Признаки делимости на 2, 5, 10, 3 и 9. Разложение числа на множители
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться определять делимость натурального числа на 2, 5, 10, 3 и 9 по соответствующему признаку и раскладывать двузначные и простые трёхзначные числа на множители, объясняя каждый шаг.
- Познакомить учащихся с признаками делимости на 2, 5, 10, 3 и 9 и установить связь между признаками и разложением числа на множители.
- Научить применять признаки делимости при устном выборе делителей и проверять результат разложением числа на множители.
- Развивать умение сравнивать, классифицировать, находить закономерность, формулировать гипотезу и аргументировать вывод в паре и группе.
- Формировать внимательность к вычислениям, интерес к математическим закономерностям и ответственное отношение к самостоятельной проверке.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к поиску математической закономерности через исследование чисел.
- Осознают ценность точности, самоконтроля и проверки результата.
- Развивают уверенность в собственных действиях при объяснении решения одноклассникам.
- Проявляют готовность сотрудничать и уважительно принимать иной способ рассуждения.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель на основе обнаруженного затруднения.
- Выделяют существенный признак числа, сравнивают группы чисел и делают вывод.
- Работают с таблицей, карточкой и записью на доске, преобразуя информацию в правило.
- Планируют последовательность разложения числа, осуществляют самопроверку и исправляют ошибки.
- Аргументируют ответ, задают уточняющие вопросы и распределяют действия в паре.
Предметные
- Знать признаки делимости на 2, 5, 10, 3 и 9.
- Уметь определять делимость числа без выполнения письменного деления.
- Уметь объяснять, почему число делится или не делится на выбранный делитель.
- Уметь раскладывать числа на простые множители и записывать разложение в виде произведения.
- Уметь применять несколько признаков последовательно, например определять делимость числа на 6 через делимость на 2 и 3.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный вклад в работу пары и оценивают собственную готовность применять признаки делимости.
- Осознают смысл изучения признаков как способа быстро проверять числа в практических и учебных ситуациях.
- Формируют положительное отношение к математическому поиску и преодолению затруднения.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель урока, составляют план исследования чисел.
- Работают по алгоритму проверки делимости и разложения на множители.
- Сверяют решение с эталоном, находят ошибочный шаг и корректируют запись.
- Оценивают результат по предложенным критериям и формулируют затруднение.
Познавательные УУД
- Выявляют закономерность по последней цифре и по сумме цифр числа.
- Классифицируют числа по признакам делимости и устанавливают пересечения групп.
- Моделируют разложение числа в виде дерева множителей.
- Используют анализ, сравнение, обобщение и доказательство при формулировке правила.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: вычислитель, проверяющий, докладчик.
- Формулируют полный ответ с использованием математических терминов.
- Задают вопросы «Почему?» и «Как проверить?» и отвечают на них.
- Согласовывают общий вывод и корректно обсуждают ошибку партнёра.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или записи на доске: названия пяти признаков, примеры и алгоритм разложения числа на множители.
- Распечатать карточки с числами для исследования — по одной на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Распечатать карточки трёх уровней для самостоятельной работы — по одной на каждого ученика.
- Подготовить цветные карточки или стикеры пяти цветов для группировки чисел по признакам.
- Подготовить таблицу «Признак — что проверяем — пример» на парты или для вывода на экран.
- Подготовить карточки с числами 24, 45, 70, 81, 126, 135, 250, 360 для группового задания.
- Освободить место на доске для дерева множителей и эталона самопроверки.
- Подготовить таймер на 2–4 минуты и сигнальные карточки зелёного, жёлтого и красного цвета.
- Подготовить лист самооценки и маленькие листы для билета на выход — по одному на каждого ученика.
- Оборудование: доска, маркеры, проектор или интерактивная доска, ручки, тетради, раздаточные материалы.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую ценность быстрого определения делимости.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и говорит: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, всё ли готово к работе: тетрадь, ручка, карточка для исследования. Сегодня нам предстоит не просто выполнять деление, а искать секреты чисел. Посмотрите на доску: записаны числа 20, 35, 48, 72 и 125. Как быстро узнать, на какие числа они делятся, не выполняя длинное деление?" | Проверяют готовность, рассматривают числа и предполагают: "Нужно посмотреть на последнюю цифру"; "Можно сложить цифры". |
2 мин | Учитель использует приём «Крючок»: "Представьте, что кассиру нужно быстро разделить 90 жетонов поровну между участниками игры. Можно каждый раз выполнять деление столбиком, а можно заметить закономерность. Сегодня мы проверим, какие признаки помогают действовать быстрее, и научимся раскладывать число на множители." | Формулируют ожидания: "Научимся быстро определять делимость"; записывают дату и тему урока. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что у чисел есть внешние признаки, по которым можно быстро предположить ответ. Теперь проверим наши предположения и выясним, какие из них всегда верны."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить понятия делителя, кратного числа, простого числа и остатка, необходимые для открытия нового правила.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на доске равенства $24:6=4$, $25:4=6$ (ост. 1), $31:1=31$ и спрашивает: "В каком случае деление выполнено нацело? Как называют число 6 для числа 24? Как называют число 24 по отношению к 6?" | Отвечают: "В первом случае деление нацело"; "6 — делитель 24"; "24 — кратное 6". Объясняют, что остаток при делении 25 на 4 равен 1. |
3 мин | Учитель организует «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "За 30 секунд каждый определит, какие из чисел 12, 17, 20, 27 являются простыми. Затем обсудите ответ с соседом и назовите способ проверки." | Сначала работают индивидуально, затем обсуждают в паре и сообщают: "17 — простое число; 12, 20 и 27 — составные, потому что имеют делители, кроме 1 и самого себя". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что делимость означает отсутствие остатка, а составное число можно представить произведением меньших натуральных чисел. Теперь найдём быстрые признаки, которые заменят проверку делением."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение и совместно сформулировать цель исследования.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточки с числами 34, 50, 72, 105, 126 и 217 и говорит: "Попробуйте без письменного деления определить, какие числа делятся на 2, 5 и 10. Запишите только предположение и способ рассуждения. Обратите внимание, что для некоторых чисел одного взгляда недостаточно." | Отмечают предполагаемые делители: 34 делится на 2; 50 — на 2, 5 и 10; 72 — на 2; 105 — на 5; 126 — на 2; 217 не относят к делящимся на 2, 5 или 10. |
2 мин | Учитель задаёт проблемный вопрос: "Почему достаточно посмотреть на последнюю цифру? А как быстро проверить делимость на 3 и 9? Что нам нужно узнать, чтобы уверенно объяснять ответ? Запишите цель урока одним предложением." | Формулируют цель: "Узнать признаки делимости на 2, 5, 10, 3 и 9 и применять их для разложения чисел на множители". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: исследовать пять признаков, проверить их на примерах и использовать при разложении чисел. Переходим к открытию правил через работу с группами чисел."
Этап 4. Открытие нового знания. Исследование признаков (10 мин)
Цель этапа: вывести признаки делимости на 2, 5, 10, 3 и 9 через наблюдение, сравнение и формулировку общего правила.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель выводит на экран таблицу чисел 12, 18, 24, 30, 42 и 15, 25, 35, 40, 70. Говорит: "Рассмотрите два ряда. В первом ряду найдите общую особенность последних цифр, во втором — особенность чисел, делящихся на 5. Обсудите наблюдение в парах одну минуту." | В парах сравнивают числа и формулируют: "На 2 делятся числа, оканчивающиеся на 0, 2, 4, 6 или 8"; "На 5 делятся числа, оканчивающиеся на 0 или 5". |
2 мин | Учитель уточняет: "Какие числа одновременно делятся на 2 и 5? Посмотрите на последнюю цифру. Какой признак получается для делимости на 10?" На доске фиксирует: «Число делится на 10, если оканчивается цифрой 0». | Отвечают: "На 2 и 5 одновременно делятся числа, оканчивающиеся на 0"; записывают признак делимости на 10. |
3 мин | Учитель показывает числа 123, 204, 315, 432 и спрашивает: "Сложите цифры каждого числа. Сравните сумму с делимостью исходного числа на 3 и 9. Что повторяется?" Учитель демонстрирует на примере $234$: $2+3+4=9$. | Складывают цифры: $1+2+3=6$, $2+0+4=6$, $3+1+5=9$, $4+3+2=9$. Формулируют: "Если сумма цифр делится на 3, то число делится на 3; если сумма цифр делится на 9, то число делится на 9". |
2 мин | Учитель обобщает: "Запишем пять признаков. Не путайте их: для 2, 5 и 10 смотрим на последнюю цифру, для 3 и 9 — на сумму цифр. Проверьте себя по таблице и поднимите зелёную карточку, если можете объяснить каждый признак." | Записывают правила в тетрадь, поднимают сигнальные карточки, задают вопросы по непонятным примерам. |
Запись в тетрадях
- На 2 делятся числа, оканчивающиеся цифрой 0, 2, 4, 6 или 8.
- На 5 делятся числа, оканчивающиеся цифрой 0 или 5.
- На 10 делятся числа, оканчивающиеся цифрой 0.
- На 3 делятся числа, сумма цифр которых делится на 3.
- На 9 делятся числа, сумма цифр которых делится на 9.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Правила открыты и записаны. Теперь проверим, умеем ли мы применять их не по памяти, а в конкретной ситуации, объясняя каждый ответ."
Этап 5. Первичное закрепление и разложение на множители (8 мин)
Цель этапа: закрепить признаки делимости и показать, как они помогают последовательно раскладывать число на множители.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель говорит: "Работаем в парах. Для каждого числа назовите все подходящие признаки и объясните выбор: 48, 75, 90, 126. Запишите не только ответ, но и проверку: последняя цифра или сумма цифр." | В парах записывают: 48 делится на 2 и 3; 75 — на 3 и 5; 90 — на 2, 3, 5, 9 и 10; 126 — на 2, 3 и 9. Объясняют: $1+2+6=9$. |
3 мин | Учитель показывает число 84 и говорит: "Разложим число на простые множители. Сначала спросим себя: на какой простой делитель 84 делится? Используем признак на 2. Запишем цепочку делений и проверим произведением." | У доски и в тетрадях выполняют: $84=2\cdot42=2\cdot2\cdot21=2\cdot2\cdot3\cdot7$. Проверяют: $2\cdot2\cdot3\cdot7=84$. |
2 мин | Учитель предлагает задачу: "Разложите число 150 на простые множители. Подсказка: сначала примените признаки делимости на 2, 5 и 10, затем продолжайте до простых множителей." | Записывают: $150=2\cdot75=2\cdot3\cdot25=2\cdot3\cdot5\cdot5$. Один ученик объясняет последовательность. |
Эталон решения
$84:2=42$, поэтому $84=2\cdot42$. Число 42 снова делится на 2: $42:2=21$, значит $84=2\cdot2\cdot21$. Число 21 делится на 3: $21:3=7$. Число 7 простое. Итог: $84=2\cdot2\cdot3\cdot7$. Проверка: $2\cdot2\cdot3\cdot7=84$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Признак помогает быстро выбрать делитель, а затем мы продолжаем делить, пока не получим простые множители. Сейчас каждый проверит, насколько самостоятельно владеет этим алгоритмом."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное понимание признаков и алгоритма разложения, организовать самопроверку.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней и говорит: "Выберите уровень по своей уверенности. Базовый обязателен для всех, повышающий и дополнительный можно выполнить при готовности. Сначала прочитайте критерии и только потом начинайте работу." | Выбирают карточку, читают критерии, задают уточняющие вопросы. |
4 мин | Учитель предлагает задания. Базовый: определить, делятся ли 236, 405, 710, 819 на 2, 5, 10, 3, 9. Повышающий: разложить 126 и 225 на простые множители. Дополнительный: найти все делители числа 180, используя признаки делимости. | Индивидуально записывают признаки, суммы цифр, разложения и промежуточные действия. |
3 мин | Учитель выводит эталон: «236: 2; 405: 3, 5, 9; 710: 2, 5, 10; 819: 3, 9. $126=2\cdot3\cdot3\cdot7$; $225=3\cdot3\cdot5\cdot5$». Просит проверить работу и отметить ошибки зелёной ручкой. | Сверяют каждую строку с эталоном, исправляют ошибки, ставят знак «+» у верного действия и формулируют причину ошибки, если она есть. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самопроверка показала, какое правило уже работает уверенно, а какое требует ещё одной тренировки. Объединим признаки в систему и применим их к задаче с реальным смыслом."
Этап 7. Включение знаний в систему и реальный контекст (4 мин)
Цель этапа: применить признаки делимости для выбора способа распределения предметов поровну и связать правила между собой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает ситуацию: "Для команд подготовили 90 жетонов. Можно ли разложить их поровну в 2, 3, 5, 9 или 10 одинаковых наборов? Объясните без письменного деления. Какие признаки используете?" | Отвечают: "Да, 90 делится на 2, 3, 5, 9 и 10: последняя цифра 0, а сумма цифр равна 9". |
2 мин | Учитель задаёт вопрос на анализ: "Число делится на 10. Обязательно ли оно делится на 2 и 5? А число, делящееся на 9, обязательно ли делится на 3? Обоснуйте." | Формулируют: "Да, делимость на 10 означает окончание на 0, поэтому число делится на 2 и 5"; "Да, если сумма цифр делится на 9, то она делится и на 3". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что один признак может сразу дать несколько выводов. Осталось зафиксировать личный результат, назвать трудность и проверить, достигли ли мы цели урока."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: оценить освоение признаков, выявить затруднения и объяснить содержание домашней работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт листы «Билет на выход»: "Запишите одно правило, которое вы можете объяснить другому человеку, и один пример разложения числа на простые множители. Внизу допишите вопрос или место, где нужна тренировка." | Письменно отвечают: например, «число делится на 9, если сумма цифр делится на 9»; $72=2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3$. |
1 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: "Зелёный — могу применять все признаки; жёлтый — путаю один признак; красный — нужна помощь. Поднимите соответствующую карточку и назовите, что поможет перейти на следующий уровень." | Показывают карточку, формулируют: "Мне нужно потренировать сумму цифр" или «мне нужно повторить разложение до простых множителей». |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите обязательный уровень или более высокий, если готовы. При проверке обязательно показывайте признак, промежуточные деления и итоговую проверку произведением." | Записывают выбранный уровень и контрольные вопросы, уточняют объём работы. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — правильно определены все признаки делимости в самостоятельной работе, оба разложения выполнены до простых множителей, приведены объяснения и отсутствуют вычислительные ошибки.
- «4» — правильно выполнено не менее 80% заданий, допущена одна неточность в признаке или промежуточном делении, но общий алгоритм разложения понятен.
- «3» — правильно выполнена базовая часть не менее чем наполовину, признаки применяются с подсказкой, в разложении есть отдельные верные шаги.
- Ниже базового уровня — ученик указывает затруднение и вместе с учителем разбирает один пример по алгоритму: признак, деление, проверка, запись простых множителей.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой признак делимости вы теперь можете объяснить без подсказки? | Выявление осознанности и устойчивости усвоенного правила. |
Что нужно проверить в числе, чтобы узнать его делимость на 3 или 9? | Проверка различения признаков по сумме цифр. |
На каком шаге разложения числа на множители возникло затруднение? | Выявление точек затруднения в алгоритме решения. |
Как вы проверяете, что разложение выполнено правильно? | Формирование навыка самоконтроля через обратное умножение. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились быстро проверять делимость числа на 2, 5, 10, 3 и 9, не выполняя каждый раз письменное деление. Мы увидели, что последняя цифра и сумма цифр дают важную информацию о числе. При разложении не забывайте продолжать деление до простых множителей и проверять результат умножением. На следующем уроке мы продолжим работать с делителями и кратными и научимся применять полученные знания в более сложных задачах."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Определить, на какие из чисел 2, 5, 10, 3 и 9 делятся 8 натуральных чисел, подобранных учителем; для делимости на 3 и 9 записать сумму цифр. Разложить на простые множители 2 двузначных составных числа. | Закрепляет признаки делимости и базовый алгоритм разложения; при проверке смотреть на объяснение, а не только на ответ. |
Средний (повышающий) | Решить 4 задачи на подбор чисел по условию: найти число, делящееся одновременно на 2 и 5; на 3 и 9; на 2, 3 и 5; составить два примера чисел, которые делятся на 5, но не делятся на 10. Разложить 3 составных числа на простые множители. | Формирует умение применять несколько признаков одновременно и объяснять пересечение условий. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить мини-задачу о распределении предметов поровну между группами, используя число, делящееся минимум на три изученных делителя. Записать разложение выбранного числа на простые множители и объяснить все использованные признаки. | Развивает создание математической модели, аргументацию и связь признаков делимости с реальной ситуацией. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «По какой цифре определяется делимость на 10? Что нужно сделать для проверки делимости на 3? Чем отличается проверка делимости на 3 от проверки делимости на 9? С какого вопроса начать разложение составного числа на множители? Как убедиться, что разложение выполнено верно?»
