Признаки делимости на 3 и 9
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока каждый ученик сформулирует признаки делимости на 3 и 9 и применит их для проверки не менее пяти натуральных чисел, объясняя ход рассуждения.
- Установить связь между суммой цифр числа и его делимостью на 3 и на 9.
- Сформулировать и применять признаки делимости на 3 и 9 при решении учебных и жизненных задач.
- Развивать умение выдвигать гипотезу, проверять её по примерам, работать в паре и аргументировать ответ.
- Воспитывать внимательность к вычислениям, взаимопомощь и ответственное отношение к результату общей работы.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к поиску математической закономерности через исследование чисел.
- Осознают ценность точности, самопроверки и взаимопомощи при выполнении вычислений.
- Понимают практическую пользу признаков делимости для быстрого анализа чисел.
- Адекватно оценивают собственное продвижение и называют затруднение, если оно возникло.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель на основе обнаруженного затруднения.
- Сравнивают числа, выделяют существенный признак и делают вывод по результатам наблюдений.
- Работают с таблицей, устно объясняют способ рассуждения и проверяют вывод примерами.
- Сотрудничают в паре, распределяют действия и корректно обсуждают разные варианты ответа.
Предметные
- Знать признак делимости на 3: число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.
- Знать признак делимости на 9: число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.
- Уметь находить сумму цифр числа и применять оба признака без выполнения деления.
- Уметь объяснять, почему число делится или не делится на 3 и 9, и находить ошибки в рассуждениях.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают смысл изучения признаков делимости как способа рационально выполнять вычисления.
- Проявляют готовность доводить рассуждение до обоснованного вывода.
- Принимают необходимость проверки результата и спокойно относятся к исправлению ошибки.
- Оценивают собственный вклад в парную работу.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель урока.
- Планируют последовательность действий: найти сумму цифр, сравнить её с делителями, сформулировать вывод.
- Контролируют вычисления и сверяют результат с эталоном.
- Исправляют ошибки после самопроверки и оценивают степень достижения цели.
Познавательные УУД
- Выделяют сумму цифр как существенный признак при исследовании чисел.
- Классифицируют числа по делимости на 3 и 9.
- Строят простую таблицу наблюдений и формулируют закономерность.
- Применяют алгоритм в новом контексте и находят недостающую цифру в числе.
Коммуникативные УУД
- Обсуждают решение в паре по алгоритму «Подумай — обсуди в паре — поделись».
- Задают уточняющие вопросы и приводят математические аргументы.
- Слушают партнёра и сравнивают способы решения.
- Представляют общий вывод кратко и понятно для класса.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или записи на доске: числа 27, 45, 126, 234, 513, 1008, 117, 225 и таблицу для исследования.
- Распечатать карточки для парной работы — по одной карточке на пару, 15–16 экземпляров; предусмотреть задания базового уровня для всех.
- Подготовить индивидуальные листы самостоятельной работы — по одному на каждого ученика.
- Приготовить зелёные, жёлтые и красные карточки для приёма «Светофор» — по одной на ученика.
- Подготовить стикеры для рефлексии — по одному на каждого ученика.
- Вывесить на доске пустую схему: «Число → сумма цифр → делимость на 3 / на 9».
- Подготовить таймер на 1–3 минуты и изображения или карточки с номерами спортивных маршрутов для физкультминутки.
- Организовать посадку так, чтобы ученики могли быстро работать в парах.
- Подготовить эталон самостоятельной работы для самопроверки после выполнения заданий.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учеников в учебную деятельность и создать интерес к поиску быстрого способа проверки чисел.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность: тетрадь, ручка, учебные принадлежности. Сегодня нам понадобятся внимательность и умение замечать закономерности. Работать будем индивидуально, в парах и всем классом." | Проверяют готовность рабочего места, записывают дату, настраиваются на работу. |
2 мин | Учитель показывает на доске числа 234 и 235: "Представьте, что вам нужно быстро определить, можно ли равномерно распределить 234 жетона между тремя командами. Делить столбиком долго. Как проверить быстрее? Сегодня мы найдём такой способ и объясним, почему он работает." | Высказывают предположения: "Можно выполнить деление", "Нужно посмотреть на цифры", формулируют интерес к поиску более быстрого способа. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что иногда деление можно заменить наблюдением за цифрами числа. Сначала вспомним, что уже умеем делать с делителями и кратными, а затем найдём новую закономерность."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия делителя, кратного и остатка, необходимые для открытия новых признаков.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает устную разминку: "Назовите несколько чисел, кратных 3. Как узнать, что одно число является делителем другого? Что означает остаток 0 при делении?" Учитель фиксирует ответы на доске. | Называют, например, 3, 6, 9, 12, 15; отвечают: "Если число делится без остатка, то делитель является его делителем"; объясняют значение остатка 0. |
3 мин | Учитель организует приём «Верно — неверно»: "Отметьте мысленно верные утверждения. Число 18 делится на 3. Число 25 кратно 3. Число 36 делится на 9. Если число делится на 9, оно обязательно делится на 3. Объясните два выбранных ответа." | Поднимают карточку «верно» или «неверно», затем обосновывают: "18 делится на 3", "25 не кратно 3", "36 делится на 9", "9 кратно 3, поэтому делимость на 9 влечёт делимость на 3". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили делимость без остатка и связь чисел 3 и 9. Но пока для проверки часто приходится выполнять деление. Давайте выясним, можно ли заменить его более коротким действием."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение и совместно сформулировать цель исследования.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает числа 126, 135, 207 и 218: "Попробуйте определить без письменного деления, какие числа делятся на 3. Можно ли уверенно ответить только по последней цифре? Почему число, оканчивающееся на 8, иногда делится на 3, а число, оканчивающееся на 5, иногда не делится?" | Проверяют числа известными способами, замечают затруднение и отвечают: "По последней цифре определить нельзя". |
2 мин | Учитель применяет «Снежный ком»: "Сначала каждый запишите гипотезу, затем обсудите её с соседом и сформулируйте общий вопрос урока. На что в записи числа нужно обратить внимание?" Учитель принимает варианты и подводит к цели. | Индивидуально записывают гипотезу, обсуждают её в паре, предлагают вопрос: "Как по цифрам числа определить его делимость на 3 и 9?" Формулируют цель урока. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема поставлена: нам нужно найти связь между цифрами числа и его делимостью. Теперь проведём небольшое исследование и проверим собственные гипотезы на нескольких примерах."
Этап 4. Открытие нового знания. Исследование в парах (9 мин)
Цель этапа: самостоятельно выявить признаки делимости на 3 и 9 и оформить их в виде алгоритма.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку и объясняет: "Работаем по приёму «Подумай — обсуди в паре — поделись». Сначала каждый рассмотрит числа, затем вы сверите результаты. Для каждого числа найдите сумму цифр, установите делимость этой суммы на 3 и на 9, а затем проверьте исходное число делением." | Читают инструкцию, распределяют роли: один находит суммы цифр, другой выполняет проверку, затем меняются ролями. |
4 мин | Учитель показывает на доске образец: "Рассмотрим число 234. Сумма цифр равна $2+3+4=9$. Число 9 делится и на 3, и на 9, значит, 234 должно делиться на оба числа. Проверьте вывод делением." Учитель помогает парам, задаёт вопросы: "Что общего у чисел, которые делятся на 3? А на 9?" | Вычисляют суммы цифр чисел 27, 45, 126, 513 и 1008, записывают результаты в таблицу, проверяют несколько чисел делением, формулируют наблюдение. |
4 мин | Учитель собирает ответы: "Сформулируйте правило одним предложением. Важно сказать не только, что мы делаем, но и при каком условии число делится на 3 или 9." Затем записывает эталоны на доске и подчёркивает ключевые слова. | Представляют выводы: "Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3"; "Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9". Сверяют свои формулировки с эталоном. |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «Признак делимости на 3: число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Признак делимости на 9: число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Алгоритм: 1) найти сумму цифр; 2) проверить делимость суммы на 3 или 9; 3) сделать вывод о числе».
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы открыли два признака и увидели, что вместо деления многозначного числа можно работать с суммой его цифр. Проверим теперь этот способ на заданиях, где важно проговаривать каждый шаг."
Этап 5. Физкультминутка с математическим выбором (3 мин)
Цель этапа: снять утомление и закрепить различение признаков делимости в двигательной форме.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель говорит: "Встаньте рядом с партой. Я называю число. Если оно делится на 3, сделайте один хлопок; если делится на 9 — два хлопка; если не делится ни на 3, ни на 9 — потянитесь вверх. Числа: 12, 18, 25, 36, 42, fifty? Нет, заменяем: 50, 81." Учитель напоминает: "Сначала находите сумму цифр, затем выбирайте движение." | Выполняют движения и проговаривают проверку: для 12 сумма цифр 3 — один хлопок; для 18 сумма 9 — два хлопка; для 25 сумма 7 — потягивание; для 36 сумма 9 — два хлопка; для 42 сумма 6 — один хлопок; для 50 сумма 5 — потягивание; для 81 сумма 9 — два хлопка. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы не только размялись, но и ещё раз применили признаки. Возвращаемся к тетрадям и проверим, насколько уверенно каждый умеет пользоваться алгоритмом самостоятельно."
Этап 6. Первичное закрепление и самостоятельная работа (14 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм на заданиях базового и повышенного уровня, обеспечить самопроверку и коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель предлагает парное закрепление: "В парах определите, делятся ли на 3 и на 9 числа 315, 427, 702 и 1116. Для каждого числа обязательно запишите сумму цифр и вывод. Один ученик объясняет, второй проверяет запись по алгоритму, затем поменяйтесь ролями." | В парах находят суммы цифр: $3+1+5=9$, $4+2+7=13$, $7+0+2=9$, $1+1+1+6=9$. Формулируют выводы и взаимно проверяют записи. |
6 мин | Учитель раздаёт самостоятельную работу: "Выполните три задания. Первое: распределите числа 234, 346, 504, 725 и 900 в группы делящихся на 3 и не делящихся на 3. Второе: укажите, какие из них делятся на 9. Третье: вставьте цифру вместо знака: 4□2, чтобы число делилось на 9. Работайте молча, сначала решите сами, затем сверяйтесь с алгоритмом." | Индивидуально находят суммы цифр, распределяют числа, определяют делимость на 9, подбирают цифру в числе 4□2. |
3 мин | Учитель выводит эталон: "Сверьте не только ответы, но и способ. В первом задании важна сумма цифр, во втором — делимость этой суммы на 9, в третьем — объяснение выбора цифры. Отметьте зелёным верные шаги, жёлтым — место сомнения, красным — ошибку, которую нужно исправить." | Проводят самопроверку, исправляют ошибки. Для числа 4□2 составляют условие $4+□+2=6+□$, выбирают цифру 3, потому что $6+3=9$; возможно также число 4□2 с цифрой 3 даёт 432, делящееся на 9. |
Эталон решения
Для числа 504: $5+0+4=9$. Число 9 делится на 3 и на 9, поэтому 504 делится и на 3, и на 9. Для числа 346: $3+4+6=13$. Число 13 не делится ни на 3, ни на 9, поэтому 346 не делится ни на 3, ни на 9. Для числа $4□2$: $4+□+2=6+□$. Чтобы сумма делилась на 9, можно взять $□=3$: $6+3=9$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что алгоритм работает, если не пропускать первый шаг — нахождение суммы цифр. Теперь применим признак в жизненной и межпредметной ситуации, где нужно быстро распределить объекты поровну."
Этап 7. Межпредметное применение и рефлексия (7 мин)
Цель этапа: применить признаки делимости в контексте физической культуры и осознать результат урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает задачу: "На школьном спортивном празднике подготовили 234 жетона для команд. Организаторы хотят разложить их поровну на 3 команды или на 9 команд. Не выполняя деление столбиком, определите, возможна ли каждая раздача. Обоснуйте ответ." | Находят сумму цифр: $2+3+4=9$. Делают вывод: "234 делится на 3 и на 9, поэтому жетоны можно поровну разложить и на 3, и на 9 команд". Объясняют связь математики с организацией соревнований. |
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: "Покажите карточку: зелёная — могу применить оба признака сам; жёлтая — понимаю правило, но иногда ошибаюсь в сумме цифр; красная — нужна помощь. На стикере допишите: «Сегодня я научился…» и «Мне нужно потренировать…»." | Показывают карточку, заполняют стикер конкретной фразой, например: "Научился проверять делимость по сумме цифр"; "Нужно потренировать поиск недостающей цифры". |
2 мин | Учитель возвращается к проблемному вопросу: "Как быстро проверить делимость числа на 3 и 9? Сформулируйте полный ответ. Что нужно сделать сначала?" Учитель сообщает домашнее задание и просит записать его выбор. | Формулируют алгоритм: "Найти сумму цифр, проверить её делимость на 3 или 9 и сделать вывод о числе". Записывают выбранный уровень домашнего задания, задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — правильно выполнены все задания самостоятельной работы, суммы цифр найдены без ошибок, признаки сформулированы или применены с полным объяснением.
- «4» — правильно выполнены не менее четырёх из пяти проверок, допущена одна вычислительная ошибка или неполное объяснение одного вывода.
- «3» — правильно выполнены не менее трёх проверок, но есть затруднения в нахождении суммы цифр или в различении признаков делимости на 3 и 9.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нужно сделать первым, чтобы проверить делимость числа на 3 или 9? | Проверить понимание алгоритма и последовательности действий. |
Чем отличается признак делимости на 3 от признака делимости на 9? | Выявить осознание различия условий делимости суммы цифр. |
На каком шаге самостоятельной работы возникло затруднение? | Определить точки затруднения в вычислении суммы цифр или формулировке вывода. |
Где в жизни можно использовать такой быстрый способ проверки? | Выявить понимание практической и межпредметной ценности изученного. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы открыли способ быстро проверять делимость числа на 3 и 9 по сумме его цифр. Важно не путать признаки: для 3 сумма цифр должна делиться на 3, а для 9 — на 9. Типичная ошибка — сразу смотреть на последнюю цифру или забывать проверить саму сумму. Дома закрепите алгоритм на выбранном уровне, а на следующем уроке мы продолжим применять признаки делимости при решении более сложных задач."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 6 заданий на определение делимости натуральных чисел на 3 и 9 по сумме цифр; в каждом решении записать сумму цифр и вывод. | Закрепить два признака и проверить правильность последовательности действий. |
Средний (повышающий) | Решить 4 задания на подбор неизвестной цифры в двузначных или трёхзначных числах, чтобы число делилось на 3 или на 9; каждое решение обосновать. | Развить умение применять признак в обратной задаче и аргументировать выбор цифры. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить 5 собственных чисел: два делящихся на 3, два делящихся на 9 и одно не делящееся ни на 3, ни на 9; обменяться примерами с членом семьи или одноклассником и проверить их. | Развить создание математических примеров, внимательность и способность проверять рассуждение другого человека. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как найти сумму цифр числа 702?», «Делится ли 702 на 3 и на 9?», «Почему число, делящееся на 9, обязательно делится на 3?»
