Десятичная система счисления и арифметические действия с натуральными числами
Цели и задачи
- Цель: к концу урока учащиеся объяснят принцип десятичной системы счисления, определят значение цифры по её позиции и выполнят арифметические действия с натуральными числами, включая решение практической задачи, с самопроверкой по эталону.
- Сформировать представление о десятичной системе счисления как позиционной системе, использующей десять цифр.
- Научить читать, записывать и раскладывать многозначные натуральные числа по разрядам и классам.
- Закрепить навыки сложения, вычитания, умножения и деления натуральных чисел, включая проверку результата обратным действием.
- Развивать умение рассуждать, работать в паре, объяснять выбор действия и применять математические знания в ситуации из повседневной жизни.
- Воспитывать аккуратность вычислений, ответственность за общий результат и интерес к истории способов записи чисел.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую значимость чисел и вычислений при работе с деньгами, расстояниями и количеством предметов.
- Проявляют положительную мотивацию к изучению математики через решение задач, связанных с реальными ситуациями.
- Формируют ответственное отношение к точности записи и проверки вычислений.
- Готовы сотрудничать с одноклассниками и уважительно принимать иной способ рассуждения.
Метапредметные
- Выделяют существенные признаки десятичной системы счисления и устанавливают связь между разрядом цифры и её значением.
- Планируют последовательность решения вычислительной и текстовой задачи, осуществляют самопроверку и коррекцию.
- Читают математическую запись, извлекают данные из условия и представляют их в виде краткой записи или таблицы.
- Формулируют объяснение устно, аргументируют выбор арифметического действия и взаимодействуют в паре.
- Применяют математические знания в межпредметном контексте, связанном с историей возникновения записи чисел.
Предметные
- Знать названия разрядов и классов натуральных чисел в пределах изучаемого числового диапазона.
- Уметь читать, записывать и раскладывать многозначные числа по разрядным слагаемым.
- Уметь определять значение цифры в записи числа в зависимости от её позиции.
- Уметь выполнять сложение, вычитание, умножение и деление натуральных чисел и проверять результат.
- Уметь выбирать арифметическое действие для решения практической задачи и записывать ответ с наименованием.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают смысл точной математической записи как средства передачи информации.
- Проявляют учебную самостоятельность при выполнении индивидуальной работы.
- Оценивают собственный вклад в парную работу и результат вычислений.
- Связывают изучаемый материал с использованием чисел в истории, быту и естественных науках.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе выявленного затруднения.
- Планируют алгоритм разложения числа и порядок выполнения арифметических действий.
- Сверяют решение с эталоном, находят и исправляют ошибку.
- Оценивают степень достижения цели с помощью листа самооценки и сигнальных карточек.
Познавательные УУД
- Классифицируют цифры по разрядам и группируют разряды в классы.
- Сравнивают записи чисел, устанавливают зависимость значения цифры от её позиции.
- Моделируют число с помощью разрядной таблицы и разрядных слагаемых.
- Извлекают данные из текстовой задачи, выбирают арифметическую модель и проверяют её смысл.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: вычислитель и контролёр.
- Задают уточняющие вопросы о разрядах и порядке действий.
- Объясняют решение, используя математические термины.
- Согласовывают общий ответ и корректно формулируют замечания при взаимопроверке.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить разрядную таблицу с колонками «миллиарды», «миллионы», «тысячи», «единицы» и выделенными разрядами единиц, десятков и сотен.
- Распечатать карточки для парной работы: по одной карточке на парту, всего 15 карточек, с заданиями на разрядный состав и вычисления.
- Распечатать индивидуальные листы самопроверки по одному на каждого ученика, всего 30 листов.
- Подготовить карточки трёх цветов для приёма «Светофор»: зелёные, жёлтые и красные — по одному комплекту на ученика.
- Вывести на доску или экран тему урока, проблемный вопрос «Почему одна и та же цифра может обозначать единицы, десятки или тысячи?» и алгоритм письменного вычисления.
- Подготовить слайд с историческим фактом о том, что десятичная система связана с использованием десяти пальцев для счёта.
- Подготовить линейку или числовую ленту, набор карточек с цифрами 0–9 и четыре таблички с названиями арифметических действий.
- Подготовить таймер на 2–4 минуты для смены форматов деятельности.
- Организовать на доске место для эталона: разрядная запись числа, образец вычисления и решение практической задачи.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и вызвать интерес к роли цифр в записи чисел.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, всё ли готово к работе: тетрадь, ручка, линейка и карточки для сигналов. Сегодня нам понадобятся внимание и точность, потому что даже одна цифра, записанная не на своём месте, может изменить число во много раз." | Проверяют готовность рабочего места, кладут необходимые материалы справа от тетради. |
2 мин | Учитель показывает на доске числа 5, 50, 500 и спрашивает: "Посмотрите на эти записи. Какие цифры в них одинаковы? Почему числа различаются? Что изменилось? Сформулируйте предположение, а затем обсудите его с соседом в течение 30 секунд." Учитель называет приём «Подумай — обсуди в паре — поделись». | Сначала самостоятельно рассматривают записи, затем обсуждают в паре и формулируют ответ: "Цифра 5 находится в разных разрядах, поэтому обозначает разное количество единиц". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что положение цифры имеет значение. Сейчас выясним, как устроена система записи чисел и как это помогает выполнять вычисления."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: повторить разряды, классы и смысл четырёх арифметических действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель вывешивает разрядную таблицу и говорит: "Запишите число 407 305. Прочитайте его, назовите классы и разряды. Я буду задавать вопросы, а вы показывайте нужную колонку в таблице." Затем спрашивает: "Какая цифра стоит в разряде десятков тысяч? Сколько всего единиц в числе?" | Записывают число, читают: "Четыреста семь тысяч триста пять", называют классы тысяч и единиц, отвечают: "В разряде десятков тысяч стоит цифра 0; всего единиц 407305". |
2 мин | Учитель проводит короткую разминку: "Определите значение цифры 6 в числах 6 214, 46 000 и 306. Объясните, почему ответы различаются. Не называйте только число — укажите разряд." | Записывают ответы: "6 единиц; 6 тысяч; 6 единиц" и поясняют, что позиция цифры определяет её значение. |
2 мин | Учитель предлагает четыре выражения: 37+8, 64−19, 7·6, 48:6 и спрашивает: "Какое действие выполняется в каждом выражении? Что означает результат каждого действия?" | Называют сложение, вычитание, умножение и деление; формулируют: "Сложение объединяет, вычитание показывает разность, умножение заменяет сложение одинаковых слагаемых, деление распределяет поровну". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили разряды и четыре действия. Теперь проверим, достаточно ли этих знаний, чтобы объяснить устройство десятичной записи и решить практическую задачу."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске: 3 000 + 400 + 20 + 7 и 3 000 + 40 + 200 + 7. "Сравните выражения. Можно ли по записи сразу определить, какое число получится? Почему во втором случае нарушен порядок разрядов?" Учитель предлагает приём «Лови ошибку». | Находят ошибку, вычисляют: "$3 000+400+20+7=3 427$", "$3 000+40+200+7=3 247$" и объясняют, что сотни и десятки поменялись местами. |
2 мин | Учитель задаёт проблемный вопрос: "Как записывать многозначные числа так, чтобы значение каждой цифры было понятно, и как использовать эту запись при вычислениях? Сформулируйте цель урока одним предложением." | Формулируют цель: "Узнать, как работает десятичная система, научиться раскладывать числа по разрядам и правильно выполнять действия с натуральными числами". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение связано с разрядами и точной записью чисел. Мы поставили цель: понять принцип десятичной системы и применить его при вычислениях и решении задачи."
Этап 4. Открытие нового знания и межпредметная связь (9 мин)
Цель этапа: сформировать представление о позиционном принципе десятичной системы и связать его с историей и естественно-научными измерениями.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает карточки цифр 2, 0, 5 и говорит: "Составим из этих цифр разные числа: 205, 520, 502. Цифры те же, но числа разные. Это означает, что десятичная система счисления является позиционной: значение цифры зависит от места, которое она занимает. Почему система называется десятичной? Подумайте о способе счёта, которым люди пользуются с древности." | Составляют числа из карточек, сравнивают их, отвечают: "Система называется десятичной, потому что использует десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; исторически людям было удобно считать по десяти пальцам". |
3 мин | Учитель записывает на доске разложение: $5 284=5 000+200+80+4$. "Прочитайте запись. Что обозначает каждая часть? Запомните: разрядные слагаемые показывают значение цифр в числе. Запишите также число 70 306 в виде суммы разрядных слагаемых." | Записывают: "$70 306=70 000+300+6$", проговаривают: "7 десятков тысяч, 3 сотни и 6 единиц; разряды десятков тысяч, тысяч и десятков имеют нулевые цифры". |
3 мин | Учитель организует межпредметную мини-беседу: "На уроках истории вы встречаете даты и большие числа, на географии — расстояния, на естествознании — массу и количество объектов. Во всех случаях важно не перепутать разряды. Представьте, что в справочнике вместо 12 500 км записали 1 250 км. Что изменится?" Учитель фиксирует вывод на доске. | Объясняют: "Расстояние уменьшится в десять раз, поэтому изменится смысл сообщения"; приводят примеры чисел из истории, географии или естествознания, где важна точная запись. |
Запись в тетрадях
Десятичная система счисления использует десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Она является позиционной: значение цифры зависит от её места в записи числа. Пример: $5 284=5 000+200+80+4$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы установили главный принцип: одна и та же цифра получает разное значение в разных разрядах. Теперь применим это правило в вычислениях и научимся объяснять каждый шаг."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить разрядный состав чисел и алгоритм выбора арифметического действия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку и объясняет: "Выполните три задания. Первое: разложите число 63 408 на разрядные слагаемые. Второе: составьте число из суммы $40 000+700+9$. Третье: определите значение цифры 8 в числах 8 521 и 18 204. Один ученик решает, второй контролирует запись по разрядной таблице, затем поменяйтесь ролями." | В парах выполняют задания, проговаривают решения: "$63 408=60 000+3 000+400+8$"; "$40 709$"; "8 тысяч и 8 единиц". Меняются ролями и исправляют ошибки. |
2 мин | Учитель предлагает устную эстафету: "Я называю ситуацию, а вы поднимаете карточку с действием. В коробке было 36 карандашей, 14 раздали; затем купили ещё 20. Какое действие нужно первым? А если 48 конфет поровну разделили между 6 детьми?" | Поднимают карточки «вычитание» и «деление», объясняют: "Сначала узнаём, сколько осталось: $36-14$, затем прибавляем 20"; "$48:6$". |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку по эталону на доске: "Сверьте не только ответ, но и разрядную запись. Если нашли ошибку, поставьте рядом знак исправления и объясните партнёру причину." | Сверяют решения, отмечают правильные разрядные слагаемые, формулируют замечания: "Пропущены нулевые разряды" или "Цифра 8 определена не по позиции". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В парной работе вы применили принцип разрядов и выбрали действия по смыслу ситуации. Теперь каждый проверит себя самостоятельно, без подсказки партнёра."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение разрядного состава и арифметических действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт индивидуальные листы и говорит: "Работаем самостоятельно. Задание 1: разложите число 204 035 на разрядные слагаемые. Задание 2: вычислите $4 708+2 596$ и $8 000-3 475$. Задание 3: вычислите $126·4$ и $936:3$. Записывайте действия столбиком и проверяйте порядок цифр." | Индивидуально записывают разрядный состав, выполняют четыре вычисления, выстраивают цифры по разрядам. |
2 мин | Учитель открывает эталон: "$204 035=200 000+4 000+30+5$; $4 708+2 596=7 304$; $8 000-3 475=4 525$; $126·4=504$; $936:3=312$. Проверьте каждую строку, обведите место ошибки, если она есть." | Сверяют ответы, находят ошибки, выполняют исправление и ставят рядом отметку: «верно» или «нужно исправить». |
2 мин | Учитель проводит «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если уверенно раскладываете числа и выполняете действия; жёлтую — если нужна ещё тренировка; красную — если требуется объяснение с начала. Это не оценка, а сигнал учителю." | Поднимают карточку, отмечают в листе самооценки пункт, который требует повторения, задают уточняющий вопрос при необходимости. |
Эталон решения
1) Определяем разряды цифр слева направо: 2 сотни тысяч, 0 десятков тысяч, 4 тысячи, 0 сотен, 3 десятка, 5 единиц. Поэтому $204 035=200 000+4 000+30+5$. 2) При сложении записываем единицы под единицами, десятки под десятками и выполняем вычисление справа налево: $4 708+2 596=7 304$. 3) При вычитании занимаем единицу из соседнего разряда: $8 000-3 475=4 525$. 4) При умножении $126·4=504$. 5) При делении $936:3=312$; проверка: $312·3=936$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что вы умеете применять правило разрядов и выполнять вычисления. Осталось использовать эти умения в задаче, где действие нужно выбрать не по виду примера, а по смыслу текста."
Этап 7. Применение знаний в практической задаче и рефлексия (7 мин)
Цель этапа: применить знания о натуральных числах и арифметических действиях в жизненной ситуации, оценить достижение цели урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает условие: "Для школьной выставки подготовили 3 коробки по 125 открыток в каждой. До начала выставки раздали 86 открыток, а затем напечатали ещё 140. Сколько открыток стало?" Учитель спрашивает: "Что известно? Что требуется найти? Какими действиями удобно решить задачу? Обсудите план в паре." | Выделяют данные, составляют план: сначала находят количество открыток в коробках $125·3$, затем вычитают 86 и прибавляют 140. Записывают выражение $125·3-86+140$. |
2 мин | Учитель просит одну пару представить решение, а класс проверяет его по смыслу: "Не забывайте назвать единицу измерения и проверить, может ли ответ быть меньше нуля." | Решают: $125·3=375$, $375-86=289$, $289+140=429$. Формулируют ответ: "Стало 429 открыток". |
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Билет на выход»: "На маленьком листке ответьте на два вопроса: что означает позиционный принцип; какое действие вы будете проверять обратным действием? Затем оцените цель урока: достиг, почти достиг или нужна помощь." | Записывают: "Значение цифры зависит от её места в числе"; называют проверку сложения вычитанием, умножения делением или деления умножением. Сдают билет на выход. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы выяснили, почему положение цифры определяет её значение, научились раскладывать числа и применили четыре действия в практической задаче. Спасибо за внимательную работу и содержательные объяснения."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены разложение числа на разрядные слагаемые, все четыре вычисления и практическая задача; запись аккуратная, действие в задаче обосновано, выполнена проверка хотя бы одного вычисления.
- «4» — верно выполнены не менее четырёх из пяти заданий, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, ход решения практической задачи понятен.
- «3» — верно выполнены не менее трёх заданий, есть понимание разрядов и смысла арифметических действий, но допущены ошибки в вычислениях или записи задачи.
- Ниже отметки «3» — требуется индивидуальная отработка разрядного состава чисел и одного алгоритма арифметического действия с помощью учителя.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о значении цифры в записи числа? | Выявление понимания позиционного принципа десятичной системы. |
Какое задание оказалось самым сложным: разложение числа, вычисление или практическая задача? Почему? | Определение точки затруднения и планирование коррекционной работы. |
Как вы проверяли правильность вычислений? | Проверка освоения самоконтроля и обратных действий. |
Достигли ли вы цели урока? Что поможет достичь её полностью? | Формирование адекватной самооценки и учебного целеполагания. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы увидели, что в десятичной системе каждая цифра получает значение благодаря своему разряду. Мы научились раскладывать многозначные числа, выполнять действия с натуральными числами и выбирать действия в практической задаче. Особенно внимательно следите за записью нулевых разрядов: пропущенный ноль может изменить число в десять, сто и тысячу раз. Дома закрепите алгоритмы, а на следующем уроке продолжим применять их в более сложных выражениях и задачах."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания: разложить два многозначных натуральных числа на разрядные слагаемые, составить два числа по заданным разрядным слагаемым, решить по одному примеру на сложение и вычитание натуральных чисел. | Закрепляет понимание разрядного состава и алгоритмы сложения и вычитания; при проверке смотреть на совпадение разрядов и аккуратность записи. |
Средний (повышающий) | Решить 4 примера: по одному на сложение, вычитание, умножение и деление многозначных натуральных чисел, выполнить проверку двух результатов обратным действием. | Закрепляет вычислительные навыки и самоконтроль; при проверке учитывать правильность алгоритма, а не только конечный ответ. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить собственную практическую задачу с натуральными числами, в которой используются не менее трёх арифметических действий и встречается многозначное число; записать краткое объяснение выбора действий. | Развивает создание математической модели, функциональную грамотность и умение объяснять решение; при проверке смотреть на реалистичность условия, правильность выражения и ответа. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Почему система счисления называется десятичной?», «От чего зависит значение цифры?», «Как проверить результат умножения?», «Какие действия нужно выполнить в задаче про увеличение и уменьшение количества?»
