Деление числа в данном отношении. Пропорция и её применение
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться делить число в заданном отношении, распознавать пропорции, применять основное свойство пропорции для решения уравнений и решать практические задачи на масштаб с точностью не менее กล 80%.
- Научиться представлять деление числа в отношении как распределение по долям и находить величину одной доли.
- Открыть и применять основное свойство пропорции при проверке равенства отношений и решении уравнений.
- Развивать умение моделировать условие задачи с помощью схемы, таблицы или пропорции, выбирать рациональный способ решения.
- Формировать ответственное отношение к совместной работе, аккуратность вычислений и готовность проверять полученный результат.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к использованию пропорций в повседневных ситуациях: при работе с картой, рецептом и чертежом.
- Осознают значение точности вычислений и проверки результата в практической задаче.
- Принимают учебную задачу и оценивают собственный вклад в парную и фронтальную работу.
- Развивают уверенность в возможности самостоятельно открыть математическое правило через исследование.
Метапредметные
- Планируют последовательность решения задачи, фиксируют промежуточные результаты и осуществляют самопроверку.
- Извлекают информацию из текста, таблицы, схемы и изображения масштаба.
- Сравнивают способы решения, выявляют закономерность и формулируют вывод на основе примеров.
- Используют интерактивную доску или электронную карточку для выполнения задания и проверки ответа.
- Аргументируют выбор пропорции и корректируют решение после обсуждения с одноклассниками.
Предметные
- Знать смысл отношения и алгоритм деления числа в данном отношении.
- Знать определение пропорции и основное свойство пропорции.
- Уметь составлять и решать пропорции с неизвестным членом.
- Уметь применять пропорции при решении текстовых задач и задач на масштаб.
- Уметь проверять соответствие ответа условию задачи и выполнять оценку разумности результата.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения пропорций через связь с картами, планами и реальными измерениями.
- Проявляют готовность преодолевать затруднение и доводить решение до обоснованного ответа.
- Оценивают собственную точность и аккуратность математической записи.
- Соблюдают нормы сотрудничества и уважительно относятся к иной стратегии решения.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе проблемной ситуации.
- Составляют план решения задачи: выделить данные, выбрать модель, составить пропорцию, решить и проверить.
- Используют эталон для самопроверки и находят место ошибки.
- Оценивают результат по заданным критериям и вносят исправления.
Познавательные УУД
- Моделируют деление числа с помощью отрезка, таблицы или схемы долей.
- Устанавливают закономерность между крайними и средними членами пропорции.
- Преобразуют текстовую информацию в математическую запись.
- Анализируют несколько способов решения и выбирают наиболее понятный и рациональный.
- Применяют логические операции сравнения, обобщения и проверки следствий.
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопрос и гипотезу в проблемном диалоге.
- Работают в парах и группах, распределяя роли при исследовании.
- Объясняют ход решения с использованием математических терминов.
- Аргументированно принимают или отклоняют предложенное решение.
- Согласовывают общий ответ и представляют его классу.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную доску с задачей о распределении 48 жетонов в отношении 5:3, схемой отрезка и изображением карты с масштабом.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего по количеству учащихся в классе.
- Подготовить карточки для парного исследования с равенствами отношений 2:3 и 8:12, 4:5 и 12:15, 3:7 и 9:20.
- Подготовить лист самопроверки с эталоном: алгоритм деления числа в отношении и основное свойство пропорции.
- Вывести на доску памятку: «крайние члены пропорции», «средние члены пропорции», «произведение крайних равно произведению средних».
- Подготовить электронную интерактивную карточку или короткое задание в образовательной платформе для проверки составления пропорций.
- Распечатать на каждую группу по одному листу А3, маркеры и схему координатных отрезков для моделирования.
- Подготовить линейки, калькуляторы для выборочной проверки и проектор или интерактивную доску.
- Заранее выбрать из учебника задания по теме без указания номеров: базовые на вычисление, повышенные на составление пропорции и творческое задание на разработку плана комнаты в масштабе.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и создать мотивацию через жизненную ситуацию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки, линейки и учебника. Сегодня нам понадобятся точность, внимательность и умение объяснять свои действия. На экране вы видите изображение карты и план комнаты. Подумайте, что общего у этих двух изображений?" | Проверяют готовность к уроку, рассматривают изображения и предполагают: "И карта, и план уменьшают настоящие расстояния". |
2 мин | Учитель использует приём «Проблемный вопрос»: "Представьте, что 48 жетонов нужно честно разделить между двумя командами в отношении 5:3. Сколько получит каждая команда? Можно ли решить задачу только сложением и делением? А где ещё встречается такое распределение? Сегодня мы попробуем открыть общий способ." | Формулируют предположения, называют ситуации: "распределение денег, ингредиентов, расстояний на карте"; фиксируют вопрос урока: как делить число в отношении и применять пропорцию. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что отношение помогает распределять величины справедливо и точно. Теперь вспомним, какие знания об отношениях уже могут нам пригодиться."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия отношения, равенства отношений и деления с остатком без остатка.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает на доске задания: «1) Сократите отношение 18:24. 2) Найдите значение отношения 15 к 5. 3) Верно ли равенство 2:3 = 8:12?». Учитель обращается к классу: "Сначала решите самостоятельно, затем сравните ответы с соседом. Используем приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»." | Решают в тетради: 18:24 = 3:4, 15:5 = 3, 2:3 = 8:12 — верно. Сравнивают решения в парах и объясняют: "Отношения равны, если их значения совпадают". |
3 мин | Учитель спрашивает: "Как можно проверить равенство двух отношений, не выполняя деление? Что произойдёт, если записать отношения дробями?" На доске фиксирует записи 2/3 и 8/12, подчёркивает крест-накрест произведения. | Формулируют: "Можно сравнить произведения 2·12 и 3·8; они равны". Записывают наблюдение: 2·12 = 3·8. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили отношение и увидели способ сравнивать отношения через произведения. Но пока это только наблюдение. Давайте выясним, как превратить его в правило и применить к новой задаче."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает задачу: "Нужно разделить 56 рублей между двумя детьми в отношении 3:4. Один ученик говорит: первая часть равна 56:3, второй — 56:4, третий складывает 3 и 4 и делит 56 на 7. Какой способ вызывает доверие? Объясните." Учитель не сообщает ответ сразу. | Анализируют варианты и находят ошибочные рассуждения: "56 — это всё число, его нужно разделить на общее количество долей, то есть на 7". |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Как найти стоимость одной доли? Как получить каждую часть? Как записать связь между двумя отношениями? Какие умения нам потребуются к концу урока?" Фиксирует на доске план: модель — правило — пропорция — практическая задача. | Формулируют цель: "Научиться делить число в отношении, составлять и решать пропорции и применять их в задачах". Предлагают план действий и записывают тему урока. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы определили затруднение: важно учитывать не отдельное число частей, а всё отношение целиком. Теперь исследуем это на модели и сами выведем алгоритм."
Этап 4. Открытие нового знания: модель и пропорция (10 мин)
Цель этапа: открыть алгоритм деления числа в данном отношении и основное свойство пропорции исследовательским методом.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель демонстрирует на доске отрезок, разделённый на 3 равные части для первой доли и 4 равные части для второй: "Всего 56 рублей. Отношение 3:4 означает 3 доли и 4 доли, всего 7 одинаковых долей. Найдём цену одной доли: 56:7 = 8. Теперь найдём части: 3·8 = 24 и 4·8 = 32. Проверим: 24+32=56, 24:32=3:4." | Рассматривают модель, подписывают 7 долей, записывают вычисления и формулируют алгоритм: "Сложить числа отношения, разделить число на сумму, умножить результат на каждую часть отношения". |
3 мин | Учитель раздаёт группам карточки с равенствами: 2:3 = 8:12 и 4:5 = 12:15. Инструкция: "Представьте отношения дробями и перемножьте числа крест-накрест. Запишите, какие числа называются крайними и средними членами." | В группах выполняют исследование, записывают: 2·12=3·8; 4·15=5·12. Выделяют крайние и средние члены, сообщают: "Произведение крайних равно произведению средних". |
3 мин | Учитель обобщает: "Равенство двух отношений называется пропорцией. В записи a:b=c:d числа a и d — крайние члены, b и c — средние. Основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних. Поэтому неизвестный член можно находить умножением и делением." На доске показывает: x:5=12:15, x·15=5·12, x=4. | Записывают определение и свойство. По образцу решают пропорцию x:5=12:15, проговаривают: "Неизвестный крайний член равен произведению средних, делённому на известный крайний". |
Запись в тетрадях
1. Чтобы разделить число a в отношении m:n, сначала находят одну долю: a:(m+n), затем части: m·a:(m+n) и n·a:(m+n). 2. Пропорция — это равенство двух отношений. 3. В пропорции a:b=c:d произведение крайних членов равно произведению средних: a·d=b·c.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили два связанных инструмента: модель долей помогает разделить число, а основное свойство пропорции помогает находить неизвестное. Теперь проверим правило на простых примерах и научимся объяснять каждый шаг."
Этап 5. Первичное закрепление и решение уравнений с помощью пропорции (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм решения пропорций и научиться проверять найденное значение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает фронтальную работу: "Решим пропорцию x:7=6:14. Сначала назовите крайние и средние члены. Какое равенство произведений получим? Не забываем выполнить проверку." Учитель записывает решения учащихся на доске. | Называют крайние члены x и 14, средние 7 и 6. Записывают x·14=7·6, x=42:14=3. Проверяют: 3:7=6:14. |
2 мин | Учитель предлагает второй пример: "Решите пропорцию 9:x=3:8. Объясните, почему неизвестный член находится иначе, чем в предыдущем примере." | Решают: 9·8=3·x, 72=3x, x=24. Объясняют, что неизвестный член является средним, поэтому его находят делением произведения крайних на известный средний. |
2 мин | Учитель использует приём «Светофор»: "Покажите цвет, который отражает ваше состояние: зелёный — могу решить самостоятельно, жёлтый — нужен образец, красный — требуется объяснение. После этого исправьте запись по эталону на экране." | Показывают карточки, сверяют решения с эталоном, исправляют ошибки в обозначении крайних и средних членов или в вычислениях. |
Эталон решения
Для пропорции \(\frac{x}{7}=\frac{6}{14}\): \(14x=7\cdot6\); \(14x=42\); \(x=3\). Проверка: \(\frac{3}{7}=\frac{6}{14}\), так как \(3\cdot14=7\cdot6=42\). Для пропорции \(\frac{9}{x}=\frac{3}{8}\): \(9\cdot8=3x\); \(72=3x\); \(x=24\).
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы научились находить неизвестный член пропорции и обязательно проверять ответ. Теперь применим этот способ не к готовой записи, а к условию реальной задачи, где пропорцию ещё нужно составить."
Этап 6. Самостоятельная работа с дифференциацией и моделированием (10 мин)
Цель этапа: применить алгоритмы к задачам разного уровня, используя таблицу или схему как математическую модель.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней и объясняет выбор: "Базовый уровень выполняют все. Если он выполнен уверенно, переходите к повышенному. Продвинутый уровень содержит творческое задание. Перед вычислениями составьте таблицу или схему величин." | Получают карточки, выбирают уровень по результату самооценки, читают условие и выделяют известные и неизвестные величины. |
5 мин | Учитель сопровождает работу и напоминает алгоритм: "В базовой задаче разделите 72 в отношении 5:3. В повышенной задаче 6 тетрадей стоят 180 рублей. Сколько стоят 10 таких тетрадей? Запишите пропорцию и поясните, почему отношения составлены именно так. В продвинутой задаче спроектируйте план прямоугольной комнаты 6 м на 4 м в масштабе 1:100 и укажите размеры на чертеже." | Решают выбранные задания. Базовый уровень: находят 45 и 27. Повышенный: \(6:10=180:x\), \(6x=1800\), \(x=300\). Продвинутый: переводят 6 м и 4 м в сантиметры, получают на плане 6 см и 4 см, выполняют чертёж с подписью масштаба. |
3 мин | Учитель выводит на экран критерии самопроверки: "Проверьте четыре пункта: правильно ли поняли условие; верно ли составили модель; выполнены ли вычисления; записан ли ответ с единицами. Обменяйтесь карточками с соседом и поставьте две отметки: «верно» или «нужно проверить»." | Проверяют работу по четырём критериям, объясняют соседу один шаг решения, исправляют найденную неточность. |
Эталон решения
Задача на деление: сумма частей отношения \(5+3=8\); одна доля \(72:8=9\); первая часть \(5\cdot9=45\), вторая часть \(3\cdot9=27\). Проверка: \(45+27=72\), \(45:27=5:3\). Задача о стоимости: \(\frac{6}{10}=\frac{180}{x}\); \(6x=1800\); \(x=300\) рублей. Задача на масштаб: масштаб \(1:100\) означает, что 1 см на плане соответствует 100 см в действительности; 6 м = 600 см, 600:100=6 см; 4 м = 400 см, 400:100=4 см.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы увидели, что одна и та же идея работает в разных ситуациях: при распределении, покупке и построении плана. Главное — правильно установить соответствие величин. Осталось проверить, что каждый может сформулировать правило и назвать место возможной ошибки."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: обобщить способы действий, оценить достижение цели и определить индивидуальное задание для закрепления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Билет на выход»: "На небольшом листке ответьте на три вопроса: как разделить число в отношении m:n; что утверждает основное свойство пропорции; как понять, что пропорция в задаче составлена верно?" | Письменно формулируют три ответа: "Сначала делим на сумму частей, затем умножаем на каждую часть"; "произведение крайних равно произведению средних"; "отношения сравнивают соответствующие величины в одном порядке". |
2 мин | Учитель возвращается к проблемной ситуации: "Сколько получат команды при делении 48 жетонов в отношении 5:3? Назовите не только ответ, но и проверку." | Решают устно: 5+3=8, 48:8=6, 5·6=30, 3·6=18. Отвечают: "Команды получат 30 и 18 жетонов; 30+18=48, 30:18=5:3". |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите обязательный уровень, а затем, если готовы, выполните повышающий или творческий. Отмечайте в решении модель, пропорцию и проверку." | Записывают домашнее задание, выбирают уровень и формулируют личный шаг для закрепления. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы открыли способ делить число в отношении, вывели основное свойство пропорции и применили его к уравнениям, покупкам и масштабу. Важно не просто получить число, а объяснить, откуда оно взялось, и проверить соответствие условию."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все обязательные задания карточки, правильно составлены пропорции, приведены вычисления и проверки; в творческой задаче корректно применён масштаб и аккуратно выполнен чертёж.
- «4» — верно выполнено большинство заданий, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, не повлиявшая на выбор способа решения; модель задачи составлена правильно.
- «3» — выполнено базовое задание на деление числа в отношении и начато решение задачи с пропорцией, но допущены ошибки в вычислениях или отсутствует полная проверка.
- Ниже базового уровня — требуется повторить алгоритм деления числа в отношении и выполнить аналогичный пример вместе с учителем или по эталону.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нужно сделать первым, если число разделяют в отношении 5:3? | Проверка понимания алгоритма и смысла суммы частей отношения. |
Какое равенство связывает крайние и средние члены пропорции? | Выявление осознания основного свойства пропорции. |
Как вы определяете, какие величины поставить в соответствующие отношения? | Диагностика умения моделировать текстовую задачу и сохранять порядок сравнения. |
Какая ошибка сегодня была для вас наиболее вероятной и как вы будете её предупреждать? | Формирование навыка самоконтроля и коррекции решения. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы увидели, что пропорция — это не только запись с буквами, а удобный инструмент для распределения величин и решения практических задач. Мы научились находить одну долю, составлять пропорцию, применять основное свойство и проверять результат. Особенно внимательно следите за порядком величин: если в одном отношении стоят тетради к рублям, то и во втором отношении порядок должен быть таким же. На следующем уроке мы продолжим решать задачи с пропорциональными величинами и сравним прямую и обратную пропорциональность."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания: два на деление числа в отношении, одно на нахождение неизвестного члена пропорции и одно на составление пропорции по краткому условию. В каждом решении записать проверку. | Закрепляет алгоритм деления и применение основного свойства пропорции; при проверке обратить внимание на сумму частей, порядок отношений и наличие ответа. |
Средний (повышающий) | Решить 3 текстовые задачи на стоимость, количество или длину, в каждой составить таблицу величин, записать пропорцию и выполнить проверку соответствия ответа условию. | Формирует умение переводить текст в математическую модель и выбирать соответствующие величины; при проверке смотреть на единицы измерения и пояснение ответа. |
Продвинутый (дополнительный) | Разработать план прямоугольной комнаты или участка в масштабе 1:100 либо 1:200, указать реальные и изображённые размеры, составить краткое описание выполненных вычислений. | Развивает творческое применение масштаба, моделирование и пространственное мышление; при проверке оценивать правильность перевода единиц, пропорции и аккуратность чертежа. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как найти одну долю при делении числа в отношении? Что называют пропорцией? Как проверить пропорцию без деления? Как составить пропорцию по задаче на масштаб?»
