Теорема Евклида о бесконечности простых чисел
Цели и задачи
- Цель: к концу занятия учащиеся сформулируют утверждение о бесконечности множества простых чисел и объяснят доказательство Евклида, используя построение числа $N=p_1p_2...p_n+1$.
- Познакомить учащихся с понятием простого числа и идеей доказательства от противного на доступном для 5 класса уровне.
- Научить проверять, делится ли построенное число $N$ на известные простые числа, и формулировать вывод о существовании нового простого делителя.
- Развивать логическое, критическое и алгоритмическое мышление через парную исследовательскую работу и использование цифровой визуализации.
- Воспитывать интерес к истории математики, уважение к силе доказательства и готовность аргументированно представлять результат совместной работы.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к математике как к науке, способной отвечать на вопросы, возникающие из наблюдений.
- Осознают ценность доказательного рассуждения и понимают, что математическое утверждение требует обоснования.
- Проявляют готовность сотрудничать с одноклассником, распределять роли и уважительно обсуждать разные решения.
- Оценивают собственный вклад в работу пары и фиксируют затруднение без отказа от дальнейшего поиска.
Метапредметные
- Формулируют учебную проблему, выдвигают гипотезу и планируют последовательность проверки.
- Извлекают информацию из схемы, таблицы и цифровой модели, сравнивают результаты и делают вывод.
- Используют математическую речь для объяснения делимости, простого числа и логики доказательства.
- Осуществляют взаимопроверку по критериям, оценивают правильность рассуждения и корректируют ответ.
Предметные
- Знают определения простого и составного числа, понимают различие между конечным списком примеров и доказательством общего утверждения.
- Умеют составлять число $N$ как произведение всех перечисленных простых чисел плюс единица.
- Умеют объяснять, почему число $N$ не делится ни на одно простое число из исходного списка.
- Формулируют вывод: простых чисел бесконечно много, поскольку любой конечный список можно расширить новым простым делителем.
- Применяют идею Евклида к небольшим наборам простых чисел и объясняют результат в паре.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Проявляют смыслообразование через понимание того, зачем математике нужны доказательства, а не только вычисления.
- Осознают себя участниками общего поиска решения и оценивают значение собственного вопроса или предположения.
- Проявляют настойчивость при проверке гипотезы, которая не подтверждается первым примером.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель занятия: выяснить, заканчивается ли ряд простых чисел.
- Планируют действия: выбрать список, построить число, проверить делимость, сформулировать вывод.
- Сверяют вычисления с образцом, находят ошибку в знаке или умножении и исправляют её.
- Оценивают достижение цели с помощью листа самооценки и «билета на выход».
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки простого числа и отличают пример от общего доказательства.
- Строят математическую модель ситуации с помощью выражения $N=p_1p_2...p_n+1$.
- Анализируют делимость числа $N$ на каждый множитель исходного произведения.
- Используют цифровой калькулятор или интерактивную модель для проверки гипотезы, не заменяя проверкой доказательство.
Коммуникативные УУД
- Распределяют в паре роли вычислителя и объясняющего, затем меняются ролями.
- Задают уточняющие вопросы: «Почему остаток равен единице?» и «Откуда берётся новое простое число?».
- Аргументированно представляют вывод пары, используя математические термины.
- Принимают иной способ рассуждения и совместно исправляют неточность без конфликтного общения.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную доску с изображением «бесконечной дорожки» простых чисел, вопросом «Существует ли самое большое простое число?» и схемой доказательства.
- Распечатать карточки для пар: 15 карточек с наборами простых чисел, например $2,3,5$; $2,3,5,7$; $3,5,7$; и таблицей для вычислений.
- Подготовить по одному листу самооценки на каждого ученика с пунктами «Я знаю», «Я умею», «Мне нужно повторить».
- Подготовить интерактивную модель или таблицу, в которой можно вводить список простых чисел и вычислять $N=p_1p_2...p_n+1$.
- Вывести на доску определения простого и составного числа, а также памятку: «Произведение делится на каждый множитель; произведение плюс 1 при делении на множитель даёт остаток 1».
- Подготовить таймер, стикеры двух цветов и короткую музыкальную заставку для физкультминутки.
- Организовать рабочие места по парам, раздать каждой паре карандаш, линейку и карточку исследования.
- Подготовить проектор, ноутбук, интерактивную доску и резервный бумажный вариант задания на случай технического сбоя.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (4 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность и вызвать интерес к вопросу о количестве простых чисел.
Время | Действие учителя | Действие учеников | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем не просто считать, а проводить настоящее математическое расследование. Проверьте, что на столе есть тетрадь, ручка и карточка для исследования. Работать будем в парах, поэтому договоритесь, кто сначала будет вычислять, а кто — объяснять." | Проверяют готовность, садятся по парам, распределяют роли: «вычислитель» и «объясняющий».1 мин | Учитель показывает на экране ряд $2,3,5,7,11,13,17$ и спрашивает: "Что общего у этих чисел? Можно ли продолжить ряд? А можно ли когда-нибудь назвать последнее простое число? Сегодня нам предстоит не угадать, а доказать ответ." | Рассматривают ряд, называют простые числа, предполагают: «Ряд можно продолжать» или «Возможно, самое большое число существует».2 мин | Учитель объявляет проблемный вопрос: "Существует ли самое большое простое число? Запишите вопрос в тетрадь и рядом поставьте знак вопроса. В конце занятия мы вернёмся к нему и ответим уже с доказательством." | Записывают проблемный вопрос, формулируют первоначальную гипотезу и прикрепляют на доску зелёный или жёлтый стикер в зависимости от уверенности. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели много простых чисел, но список примеров ещё не доказывает бесконечность. Сначала вспомним, какими признаками обладают простые числа, а затем попробуем построить число, которое заставит нас продолжить список."
Этап 2. Актуализация знаний и физкультминутка (6 мин)
Цель этапа: восстановить понятия простого числа и делимости, снять напряжение и подготовить учащихся к построению нового рассуждения.
Время | Действие учителя | Действие учеников | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит приём «Математический светофор»: "Я буду показывать числа, а вы поднимайте зелёную карточку, если число простое, и жёлтую, если составное. После каждого ответа назовите причину. Числа: $1$, $2$, $9$, $13$, $15$, $17$. Помните: у простого числа ровно два делителя — единица и само число." | Поднимают карточки и объясняют: «1 не является простым числом», «2, 13 и 17 — простые», «9 и 15 — составные, потому что имеют дополнительные делители».2 мин | Учитель задаёт вопросы: "На какое число делится произведение $2\text{·}3\text{·}5$? Какой остаток получится, если к этому произведению прибавить единицу и разделить результат на 2, на 3 или на 5?" Учитель фиксирует ответы в таблице на доске. | Отвечают: «Произведение делится на 2, 3 и 5»; «После прибавления единицы остаток при делении на каждое из этих чисел равен 1».1 мин | Учитель проводит физкультминутку: "Встаньте. Если я называю простое число, поднимите руки вверх; если составное — выполните наклон вправо; если число 1 — хлопните один раз. Числа: 2, 4, 7, 10, 1, 11." | Выполняют движения по правилу, проговаривают классификацию чисел и возвращаются к работе. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили главное: произведение делится на каждый свой множитель, а прибавление единицы меняет остаток на 1. Теперь проверим, может ли эта простая идея помочь ответить на большой вопрос о простых числах."
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: подвести учащихся к необходимости общего доказательства, а не перебора примеров.
Время | Действие учителя | Действие учеников | ||
|---|---|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает ситуацию: "Представим, что кто-то утверждает: «Я выписал все простые числа. Больше простых чисел нет». Пусть в его списке находятся $p_1,p_2,...,p_n$. Как мы могли бы проверить это утверждение? Достаточно ли проверить ещё несколько чисел?" | Обсуждают в парах 30 секунд и формулируют: «Проверить все числа невозможно», «Нужен способ построить новое число».2 мин | Учитель записывает на доске план: "1. Предположить, что список простых чисел полный. 2. Построить специальное число. 3. Проверить делимость. 4. Сделать вывод." Учитель спрашивает: "Какую цель поставим на урок?" | Формулируют цель: «Доказать, что простых чисел бесконечно много, или найти ошибку в предположении о последнем простом числе». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "План исследования готов. Мы не будем искать простые числа бесконечно долго, а построим число, которое покажет, почему любой конечный список нельзя считать полным. Переходим к открытию идеи Евклида."
Этап 4. Открытие нового знания: идея Евклида (10 мин)
Цель этапа: самостоятельно вывести конструкцию Евклида и понять, почему она приводит к новому простому делителю.
Время | Действие учителя | Действие учеников | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточки и говорит: "Рассмотрите список $2,3,5$. Умножьте все числа и прибавьте 1. Получится $N=2·3·5+1=31$. Проверьте: делится ли 31 на 2, на 3 или на 5? Не ограничивайтесь ответом «нет» — назовите остаток при каждом делении." | Вычисляют $N=31$, выполняют проверки: $31:2$ даёт остаток 1, $31:3$ — остаток 1, $31:5$ — остаток 1. Делают запись: «31 не делится ни на одно число исходного списка».2 мин | Учитель задаёт вопрос: "Почему остаток во всех случаях равен 1? Посмотрите на выражение $N=2·3·5+1$. Что произойдёт при делении на 2? А на 3? А на 5?" | Объясняют: «Произведение делится на каждый множитель, поэтому после прибавления 1 остаток становится равным 1».2 мин | Учитель предлагает второй набор: "$2,3,5,7$. Постройте число $N=2·3·5·7+1$. Работайте в паре: один вычисляет, второй записывает объяснение. Затем поменяйтесь ролями." | Вычисляют $N=211$, проверяют делимость на 2, 3, 5 и 7, формулируют: «211 не делится ни на одно простое число из списка».3 мин | Учитель формулирует обобщение: "Если список простых чисел конечен, обозначим их $p_1,p_2,...,p_n$. Построим $N=p_1p_2...p_n+1$. При делении $N$ на любое число из списка остаток будет 1. Значит, ни одно число списка не является делителем $N$. Но каждое число, большее 1, имеет простой делитель. Следовательно, у $N$ есть новый простой делитель, которого не было в списке." | Записывают рассуждение по шагам, подчёркивают слова «конечный список», «остаток 1», «новый простой делитель», задают уточняющие вопросы. |
Запись в тетрадях
Определение: простое число имеет ровно два делителя: 1 и само себя. Идея Евклида: если перечислить любые простые числа $p_1,p_2,...,p_n$, то число $N=p_1p_2...p_n+1$ не делится ни на одно из них. Поэтому у $N$ есть простой делитель, отсутствующий в исходном списке. Вывод: простых чисел бесконечно много.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы построили число, которое не обязано само быть простым, но обязательно имеет простой делитель, отсутствующий в исходном списке. Именно это важно: любой конечный список можно расширить. Теперь проверим понимание доказательства на конкретных заданиях."
Этап 5. Первичное закрепление в парах с использованием ИКТ (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм Евклида через цифровую проверку и взаимное объяснение.
Время | Действие учителя | Действие учеников | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на интерактивной доске таблицу: «Исходный список», «Произведение», «Число $N$», «Новый простой делитель». Объясняет: "Введите в цифровой калькулятор или интерактивную модель числа из своей карточки. Цифровой инструмент помогает проверить вычисления, но вывод вы должны объяснить словами." | Открывают калькулятор или цифровую модель, вводят свой список, вычисляют произведение и число $N$, фиксируют результат в таблице.3 мин | Учитель предлагает задание: "Для списка $3,5,7$ постройте число $N$. Затем проверьте его делители. Если число составное, найдите хотя бы один простой делитель, которого нет в списке. Подготовьте устное объяснение по схеме: «Мы предположили..., построили..., получили..., значит...»." | В парах вычисляют $N=3·5·7+1=106$, находят простой делитель 2, отмечают, что 2 отсутствует в исходном списке, и готовят объяснение.2 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Обменяйтесь карточками с соседней парой. Проверьте четыре пункта: правильно ли построено произведение, прибавлена ли единица, указан ли остаток 1, сделан ли вывод о новом простом делителе." | Проверяют работу соседней пары, ставят по одному знаку «+» за каждый выполненный пункт, задают вопрос при расхождении и исправляют вычисления. |
Эталон решения
Для списка $3,5,7$: $3·5·7=105$; $N=105+1=106$. Число 106 не делится на 3, 5 и 7: при делении на каждый множитель остаток равен 1. При этом $106=2·53$, поэтому его простые делители — 2 и 53. Ни 2, ни 53 не входят в исходный список. Значит, список $3,5,7$ не является полным.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цифровая проверка подтвердила рассуждение, но само доказательство появилось не из таблицы, а из связи между произведением и остатком 1. Сейчас каждый самостоятельно покажет, понял ли он эту связь."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное понимание конструкции Евклида и умение формулировать логический вывод.
Время | Действие учителя | Действие учеников | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет уровни: "Выполните обязательное задание. Если справитесь раньше, выберите повышенный пункт. Сначала работайте самостоятельно, затем сравните решение с эталоном на экране." | Читают инструкцию, выбирают обязательный и, при готовности, повышенный уровень.4 мин | Учитель раздаёт задания: "Обязательный уровень: для списка $2,3,7$ постройте $N$, объясните, почему оно не делится на 2, 3 и 7, и укажите любой простой делитель числа $N$. Повышенный уровень: объясните, почему число $N$ не обязано само быть простым, но доказательство всё равно работает." | Решают индивидуально: получают $N=43$, записывают остаток 1 при делении на 2, 3 и 7, указывают, что 43 — новый простой делитель. В повышенном задании формулируют: «Важно наличие нового простого делителя, а не простота самого $N$».2 мин | Учитель выводит эталон: "$2·3·7=42$, $N=43$. Число 43 не делится на 2, 3 и 7, поэтому оно не входит в исходный список; в данном примере 43 простое. В общем случае $N$ может быть составным, но у него будет простой делитель вне списка." | Сверяют каждую строку, подчёркивают место, где объяснена причина остатка 1, исправляют ошибки.1 мин | Учитель проводит самооценку: "Поставьте в листе самооценки знак «+» напротив утверждения, которое можете объяснить без помощи: знаю определение простого числа; умею построить $N$; могу доказать бесконечность простых чисел." | Заполняют лист самооценки, отмечают один вопрос, который пока требует повторения. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы убедились, что алгоритм можно выполнить самостоятельно. Осталось собрать все шаги в единую формулировку теоремы и проверить, умеем ли мы объяснить её не только в тетради, но и устно."
Этап 7. Рефлексия и подведение итогов (6 мин)
Цель этапа: сформулировать итоговое доказательство, осознать результат и определить дальнейшие учебные шаги.
Время | Действие учителя | Действие учеников | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
2 мин | Учитель просит завершить фразы: "Сегодня я узнал...", "Главный шаг доказательства — это...", "Теперь я могу объяснить, почему..." Учитель принимает несколько ответов и возвращает класс к проблемному вопросу. | Формулируют: «Сегодня я узнал, что простых чисел бесконечно много»; «Главный шаг — построить произведение всех чисел списка и прибавить 1»; «Любой конечный список можно расширить».2 мин | Учитель проводит приём «Билет на выход»: "На отдельной половине листа ответьте на два вопроса: 1) Почему $N=p_1p_2...p_n+1$ не делится на $p_1$? 2) Как из этого следует бесконечность простых чисел?" | Письменно отвечают: «При делении произведения на $p_1$ остаток 0, после прибавления 1 — остаток 1»; «У $N$ есть новый простой делитель, поэтому исходный конечный список не был полным».2 мин | Учитель завершает: "Поднимите зелёный стикер, если можете пересказать доказательство, жёлтый — если понимаете идею, но путаетесь в формулировке, красный — если нужна совместная работа на следующем занятии. Спасибо за честную оценку." | Выбирают стикер, прикрепляют его к доске, сдают «билет на выход» и называют одно достижение занятия. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — правильно построено число $N$ для заданного списка, объяснено наличие остатка 1 при делении на каждый элемент списка, указан новый простой делитель или обоснено его существование, вывод о бесконечности простых чисел сформулирован полно.
- «4» — вычисления и основной вывод верны, но допущена одна неточность в записи делимости, остатка или формулировке этапа доказательства.
- «3» — построено число $N$ и выполнена часть проверок, но объяснение нового простого делителя неполное либо вывод сформулирован только с помощью учителя.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о количестве простых чисел? | Выявление осознания главного предметного результата занятия. |
Почему к произведению простых чисел прибавляют именно 1? | Проверка понимания механизма получения остатка 1. |
Какой шаг доказательства оказался самым трудным? | Выявление точки затруднения в логической цепочке. |
Можете ли вы пересказать доказательство товарищу без записи? | Оценка самостоятельности и качества математической речи. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы доказали удивительный факт: простых чисел бесконечно много. Мы увидели, что число $N$ не обязано быть простым само по себе; важно, что у него есть простой делитель, которого не было в исходном конечном списке. Типичная ошибка — думать, что достаточно проверить несколько примеров, но доказательство Евклида работает для любого конечного списка. На следующем занятии мы рассмотрим разложение составных чисел на простые множители и увидим, как простые числа становятся «кирпичиками» всех натуральных чисел."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 3 задания: для списков $2,3,5$; $2,5,11$; $3,7,11$ построить число $N$, проверить его делимость на элементы списка и записать вывод о новом простом делителе. | Закрепляет алгоритм Евклида; при проверке обратить внимание на правильность произведения, прибавление единицы и объяснение остатка 1. |
Средний (повышающий) | Составить собственный список из четырёх различных простых чисел, построить соответствующее $N$ и письменно объяснить, почему исходный список нельзя считать полным. | Развивает самостоятельное применение формулы и логическое доказательство; проверить наличие всех четырёх шагов рассуждения. |
Продвинутый (дополнительный) | Подготовить короткое устное сообщение на 5–7 предложений о том, чем отличается проверка нескольких примеров от доказательства общего утверждения, используя теорему Евклида. | Формирует математическую речь и метапредметное понимание доказательства; оценить точность терминов и связность аргументации. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как определяется простое число?», «Как записывается число Евклида для конечного списка простых чисел?», «Какой остаток получается при делении этого числа на любое простое число из списка?», «Почему из этого следует, что простых чисел бесконечно много?»
