Решение текстовых задач, содержащих дроби
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться составлять математическую модель текстовой задачи с дробями, выбирать действие или последовательность действий, решать не менее двух задач и проверять соответствие ответа условию.
- Сформировать умение выделять величины, известные и неизвестные данные, устанавливать связь между целым и его частью, представленной дробью.
- Развивать умение моделировать условие задачи с помощью схемы, таблицы или краткой записи и объяснять выбор арифметического действия.
- Организовать парное и фронтальное обсуждение решений, формировать навыки аргументации и взаимопроверки.
- Воспитывать внимательное отношение к условию задачи, ответственность за точность вычислений и интерес к применению математики в повседневной жизни.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к решению задач, связанных с реальными ситуациями: временем, продуктами, расстоянием и расходом материалов.
- Осознают значение точности, последовательности и проверки результата при выполнении расчётов.
- Развивают готовность сотрудничать с одноклассником и принимать обоснованную помощь.
- Формируют положительное отношение к самостоятельному поиску способа решения.
Метапредметные
- Извлекают данные из текста, выделяют условие и вопрос, преобразуют информацию в краткую запись, таблицу или схему.
- Планируют последовательность решения, контролируют вычисления и соотносят полученный ответ с реальной ситуацией.
- Сравнивают разные математические модели одной задачи и объясняют, почему выбранное действие соответствует условию.
- Работают в паре, формулируют вопросы, аргументируют решение и конструктивно оценивают работу одноклассника.
Предметные
- Знать способы нахождения части величины по дроби и величины по известной части.
- Уметь решать текстовые задачи, содержащие обыкновенные дроби, в одно и два действия.
- Уметь составлять краткую запись и схему задачи, выбирать арифметические действия по смыслу условия.
- Владеть навыком записи ответа с наименованием величины и выполнения проверки разумности результата.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный учебный результат: научиться объяснять не только вычисление, но и смысл каждого действия.
- Осознают необходимость внимательного чтения условия перед началом вычислений.
- Проявляют готовность доводить решение задачи до проверки и исправлять обнаруженную ошибку.
- Связывают математические расчёты с организацией времени, покупками и другими жизненными ситуациями.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе проблемной ситуации.
- Составляют план решения задачи: понять условие, построить модель, выбрать действия, вычислить, проверить ответ.
- Осуществляют самопроверку по эталону и корректируют решение при несоответствии ответа условию.
- Оценивают степень освоения алгоритма с помощью листа самооценки и приёма «Светофор».
Познавательные УУД
- Выделяют существенную информацию в тексте и устанавливают отношения «целое — часть».
- Строят математическую модель задачи в виде отрезка, таблицы или краткой записи.
- Анализируют, какое действие соответствует словам и отношениям в условии.
- Исследуют несколько способов решения и выбирают наиболее понятный и рациональный.
Коммуникативные УУД
- Обсуждают условие и план решения в парах, распределяя роли читателя и проверяющего.
- Задают уточняющие вопросы: «Что известно? Что нужно найти? Какая величина является целым?»
- Объясняют ход решения полным высказыванием и используют математические термины.
- Сравнивают решения без отрицательной оценки личности партнёра, формулируют одно достоинство и один совет.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с проблемной задачей о рецепте фруктового напитка и схемой отрезка, разделённого на равные части.
- Распечатать карточки для парной работы: по одной карточке на пару, всего по числу пар в классе; предусмотреть задания базового и повышенного уровня.
- Подготовить индивидуальные листы самостоятельной работы с двумя задачами и полем для схемы, вычислений и проверки.
- Распечатать лист самооценки по одному на каждого ученика: «Я могу выделить целое», «Я могу выбрать действие», «Я могу проверить ответ».
- Подготовить цветные карточки или сигналы «зелёный — понял», «жёлтый — нужна подсказка», «красный — затрудняюсь» на каждого ученика.
- Вывесить на доске памятку: 1) прочитай; 2) выдели целое и часть; 3) построй модель; 4) выбери действие; 5) реши; 6) проверь.
- Подготовить линейки и простые карандаши для построения отрезковых моделей; для творческого задания — листы формата А4 и цветные маркеры по одному комплекту на группу.
- Подготовить межпредметный контекст: короткий текст о приготовлении напитка и распределении времени спортивной тренировки.
- Оборудование: доска или интерактивная доска, проектор при наличии, таймер, карточки, тетради и ручки.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и вызвать интерес к задаче, которую нельзя решить без внимательного анализа дроби.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и говорит: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и линейки. Сегодня нам понадобятся не только вычисления, но и умение читать условие как настоящим исследователям. На доске появится ситуация из жизни, а ваша задача — выяснить, какое математическое действие скрыто в тексте." | Проверяют готовность, записывают дату, открывают тетради и настраиваются на работу. |
2 мин | Учитель показывает на доске запись: "Для приготовления напитка взяли 2 л воды. Сначала использовали $\frac{3}{8}$ всей воды. Сколько литров воды использовали?" Учитель спрашивает: "Можно ли сразу назвать действие? Что в задаче является целым? Что обозначает дробь $\frac{3}{8}$?" | Читают условие, предполагают: "Целое — 2 л воды, дробь показывает часть этого количества"; формулируют: "Нужно найти часть от целого". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что одна и та же дробь может быть частью конкретной величины. Чтобы не угадывать действие, научимся превращать текст в схему и математическую модель."
Этап 2. Актуализация знаний и выявление затруднения (6 мин)
Цель этапа: актуализировать смысл дроби и правила нахождения части величины, обнаружить затруднение при выборе действия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит фронтальный опрос: "Что показывает знаменатель дроби? Что показывает числитель? Как найти $\frac{3}{8}$ от числа 2? Вспомните правило и объясните его словами, а не только формулой." Учитель фиксирует на доске ответы учащихся. | Отвечают: "Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделили целое, числитель — сколько частей взяли"; формулируют: "Чтобы найти часть от числа, нужно число умножить на дробь". |
2 мин | Учитель предлагает устно сравнить два выражения: $12\cdot\frac{1}{3}$ и $12:\frac{1}{3}$. "Одинаковый ли смысл у этих выражений? В какой ситуации мы ищем часть от целого, а в какой восстанавливаем целое по части?" | Обсуждают ответы фронтально, приводят пример: "Умножение на дробь находит часть от целого, деление на дробь может помочь найти целое по известной части". |
2 мин | Учитель возвращается к задаче о напитке: "Запишите только выражение и ответ. Теперь объясните, почему выбран знак умножения. Что произойдёт с результатом: он будет больше или меньше 2 л?" | Записывают $2\cdot\frac{3}{8}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$ л; отвечают: "Результат меньше целого, потому что найдена его часть". |
Запись в тетрадях
$\frac{a}{b}$ от числа $c$ находят умножением: $c\cdot\frac{a}{b}$. Результат проверки должен быть не больше целого, если найдена его правильная часть.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Правило нахождения части мы вспомнили. Но в текстовой задаче сначала нужно понять, что является целым и какую часть от него называют. Сейчас сформулируем общий план решения."
Этап 3. Проблемный диалог и постановка цели (4 мин)
Цель этапа: сформулировать алгоритм решения текстовой задачи с дробями через проблемный диалог и метод моделирования.
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает задачу: "В школьной столовой приготовили 18 л компота. До большой перемены выпили $\frac{2}{3}$ всего компота. Сколько литров компота осталось?" Учитель спрашивает: "Если выполнить только $18\cdot\frac{2}{3}$, получим ли мы ответ на вопрос? Что ещё нужно узнать?" | Читают задачу, отвечают: "Сначала найдём, сколько выпили, затем найдём остаток"; выделяют две величины: выпитое количество и оставшийся объём. |
2 мин | Учитель ведёт диалог: "Как из текста построить схему? Покажите целый отрезок, отметьте на нём выпитую часть. Сколько действий будет в решении? Предложите цель урока, начиная словами: «На уроке я научусь…»." | В тетрадях чертят отрезок, обозначают целое 18 л и часть $\frac{2}{3}$; формулируют цель: "Научиться составлять модель и решать задачи с дробями в одно и два действия". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы договорились не начинать с вычислений. Сначала читаем, определяем целое и часть, строим модель, затем выбираем действие и проверяем смысл ответа. Испытаем этот алгоритм на практике."
Этап 4. Открытие нового знания. Метод моделирования и исследовательская работа (9 мин)
Цель этапа: исследовать разные модели задачи и вывести последовательность решения задачи с дробями в одно и два действия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку: "В школьной столовой приготовили 18 л компота. До большой перемены выпили $\frac{2}{3}$ всего компота. Сколько литров компота осталось?" Учитель говорит: "Работаем по ролям. Первый ученик читает и строит отрезковую модель, второй проверяет, правильно ли обозначено целое и часть. Через полторы минуты поменяйтесь ролями." | В парах читают задачу, подчёркивают данные одной чертой, вопрос — двумя; строят отрезок, делят его на 3 равные части, выделяют 2 части; распределяют роли и затем меняются ими. |
3 мин | Учитель задаёт исследовательские вопросы: "Что найдём первым действием? Почему умножаем 18 на $\frac{2}{3}$? Как обозначить остаток на схеме? Можно ли найти остаток другим способом?" Учитель принимает два варианта записи на доске. | Обсуждают в парах, формулируют: "Сначала найдём выпитый объём: $18\cdot\frac{2}{3}=12$ л. Затем вычтем его из 18 л"; предлагают второй способ: "Осталась $\frac{1}{3}$ всего объёма, поэтому можно вычислить $18\cdot\frac{1}{3}$". |
3 мин | Учитель обобщает: "Посмотрите на две модели. В первой мы находим использованную часть и вычитаем её из целого. Во второй сразу находим оставшуюся часть. Обе модели верны, если объяснён смысл действий. Запишите алгоритм в тетради и отметьте, где выполняется проверка." | Сравнивают способы, выбирают более понятный, записывают алгоритм: анализ условия, модель, план, вычисления, проверка и ответ; объясняют, что $12+6=18$ л — проверка первого способа. |
Запись в тетрадях
Алгоритм: 1) прочитать задачу и назвать целое; 2) определить, какая часть известна или требуется; 3) построить схему; 4) выбрать действие или действия; 5) выполнить вычисления; 6) проверить ответ по условию и записать его с наименованием.
Эталон решения
Первый способ: $18\cdot\frac{2}{3}=12$ л — выпили. $18-12=6$ л — осталось. Проверка: $12+6=18$ л. Ответ: 6 л компота осталось. Второй способ: $1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$ — часть, которая осталась. $18\cdot\frac{1}{3}=6$ л. Ответ тот же.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Исследование показало, что схема помогает увидеть последовательность действий. Теперь закрепим алгоритм на задачах, где нужно внимательно различать часть от целого и целое по известной части."
Этап 5. Первичное закрепление в парах и фронтальная проверка (8 мин)
Цель этапа: закрепить выбор арифметического действия и научиться объяснять решение партнёру.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт парам карточки с двумя задачами. Задача 1: "Турист прошёл 24 км, что составляет $\frac{3}{4}$ всего маршрута. Какова длина всего маршрута?" Задача 2: "В альбоме 30 листов. $\frac{2}{5}$ листов заняли рисунки природы. Сколько листов осталось для других рисунков?" Учитель говорит: "Не начинайте с действия. Сначала подпишите на схеме, что обозначает целое, а что — известная часть. Один ученик объясняет план, второй задаёт вопрос «почему?», затем поменяйтесь ролями." | В парах строят модели, определяют вид задачи; для первой задачи составляют план восстановления целого по известной части, для второй — находят часть и остаток; проговаривают: "Сначала нужно разделить 24 на $\frac{3}{4}$" или использовать нахождение одной четверти. |
2 мин | Учитель организует фронтальную проверку: "Каким способом найдём длину маршрута? Почему результат должен быть больше 24 км? Для второй задачи назовите два действия и объясните их смысл." | Представляют решения: $24:\frac{3}{4}=32$ км; для второй задачи $30\cdot\frac{2}{5}=12$ листов заняли рисунки, $30-12=18$ листов осталось. Объясняют, что целое по части больше известной части. |
2 мин | Учитель проводит взаимопроверку по критериям: "Проверьте наличие схемы, пояснений к действиям, ответа с единицей измерения. Поставьте партнёру две звезды за удачные элементы и одно пожелание." | Проверяют работу партнёра, отмечают два достоинства и один конкретный совет: например, "добавить пояснение к первому действию". |
Эталон решения
Задача 1: $24:\frac{3}{4}=24\cdot\frac{4}{3}=32$ км. Ответ: 32 км. Проверка: $32\cdot\frac{3}{4}=24$ км. Задача 2: $30\cdot\frac{2}{5}=12$ листов — рисунки природы; $30-12=18$ листов — остальные рисунки. Ответ: 18 листов.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы потренировались различать две ситуации: найти часть от известного целого и восстановить целое по известной части. Теперь каждый самостоятельно покажет, насколько уверенно применяет алгоритм."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритма решения и организовать коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт индивидуальные карточки. Задание 1: "В баке было 40 л воды. Для полива использовали $\frac{3}{5}$ всей воды. Сколько литров воды осталось?" Задание 2: "За первые $\frac{2}{3}$ часа велосипедист проехал 14 км. Сколько километров он проедет за час, если скорость остаётся постоянной?" Учитель напоминает: "Запишите схему, пояснение к каждому действию и ответ. Если затрудняетесь, отметьте место затруднения знаком вопроса, но не оставляйте пустой лист." | Решают индивидуально, строят модели, записывают пояснения и ответы; при необходимости используют памятку на доске. |
2 мин | Учитель открывает эталон на доске и говорит: "Сверяйте не только числа, но и смысл действий. Отметьте карандашом место первой ошибки. Исправьте решение рядом и напишите, почему возникла ошибка." | Проверяют: $40\cdot\frac{3}{5}=24$ л использовали, $40-24=16$ л осталось; $14:\frac{2}{3}=21$ км — расстояние за час. Исправляют вычисления или модель. |
1 мин | Учитель предлагает сигнал «Светофор»: "Покажите цвет, который отражает ваше состояние после самостоятельной работы: зелёный, жёлтый или красный. Красный — это не оценка, а сигнал о необходимости разобрать шаг." | Поднимают карточку соответствующего цвета и фиксируют в листе самооценки пункт, который пока требует тренировки. |
Эталон решения
Задача 1: $40\cdot\frac{3}{5}=24$ л — использовали; $40-24=16$ л — осталось. Ответ: 16 л. Задача 2: $14:\frac{2}{3}=14\cdot\frac{3}{2}=21$ км. Ответ: за час велосипедист проедет 21 км. Проверка: $21\cdot\frac{2}{3}=14$ км.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "У каждого теперь есть личный результат и понятное место возможной ошибки. В завершение применим знания творчески и покажем, что задача с дробями может быть составлена самостоятельно."
Этап 7. Творческое задание, рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: применить алгоритм в новом контексте, осмыслить результат урока и определить направление дальнейшей работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает творческое задание: "В группах по три человека придумайте короткую жизненную задачу с дробью. Выберите один контекст: рецепт, спортивная тренировка, маршрут или расход бумаги. На листе изобразите схему, запишите вопрос и решение. В условии обязательно должно быть целое и часть, представленная дробью." Учитель напоминает: "Задача должна иметь один понятный ответ и проверку." | В группах выбирают контекст, составляют условие, строят схему, решают задачу и готовят краткое представление. Например: "Для поделки было 2 м ленты, использовали $\frac{3}{4}$. Сколько метров осталось?" |
1 мин | Учитель просит две группы представить задачи и задаёт классу вопросы: "Что является целым? Какое действие нужно выполнить первым? Реален ли полученный ответ?" | Слушают задачи, называют целое и часть, предлагают план решения, оценивают разумность ответа. |
2 мин | Учитель проводит рефлексию: "Закончите фразы: «Сегодня я научился…», «Теперь я сначала…», «Мне нужно потренироваться…». Перед выходом ответьте на контрольные вопросы: что означает знаменатель; когда умножаем число на дробь; как проверить ответ?" | Заполняют устно или письменно фразы, отвечают: "Знаменатель показывает число равных частей; умножаем, когда находим часть от целого; проверяем ответ обратным действием или сравнением с целым". |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены обе самостоятельные задачи, построены или корректно использованы модели, записаны пояснения, ответы содержат единицы измерения, выполнена проверка.
- «4» — верно решены обе задачи, но допущена одна неточность в схеме, пояснении или оформлении, не повлиявшая на выбор действий.
- «3» — правильно решена одна задача и частично выполнена вторая: определены данные или составлена модель, но допущена ошибка в вычислении либо выборе последнего действия.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что в задаче с дробью нужно определить прежде всего? | Проверка понимания роли целого и части в математической модели. |
Как ты выбираешь первое действие? | Выявление осознанности связи между текстом и арифметическим действием. |
Как ты проверяешь, что ответ подходит условию? | Диагностика навыка смысловой проверки и оценки разумности результата. |
Какой шаг алгоритма пока вызывает затруднение? | Определение индивидуальных точек затруднения для коррекционной работы. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы убедились, что текстовую задачу с дробями нельзя решать угадыванием: сначала нужно увидеть целое и его часть, затем построить модель и выбрать действие. Важно не забывать пояснения и проверять, соответствует ли ответ условию. Вы научились находить часть от целого, восстанавливать целое по известной части и находить остаток. На следующем уроке мы продолжим решать задачи, в которых дроби встречаются в нескольких последовательных действиях."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 текстовые задачи в одно и два действия: две на нахождение части от целого, одну на нахождение целого по известной части и одну на нахождение остатка. Для каждой задачи записать краткую модель, пояснения и ответ. | Закрепляет алгоритм; при проверке обратить внимание на правильный выбор первого действия, единицы измерения и смысл ответа. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи с жизненным контекстом: расход продуктов, время маршрута и длина материала; в одной задаче представить два разных способа решения и сравнить их. | Развивает моделирование и умение выбирать рациональный способ; проверить полноту сравнения и выполнение обратной проверки. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную задачу с дробью в два действия, оформить схему и решение, затем придумать к ней обратную задачу и решить её. | Формирует творческое применение знания и понимание взаимосвязи между условием, моделью и ответом. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что в задаче называют целым? Как найти часть от числа? Как найти целое по известной части? Почему ответ нужно записывать с наименованием величины?»
