Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться находить НОД и НОК двух натуральных чисел перечислением делителей и кратных, объяснять смысл полученного результата и применять алгоритмы при решении практической задачи.
- Познакомить учащихся с понятиями наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного, их обозначениями и свойствами.
- Научить находить НОД и НОК двух чисел способом перебора делителей и кратных, а также проверять правильность результата.
- Развивать умение сравнивать, классифицировать, анализировать последовательности чисел, работать в паре и аргументировать способ решения.
- Воспитывать внимательность, ответственность за общий результат и понимание практической значимости математических вычислений.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают, что математические способы помогают планировать повторяющиеся события в повседневной жизни.
- Проявляют интерес к поиску нескольких способов решения и выбору наиболее удобного.
- Оценивают собственный вклад в парную работу и готовы корректно обсуждать ошибки.
- Формируют положительное отношение к преодолению затруднения через последовательные действия.
Метапредметные
- Формулируют учебную задачу на основе выявленного затруднения и планируют последовательность действий.
- Извлекают информацию из числовых рядов, таблиц и условия практической задачи.
- Сравнивают способы нахождения НОД и НОК, выделяют существенные признаки понятий.
- Работают в паре, распределяют действия, формулируют и проверяют общий вывод.
- Осуществляют самопроверку по эталону и корректируют решение после обнаружения ошибки.
Предметные
- Знать определения НОД и НОК двух натуральных чисел и понимать смысл слов «общий», «наибольший», «наименьший».
- Уметь находить общие делители двух чисел и выбирать среди них наибольший.
- Уметь выписывать кратные двух чисел и выбирать среди общих кратных наименьшее.
- Уметь записывать обозначения $НОД(a;b)$ и $НОК(a;b)$ и проверять результат по определению.
- Уметь применять НОД и НОК в задаче о повторяющихся событиях и группировке предметов.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения НОД и НОК через связь с расписанием и распределением предметов.
- Проявляют учебную самостоятельность при выборе способа решения.
- Понимают ценность точной проверки вычислений.
- Оценивают эмоциональное состояние и готовность обратиться за помощью.
Регулятивные УУД
- Принимают и сохраняют цель урока: научиться находить НОД и НОК.
- Составляют план решения: выписать делители или кратные, выделить общие, выбрать нужное число.
- Сверяют ответ с определением и исправляют ошибки в записи.
- Оценивают результат по предложенным критериям и формулируют следующий шаг обучения.
Познавательные УУД
- Воспроизводят признаки делителя и кратного натурального числа.
- Строят и анализируют ряды делителей и кратных.
- Сравнивают математические объекты по заданным признакам.
- Моделируют практическую ситуацию с помощью числовой последовательности.
- Формулируют обобщение на основе нескольких решённых примеров.
Коммуникативные УУД
- Обсуждают решение в паре, задают уточняющие вопросы и договариваются о записи.
- Объясняют, почему число является или не является общим делителем либо кратным.
- Используют математическую речь: «делитель», «кратное», «общий», «наибольший», «наименьший».
- Корректно принимают иной способ решения и аргументированно выбирают верный.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или записи на доске с числовыми рядами для чисел 12 и 18, а также с практической ситуацией о двух повторяющихся сигналах.
- Распечатать карточки для работы в парах: по одному комплекту на парту, всего 15 комплектов.
- Подготовить карточки трёх уровней для самостоятельной работы: по одной карточке каждого уровня на каждого ученика.
- Распечатать лист самооценки и выходной билет по одному экземпляру на каждого ученика.
- Подготовить магнитные карточки с числами 1, 2, 3, 6, 9, 12, 18, 24, 36 для работы у доски.
- Вывесить на доске памятку: «Делитель делит без остатка; кратное получается умножением».
- Подготовить цветные маркеры, стикеры трёх цветов и таймер на 2–4 минуты.
- Проверить работу проектора или интерактивной доски; подготовить экран с критериями оценивания и алгоритмами НОД и НОК.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практический смысл поиска общего числа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность: тетрадь, ручка, линейка и карточка должны лежать перед вами. Сегодня нам понадобится не только вычислять, но и внимательно сравнивать числа. Покажите зелёную карточку, если готовы начать, жёлтую — если нужно ещё несколько секунд." | Проверяют рабочее место, показывают карточку готовности, записывают дату. |
2 мин | Учитель показывает на экране ситуацию: "Один маячок мигает каждые 6 секунд, другой — каждые 8 секунд. Сейчас они мигнули одновременно. Через сколько секунд это произойдёт снова? Не спешите угадывать: запишите первые моменты мигания каждого маячка и обсудите ответ с соседом." Учитель называет приём «Подумай — обсуди в паре — поделись». | Индивидуально записывают ряды 6, 12, 18, 24... и 8, 16, 24..., обсуждают ответ в паре, формулируют: «Снова одновременно через 24 секунды». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что для ответа нужно найти первое число, которое встречается в двух рядах кратных. Сегодня мы узнаем, как называется такое число и как находить его быстро и без догадок."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить знания о делителях, кратных и признаках делимости, необходимые для открытия новых понятий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске числа 12 и 18 и говорит: "Вспомним два важных слова. Как называется число, на которое делят без остатка? Как называется результат умножения числа на натуральное число? Составьте по одному примеру и проговорите его полным предложением." | Отвечают: «Делитель — число, на которое делят без остатка»; «Кратное — число, которое получается при умножении данного числа на натуральное число». Приводят примеры. |
2 мин | Учитель раздаёт парам мини-карточку: «Отметьте, какие числа являются делителями 18: 2, 3, 4, 6, 9, 12». Затем спрашивает: "Как проверить выбор? Что нужно сделать с каждым числом?" | В парах выполняют деление, отмечают 2, 3, 6, 9, формулируют: «Нужно проверить, делится ли 18 нацело». |
2 мин | Учитель просит назвать первые пять кратных чисел 12 и 18: "Записывайте ряды через запятую. Сравните их: есть ли одинаковые числа?" Учитель фиксирует ответы на доске. | Записывают 12, 24, 36, 48, 60 и 18, 36, 54, 72, 90; находят общее число 36. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы умеем находить делители и кратные. Но пока у нас нет специального способа назвать самый большой общий делитель и самое маленькое общее кратное. Зафиксируем это затруднение и поставим цель."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную задачу и спланировать открытие новых понятий.
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает два списка: делители 12 — 1, 2, 3, 4, 6, 12; делители 18 — 1, 2, 3, 6, 9, 18. Учитель спрашивает: "Какие числа встречаются в обоих списках? Какое из них самое большое? Какой вопрос возникает, если нам нужно назвать этот результат коротко?" | Находят общие делители 1, 2, 3, 6 и отвечают: «Самый большой общий делитель равен 6; нужно узнать его название и обозначение». |
2 мин | Учитель обращается к классу: "Сформулируйте цель урока. Какие действия нам понадобятся? Подсказка: сначала выписываем, затем сравниваем, в конце выбираем число по условию — самое большое или самое маленькое." Учитель записывает план на доске. | Формулируют цель: «Узнать НОД и НОК и научиться их находить». Составляют план: выписать делители или кратные, выделить общие, выбрать нужное число, проверить ответ. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: сегодня мы сами откроем два математических понятия и научимся пользоваться ими. Переходим к исследованию на конкретных числах."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести определения НОД и НОК и освоить алгоритмы их нахождения перечислением.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт карточки с числами 12 и 18: "Работаем в парах. Выпишите все делители 12 и 18, обведите общие. Теперь выберите самый большой общий делитель. Как можно назвать это число? Я записываю на доске: НОД(12;18)=6. Прочитайте запись и объясните каждую букву." | В парах составляют списки, обводят 1, 2, 3, 6, выбирают 6. Формулируют: «НОД — наибольший общий делитель; НОД(12;18)=6 читается: наибольший общий делитель чисел 12 и 18 равен 6». |
3 мин | Учитель продолжает: "Теперь выпишем кратные 12 и 18 до первого совпадения. Какое число появилось в обоих рядах раньше других? Записываем: НОК(12;18)=36. Почему нельзя выбрать 72?" Учитель подчёркивает слова «общее» и «наименьшее». | Записывают ряды, находят 36, объясняют: «72 тоже общее кратное, но оно не наименьшее; первым общим является 36». |
3 мин | Учитель оформляет на доске две памятки: "Алгоритм НОД: 1) выписать делители; 2) выделить общие; 3) выбрать наибольший. Алгоритм НОК: 1) выписать кратные; 2) найти первое общее; 3) проверить делимость на оба числа. Сравните алгоритмы: что в них общее, а что различается?" | Переносят памятку в тетрадь, сравнивают алгоритмы и отвечают: «В обоих случаях ищем общие числа; для НОД рассматриваем делители и выбираем наибольший, для НОК — кратные и выбираем наименьшее». |
Запись в тетрадях
Записывают: «НОД двух натуральных чисел — наибольший из общих делителей этих чисел. НОК двух натуральных чисел — наименьшее натуральное число, которое кратно каждому из данных чисел». Затем записывают $НОД(12;18)=6$ и $НОК(12;18)=36$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы открыли определения и два алгоритма. НОД связан с общими делителями и выбором наибольшего, а НОК — с общими кратными и выбором наименьшего. Теперь проверим новое знание на примерах и научимся объяснять каждый шаг."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритмы НОД и НОК с проговариванием последовательности действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает задание: "Найдите НОД(8;12). Работайте по памятке и проговаривайте действия соседу. Я проверю не только ответ, но и объяснение." После работы приглашает ученика к доске. | Выписывают делители 8: 1, 2, 4, 8; делители 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12; находят общие 1, 2, 4 и записывают $НОД(8;12)=4$. Ученик у доски объясняет алгоритм. |
2 мин | Учитель даёт задание: "Найдите НОК(4;6). Сначала работайте самостоятельно 1 минуту, затем сравните запись в паре. Как проверить ответ?" | Выписывают кратные 4: 4, 8, 12; кратные 6: 6, 12; записывают $НОК(4;6)=12$, проверяют, что 12 делится на 4 и на 6. |
2 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если уверенно различаете НОД и НОК, жёлтую — если путаете один шаг, красную — если нужна помощь. Сейчас разберём типичную ошибку: выбрать для НОК общий делитель вместо общего кратного." | Показывают карточки, исправляют ошибочное утверждение: «НОК ищут среди общих кратных, а НОД — среди общих делителей». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм уже работает на простых примерах. Теперь каждый проверит себя самостоятельно, а затем мы разберём практическую ситуацию, где НОК нужен для определения времени повторной встречи."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное понимание НОД и НОК и обеспечить коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней: "Выберите уровень по своей готовности. Обязательное задание для всех — первое. Выполняйте запись полностью: списки делителей или кратных, общие числа и итог. На экране будет эталон после сигнала таймера." Минимум: найти $НОД(15;20)$ и $НОК(3;5)$. Базовый: найти $НОД(18;24)$ и $НОК(6;8)$. Повышенный: найти НОД и НОК чисел 12 и 30 и объяснить, почему $НОД(12;30)=6$. | Индивидуально решают выбранные задания, подчёркивают итоговые ответы, отмечают затруднившийся шаг. |
3 мин | Учитель открывает эталон: "Сверьте решение по трём пунктам: правильно ли выписаны числа, выделены ли общие, верно ли выбран максимум или минимум. Ошибку не стирайте полностью: зачеркните неверный шаг и рядом запишите исправление. Поставьте себе знак плюс, если справились без помощи, и вопросительный знак, если нужна тренировка." | Сверяют решение, исправляют ошибки, выполняют самооценку по алгоритму и формулируют причину ошибки. |
Эталон решения
Для задания $НОД(15;20)$: делители 15 — 1, 3, 5, 15; делители 20 — 1, 2, 4, 5, 10, 20. Общие делители — 1 и 5, значит $НОД(15;20)=5$. Для задания $НОК(3;5)$: кратные 3 — 3, 6, 9, 12, 15; кратные 5 — 5, 10, 15. Первое общее кратное — 15, значит $НОК(3;5)=15$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самопроверка показала, какой шаг уже получается уверенно, а какой требует внимания. Мы научились находить числа по алгоритму, теперь применим НОК к жизненной задаче о повторяющихся событиях."
Этап 7. Включение в систему знаний и рефлексия (7 мин)
Цель этапа: применить НОК в практической задаче, обобщить новый материал и оценить достижение цели урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель читает условие: "Два фонаря мигают одновременно. Первый мигает каждые 9 секунд, второй — каждые 12 секунд. Через сколько секунд они снова мигнут одновременно? Объясните, почему здесь нужен НОК, а не НОД." Учитель просит сначала составить план в паре. | В парах определяют, что нужно найти общее кратное, выписывают 9, 18, 27, 36 и 12, 24, 36; отвечают: «Нужен НОК, потому что ищем первое общее время повторения». Записывают ответ: 36 секунд. |
2 мин | Учитель организует мини-рефлексию «Одноминутка»: "Запишите две законченные фразы: «Теперь я умею...» и «Мне нужно потренироваться...» Затем поднимите карточку цвета, который показывает вашу уверенность." | Записывают личную рефлексию, поднимают зелёную, жёлтую или красную карточку, называют один освоенный алгоритм. |
2 мин | Учитель раздаёт выходной билет: "Ответьте без подсказки: 1) чем НОД отличается от НОК; 2) чему равен НОД(6;9); 3) какое понятие применим, если два автобуса снова встречаются на остановке через одинаковые интервалы? Сдайте билет при выходе." | Письменно отвечают: «НОД выбирают среди общих делителей, НОК — среди общих кратных»; находят $НОД(6;9)=3$; выбирают НОК и объясняют выбор. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы сами открыли два понятия: НОД и НОК. Вы научились находить их перечислением и увидели, что НОК помогает определить момент повторной встречи событий. Оставьте выходной билет на столе и запишите домашнее задание."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все обязательные задания карточки, полностью записаны делители или кратные, правильно выделены общие числа и дано объяснение выбора НОД или НОК.
- «4» — правильно выполнены основные вычисления, но допущена одна неточность в записи списка или объяснении, не повлиявшая на итоговый ответ.
- «3» — верно выполнено хотя бы одно обязательное задание, но допущены ошибки при выделении общих чисел или выборе наибольшего/наименьшего; решение требует коррекции.
- Оценка может быть повышена за самостоятельно выполненное задание повышенного уровня с аргументированным объяснением способа решения.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о НОД и НОК? | Выявление осознания новых понятий и их различий. |
Какой шаг алгоритма нахождения НОД или НОК оказался самым трудным? | Выявление точек затруднения для последующей коррекции. |
Как вы объясните, почему в задаче о повторяющихся событиях нужен НОК? | Проверка осмысленного применения понятия в функциональном контексте. |
Какого цвета ваша карточка уверенности и что поможет перейти на следующий уровень? | Формирование навыка самооценки и планирование дальнейшей работы. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы выяснили, что НОД ищут среди общих делителей и выбирают самый большой, а НОК — среди общих кратных и выбирают самое маленькое. Важно не путать направление выбора: для НОД нужен максимум, для НОК — минимум. Если вы допустили ошибку, вернитесь к алгоритму и проверьте каждый шаг. На следующем уроке мы продолжим находить НОД и НОК более удобными способами и применим их при решении задач."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания на нахождение НОД и НОК двух чисел перечислением делителей и кратных; в каждом решении записать промежуточные списки. | Закрепляет определения и алгоритмы; при проверке обратить внимание на различение делителей и кратных. |
Средний (повышающий) | Выполнить 3 практические задачи о повторяющихся событиях с интервалами 4–15 минут и 2 задачи о распределении предметов поровну; определить, где нужен НОК, а где НОД. | Формирует умение выбирать понятие по смыслу условия и применять математику в жизненном контексте. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную задачу, в которой требуется найти НОД или НОК двух чисел, решить её двумя способами или подробно обосновать выбор алгоритма. | Развивает создание математической модели, аргументацию и перенос знания в новую ситуацию. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Что называют НОД? Что называют НОК? Среди каких чисел ищут НОД? Среди каких чисел ищут НОК? Какое понятие понадобится, если нужно узнать время следующего одновременного события? Как проверить найденный результат?»
