Деление с остатком
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока применять деление с остатком и его проверку при решении вычислительных и текстовых задач, решив не менее 4 из 5 заданий.
- Закрепить и систематизировать алгоритм деления с остатком, включая проверку равенства a = b · c + r и условия 0 ≤ r < b.
- Научить выбирать способ интерпретации остатка в задачах и обосновывать ответ.
- Развивать умение находить и исправлять ошибки в готовых решениях, работать в паре и самостоятельно.
- Формировать аккуратность вычислений и осознанный самоконтроль.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к математике через решение задач, связанных с распределением предметов в реальной ситуации.
- Осознают ценность точного и аргументированного ответа при совместной работе.
- Развивают положительное отношение к самостоятельному преодолению учебного затруднения.
- Оценивают собственный вклад в работу пары и ответственность за результат.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель на основе выявленного затруднения и планируют последовательность действий.
- Извлекают информацию из условия задачи, представляют её в виде математической записи и проверяют полученный результат.
- Сравнивают варианты решений, находят ошибку в нарушении условия r < b и аргументируют исправление.
- Взаимодействуют в паре, распределяют роли, задают уточняющие вопросы и используют самооценку.
Предметные
- Знать смысл деления с остатком и названия компонентов записи a = b · c + r.
- Уметь выполнять деление натуральных чисел с остатком и записывать частное и остаток.
- Уметь проверять результат деления с остатком по формуле a = b · c + r и условию 0 ≤ r < b.
- Уметь решать текстовые задачи на распределение предметов и интерпретировать остаток в соответствии с условием.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения алгоритма через связь деления с остатком с повседневными задачами.
- Проявляют готовность спокойно относиться к ошибке и использовать её для коррекции решения.
- Оценивают собственную готовность применять новое правило без подсказки.
Регулятивные УУД
- Принимают и сохраняют учебную цель: научиться выполнять и проверять деление с остатком.
- Планируют решение по алгоритму: найти частное, вычислить произведение, определить остаток, проверить условие.
- Осуществляют пошаговый самоконтроль с помощью формулы и эталона.
- Оценивают результат по критериям и исправляют найденные вычислительные ошибки.
Познавательные УУД
- Моделируют ситуацию распределения предметов с помощью групп и математической записи.
- Выделяют существенные данные и требование в текстовой задаче.
- Устанавливают связь между делимым, делителем, частным и остатком.
- Анализируют неверные решения и формулируют условие существования остатка.
Коммуникативные УУД
- Согласованно работают в паре, распределяя роли вычислителя и проверяющего.
- Формулируют полный устный ответ с использованием математических терминов.
- Задают вопросы о способе решения и аргументируют выбор частного.
- Корректно принимают замечания партнёра и совместно исправляют ошибки.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить мел и заранее записать на доске схему распределения 17 фишек по 5 группам и запись a = b · c + r.
- Подготовить карточки для работы в парах: по одной карточке на каждую парту, всего 15 карточек, с заданиями трёх уровней.
- Подготовить индивидуальные листы самостоятельной работы: по одному на каждого ученика и 3 запасных экземпляра.
- Подготовить цветные фишки или бумажные кружки: по 17 на каждую из 3–4 групп.
- Подготовить памятку на доске: 1) найти частное; 2) умножить делитель на частное; 3) вычесть; 4) проверить r < b.
- Подготовить магнитные карточки с числами 17, 5, 3, 2 и знаками математической записи; при отсутствии карточек записать их мелом на доске.
- Подготовить таймер или заранее обозначить на доске время этапов; проектор и интерактивная доска не требуются.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и диагностическая разминка
Цель этапа: быстро проверить, насколько уверенно учащиеся применяют уже известный алгоритм деления с остатком, и выявить ошибки в вычислениях, записи или проверке.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и проводит приём «Готовность к открытию»: «Здравствуйте, ребята. Проверьте, всё ли готово к работе: тетрадь, ручка, линейка и карточка для самооценки. Сегодня нам понадобится не только умение считать, но и способность объяснять каждый шаг. Покажите большой палец, если готовы начать». | Проверяют принадлежности, показывают сигнал готовности, записывают дату. |
2 мин | Учитель заранее рисует на доске 17 кружков, объединённых в 5 групп, и говорит: «Представьте, что 17 жетонов нужно поровну раздать пяти игрокам. Сколько жетонов получит каждый? Останутся ли жетоны? Можно ли назвать ответ просто числом 3? Обсудите предположение с соседом в течение 30 секунд, затем поделитесь выводом». | Рассматривают рисунок на доске, обсуждают в парах и формулируют ответ: «Каждый получит 3 жетона, 2 жетона останутся; одного числа недостаточно, нужно указать остаток». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели ситуацию, в которой деление не выполняется нацело. Сейчас выясним, как записать такой результат точно и какие правила помогут не ошибиться."
Этап 2. Актуализация и проверка понимания (5 мин)
Цель этапа: актуализировать смысл деления, связь умножения и деления и навыки устных вычислений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает устно решить 38 : 7, 45 : 8 и 57 : 9, сразу записывая на доске только ответы учащихся. Просит назвать частное, остаток и равенство для проверки. | Выполняют вычисления и проговаривают проверку: 38 = 7 · 5 + 3; 45 = 8 · 5 + 5; 57 = 9 · 6 + 3. |
3 мин | Учитель записывает на доске решения 26 : 4 = 6 (ост. 2), 31 : 5 = 6 (ост. 1), 42 : 6 = 6 (ост. 6). Просит найти ошибку и объяснить её причину. | Проверяют равенства и условие остатка, исправляют третью запись: 42 : 6 = 7 без остатка. Формулируют типичные ошибки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили деление нацело и увидели, что при изменении делимого может появиться остаток. Теперь точно сформулируем, что именно нам предстоит узнать и чему научиться."
Этап 3. Постановка учебной задачи (4 мин)
Цель этапа: определить, какие элементы уже известного алгоритма требуют дополнительной тренировки, и сформулировать задачи урока на точность, самоконтроль и применение правила в разных ситуациях.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает задачу: «В коробке 23 карандаша. Их раскладывают поровну в упаковки по 4 карандаша. Сколько полных упаковок получится и сколько карандашей останется?» Просит решить известным способом и записать проверку. | Решают: 23 : 4 = 5 (ост. 3), составляют равенство 23 = 4 · 5 + 3 и дают полный ответ. |
2 мин | Учитель спрашивает: «Какие шаги алгоритма нужно контролировать особенно внимательно? Как понять, что ответ подходит по смыслу?» Фиксирует на доске план урока: вычисления, проверка, интерпретация остатка, исправление ошибок. | Формулируют план повторения и называют критерии верного решения: равенство выполняется, остаток меньше делителя, ответ соответствует условию задачи. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Правило вам уже знакомо. Сегодня наша задача — сделать его применение более точным: быстро находить частное и остаток, обязательно выполнять проверку и правильно объяснять смысл остатка в разных задачах».
Этап 4. Систематизация и применение правила (10 мин)
Цель этапа: систематизировать известный алгоритм и отработать его применение в вычислениях, проверке готовых решений и текстовых задачах.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает на доске примеры 68 : 7 и 94 : 9. Просит решить их в парах и проговорить последовательность действий без повторного вывода правила. | Решают: 68 : 7 = 9 (ост. 5), 94 : 9 = 10 (ост. 4), записывают проверки. |
3 мин | Учитель предлагает сравнить два решения одного примера: в одном нарушено условие остатка, в другом неверно выполнено вычитание. Просит найти и исправить ошибки. | Находят ошибки, используют равенство a = b · c + r и условие 0 ≤ r < b для проверки. |
4 мин | Учитель предлагает задачу: «47 учеников распределяют по командам по 6 человек. Сколько полных команд можно составить и сколько учеников останется?» Обсуждает, как сформулировать ответ. | Решают задачу, объясняют смысл частного и остатка, формулируют полный ответ с единицами измерения. |
Запись в тетрадях
Записать: «Деление с остатком: a = b · c + r, где a — делимое, b — делитель, c — неполное частное, r — остаток; 0 ≤ r < b». Алгоритм: найти частное; умножить делитель на частное; вычесть; проверить остаток.
Эталон решения
Для 29 : 6: 6 · 4 = 24, 6 · 5 = 30 > 29, поэтому c = 4. r = 29 − 24 = 5. Проверка: 29 = 6 · 4 + 5; 0 ≤ 5 < 6. Ответ: 29 : 6 = 4 (ост. 5).
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Правило деления с остатком вам уже известно. Мы систематизировали алгоритм, выделили способы проверки и разобрали, как объяснять смысл остатка в текстовой задаче. Теперь проверим, насколько уверенно вы применяете это самостоятельно».
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм деления с остатком в совместной работе с проговариванием каждого шага.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточки и говорит: «Работаем в парах по приёму “Взаимный тренер”. Первый ученик решает 38 : 7, второй проговаривает проверку и следит за условием остатка. Затем поменяйтесь ролями и решите 45 : 8. В тетради обязательно запишите равенство вида a = b · c + r». | В парах решают: 38 : 7 = 5 (ост. 3), проверяют 38 = 7 · 5 + 3; 45 : 8 = 5 (ост. 5), проверяют 45 = 8 · 5 + 5. |
2 мин | Учитель записывает мелом на доске три записи: «26 : 4 = 6 (ост. 2)», «31 : 5 = 6 (ост. 1)», «42 : 6 = 6 (ост. 6)» и проводит приём «Найди ошибку». | Находят ошибку в третьей записи и объясняют: «42 : 6 = 7 без остатка; остаток 6 не меньше делителя, поэтому запись неверна». |
2 мин | Учитель просит показать сигнал понимания без цветных карточек: поднять руку, если решение понятно, положить руку на парту, если нужна ещё одна тренировка, и обратиться за помощью, если алгоритм пока не получается. По одному примеру ученики объясняют, какой шаг оказался самым важным. | Показывают выбранный сигнал, называют затруднение или формулируют вывод: «Нужно обязательно сравнивать остаток с делителем». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы потренировались применять известный алгоритм в парах, проверять вычисления и исправлять ошибки. Теперь каждый самостоятельно покажет точность выполнения и умение объяснить ответ».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритма и умение применять его в текстовой задаче.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт листы и говорит: «Выполните задания самостоятельно. В первом примере найдите остаток: 57 : 9. Во втором запишите деление с остатком: 74 : 8. В третьем решите задачу: 35 открыток раскладывают поровну в наборы по 6 открыток. Сколько полных наборов получится и сколько открыток останется? В каждой работе должна быть проверка». | Индивидуально решают: 57 : 9 = 6 (ост. 3); 74 : 8 = 9 (ост. 2); в задаче получают 5 полных наборов и 5 открыток в остатке, записывают пояснение. |
2 мин | Учитель мелом записывает на доске эталон: «57 = 9 · 6 + 3; 74 = 8 · 9 + 2; 35 = 6 · 5 + 5». Говорит: «Сверьте решение по трём пунктам: вычисления, запись равенства, условие r < b. Ошибку не стирайте, а зачеркните одной линией и исправьте рядом». | Сверяют решения, отмечают каждый выполненный пункт, исправляют ошибки. |
2 мин | Учитель предлагает самопроверку без специальных карточек: «Поставьте рядом с каждым заданием знак плюс, если всё верно, вопросительный знак, если есть сомнение, или стрелку к месту, которое нужно исправить. Поднимите руку, если требуется индивидуальная подсказка». | Оценивают три задания, фиксируют место затруднения, обращаются за адресной помощью. |
Эталон решения
57 : 9: 9 · 6 = 54, 57 − 54 = 3, поэтому 57 : 9 = 6 (ост. 3), проверка 57 = 9 · 6 + 3. 74 : 8: 8 · 9 = 72, 74 − 72 = 2, поэтому 74 : 8 = 9 (ост. 2). 35 : 6: 6 · 5 = 30, 35 − 30 = 5, поэтому можно составить 5 полных наборов и 5 открыток останутся.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что алгоритм уже можно применять без модели. Особенно внимательно проверяйте смысл остатка в задачах: он не просто число, а часть предметов, которая не вошла в полные группы. Завершим урок оценкой своего продвижения."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: осмыслить новое знание, оценить достижение цели и получить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель возвращается к проблемному вопросу и говорит: «В начале урока 17 жетонов нужно было раздать пяти игрокам. Теперь запишите полный ответ и математическую проверку. Почему нельзя записать остаток, равный или больший делителю?» | Отвечают: «Каждый игрок получает 3 жетона, 2 жетона останутся; 17 = 5 · 3 + 2. Остаток должен быть меньше делителя, иначе можно было бы образовать ещё одну группу». |
2 мин | Учитель проводит «Лист самооценки»: «Закончите три фразы: “Я умею выполнять…”, “Я проверяю результат с помощью…”, “Мне нужно потренироваться…”. Затем покажите сигнал уверенности: большой палец вверх, горизонтально или вниз». | Заполняют фразы, показывают выбранный сигнал, формулируют личный результат. |
2 мин | Учитель объявляет домашнее задание: «Выберите обязательный уровень; желающие добавляют повышающий или дополнительный. Перед уходом ответьте на контрольные вопросы: что называют остатком и каким должно быть его отношение к делителю?» | Записывают выбранный уровень задания и отвечают: «Остаток — часть делимого после выделения полных групп; он неотрицателен и меньше делителя». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня вы систематизировали уже известное правило деления с остатком, потренировались проверять вычисления и объяснять смысл остатка в жизненной ситуации. На следующем уроке продолжим применять этот способ в более сложных задачах».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все 3 задания самостоятельной работы, корректно записаны частное и остаток, выполнены проверки равенством и правильно сформулирован ответ к текстовой задаче.
- «4» — верно выполнены 2 задания из 3, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, при этом смысл деления с остатком и условие r < b поняты.
- «3» — верно выполнено 1–2 задания при наличии ошибок в проверке или записи, но ученик различает частное и остаток и исправляет ошибку с помощью эталона.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о делении чисел, которые не делятся нацело? | Выявление осознания смысла деления с остатком и его отличия от деления нацело. |
Какие шаги алгоритма помогают получить остаток? | Проверка понимания последовательности действий. |
Почему остаток должен быть меньше делителя? | Выявление понимания математического условия и умения обосновывать правило. |
Какое задание оказалось самым трудным и почему? | Определение индивидуальных точек затруднения для последующей коррекции. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились выполнять деление с остатком и записывать его результат в виде равенства. Главное правило — остаток должен быть меньше делителя, иначе выделена не максимальная возможная часть групп. Не забывайте проверять решение умножением и сложением. В задачах внимательно объясняйте, что означает остаток. На следующем уроке мы продолжим применять этот способ в более сложных жизненных ситуациях."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 5 примеров на деление натуральных чисел с остатком, записать каждое равенство в форме a = b · c + r и выполнить проверку условия 0 ≤ r < b. | Закрепляет алгоритм вычисления и навык самоконтроля; при проверке обратить внимание на правильность частного, остатка и равенства. |
Средний (повышающий) | Решить 3 текстовые задачи на распределение предметов по равным группам, включая задачи о полных упаковках, рядах или командах; дать полный ответ с единицами измерения. | Формирует умение переводить жизненную ситуацию на язык деления с остатком и правильно интерпретировать остаток. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить две собственные задачи на деление с остатком: одну с остатком 1–3, вторую с остатком, близким к делителю; решить их и объяснить, почему остаток меньше делителя. | Развивает создание математической модели, осознанное использование условия r < b и умение аргументировать решение. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Что показывает частное? Что показывает остаток? Как проверить запись 46 : 7 = 6 (ост. 4)? Может ли при делении на 5 получиться остаток 5?»
