ⋮ 6?» | Составляют пары 6 и 18, 6 и 24, называют: «6 является делителем 18 и 24, потому что частное — натуральное число». Объясняют знак делимости. |
2 мин | «Выполним устную разминку. Какие числа делятся на 2? На 5? На 10? Почему число 135 делится на 5, но не делится на 2? Отвечайте не только по признаку, но и называйте цифру, на которую нужно посмотреть». | Называют признаки, отвечают: «135 делится на 5, потому что оканчивается на 5; на 2 не делится, потому что последняя цифра нечётная». |
2 мин | «Распределите выражения 14 + 21, 6 · 15, 25 + 40, 7 · 8 по двум группам: сумма и произведение. В каждой группе назовите, какое свойство может пригодиться». | Записывают выражения в две группы, предполагают: «Для суммы проверим слагаемые, для произведения — множители». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили, как распознавать сумму и произведение и как устанавливать делимость отдельных чисел. Теперь выясним, как превратить эти знания в общий алгоритм рассуждения».
Этап 3. Постановка учебной задачи и повторение свойств (5 мин)
Цель этапа: сформулировать алгоритм выбора свойства делимости и подготовить учащихся к самостоятельному применению.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Сравните два утверждения: 1) если каждое слагаемое делится на число, то сумма делится на это число; 2) если хотя бы один множитель делится на число, то произведение делится на это число. Чем отличаются условия? На что нужно смотреть в выражении?» | Сравнивают утверждения, отвечают: «В первом случае рассматриваются слагаемые, во втором — множители». |
3 мин | «Запишем алгоритм на доске. Шаг первый — определить вид выражения. Шаг второй — проверить делимость слагаемых или множителей. Шаг третий — сформулировать вывод. Например: 35 + 50 делится на 5, потому что 35 и 50 делятся на 5. А 12 · 25 делится на 3, потому что множитель 12 делится на 3. Перепишите алгоритм и задайте вопрос, если какой-либо шаг непонятен». | Записывают алгоритм, выделяют в примерах слагаемые и множители, формулируют вопросы и проговаривают рассуждения хором. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Запись в тетрадях: 1) Определи вид выражения. 2) Проверь делимость слагаемых или множителей. 3) Сделай вывод и запиши обоснование.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Алгоритм готов: сначала распознаём структуру выражения, затем применяем соответствующее свойство. Проверим его в коротких заданиях и научимся объяснять решение без лишних вычислений».
Этап 4. Первичное закрепление. Математическое домино (7 мин)
Цель этапа: закрепить применение свойств делимости в парной и групповой работе с проговариванием рассуждения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Каждая пара получает две карточки домино. На одной половине записано выражение, на другой — возможный вывод. Соедините только те части, где вывод следует из свойства. Например, к записи 24 + 36 делится на 6 подходит объяснение: оба слагаемых делятся на 6». | Читают карточки и соединяют выражения с обоснованиями, проговаривают правило партнёру. |
3 мин | «Теперь каждая пара получает новое выражение: 18 · 35 делится на 3; 45 + 75 делится на 5; 14 · 22 делится на 7. Для каждого выражения запишите одно полное предложение-обоснование. Проверяющий подчёркивает свойство, которое использовал решающий». | Записывают три обоснования: «18 делится на 3, значит, произведение делится на 3»; «45 и 75 делятся на 5, значит, сумма делится на 5»; «14 делится на 7, значит, произведение делится на 7». |
2 мин | «Проверим один пример у доски. Почему выражение 16 + 25 не следует сразу считать делящимся на 8? Не перепутали ли мы необходимое и достаточное условие?» | Объясняют: «16 делится на 8, но 25 не делится на 8, поэтому свойство о сумме применить нельзя». Делают вывод о необходимости проверять все слагаемые. |
Эталон решения
Для выражения 45 + 75: 45 ⋮ 5 и 75 ⋮ 5. Следовательно, по свойству делимости суммы (45 + 75) ⋮ 5. Для выражения 18 · 35: 18 ⋮ 3. Следовательно, по свойству делимости произведения (18 · 35) ⋮ 3.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы научились связывать строение выражения с нужным свойством. Далее каждый проверит себя самостоятельно, а затем сверит решение с эталоном».
Этап 5. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное владение алгоритмом и обеспечить коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Выберите карточку своего уровня. На каждой карточке нужно не только указать, делится ли выражение на данное число, но и записать обоснование. Уровень можно изменить, если первое задание оказалось слишком лёгким или сложным. Работайте индивидуально, время — четыре минуты». | Выбирают карточку, записывают решения и пояснения. |
4 мин | «Карточка минимального уровня: установите, делится ли 24 + 36 на 6 и делится ли 15 · 28 на 5. Базовый уровень: установите делимость 42 + 63 на 7 и 16 · 45 на 8. Повышенный уровень: объясните, делится ли 27 + 45 + 18 на 9 и делится ли 14 · 25 · 9 на 7». | Решают два задания выбранного уровня, выделяют слагаемые или множители, формулируют вывод. |
2 мин | «Покажите карточку-светофор: зелёная — алгоритм понятен, жёлтая — есть сомнение, красная — нужна помощь. Сейчас на экране появляется эталон. Сверьте каждую строку, исправьте ошибки другим цветом и подпишите, на каком шаге возникло затруднение». | Показывают сигнал, выполняют самопроверку, исправляют записи и отмечают причину ошибки. |
2 мин | «Обсудите с соседом только одну ошибку: какой шаг алгоритма был пропущен? Не называйте фамилию и не оценивайте человека — оцениваем способ действия. Сформулируйте совет: “Чтобы не ошибиться, нужно...”» | Обсуждают ошибку, формулируют совет, например: «Чтобы не ошибиться в сумме, нужно проверить каждое слагаемое». |
Эталон решения
24 + 36: 24 ⋮ 6 и 36 ⋮ 6, поэтому (24 + 36) ⋮ 6. 15 · 28 на 5 делится, потому что 15 ⋮ 5. 42 + 63: 42 ⋮ 7 и 63 ⋮ 7, поэтому сумма делится на 7. 16 · 45 на 8 не делится по данному свойству, так как 16 ⋮ 8, однако это уже достаточно: произведение делится на 8. 27 + 45 + 18: все слагаемые делятся на 9, значит, сумма делится на 9. 14 · 25 · 9: множитель 14 делится на 7, значит, произведение делится на 7.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Индивидуальная работа показала, что главный источник ошибок — не вычисления, а неверный выбор условия свойства. Перед итоговой задачей ещё раз проверим, как эти правила помогают в жизненной ситуации».
Этап 6. Включение в систему знаний. Практическая задача (7 мин)
Цель этапа: применить свойства делимости в реальном контексте и сравнить несколько вариантов рассуждения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Представьте, что организатор распределяет 48 красных и 72 синих жетона по одинаковым наборам. Он хочет проверить, можно ли составить наборы по 8 жетонов каждого цвета без пересчёта общей суммы. Обоснуйте ответ свойством делимости суммы и отдельно объясните, почему каждый цвет можно распределить по 8». | Записывают: 48 ⋮ 8 и 72 ⋮ 8, значит, 48 + 72 ⋮ 8. Формулируют: «Каждое количество можно разделить на 8 без остатка». |
2 мин | «Изменим условие: к произведению 8 · 15 добавили число 16. Делится ли полученная сумма на 8? Запишите два шага рассуждения и назовите свойство на каждом шаге». | Рассуждают: «8 · 15 делится на 8 по свойству произведения; 16 делится на 8; значит, сумма 8 · 15 + 16 делится на 8 по свойству суммы». |
2 мин | «Кто может предложить другой способ проверки? Можно вычислить значение выражения, но сегодня важнее показать рациональный путь. Сравните оба способа: какой короче и почему?» | Сравнивают вычислительный и логический способы, отвечают: «По свойствам быстрее, потому что не требуется находить произведение и сумму». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы применили свойства не только к отдельной сумме или произведению, но и к составному выражению. Теперь зафиксируем, что получилось освоить, и определим следующий шаг».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: осмыслить результат урока, выявить затруднения и выдать разноуровневое домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Заполните лист самооценки. Закончите три фразы: “Я могу определить вид выражения...”, “Я умею доказать делимость суммы...”, “Мне ещё нужно потренироваться...”. Поставьте рядом зелёный, жёлтый или красный знак». | Заполняют лист самооценки, формулируют личный результат и затруднение. |
2 мин | «На билетах на выход ответьте на вопрос: делится ли выражение 21 · 16 + 14 · 9 на 7? Запишите не вычисление, а короткое обоснование. Сдайте билет при выходе». | Записывают: «21 · 16 делится на 7, потому что 21 делится на 7; 14 · 9 делится на 7, потому что 14 делится на 7; значит, сумма делится на 7». |
2 мин | «Домашнее задание выбирается по уровню. Обязательный уровень выполняют все, повышающий — по желанию для дополнительной тренировки, продвинутый — для тех, кто хочет исследовать свойство. Перед записью уточните, какое именно обоснование должно быть в каждом решении». | Записывают выбранное домашнее задание, задают уточняющие вопросы, сверяют его с целью урока. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня вы закрепили два важных способа рассуждения: для суммы проверяем все слагаемые, а для произведения достаточно найти подходящий множитель. Дома обратите внимание не только на ответ, но и на точность объяснения».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранной карточки, правильно выбраны свойства, каждое решение содержит полное обоснование и исправления выполнены самостоятельно.
- «4» — верно выполнено не менее 75 процентов заданий, свойство в основном выбрано правильно, допущена одна неточность в записи или объяснении.
- «3» — верно выполнено не менее 50 процентов заданий, ученик различает сумму и произведение, но допускает ошибки при проверке слагаемых или множителей.
- Ниже базового уровня — требуется повторить алгоритм и выполнить корректирующие задания вместе с учителем или одноклассником.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
«Как определить, какое свойство делимости применять к выражению?» | Проверка понимания различия между суммой и произведением. |
«Почему для суммы нужно проверить каждое слагаемое, а для произведения достаточно одного множителя?» | Выявление понимания условий свойств, а не механического запоминания правила. |
«На каком шаге самостоятельной работы возникло затруднение?» | Выявление точек затруднения в алгоритме решения. |
«Какой способ проверки оказался самым рациональным и почему?» | Формирование навыка оценки и выбора эффективного способа действия. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы закрепили свойства делимости суммы и произведения и научились применять их без лишних вычислений. Запомните главное: в сумме проверяем каждое слагаемое, а в произведении ищем хотя бы один множитель, делящийся на нужное число. Типичная ошибка — увидеть один делящийся член в сумме и сразу сделать вывод, поэтому всегда проверяйте все слагаемые. На следующем уроке мы применим эти свойства при разложении чисел на множители и решении более сложных выражений».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задания: два на делимость суммы и два на делимость произведения; в каждом записать полное обоснование с указанием слагаемых или множителей. | Закрепить распознавание вида выражения и правильное применение двух свойств; при проверке обратить внимание на наличие обоснования. |
Средний (повышающий) | Решить 5 составных выражений, в которых сумма содержит произведения или произведение содержит несколько множителей; для каждого решения указать последовательность применённых свойств. | Развить умение применять свойства последовательно и не выполнять лишние вычисления. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить три собственных примера: один на делимость суммы, один на делимость произведения и один составной пример, а затем записать доказательство каждого утверждения. | Развить умение создавать математические задания и проверять корректность условий свойства. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какое свойство применяют к сумме? Что необходимо проверить у всех слагаемых? Какое условие достаточно для делимости произведения? Почему выражение 12 · 25 + 18 делится на 6?»
