Числовое выражение. Порядок действий и распределительное свойство
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться вычислять значения числовых выражений со скобками и без скобок, соблюдая порядок действий, и применять распределительное свойство умножения для упрощения вычислений.
- Сформировать представление о числовом выражении, его значении и правилах выполнения арифметических действий.
- Научить определять порядок действий в выражениях, содержащих сложение, вычитание, умножение, деление и скобки.
- Закрепить умение применять распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания при устных и письменных вычислениях.
- Развивать математическую речь, внимание, самоконтроль и умение объяснять способ решения в паре.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к поиску удобного способа вычислений в практической ситуации.
- Осознают значение аккуратности и последовательности действий при решении математических задач.
- Развивают готовность проверять собственный результат и спокойно исправлять ошибку.
- Участвуют в совместной работе, принимают разные способы рассуждения одноклассников.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель на основе выявленного затруднения.
- Планируют последовательность вычислений и контролируют выполнение каждого действия.
- Извлекают информацию из записи выражения, схемы и алгоритма на доске.
- Аргументируют выбранный порядок действий и сравнивают разные способы вычисления.
- Используют математическую речь при объяснении решения в паре и у доски.
Предметные
- Знать понятия «числовое выражение» и «значение числового выражения».
- Уметь определять порядок действий в выражениях со скобками и без скобок.
- Уметь вычислять значения выражений, содержащих действия первой и второй ступени.
- Знать и применять распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания.
- Уметь проверять вычисления обратным действием или другим способом.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную задачу: научиться не нарушать порядок действий.
- Связывают точность вычислений с ответственностью за полученный результат.
- Проявляют познавательный интерес к поиску более удобного способа решения.
- Оценивают собственный вклад в парную и фронтальную работу.
Регулятивные УУД
- Принимают и сохраняют цель урока.
- Планируют действия по алгоритму вычисления выражения.
- Проверяют промежуточные результаты и исправляют ошибки.
- Оценивают уровень освоения материала по листу самооценки.
- Выбирают уровень домашнего задания с учётом собственных возможностей.
Познавательные УУД
- Выделяют структуру числового выражения и находят скобки.
- Классифицируют арифметические действия по порядку выполнения.
- Строят краткую схему-алгоритм вычисления.
- Сравнивают способы раскрытия скобок и применения распределительного свойства.
- Находят и объясняют ошибку в готовом решении.
Коммуникативные УУД
- Формулируют полный устный ответ с объяснением порядка действий.
- Работают в паре, распределяя роли вычислителя и проверяющего.
- Задают уточняющие вопросы и корректно обосновывают несогласие.
- Согласуют общий вариант решения и представляют его классу.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или записи на доске: определения, порядок действий, алгоритм и формулы распределительного свойства.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего 25 экземпляров.
- Подготовить 13 карточек для работы в парах с выражениями и карточками-ответами для самопроверки.
- Подготовить лист самооценки и маленькие листочки для приёма «Билет на выход» — по одному на ученика.
- Вывесить на доске памятку: сначала скобки; затем умножение и деление; затем сложение и вычитание; действия одного уровня выполняются слева направо.
- Подготовить цветные маркеры или магниты для обозначения первого, второго и третьего действий.
- Подготовить проектор или интерактивную доску, таймер и обычные тетради учеников.
- Разместить на экране жизненную задачу о стоимости двух наборов товаров для мотивации применения распределительного свойства.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (4 мин)
Цель этапа: включить учеников в учебную деятельность и вызвать интерес к поиску рационального способа вычислений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность: тетрадь, ручка, учебник и карточка должны лежать перед вами. Сегодня нам понадобится не только точность, но и внимание к каждому знаку в выражении." | Проверяют принадлежности, записывают дату, готовятся к работе. |
3 мин | Учитель показывает на экране ситуацию: "В магазине купили 3 одинаковых набора. В каждом наборе 4 тетради по 25 рублей и одна ручка за 30 рублей. Как можно найти общую стоимость? Запишите два возможных выражения и сравните их." Учитель принимает варианты $3\cdot(4\cdot25+30)$ и $3\cdot4\cdot25+3\cdot30$, но не сообщает правило заранее. | Индивидуально записывают выражения, затем обсуждают их в парах и предполагают: "Оба выражения должны дать один результат, но второе может быть удобнее для вычисления". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что одну и ту же ситуацию можно записать по-разному. Чтобы вычисления были верными и удобными, нам нужно разобраться с порядком действий и открыть свойство умножения."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить знания о действиях и подготовить основу для открытия новых правил.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит устный счёт: "Вычислите по цепочке: $7+5$, $12\cdot3$, $36:4$, $50-18$. Назовите действие и его компоненты. Чем отличаются действия сложения и умножения от вычитания и деления?" | Вычисляют устно, отвечают: "Сложение и умножение переместительны, вычитание и деление выполняются в заданном порядке"; называют слагаемые, сумму, множители, произведение, уменьшаемое, вычитаемое, частное. |
2 мин | Учитель записывает пары: $8+7$ и $7+8$; $4\cdot6$ и $6\cdot4$. Спрашивает: "Как изменился результат? Какие свойства вы узнаёте?" | Сравнивают пары, формулируют: "От перестановки слагаемых и множителей значение не изменяется". |
2 мин | Учитель предлагает выражения $18+6\cdot2$ и $(18+6)\cdot2$: "Не вычисляйте сразу. Что, по-вашему, должно выполняться первым и почему?" | Отмечают различие скобок, предполагают, что результаты будут различными, называют скобки главным указателем порядка действий. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили свойства действий и увидели, что запись выражения управляет вычислением. Теперь проверим, как сформулировать общий порядок действий для любых подобных записей."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает два решения выражения $24+18:3\cdot2$: "Ученик А сначала выполнил деление, затем умножение и получил $36$. Ученик Б сначала умножил $3\cdot2$, затем разделил $18$ и получил $36$? Проверим внимательнее: одинаковы ли основания для этих действий? Как определить верный порядок?" | Находят ошибку во втором рассуждении, объясняют: "Умножение и деление одного уровня выполняются слева направо". |
2 мин | Учитель задаёт вопрос: "Какую задачу поставим на урок? Какие знания помогут решить выражение без ошибки и сделать вычисления удобнее?" Записывает формулировку цели на доске. | Формулируют цель: "Узнать порядок действий в числовых выражениях и научиться применять распределительное свойство для удобных вычислений". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение мы обнаружили: нельзя выполнять действия в случайном порядке. Сначала построим точный алгоритм, а затем применим его в вычислениях."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести правила порядка действий и распределительное свойство через анализ примеров.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель демонстрирует выражение $48-(12+8):4\cdot3$: "Посмотрите на запись. Сначала найдём действие в скобках. Затем выполним деление и умножение слева направо. В конце выполним вычитание. Проговорим каждый шаг и подчеркнём его цветом." Учитель записывает $12+8=20$, $20:4=5$, $5\cdot3=15$, $48-15=33$. | Называют порядок действий, записывают промежуточные равенства, объясняют: "Скобки имеют первый приоритет; умножение и деление выполняются раньше сложения и вычитания". |
3 мин | Учитель задаёт вопрос: "Как вычислить $7\cdot(20+3)$ двумя способами? Сначала выполните действие в скобках, затем попробуйте умножить 7 на каждый член скобок." На доске появляются равенства $7(20+3)=7\cdot23$ и $7\cdot20+7\cdot3$. | Выполняют вычисления в парах, получают одинаковый результат $161$, формулируют: "$a(b+c)=ab+ac$". |
3 мин | Учитель продолжает: "А теперь рассмотрим $6\cdot(30-4)$. Раскройте скобки двумя способами и сравните результат. Как изменится правило при вычитании?" Учитель фиксирует формулы $a(b+c)=ab+ac$ и $a(b-c)=ab-ac$. | Вычисляют $6\cdot26=156$ и $6\cdot30-6\cdot4=180-24=156$, формулируют распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания. |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «1. Сначала выполняются действия в скобках. 2. Затем умножение и деление слева направо. 3. Затем сложение и вычитание слева направо. Распределительное свойство: $a(b+c)=ab+ac$; $a(b-c)=ab-ac$.»
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь у нас есть два инструмента: порядок действий помогает вычислять правильно, а распределительное свойство — раскрывать скобки и выбирать удобный способ. Проверим их в коротких заданиях с проговариванием."
Этап 5. Первичное закрепление. Работа в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм вычисления и распределительное свойство в совместной работе.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточки парам: "В каждой паре один ученик — вычислитель, второй — контролёр. Решите выражения $36+24:6$, $5\cdot(18+2)$ и $8\cdot(25-3)$. Контролёр не сообщает ответ сразу, а просит назвать порядок действий." | Решают выражения, проговаривают алгоритм: $36+24:6=40$; $5(18+2)=100$; $8(25-3)=176$. Проверяющий отмечает первый шаг и промежуточные результаты. |
2 мин | Учитель предлагает приём «Найди ошибку»: показывает решение $4\cdot(20+5)=4\cdot20+5=85$. Спрашивает: "На каком шаге нарушено свойство? Как исправить запись?" | Находят ошибку, отвечают: "Нужно умножить 4 на каждый член: $4\cdot20+4\cdot5=100$". |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку по карточкам-ответам и спрашивает: "Какая запись помогла заметить ошибку? Почему контролёр должен проверять не только ответ, но и шаги?" | Сверяют ответы, ставят отметку в карточке, называют типичные ошибки: пропуск умножения на второй член и нарушение порядка действий. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы научились объяснять не только ответ, но и путь к нему. Сейчас каждый самостоятельно покажет, умеет ли применять правила без подсказки партнёра."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритма и научить корректировать собственные ошибки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней: "Выберите уровень, который сможете выполнить качественно. Уровень 1: вычислите $72-18:3\cdot2$ и $6(14+6)$. Уровень 2: вычислите $45+(36-12):4$ и упростите $9(30-2)$. Уровень 3: двумя способами найдите значение $12\cdot(25+5)$ и объясните, какой способ удобнее." | Индивидуально решают выбранные задания, выделяют порядок действий стрелками, записывают промежуточные вычисления. |
3 мин | Учитель выводит эталон: $72-18:3\cdot2=72-6\cdot2=72-12=60$; $6(14+6)=6\cdot20=120$; $45+(36-12):4=45+24:4=51$; $9(30-2)=270-18=252$; $12(25+5)=360$, $12\cdot25+12\cdot5=300+60=360$. Просит отметить ошибки цветом и заполнить самооценку. | Сверяют каждую строку, исправляют ошибки, ставят в листе самооценки: «могу определить порядок действий», «могу применить распределительное свойство», «мне нужна помощь». |
Эталон решения
Для выражения $72-18:3\cdot2$ сначала выполняются деление и умножение слева направо: $18:3=6$, затем $6\cdot2=12$, после этого $72-12=60$. Для выражения $9(30-2)$ сначала вычисляется разность: $30-2=28$, затем $9\cdot28=252$; по распределительному свойству можно получить $9\cdot30-9\cdot2=270-18=252$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самопроверка показала, где правило уже работает уверенно, а где нужно быть внимательнее. Осталось связать новые знания с реальной задачей и сформулировать личный вывод."
Этап 7. Включение в систему знаний и рефлексия (5 мин)
Цель этапа: применить правила в жизненном контексте и осознать результат урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращается к задаче начала урока: "В наборе 4 тетради по 25 рублей и ручка за 30 рублей, таких наборов 3. Запишите два выражения и вычислите стоимость: $3(4\cdot25+30)$ и $3\cdot4\cdot25+3\cdot30$. Какой способ удобнее и почему?" | Вычисляют $3(100+30)=390$ и $300+90=390$, объясняют, что распределительное свойство позволяет умножить 3 на каждую часть. |
2 мин | Учитель раздаёт «Билет на выход»: "Ответьте письменно на два вопроса: какое действие выполняется первым в выражении $18+4\cdot(9-6)$; как раскрыть скобки в выражении $5(20+7)$?" | Записывают: сначала $9-6$, затем умножение и сложение; $5(20+7)=5\cdot20+5\cdot7$. |
1 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: "Зелёная карточка — могу объяснить правило; жёлтая — иногда путаюсь; красная — нужна помощь. Поднимите карточку и назовите один шаг, который будете проверять." | Поднимают карточки, называют личный контрольный шаг: «проверю скобки», «выполню умножение и деление слева направо», «умножу на каждый член скобок». |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранной карточки, порядок действий обозначен, распределительное свойство записано без ошибок, решение объяснено или проверено.
- «4» — верно выполнено не менее 80% заданий, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, правило в целом применено правильно.
- «3» — верно выполнено не менее половины заданий, ученик определяет скобки и основные действия, но допускает ошибки в последовательности или раскрытии скобок.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Как определить первое действие в числовом выражении? | Проверка осознания алгоритма порядка действий. |
В каком случае умножение удобно распределить на слагаемые или вычитаемые? | Выявление понимания распределительного свойства и его практической пользы. |
На каком шаге самостоятельной работы вы могли ошибиться? | Выявление точек затруднения и необходимости коррекции. |
Какой цвет светофора вы выбираете и что поможет перейти на следующий уровень? | Субъективная оценка освоения темы и планирование дальнейшей работы. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились читать числовое выражение как инструкцию: сначала смотрим на скобки, затем выполняем умножение и деление слева направо, а потом сложение и вычитание. Мы также увидели, что распределительное свойство помогает раскрывать скобки и считать удобнее. Самая частая ошибка — умножить число только на первый член скобок, поэтому всегда проверяйте оба слагаемых или вычитаемых. На следующем уроке мы продолжим применять эти правила при решении более сложных выражений и задач."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 числовых выражения со скобками и действиями разных ступеней, например выражения вида $60-24:3\cdot2$ и $7(15+5)$; обозначить порядок действий. | Закрепляет базовый алгоритм; при проверке смотреть на последовательность действий и промежуточные записи. |
Средний (повышающий) | Решить 5 выражений, в том числе 2 выражения на раскрытие скобок с применением распределительного свойства и 3 выражения на вычисление значения. | Формирует устойчивое применение двух правил; при проверке смотреть, умножено ли число на каждый член скобок. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить задачу из жизненной ситуации, решение которой можно записать двумя равными выражениями с применением распределительного свойства, и вычислить результат двумя способами. | Развивает создание математической модели и умение объяснять выбор удобного способа вычисления. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Что выполняется раньше: $18+6\cdot2$ или действие сложения? Как записать $4(10+3)$ без скобок? Почему в выражении с умножением и делением действия выполняются слева направо?»
