Делители и кратные. Простые и составные числа
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться находить делители и первые кратные натурального числа, различать простые и составные числа и объяснять свой выбор на примерах.
- Сформировать представление о делителе и кратном числа через действие деления без остатка и умножение.
- Научить составлять список делителей чисел до 30 и находить первые кратные заданного числа.
- Развивать умение сравнивать, классифицировать и аргументировать математические утверждения, используя уровни запоминания, понимания, применения и анализа.
- Воспитывать аккуратность вычислений, интерес к математике и готовность сотрудничать при решении учебной проблемы.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к поиску закономерностей в натуральном ряду чисел.
- Понимают ценность аккуратной проверки результата делением или умножением.
- Осознают возможность распределять учебные действия и обращаться за помощью при затруднении.
- Положительно относятся к совместному обсуждению математических идей.
Метапредметные
- Формулируют учебную проблему и совместно с учителем определяют план её решения.
- Извлекают информацию из таблицы, числового ряда и карточки с заданиями.
- Сравнивают объекты по заданному признаку и классифицируют числа на простые и составные.
- Проверяют собственное решение по эталону, находят и исправляют ошибки.
- Аргументированно формулируют ответ в паре и представляют результат классу.
Предметные
- Знать определения делителя и кратного натурального числа.
- Уметь находить делители числа и записывать первые кратные заданного числа.
- Уметь объяснять связь между равенством $a=b\cdot c$, делителем и кратным.
- Уметь различать простые и составные числа, обосновывая классификацию количеством делителей.
- Уметь применять признаки делимости на 2, 5 и 10 в простых заданиях.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают смысл изучения делимости для удобного счёта, распределения предметов и проверки вычислений.
- Проявляют учебную самостоятельность при выборе способа проверки.
- Оценивают собственный вклад в парную и групповую работу.
- Сохраняют уверенность при столкновении с новым математическим понятием.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель урока.
- Планируют последовательность действий: найти делители, проверить деление, сделать вывод.
- Контролируют правильность записей и вычислений.
- Используют эталон для самопроверки и исправляют обнаруженные ошибки.
- Оценивают степень достижения цели по листу самооценки.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки делителя, кратного, простого и составного числа.
- Устанавливают связь между делением без остатка и умножением.
- Классифицируют числа по количеству делителей.
- Строят простую таблицу делителей и кратных.
- Формулируют вывод на основе анализа примеров и контрпримеров.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре или группе при выполнении карточки.
- Задают уточняющие вопросы и объясняют ход рассуждения.
- Слушают ответ одноклассника и корректно дополняют его.
- Аргументируют, почему число является простым или составным.
- Согласуют общий ответ и представляют его классу.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с числовым рядом от 1 до 30, таблицей умножения и заданиями для проблемной ситуации.
- Распечатать карточки для парной работы: по одной карточке на пару, всего по числу пар в классе, с заданиями на делители и кратные.
- Распечатать карточки трёх уровней для самостоятельной работы: минимальный, базовый и повышенный — по одной на каждого ученика.
- Подготовить листы самооценки с пунктами «Я нахожу делители», «Я записываю кратные», «Я различаю простые и составные числа».
- Подготовить 30 небольших карточек с числами от 1 до 30 для групповой классификации.
- Приготовить цветные маркеры или магниты: синие для делителей, зелёные для кратных, красные для простых чисел.
- Вывесить на доску памятку: «Делитель — делит без остатка», «Кратное — получается при умножении», «Простое число имеет ровно два делителя».
- Подготовить таймер на 2–3 минуты для коротких заданий и сигнальные карточки зелёного, жёлтого и красного цвета.
- Обеспечить каждому ученику тетрадь, ручку и линейку; для групповой работы подготовить четыре конверта с карточками чисел.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и создать интерес к теме через жизненную ситуацию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, всё ли готово к уроку: тетрадь, ручка, линейка. Сегодня нам предстоит не просто считать, а искать скрытые связи между числами. Работать будем быстро, внимательно и с объяснением каждого ответа." | Проверяют готовность, записывают дату, настраиваются на работу. |
2 мин | Учитель показывает на доске ситуацию: "У нас есть 24 конфеты. Можно ли разложить их поровну на 2, 3, 4, 6 или 7 человек без остатка? Как быстро это проверить? Сегодня мы узнаем математический язык для такого распределения." | Называют возможные варианты: «на 2, 3, 4 и 6 человек», замечают, что при делении на 7 останется остаток. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что одни числа делят данное число без остатка, а другие — нет. Сейчас выясним, как называются такие числа и как находить их системно."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать знания о делении без остатка, умножении и натуральных числах.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске равенства $18:3=6$, $18:4=4$ (ост. 2), $5\cdot4=20$ и спрашивает: "В каком равенстве деление выполнено без остатка? Как проверить результат деления обратным действием?" | Отмечают равенство $18:3=6$, объясняют проверку: $3\cdot6=18$. |
3 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: "Покажите зелёную карточку, если утверждение верно, и красную, если неверно. Число 4 делится на 2 без остатка. Число 5 является результатом умножения 5 на 2. При делении 20 на 4 получаем 5." После каждого ответа просит объяснить выбор. | Показывают карточки и формулируют ответы: «Верно», «Неверно, 5 умножить на 2 — это 10», «Верно, потому что $4\cdot5=20$». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили деление без остатка и связь деления с умножением. Теперь используем эти знания, чтобы открыть новые названия и правила."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную проблему и определить план открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт парам карточку с числами 12 и 15 и говорит: "Запишите все числа от 1 до 15, на которые 12 делится без остатка. Затем найдите числа, которые можно получить умножением 12 на натуральное число. Сравните эти два списка. Как их можно назвать?" | В парах составляют два списка: для 12 — $1,2,3,4,6,12$; кратные 12 — $12,24,36,48...$. |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Чем отличаются два списка? Что нам нужно узнать, чтобы правильно описывать такие отношения? Какие действия помогут достичь цели?" Фиксирует на доске цель и план: определить, найти, классифицировать, проверить. | Предлагают формулировки: «Узнать названия чисел», «Научиться находить делители и кратные», «Понять, какие числа простые и составные». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема поставлена: нам нужно научиться видеть строение числа. Сначала откроем понятия делителя и кратного, затем разберём простые и составные числа и проверим себя на заданиях."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: сформировать понятия делителя, кратного, простого и составного числа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает равенство $24=6\cdot4$ и объясняет: "Число 6 является делителем 24, потому что 24 делится на 6 без остатка. Число 24 является кратным 6, потому что его можно получить умножением 6 на 4. В одном равенстве мы видим сразу две связи." | Записывают в тетрадь определения, выделяют в равенстве числа 6 и 24, проговаривают: «6 — делитель 24, 24 — кратное 6». |
3 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Подумайте, являются ли 3 и 8 делителями 24. Запишите доказательство. Обсудите с соседом и приготовьте общий ответ." | Индивидуально проверяют деление, затем обсуждают в парах и отвечают: «3 и 8 — делители 24, потому что $24:3=8$ и $24:8=3$». |
2 мин | Учитель записывает список делителей 7: $1,7$, затем список делителей 12: $1,2,3,4,6,12$. Спрашивает: "Что общего у числа 7 и чем отличается число 12?" | Сравнивают списки и формулируют: «У 7 ровно два делителя, у 12 — больше двух». |
2 мин | Учитель формулирует вывод: "Натуральное число, имеющее ровно два делителя — 1 и само себя, называют простым. Натуральное число, имеющее более двух делителей, называют составным. Число 1 не является ни простым, ни составным, потому что у него только один делитель." | Записывают определения, приводят примеры: простые — 2, 3, 5, 7; составные — 4, 6, 8, 9, 10. |
Запись в тетрадях
Делитель числа $a$ — натуральное число, на которое $a$ делится без остатка. Кратное числа $a$ — число, которое можно получить умножением $a$ на натуральное число. Простое число имеет ровно два делителя: 1 и само себя. Составное число имеет более двух делителей. Число 1 не является ни простым, ни составным.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы открыли четыре ключевые идеи: делитель, кратное, простое и составное число. Теперь проверим новые определения на коротких заданиях и научимся объяснять не только ответ, но и причину."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритмы нахождения делителей и кратных с проговариванием действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку: "Для числа 18 найдите все делители. Для числа 5 запишите первые пять кратных, начиная с самого числа. Используйте два способа проверки: деление без остатка и умножение." | В парах записывают делители 18: $1,2,3,6,9,18$; кратные 5: $5,10,15,20,25$; объясняют взаимосвязь. |
2 мин | Учитель предлагает игру «Верю — не верю»: "Число 2 — простое. Число 15 — простое. Число 1 — составное. Число 21 — составное. Поднимите карточку и обязательно назовите признак." | Показывают сигнальные карточки и поясняют: «2 простое», «15 составное, потому что имеет делители 1, 3, 5, 15», «1 не является ни простым, ни составным», «21 составное, потому что $21=3\cdot7$». |
2 мин | Учитель приглашает двух учеников к доске: "Первый ученик найдёт делители 20, второй — первые четыре кратных 7. Класс проверяет решения по определению." | У доски записывают делители 20: $1,2,4,5,10,20$; кратные 7: $7,14,21,28$. Остальные сравнивают записи и исправляют неточности. |
Эталон решения
Для нахождения делителей 20 проверяем деление: $20:1=20$, $20:2=10$, $20:4=5$, $20:5=4$, $20:10=2$, $20:20=1$. Делители: $1,2,4,5,10,20$. Для нахождения кратных 7 умножаем 7 на последовательные натуральные числа: $7\cdot1=7$, $7\cdot2=14$, $7\cdot3=21$, $7\cdot4=28$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы научились находить делители перебором и составлять кратные умножением. Теперь каждый самостоятельно покажет, насколько уверенно умеет применять этот алгоритм."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное понимание материала и организовать коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет уровни: "Выполните обязательное задание. Если справитесь раньше, переходите к повышенному. Работайте самостоятельно, все вычисления записывайте. После сигнала получите эталон для проверки." | Выбирают карточку по уровню или начинают с обязательной части, готовят тетрадь для записи решения. |
5 мин | Учитель раздаёт задания. Минимум: найти делители 16 и записать четыре первых кратных 4. Базовый уровень: определить, какие числа из 11, 14, 17, 21 простые, а какие составные, с обоснованием. Повышенный уровень: найти ошибку в утверждении «У числа 1 два делителя, значит оно простое» и исправить его. | Индивидуально решают задания, записывают делители 16: $1,2,4,8,16$; кратные 4: $4,8,12,16$; классифицируют числа и объясняют ответы. |
3 мин | Учитель выводит на доску эталон: "Проверьте не только ответ, но и способ. Отметьте зелёным правильное, жёлтым — требующее исправления. Если есть ошибка, рядом запишите правильное рассуждение." | Сверяют записи с эталоном, исправляют ошибки, ставят отметку о выполнении и поднимают сигнальную карточку при необходимости помощи. |
Эталон решения
Делители 16: $1,2,4,8,16$. Первые кратные 4: $4,8,12,16$. Числа 11 и 17 простые, поскольку имеют только делители 1 и само себя. Числа 14 и 21 составные: $14=2\cdot7$, $21=3\cdot7$. Число 1 не простое: у него только один делитель — 1.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, какие действия уже стали уверенными, а где требуется дополнительная тренировка. Осталось собрать все выводы урока и проверить, достигли ли мы поставленной цели."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: обобщить изученное, оценить достижение цели и объяснить домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит приём «Одноминутка»: "За одну минуту закончите три фразы: «Делитель — это…», «Кратное — это…», «Число простое, если…». Затем сравните ответы с соседом и при необходимости уточните формулировки." | Письменно завершают фразы, обсуждают ответы в парах, формулируют определения без подсказки. |
2 мин | Учитель показывает лист самооценки: "Поставьте плюс рядом с утверждением, которое вам подходит: я нахожу делители; я составляю кратные; я отличаю простые числа от составных; я могу объяснить ошибку. Один пункт, который пока вызывает сомнение, отметьте вопросительным знаком." | Заполняют лист самооценки, отмечают затруднение, формулируют один вопрос по теме. |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание: "Выберите уровень по готовности. Обязательная часть нужна всем, повышающая поможет закрепить алгоритм, дополнительная предлагает исследование. Номера упражнений сегодня не нужны: ориентируйтесь на описание задания." | Записывают выбранный уровень и содержание задания в дневник. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы научились находить делители и кратные, а также отличать простые числа от составных. Важно помнить: число 1 не относится ни к простым, ни к составным. На следующем уроке мы продолжим применять свойства делимости и научимся использовать признаки делимости для быстрой проверки чисел."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно найдены все делители 16, записаны четыре кратных числа 4, правильно классифицированы числа 11, 14, 17 и 21, а рассуждения записаны с обоснованием.
- «4» — допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, но определения делителя, кратного, простого и составного числа применены правильно.
- «3» — выполнено обязательное задание частично: верно найдено не менее трёх делителей 16 и записаны хотя бы три кратных числа 4, однако объяснение классификации требует помощи.
- «2» — отсутствует понимание связи между делением без остатка и делителем, допущены существенные ошибки в большинстве заданий; требуется индивидуальная коррекция.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что такое делитель числа и как проверить, что число является делителем? | Выявление понимания определения и связи с делением без остатка. |
Как составить первые кратные числа 6? | Проверка применения алгоритма умножения. |
Почему 13 — простое число, а 15 — составное? | Проверка умения классифицировать числа по количеству делителей и аргументировать ответ. |
Какое задание оказалось самым сложным и какую помощь вы бы выбрали? | Выявление точек затруднения и развитие регулятивной самооценки. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились видеть отношения между числами: делитель делит без остатка, а кратное получается умножением. Мы установили, что простое число имеет ровно два делителя, а составное — больше двух. Запомните важную особенность: число 1 не является ни простым, ни составным. На следующем уроке мы продолжим исследовать признаки делимости и научимся быстрее проверять числа."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания: найти все делители двух чисел от 12 до 30, записать первые пять кратных двух заданных чисел, определить простые и составные числа в ряду из 8 чисел. | Закрепить определения и алгоритмы; при проверке обратить внимание на полноту списка делителей и правильность объяснения. |
Средний (повышающий) | Решить 5 заданий на классификацию чисел от 1 до 50, составить пары «делитель — кратное» для четырёх чисел и объяснить, почему число 1 не является простым. | Развить умение анализировать количество делителей и использовать математическую аргументацию. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную таблицу простых чисел от 1 до 50 и описать способ проверки одного выбранного числа на составность двумя способами. | Развить исследовательское мышление, умение обобщать и сравнивать способы решения. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Что называют делителем числа?», «Как получить кратное числа?», «Сколько делителей у простого числа?», «Является ли число 1 простым или составным? Почему?»
