Верные и неверные математические утверждения
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока учащиеся научатся определять истинность математических утверждений, обосновывать свой ответ с помощью примера, контрпримера или правила и самостоятельно проверят не менее четырёх утверждений с результатом не менее 75% верных ответов.
- Сформировать представление о математическом утверждении как высказывании, которому можно приписать значение «верно» или «неверно».
- Научить различать утверждение, вопрос и просьбу, а также находить утверждения, истинность которых зависит от условия.
- Развивать умение доказывать истинность утверждения и опровергать неверное утверждение контрпримером.
- Формировать ответственное отношение к точности формулировок, сотрудничество в парах и навыки самопроверки.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к поиску и проверке математической истины в учебных и жизненных ситуациях.
- Понимают ценность точной формулировки и обоснованного ответа.
- Осознают необходимость проверять собственные выводы до того, как сообщить их классу.
- Проявляют готовность уважительно обсуждать разные способы рассуждения одноклассников.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель и план проверки математического утверждения.
- Извлекают информацию из записей, карточек и таблиц, выделяют условие и вывод.
- Сравнивают утверждение с известными правилами, подбирают пример или контрпример.
- Работают в паре, задают уточняющие вопросы и аргументируют свой вывод.
- Осуществляют самопроверку по эталону и корректируют ошибочные решения.
Предметные
- Знать, что математическое утверждение — это высказывание, о котором можно сказать, верно оно или неверно.
- Уметь распознавать верные и неверные утверждения, связанные с натуральными числами, действиями и геометрическими фигурами.
- Уметь доказывать верность утверждения вычислением, правилом или приведением нескольких подходящих примеров.
- Уметь опровергать неверное утверждение одним контрпримером.
- Уметь исправлять неверное утверждение так, чтобы оно стало верным.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают личную ответственность за точность математического ответа.
- Проявляют познавательную инициативу при поиске контрпримера.
- Оценивают собственный вклад в парную работу.
- Связывают умение проверять утверждения с повседневной необходимостью отличать факт от ошибки.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель урока после выявления учебного затруднения.
- Планируют последовательность проверки: прочитать, определить смысл, подобрать способ, сделать вывод.
- Контролируют правильность вычислений и соответствие ответа условию утверждения.
- Исправляют ошибку после сравнения с эталоном.
- Оценивают результат по количеству верно классифицированных и обоснованных утверждений.
Познавательные УУД
- Выделяют ключевые слова и математические отношения в формулировке.
- Классифицируют высказывания на утверждения, вопросы и просьбы.
- Устанавливают причинно-следственную связь между условием и выводом.
- Используют моделирование, вычисления, примеры и контрпримеры.
- Строят логическое рассуждение от условия к выводу.
Коммуникативные УУД
- Согласуют способ проверки утверждения с партнёром.
- Формулируют полный ответ: «утверждение верно/неверно, потому что...».
- Задают вопросы «Почему?» и «Всегда ли это так?».
- Представляют решение классу и корректно реагируют на возражения.
- Распределяют роли в паре: читающий, проверяющий и докладчик.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или записи на доске с определением математического утверждения, знаками «В» и «Н», алгоритмом проверки и примерами.
- Распечатать карточки для парной работы: по одной карточке на пару, всего по числу пар в классе, с шестью утверждениями.
- Подготовить индивидуальные листы самостоятельной работы трёх уровней: по одному листу на каждого ученика.
- Подготовить зелёные и красные карточки или сигнальные круги: по два на каждого ученика для приёма «Светофор».
- Подготовить стикеры двух цветов для фиксации верных и неверных высказываний на доске.
- Разместить на доске таблицу «Утверждение — Верно/неверно — Обоснование» и алгоритм: прочитай, проверь, сделай вывод.
- Подготовить таймер на 2–4 минуты для коротких заданий и магнитные карточки с числами 0, 1, 2, 5, 10.
- Обеспечить тетради, линейки, ручки, проектор или интерактивную доску; рассадить учащихся парами.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую значимость проверки математических высказываний.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность: тетрадь, ручка и линейка должны лежать перед вами. Сегодня нам особенно понадобится внимательность, потому что одно маленькое слово в математическом предложении может изменить весь ответ." Учитель показывает на доске два сообщения: «5 больше 3» и «5 меньше 3». | Проверяют готовность, читают оба сообщения и показывают большой палец вверх или вниз, предварительно объясняя: «Первое высказывание верное, второе неверное». |
2 мин | Учитель использует приём «Крючок»: "Представьте, что продавец говорит: «Три яблока стоят 100 рублей», а затем утверждает: «Любые три яблока стоят 100 рублей». Можно ли сразу согласиться? Что нужно проверить? Сегодня мы будем учиться не угадывать, а доказывать, верно ли сказано." | Обсуждают ситуацию в парах 30 секунд, формулируют ответы: «Нужно знать цену яблок»; «Нельзя делать общий вывод по одному случаю». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что похожие по форме фразы могут иметь разный смысл. Теперь вспомним, какие математические предложения мы уже умеем читать и проверять."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать знания о действиях с натуральными числами и подготовить учащихся к проверке утверждений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на доске четыре записи: «12 + 8 = 20», «20 : 4 = 5», «Сравни числа 17 и 71», «Выполните вычисление 6 · 7». Учитель спрашивает: "Какие записи являются сообщениями, которые можно оценить как верные или неверные? Какие записи требуют действия от нас?" | Классифицируют записи: «12 + 8 = 20» и «20 : 4 = 5» — утверждения; «Сравни...» и «Выполните...» — задания или просьбы. Объясняют различие. |
2 мин | Учитель проводит устную разминку: "Не называя только ответ, объясните, почему верны равенства 7 + 6 = 13 и 4 · 5 = 20. А теперь назовите пример неверного равенства с числом 10." | Вычисляют устно, отвечают: «Равенства верны, потому что левая и правая части имеют одинаковые значения»; предлагают, например, «10 + 3 = 12». |
2 мин | Учитель вводит приём «Светофор»: "Я прочитаю три высказывания. Зелёная карточка означает «верно», красная — «неверно». После сигнала обязательно объясните один ответ: «Число 24 делится на 6»; «Сумма двух нечётных чисел нечётная»; «У квадрата три стороны»." | Поднимают карточки, затем обосновывают ответы: «24 делится на 6, потому что $24:6=4$»; «Сумма двух нечётных чисел чётная»; «У квадрата четыре стороны». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы умеем выполнять вычисления и сравнивать результаты, но пока не сформулировали общий способ проверки любого высказывания. Именно это затруднение и станет задачей нашего урока."
Этап 3. Выявление затруднения и целеполагание (5 мин)
Цель этапа: обнаружить необходимость специального алгоритма проверки и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает утверждение: «Если число оканчивается цифрой 5, то оно делится на 5». Затем спрашивает: "Как проверить, верно ли оно? Достаточно ли одного числа 5? Что будет, если взять 15, 25, 30?" | Подбирают примеры и проверяют делимость. Формулируют: «Утверждение верно, если правило выполняется для всех чисел, подходящих под условие». |
2 мин | Учитель записывает второе утверждение: «Все числа, кратные 4, являются чётными» и просит найти способ опровергнуть его, если оно неверно. "Что должен сделать человек, который не согласен с утверждением?" | Проверяют числа 4, 8, 12 и делают вывод, что они чётные. Обсуждают: «Нужно найти хотя бы один пример, который подходит под условие, но противоречит выводу». |
1 мин | Учитель направляет формулировку цели: "Сформулируйте цель урока одним предложением. Как мы будем действовать, чтобы не ошибаться?" | Формулируют цель: «Научиться определять, верно ли математическое утверждение, и обосновывать ответ примерами, правилами или контрпримером». Записывают тему урока. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: не просто назвать «верно» или «неверно», а объяснить свой ответ. Сейчас мы вместе откроем удобный алгоритм рассуждения."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: сформировать понятия верного и неверного утверждения, примера и контрпримера.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель выводит на экран схему: «Математическое утверждение — высказывание, о котором можно сказать, верно оно или неверно». Учитель поясняет: "Утверждение «9 — нечётное число» верно, потому что соответствует определению нечётного числа. Утверждение «15 меньше 10» неверно, потому что сравнение показывает обратное. Вопрос «Сколько будет 5 · 6?» утверждением не является: он требует ответа." | Читают определение, записывают его в тетрадь, приводят собственные примеры утверждений, вопросов и просьб. |
3 мин | Учитель записывает алгоритм: "Первый шаг — внимательно прочитать утверждение. Второй — выделить условие и вывод. Третий — проверить вычислением, правилом или примером. Четвёртый — сформулировать вывод. Если утверждение общее и неверное, достаточно найти контрпример — один случай, который опровергает вывод." Учитель демонстрирует: «Все прямоугольники имеют равные стороны». | Вместе выделяют условие «фигура — прямоугольник» и вывод «все стороны равны». Приводят контрпример: прямоугольник со сторонами 2 см и 5 см. Делают вывод: «Утверждение неверно». |
4 мин | Учитель организует «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Проверьте утверждение «Сумма двух чётных чисел является чётным числом». Сначала подумайте самостоятельно, затем обсудите доказательство с соседом. Можно использовать конкретные числа, но постарайтесь объяснить общий смысл." После обсуждения учитель фиксирует на доске: «чётное + чётное = чётное». | Самостоятельно записывают примеры $2+4=6$, $8+10=18$, затем в парах формулируют доказательство: «Чётные числа делятся на 2 без остатка, поэтому их сумма тоже делится на 2». Представители пар сообщают вывод. |
Запись в тетрадях
Математическое утверждение — высказывание, о котором можно сказать, верно оно или неверно. Алгоритм проверки: 1) прочитать утверждение; 2) выделить условие и вывод; 3) проверить вычислением, правилом или примером; 4) сделать вывод. Контрпример — пример, опровергающий неверное общее утверждение.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь у нас есть общий алгоритм и два важных инструмента: правило или доказательство для верного утверждения и контрпример для неверного. Проверим, насколько уверенно мы умеем ими пользоваться."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: отработать алгоритм проверки утверждений с проговариванием рассуждения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с шестью утверждениями и объясняет: "В каждой строке поставьте «В» или «Н», а рядом запишите краткое обоснование. Если утверждение неверно, обязательно приведите контрпример. Один ученик читает утверждение, второй предлагает способ проверки, затем роли меняются." | Распределяют роли, читают инструкцию и готовят таблицу «Утверждение — В/Н — Обоснование». |
4 мин | Учитель запускает таймер и наблюдает за работой пар. На карточке: 1) «36 делится на 4». 2) «Разность двух натуральных чисел всегда больше нуля». 3) «У прямоугольника четыре прямых угла». 4) «Число 1 является простым». 5) «Если к числу прибавить 0, оно не изменится». 6) «Произведение двух нечётных чисел нечётное». | Проверяют утверждения. Ожидаемые ответы: 1 — верно, $36:4=9$; 2 — неверно, например $3-5=-2$ или $5-5=0$; 3 — верно; 4 — неверно, у 1 только один делитель; 5 — верно; 6 — верно. |
2 мин | Учитель предлагает двум парам представить по одному спорному пункту: "Говорите полным ответом: «Утверждение неверно, потому что...». Если ответ отличается, задайте выступающей паре уточняющий вопрос." | Докладывают решения, сравнивают обоснования, задают вопросы: «Подходит ли число 5 как контрпример?»; корректируют записи после обсуждения. |
Эталон решения
Для утверждения «Разность двух натуральных чисел всегда больше нуля» достаточно контрпримера: возьмём натуральные числа 3 и 5. Получаем $3-5=-2$, а $-2$ не больше нуля. Следовательно, утверждение неверно. Для утверждения «Произведение двух нечётных чисел нечётное» можно проверить примером $3\cdot5=15$ и сослаться на правило: при умножении двух нечётных чисел получается нечётное число.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы научились не только ставить знак, но и защищать свой выбор. Теперь каждый проверит себя самостоятельно, а затем сравнит работу с эталоном."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритма и организовать коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт листы трёх уровней. "Выполните обязательные задания 1–4. Укажите, верно или неверно каждое утверждение и запишите обоснование. Если закончите раньше, выберите дополнительное задание 5 или 6. Работаем молча, каждый отвечает самостоятельно." Задания: 1) «18 кратно 3». 2) «Любое число, делящееся на 10, оканчивается цифрой 0». 3) «У треугольника может быть четыре стороны». 4) «Сумма числа и единицы всегда больше этого числа». 5) исправить утверждение «Все прямоугольники — квадраты». 6) составить собственное неверное утверждение с контрпримером. | Решают индивидуально: 1 — верно, $18:3=6$; 2 — верно по признаку делимости на 10; 3 — неверно, у треугольника три стороны; 4 — верно для натурального числа; в дополнительных заданиях исправляют или составляют утверждения. |
2 мин | Учитель показывает эталон на доске: «1 — В; 2 — В; 3 — Н; 4 — В». Напоминает: "Проверьте не только знак, но и наличие объяснения. Если нашли ошибку, зачеркните неверный шаг одной линией и исправьте рядом." | Сверяют ответы с эталоном, отмечают зелёной ручкой верные пункты, исправляют ошибки и дописывают обоснование. |
2 мин | Учитель проводит короткую коррекцию: "Поднимите зелёную карточку, если совпали все четыре ответа, жёлтую — если ошиблись в одном, красную — если нужна помощь. Ошибка — это не повод скрывать результат, а указание, что именно потренировать." Вызывает учащихся, которым нужна помощь, и разбирает один пункт по алгоритму. | Показывают карточки, называют затруднение: «Мне сложно отличать контрпример от обычного примера» или «Я забыл проверить условие». Формулируют, какой шаг алгоритма повторят. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Индивидуальная проверка показала, какой шаг уже стал уверенным, а какой ещё требует внимания. Осталось связать новый способ рассуждения с обычными жизненными решениями и подвести итог урока."
Этап 7. Включение в систему знаний и рефлексия (4 мин)
Цель этапа: обобщить алгоритм, осознать результат и сформулировать применение нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на доске три высказывания из повседневной жизни: «Если товар со скидкой 50%, он стоит в два раза дешевле»; «Любое число, оканчивающееся цифрой 0, делится на 10»; «Если один пример оказался верным, значит, правило верно всегда». Учитель спрашивает: "Какие высказывания можно принять сразу, а какие нужно уточнить или проверить?" | Обсуждают, выбирают второе как верное, первое уточняют: скидка 50% означает уменьшение цены вдвое, третье признают неверным и объясняют необходимость проверки общего правила. |
2 мин | Учитель предлагает «Одноминутку»: "Закончите в тетради три фразы: «Математическое утверждение — это...», «Неверное общее утверждение можно опровергнуть...», «Сегодня мне нужно потренировать...»." Затем просит двух учеников прочитать ответы. | Заполняют три фразы, читают ответы: «...высказывание, которое бывает верным или неверным»; «...контрпримером»; называют личное затруднение или уверенность. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы научились проверять математические утверждения по алгоритму, доказывать верные высказывания и находить контрпример к неверным. Зафиксируйте домашнее задание и перед выходом ответьте на контрольные вопросы."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно определены все шесть утверждений в парной карточке или не менее четырёх утверждений в самостоятельной работе; каждое решение имеет корректное обоснование, а для неверных высказываний приведены контрпримеры.
- «4» — допущена одна ошибка в определении истинности или обосновании; алгоритм в целом соблюдён, контрпример подобран правильно.
- «3» — верно определены не менее половины утверждений, но обоснования неполные либо контрпример приведён не ко всем неверным высказываниям.
- Ниже отметки «3» — учащийся пока не различает утверждение и задание или не может связать вывод с условием; требуется индивидуальная коррекция по алгоритму.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что такое математическое утверждение? | Проверка осознания нового понятия и различения утверждения, вопроса и просьбы. |
Как доказать, что утверждение верно? | Выявление понимания способов проверки: правило, вычисление, подходящий пример. |
Как опровергнуть неверное общее утверждение? | Проверка понимания роли контрпримера. |
Какой шаг алгоритма оказался самым трудным? | Выявление индивидуальных точек затруднения для последующей коррекции. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы увидели, что в математике недостаточно сказать «мне кажется». Любое утверждение нужно внимательно прочитать, проверить и обосновать. Для неверного общего высказывания достаточно найти один подходящий контрпример, но пример, подтверждающий правило, ещё не всегда доказывает его для всех случаев. Дома вы потренируетесь распознавать такие ситуации. На следующем уроке мы продолжим развивать умение рассуждать и применять математические правила в задачах."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания на определение верности утверждений о натуральных числах, действиях, чётности и делимости; к каждому ответу добавить краткое обоснование. | Закрепляет алгоритм проверки; при проверке обратить внимание на знак «верно/неверно» и наличие объяснения. |
Средний (повышающий) | Выполнить 4 задания, в которых нужно опровергнуть неверное общее утверждение контрпримером и исправить формулировку так, чтобы она стала верной. | Формирует умение находить контрпример и точно изменять условие или вывод; проверить соответствие контрпримера условию. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить 5 собственных математических утверждений: два верных, два неверных с контрпримером и одно утверждение с исправленной формулировкой; обменяться ими с членом семьи или одноклассником для проверки. | Развивает создание собственных высказываний, критическое мышление и умение объяснять математический вывод. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Чем утверждение отличается от вопроса? Как проверить верное утверждение? Что такое контрпример? Сколько контрпримеров достаточно, чтобы опровергнуть общее утверждение?»
