«Измеряй то, что измеримо, и делай измеримым то, что пока таковым не является».
— Галилео Галилей
— Галилео Галилей
Решение задач на нахождение периметра многоугольника
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться находить периметр треугольника и四ёхугольника по известным длинам сторон, выбирать подходящий способ решения и объяснять полученный ответ.
- Закрепить понимание периметра как длины границы многоугольника и правило нахождения периметра сложением длин всех его сторон.
- Научиться выделять условие, вопрос и числовые данные задачи, составлять краткую запись и записывать решение с наименованием величины.
- Развивать умение сравнивать способы решения, проверять вычисления и работать в паре при решении практической задачи.
- Воспитывать аккуратность, ответственность за общий результат и интерес к применению математики в жизненных ситуациях.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к использованию периметра при решении практических задач.
- Понимают значение аккуратных измерений и вычислений в бытовых и учебных ситуациях.
- Осознают необходимость сотрудничества и ответственности за собственный вклад в работу пары или группы.
- Положительно оценивают преодоление затруднения при выборе способа решения.
Метапредметные
- Извлекают данные из текста задачи, схемы и таблицы, выделяют существенную информацию.
- Составляют план решения, контролируют последовательность действий и исправляют обнаруженные ошибки.
- Сравнивают решения, аргументируют выбор действия и формулируют вывод.
- Работают в паре, задают уточняющие вопросы и представляют результат классу.
Предметные
- Знают, что периметр многоугольника равен сумме длин всех его сторон.
- Умеют находить периметр треугольника и четырёхугольника по известным длинам сторон.
- Умеют решать текстовые задачи на нахождение периметра, выполнять краткую запись и записывать ответ.
- Умеют использовать свойство равных сторон прямоугольника при нахождении его периметра.
- Умеют проверять правильность решения по смыслу и единицам длины.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный вклад в достижение цели урока.
- Осознают практическую ценность умения вычислять длину границы фигуры.
- Проявляют самостоятельность при выборе уровня задания.
- Оценивают собственную уверенность и фиксируют необходимость помощи.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель решения задачи на нахождение периметра.
- Планируют действия: прочитать условие, выделить данные, выбрать формулу, вычислить, записать ответ.
- Выполняют самопроверку по эталону и исправляют вычислительные ошибки.
- Оценивают результат по предложенным критериям.
Познавательные УУД
- Различают известные и неизвестные величины в условии задачи.
- Моделируют текст задачи с помощью рисунка, краткой записи или схемы.
- Сравнивают прямой способ сложения сторон и вычисление периметра прямоугольника через удвоенную сумму соседних сторон.
- Устанавливают соответствие между единицами длины и результатом вычисления.
Коммуникативные УУД
- Обсуждают план решения в паре и формулируют общий ответ.
- Задают вопросы о выборе действия и объясняют ход рассуждений.
- Слушают решение одноклассника и корректно указывают на неточность.
- Распределяют роли при выполнении групповой практической задачи.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или записи на доске с изображениями треугольника, прямоугольника и пятиугольника, обозначениями сторон и формулой периметра.
- Распечатать по одному комплекту на парту: карточку с практической задачей, схемой прямоугольной клумбы и полем для решения.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности по одной на каждого ученика.
- Подготовить линейки по одной на пару, цветные карандаши и стикеры трёх цветов.
- Разместить на доске памятку: «Прочитай — выдели данные — составь план — вычисли — проверь — ответь».
- Подготовить эталон решения для самопроверки и таблицу критериев оценивания.
- Организовать на экране таймер на 2, 4 и 5 минут для коротких заданий.
- Подготовить тетради, ручки, доску и маркеры; при возможности использовать проектор или интерактивную доску.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую значимость периметра.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, всё ли готово к работе: тетрадь, ручка, линейка. Сегодня нам понадобится внимательность, потому что мы будем работать не только с числами, но и с границами фигур." | Проверяют готовность, кладут линейки на парту, записывают дату. |
2 мин | Учитель показывает на доске рисунок клумбы в форме прямоугольника и говорит: "Представьте, что вокруг клумбы нужно поставить невысокий бордюр. Что необходимо узнать, чтобы определить длину бордюра? Какую величину мы будем находить?" | Рассматривают рисунок, обсуждают ответ в парах и формулируют: "Нужно узнать длину границы, то есть периметр". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что периметр нужен не только в учебнике: он помогает узнать длину ограды, бордюра или рамки. Сейчас вспомним, как работать с этой величиной."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать понятие периметра, единицы длины и правила сложения длин сторон.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске: «Периметр — ?» и спрашивает: "Как вы объясните это слово? Сколько сторон нужно учитывать, если перед нами пятиугольник? В каких единицах может измеряться периметр?" | Отвечают: "Периметр — сумма длин всех сторон многоугольника"; называют пять сторон пятиугольника; приводят единицы: сантиметры, метры, дециметры. |
3 мин | Учитель показывает треугольник со сторонами 4 см, 5 см и 6 см: "Найдите его периметр устно. Запишите выражение и назовите ответ с единицей измерения. Почему нельзя сложить только две стороны?" | Записывают $P=4+5+6=15$ см, объясняют: "Нужно сложить длины всех сторон, потому что периметр — полная граница фигуры". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили главное правило: для любого многоугольника нужно сложить длины всех его сторон. Теперь проверим, достаточно ли нам этого правила для решения текстовой задачи."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение при переходе от текста задачи к математической модели и сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель демонстрирует условие: "Стороны прямоугольной площадки имеют длину 8 м и 5 м. Сколько метров ограждения понадобится, чтобы огородить площадку?" Учитель спрашивает: "Что известно? Что требуется найти? Как изобразить ситуацию?" | Выделяют данные 8 м и 5 м, вопрос об ограждении, рисуют прямоугольник и предполагают: "Нужно найти периметр площадки". |
2 мин | Учитель предлагает приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сначала составьте план самостоятельно, затем обсудите его с соседом. Обратите внимание: в условии названы только две стороны, а у прямоугольника четыре." | Составляют план, обсуждают его в парах и формулируют: "Нужно учесть две длинные и две короткие стороны; можно сложить 8+5+8+5 или найти удвоенную сумму 8 и 5". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение возникло потому, что текст задачи нужно перевести в схему и выбрать удобный способ вычисления. Цель урока — научиться решать такие задачи и объяснять, почему выбранное решение верно."
Этап 4. Открытие нового знания (8 мин)
Цель этапа: построить алгоритм решения задач на нахождение периметра многоугольника и вывести удобный способ для прямоугольника.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель разбирает задачу на доске: "Стороны прямоугольной площадки имеют длину 8 м и 5 м. Сколько метров ограждения понадобится, чтобы огородить площадку? Сначала составим краткую запись. Прямоугольник имеет две стороны по 8 м и две стороны по 5 м. Запишем решение сложением всех сторон." | Переносят краткую запись в тетрадь, называют действие и записывают $P=8+5+8+5=26$ м. |
3 мин | Учитель спрашивает: "Можно ли записать это решение короче? Какие слагаемые одинаковы?" На доске фиксирует: $P=2\cdot(8+5)$. Объясняет: "У прямоугольника противоположные стороны равны, поэтому сумму двух соседних сторон можно удвоить." | Находят пары равных сторон, записывают $P=2\cdot(8+5)=26$ м, сравнивают два способа. |
2 мин | Учитель формулирует алгоритм: "Прочитайте задачу, определите вид многоугольника, выпишите длины всех сторон или равных сторон, выберите формулу, выполните вычисления с единицами и запишите ответ. Проверьте, соответствует ли ответ длине границы." | Записывают алгоритм, задают уточняющие вопросы, приводят пример проверки: "26 м больше любой стороны и имеет единицу длины". |
Запись в тетрадях
- Периметр многоугольника — сумма длин всех его сторон.
- Для прямоугольника $P=2\cdot(a+b)$, где $a$ и $b$ — длины соседних сторон.
- Алгоритм: прочитать задачу; выделить данные и вопрос; составить схему или краткую запись; выбрать способ; вычислить; записать ответ и проверить его.
Эталон решения
1) Известно: $a=8$ м, $b=5$ м. 2) Нужно найти периметр площадки. 3) Используем формулу $P=2\cdot(a+b)$. 4) $P=2\cdot(8+5)=2\cdot13=26$ м. 5) Ответ: для ограждения понадобится 26 м материала.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы установили, что в задаче важно не просто сложить числа, а понять форму фигуры и её границу. Теперь применим алгоритм сначала вместе, а затем самостоятельно."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм решения задач на периметр через обсуждение схемы и взаимное объяснение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточку: "Прямоугольная рамка имеет длину 12 см и ширину 7 см. Какова длина ленты, необходимая для оклеивания рамки по краю? Подчеркните данные, обведите вопрос и сделайте схему." | В парах выделяют 12 см и 7 см, рисуют прямоугольник, подписывают стороны, формулируют вопрос о периметре. |
3 мин | Учитель говорит: "Обсудите два возможных решения: сложить четыре стороны или воспользоваться формулой прямоугольника. Один ученик объясняет план, второй проверяет вычисления, затем поменяйтесь ролями." | Записывают $P=12+7+12+7=38$ см или $P=2\cdot(12+7)=38$ см, объясняют выбор и проверяют решение партнёра. |
2 мин | Учитель организует проверку: "Сверьте ответ с эталоном на доске. Если нашли расхождение, не стирайте сразу: подчеркните место ошибки и объясните, на каком шаге она появилась." | Сверяют $38$ см, исправляют ошибки, формулируют: "Ответ имеет единицу длины и соответствует длине рамки по краю". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В парной работе вы убедились, что один и тот же периметр можно найти разными записями. Теперь каждый покажет, умеет ли самостоятельно выбрать способ и оформить решение."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное умение решать задачи на нахождение периметра и осуществлять самоконтроль.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор: "На карточке три уровня. Обязательный уровень выполняют все. Затем можно выбрать повышающий или дополнительный. Перед началом перечитайте памятку и работайте аккуратно." | Выбирают карточку, подписывают её и самостоятельно читают условия. |
5 мин | Учитель предлагает задания. Минимальный уровень: "Найдите периметр треугольника со сторонами 6 см, 7 см и 9 см." Базовый уровень: "Стороны прямоугольной дорожки 15 м и 4 м. Найдите её периметр." Повышенный уровень: "Периметр прямоугольника равен 30 см, одна сторона 9 см. Найдите другую сторону." | Решают выбранные задания, составляют краткую запись, записывают формулу и ответ с единицей измерения. |
2 мин | Учитель открывает эталон: "Проверьте не только число, но и способ. В треугольнике должны быть сложены три стороны; в прямоугольнике — учтены две пары равных сторон. В последней задаче сначала найдите сумму соседних сторон, затем неизвестную сторону." | Выполняют самопроверку цветной ручкой, отмечают правильные шаги и исправляют ошибки. |
2 мин | Учитель проводит «Светофор»: "Покажите зелёную карточку, если можете объяснить алгоритм; жёлтую, если вычисления понятны, но нужна тренировка; красную, если требуется разбор." | Показывают карточку, формулируют индивидуальное затруднение: "ошибся в формуле", "забыл единицу", "не понял, как найти неизвестную сторону". |
Эталон решения
Для треугольника: $P=6+7+9=22$ см. Для дорожки: $P=2\cdot(15+4)=38$ м. Для прямоугольника с $P=30$ см и стороной 9 см: $30=2\cdot(9+b)$; $15=9+b$; $b=6$ см.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самопроверка показала, что результат зависит от нескольких шагов: нужно понять условие, правильно выбрать формулу и обязательно указать единицу длины. Осталось применить знание в жизненной ситуации."
Этап 7. Применение, рефлексия и домашнее задание (8 мин)
Цель этапа: применить алгоритм к практической задаче, оценить достижение цели и объяснить домашнюю работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает практическую задачу: "Для школьной выставки нужно оклеить лентой прямоугольный плакат длиной 60 см и шириной 40 см. Хватит ли 2 м ленты, если на соединение потребуется ещё 10 см? Составьте решение и сделайте вывод." | Вычисляют $P=2\cdot(60+40)=200$ см, добавляют 10 см: требуется 210 см. Сравнивают с 2 м = 200 см и отвечают: "Ленты не хватит, не хватает 10 см". |
2 мин | Учитель проводит приём «Билет на выход»: "На стикере закончите две фразы: «Чтобы найти периметр многоугольника, я…» и «Сегодня мне нужно потренировать…»." | Записывают ответы, например: "складываю длины всех сторон"; "нахождение неизвестной стороны прямоугольника". |
1 мин | Учитель задаёт контрольные вопросы: "Что называют периметром? Как найти периметр прямоугольника? Почему в ответе обязательно нужна единица длины?" | Отвечают: "Периметр — сумма длин всех сторон"; "$P=2\cdot(a+b)$"; "потому что периметр измеряется в единицах длины". |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание и критерии: "Выберите обязательный уровень, затем при желании выполните повышающий или дополнительный. В каждом решении должны быть краткая запись, формула или выражение, вычисления и ответ." | Записывают домашнее задание, выбирают уровень, задают вопросы по условиям. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы научились переводить условие задачи в схему, находить периметр разных многоугольников и проверять разумность ответа. Важно помнить: периметр — это вся граница фигуры, а не одна или две её стороны."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решена выбранная задача, составлена краткая запись или схема, правильно применена формула, выполнены вычисления, указана единица длины и сформулирован ответ.
- «4» — способ выбран верно, но допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, не нарушающая общего хода решения.
- «3» — понята связь задачи с периметром, но допущены две ошибки либо отсутствует часть оформления; после подсказки решение может быть завершено.
- Ниже базового уровня оценивается работа, в которой не определён периметр фигуры или не учтены все её стороны.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что называют периметром и какие стороны нужно учитывать? | Проверка осознания основного математического понятия. |
Какой способ нахождения периметра прямоугольника оказался для вас удобнее и почему? | Выявление понимания связи между сложением всех сторон и формулой. |
На каком шаге решения задачи возникло затруднение? | Выявление точек затруднения в алгоритме. |
Что вы теперь сможете объяснить однокласснику? | Оценка самостоятельности и осознанности результата. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились находить периметр треугольников, прямоугольников и других многоугольников, а также решать текстовые задачи с практическим содержанием. Помните о типичной ошибке: нельзя складывать только две стороны многоугольника, если не доказано, что речь идёт о половине периметра. Всегда проверяйте единицы длины и смысл ответа. На следующем уроке мы продолжим решать задачи и рассмотрим ситуации, где по периметру нужно находить неизвестную сторону."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи на нахождение периметра треугольника, прямоугольника и произвольного четырёхугольника по известным длинам сторон. В каждой задаче выполнить схему или краткую запись. | Закрепляет правило сложения длин всех сторон; при проверке обратить внимание на правильность формулы, вычислений и единиц длины. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи, в которых известен периметр прямоугольника и одна сторона либо требуется сравнить периметры двух фигур. Записать рассуждение и вывод. | Формирует умение преобразовывать формулу и анализировать условие; проверить обоснованность каждого действия. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить собственную практическую задачу про ограждение, рамку или клумбу прямоугольной формы, используя не менее четырёх числовых данных и проверку ответа. | Развивает умение создавать математическую модель и применять знание в жизненном контексте; проверить реалистичность условия и полноту решения. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что нужно сложить, чтобы найти периметр многоугольника? Как записывается формула периметра прямоугольника? Как проверить, что ответ задачи реалистичен? В каких единицах записывают периметр?»
