Нестандартные задания на тему «Простые числа. Числа-близнецы»
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать простые и составные числа, находить пары чисел-близнецов среди чисел до 50 и обосновывать ответ с помощью признаков делимости и перебора делителей.
- Закрепить понимание различий между простыми и составными числами, а также особого свойства чисел-близнецов.
- Развивать умение выдвигать гипотезы, проверять их на примерах, находить закономерности и объяснять ход рассуждений.
- Формировать навыки сотрудничества при решении нестандартных задач и корректного представления общего решения.
- Воспитывать интерес к математическим открытиям, настойчивость при поиске решения и ответственное отношение к мнению одноклассников.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к поиску закономерностей в последовательности простых чисел.
- Понимают ценность доказательного рассуждения и проверки гипотез.
- Проявляют готовность участвовать в обсуждении и принимать разные способы решения.
- Оценивают собственный вклад в работу пары или группы.
Метапредметные
- Выделяют условие и требование нестандартной задачи, составляют план решения.
- Используют таблицу чисел, признаки делимости и перебор делителей для проверки гипотез.
- Сравнивают способы решения, находят ошибку в рассуждении и формулируют вывод.
- Аргументированно представляют результат работы пары или группы.
Предметные
- Знают определения простого и составного числа, понимают особую роль числа 1.
- Умеют определять простоту числа перебором возможных делителей.
- Умеют находить пары чисел-близнецов среди чисел до 50.
- Умеют объяснять, почему предложенная пара является или не является парой чисел-близнецов.
- Применяют знания о делимости при решении логических и исследовательских задач.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают смысл учебной деятельности через самостоятельное открытие математической закономерности.
- Проявляют интерес к исследованию числовых объектов.
- Формируют положительное отношение к совместному поиску решения.
- Оценивают, какие действия помогли преодолеть затруднение.
Регулятивные УУД
- Принимают и сохраняют цель поиска пар чисел-близнецов.
- Планируют последовательность проверки числа на простоту.
- Сверяют результат с условием и исправляют найденные ошибки.
- Оценивают степень достижения цели по листу самооценки.
Познавательные УУД
- Классифицируют числа на простые и составные.
- Строят предположение о расположении чисел-близнецов и проверяют его.
- Моделируют задачу с помощью таблицы чисел и цветовой маркировки.
- Выделяют существенные признаки и формулируют математический вывод.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в группе: проверяющий, записывающий, докладчик.
- Задают уточняющие вопросы и объясняют ход рассуждений.
- Согласуют общий ответ, опираясь на доказательства.
- Корректно оценивают решение другой пары по заданным критериям.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить на доске или экране таблицу чисел от 1 до 50 с крупными ячейками.
- Распечатать карточки трёх уровней: зелёные — базовые, жёлтые — исследовательские, красные — творческие; по одной карточке на пару.
- Распечатать таблицу чисел от 1 до 50 по одной на каждого ученика для цветовой маркировки.
- Подготовить листы самооценки и стикеры трёх цветов по одному комплекту на ученика.
- Вывести на экран определения: простое число, составное число, числа-близнецы; отдельно выделить число 1.
- Подготовить таймер, маркеры и магниты для фиксации ответов групп.
- Разложить на партах карточки с утверждениями для приёма «Верю — не верю».
- Подготовить эталон проверки: перечень простых чисел до 50 и пары чисел-близнецов до 50: 3 и 5, 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19, 29 и 31, 41 и 43.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учеников в исследовательскую деятельность и создать интерес к теме числовых закономерностей.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране ряд: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. «Ребята, перед вами не случайный набор чисел. Попробуйте за полминуты заметить, что их объединяет. Не выкрикивайте ответ, сначала сформулируйте предположение в тетради». | Рассматривают ряд, записывают индивидуальное предположение: «Это простые числа», «Некоторые числа идут с разностью 2». |
2 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: «Сначала сравните свои версии с соседом, затем назовите классу только ту гипотезу, которую можете объяснить. Сегодня мы будем не просто вспоминать определения, а искать закономерность и проверять её». | Обсуждают версии в парах, формулируют ответы: «В ряду есть пары простых чисел, отличающихся на 2». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что простые числа могут образовывать особые пары. Сейчас вспомним признаки, которые помогут нам проверять числа, а затем самостоятельно исследуем эту закономерность».
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить определения простого и составного числа и способы проверки делителей.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Верю — не верю»: «Покажите зелёную карточку, если согласны, и красную, если не согласны. Простое число имеет ровно два делителя. Число 1 — простое. Число 15 — простое. Число 2 — единственное чётное простое число». После каждого ответа просит назвать доказательство. | Показывают карточки и объясняют: «Первое утверждение верно», «Число 1 не является простым, потому что имеет только один делитель», «15 делится на 3 и 5», «2 делится только на 1 и 2». |
4 мин | Учитель раздаёт таблицы чисел от 1 до 30. «Отметьте простые числа кружком, а составные зачеркните. Число 1 не отмечайте ни одним знаком. Для трёх чисел объясните вслух, как вы проверяли простоту». | Индивидуально размечают таблицу, затем сравнивают её в парах. Объясняют: «21 составное, потому что $21=3\cdot7$», «23 простое, потому что у него нет делителей, кроме 1 и 23». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили: простое число имеет ровно два делителя, составное — больше двух, а число 1 не относится ни к простым, ни к составным. Теперь выясним, как из простых чисел образуются числа-близнецы».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать понятие чисел-близнецов через наблюдение и определить план исследования.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает пары: 3 и 5, 5 и 7, 11 и 13, 9 и 11, 17 и 19. «Какие пары подходят под одно правило? Что общего у чисел в подходящей паре? Можно ли назвать 9 и 11 числами-близнецами? Обоснуйте». | Сравнивают пары и отвечают: «В числах-близнецах оба числа простые, а разность равна 2», «9 и 11 не подходят, потому что 9 составное». |
2 мин | Учитель записывает тему и предлагает составить план: «Какие действия помогут решить задачу урока? Назовите шаги исследователя». | Формулируют план: «Вспомнить определения, проверить числа на простоту, найти пары с разностью 2, доказать ответ». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Цель определена: мы должны научиться находить и доказывать пары чисел-близнецов. Переходим к исследованию таблицы чисел».
Этап 4. Открытие нового знания. Исследование (9 мин)
Цель этапа: открыть закономерность расположения чисел-близнецов и закрепить алгоритм их проверки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель объединяет класс в пары и раздаёт карточки. «Обведите в таблице все простые числа до 50. Затем соедините линиями пары простых чисел, расстояние между которыми равно 2. Не соединяйте числа только потому, что они отличаются на 2: сначала докажите их простоту». | В парах отмечают простые числа, находят и соединяют пары: 3–5, 5–7, 11–13, 17–19, 29–31, 41–43. |
3 мин | Учитель задаёт вопросы эвристической беседы: «Почему пара 13 и 15 не подходит? Почему 23 и 25 не подходят? Как проверить число 37? Нужно ли делить его на все числа подряд?» | Отвечают: «15 и 25 составные», «37 не делится на 2, 3, 5 и 7, значит, среди возможных делителей до него подходящего нет; оно простое». |
3 мин | Учитель фиксирует на доске алгоритм: «Шаг 1 — проверить, что оба числа простые. Шаг 2 — найти их разность. Шаг 3 — если разность равна 2, назвать пару числами-близнецами. Запишите определение и один пример». | Записывают определение: «Числа-близнецы — это две простые числа, разность которых равна 2». Приводят пример: «11 и 13». |
Запись в тетрадях
Числа-близнецы — это пара простых чисел, разность которых равна 2. Алгоритм проверки: 1) установить простоту обоих чисел; 2) вычислить разность большего и меньшего; 3) сделать вывод.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы открыли правило и проверили его на таблице. Теперь применим алгоритм к заданиям, где ответ нельзя получить простым угадыванием».
Этап 5. Первичное закрепление. Работа в парах (7 мин)
Цель этапа: научить применять определение чисел-близнецов и аргументировать решение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт зелёные карточки: «Решите задания парами. 1) Определите, являются ли числа 41 и 43 числами-близнецами. 2) Проверьте пары 31 и 33, 37 и 39. 3) Найдите среди чисел 20–35 все пары чисел-близнецов. Записывайте не только ответ, но и причину». | Решают: «41 и 43 — числа-близнецы: оба простые, $43-41=2$»; «31 и 33 не являются парой, потому что 33 составное»; находят 29 и 31. |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку по критериям на доске: «Проверьте три пункта: оба числа простые, разность равна 2, вывод записан полностью. Поставьте соседней паре две звезды и одно пожелание». | Сверяют решения, отмечают два сильных места и формулируют пожелание, например: «Добавьте проверку простоты числа 31». |
2 мин | Учитель просит две пары представить разные ответы: «Объясните решение так, чтобы другой ученик мог повторить каждый шаг». | Представляют рассуждение у доски, задают уточняющие вопросы и исправляют неточности. |
Эталон решения
Для пары 41 и 43: число 41 имеет только делители 1 и 41, число 43 имеет только делители 1 и 43, значит, оба числа простые. Разность равна $43-41=2$. Следовательно, 41 и 43 — числа-близнецы. Для пары 31 и 33: число 33 делится на 3, поэтому оно составное; пара числами-близнецами не является.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Алгоритм работает, если мы обязательно проверяем оба условия. Сейчас каждый попробует решить задания самостоятельно и выбрать уровень сложности».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение алгоритмом и развить умение находить закономерность.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор уровня: «Зелёная карточка обязательна для всех. Жёлтая — для тех, кто готов исследовать больше. Красная — творческая, её можно выполнять после базового задания. Работайте молча, время — семь минут». | Выбирают карточку, записывают фамилию и начинают индивидуальное решение. |
6 мин | Учитель наблюдает и адресно помогает вопросами: «Какое условие нужно проверить первым? Какой делитель сразу исключает число? Где в таблице находятся числа на расстоянии 2?» На карточке зелёного уровня: определить, являются ли близнецами пары 5 и 7, 19 и 21, 47 и 49; найти пары до 30. Жёлтый уровень: найти все пары до 50 и объяснить, почему 3 и 5 входят в две соседние пары. Красный уровень: составить три пары чисел, отличающихся на 2, среди которых только две являются близнецами, и объяснить выбор. | Решают индивидуально, записывают проверку простоты и вывод. Для красного задания составляют, например, 11 и 13, 15 и 17, 21 и 23; объясняют, что пары с 15 и 21 не подходят. |
3 мин | Учитель открывает эталон на доске: «Сверьте решение по шагам, а не только по ответу. Зелёный цвет означает самостоятельное верное решение, жёлтый — одну неточность, красный — необходимость разобрать алгоритм ещё раз». | Проверяют работу, исправляют ошибки другим цветом, отмечают уровень понимания на листе самооценки. |
Эталон решения
Пары чисел-близнецов до 50: $(3;5)$, $(5;7)$, $(11;13)$, $(17;19)$, $(29;31)$, $(41;43)$. Пара $(19;21)$ не подходит, потому что $21=3\cdot7$; пара $(47;49)$ не подходит, потому что $49=7\cdot7$. Числа 3 и 5 входят в две пары, потому что 5 отличается на 2 и от 3, и от 7.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы проверили себя по эталону и увидели, что главный источник ошибки — забытая проверка простоты одного из чисел. Осталось обобщить результат и сформулировать, чему мы научились».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: осознать способ действия, оценить результат и определить направление дальнейшей работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Одноминутка»: «За одну минуту допишите три фразы: “Простое число — это…”, “Числа-близнецы — это…”, “Перед тем как назвать пару близнецами, я должен…”» | Индивидуально дописывают определения и алгоритм, затем зачитывают по одному варианту. |
2 мин | Учитель показывает шкалу самооценки: «Поднимите зелёный стикер, если можете самостоятельно найти пару близнецов; жёлтый — если справляетесь с подсказкой; красный — если пока путаете условия. Ошибка — это ориентир для следующего шага, а не повод отказаться от поиска». | Прикрепляют стикер, называют личное затруднение: «Мне нужно внимательнее проверять составные числа», «Я уверенно нахожу разность». |
2 мин | Учитель формулирует домашнее задание по уровням и задаёт контрольные вопросы: «Какое число не является ни простым, ни составным? Сколько условий нужно проверить для пары близнецов? Может ли составное число входить в такую пару?» | Отвечают: «1», «Два условия: простота обоих чисел и разность 2», «Нет, потому что оба числа должны быть простыми». |
Завершающее слово этапа: учитель говорит: «Сегодня вы работали как исследователи: проверяли гипотезы, находили закономерность и доказывали ответы. Вы узнали, что числа-близнецы — это не просто числа с разностью 2, а две простые числа с такой разностью. Дома закрепите алгоритм, а на следующем уроке мы продолжим исследовать свойства простых чисел и способы их использования в задачах».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены все задания выбранной обязательной карточки, для каждой пары проверена простота обоих чисел и записан обоснованный вывод; в исследовательском задании приведено корректное объяснение закономерности.
- «4» — правильно решено большинство заданий, допущена одна неточность в проверке делителя или записи вывода, но понятие чисел-близнецов применено верно.
- «3» — правильно выполнена основная часть базовых заданий, но есть две ошибки в проверке простоты или ученик называет пару без полного обоснования.
- Ниже «3» — алгоритм пока применяется непоследовательно; требуется повторить определения и выполнить аналогичное задание с опорой на таблицу.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о числах-близнецах? | Выявление осознания определения и отличия от простой разности чисел. |
Какой шаг алгоритма оказался самым важным или самым трудным? | Выявление точек затруднения при проверке простоты и формулировке вывода. |
Почему пара 19 и 21 не является парой чисел-близнецов? | Проверка понимания необходимости двух условий. |
Какой уровень задания вы готовы выполнить самостоятельно в следующий раз? | Субъективная оценка продвижения и планирование дальнейшей работы. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы убедились, что за необычным названием “числа-близнецы” стоит точное математическое правило. Важно не только увидеть разность 2, но и доказать, что оба числа простые. Типичная ошибка — считать подходящей любую пару чисел, отличающихся на 2. На следующем уроке мы продолжим исследовать закономерности простых чисел и попробуем применять их в более сложных логических задачах».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4–5 заданий на распознавание простых и составных чисел до 50; найти все пары чисел-близнецов до 30 и записать проверку одной пары. | Закрепляет определения и алгоритм проверки; при проверке обратить внимание на число 1 и обоснование простоты. |
Средний (повышающий) | Решить 3–4 исследовательские задачи: найти пары чисел-близнецов до 50, определить, какие числа из предложенного списка не могут входить в такую пару, объяснить ответ. | Развивает применение признаков делимости, классификацию и аргументацию. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную задачу о простых числах и числах-близнецах с ответом и подробным решением; дополнительно предположить, встречаются ли такие пары после 50, проверив числа до 100. | Формирует умение создавать математическую задачу, выдвигать гипотезу и проверять её перебором. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как определить, что число простое? Почему число 1 не является простым? Какие два условия должны выполняться для чисел-близнецов? Приведите одну пару чисел-близнецов до 50 и докажите свой ответ».
