Изображение многогранников. Многогранники
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться распознавать многогранники среди геометрических тел, называть их элементы и изображать простейшие многогранники на плоскости с учётом видимых и невидимых рёбер.
- Сформировать представление о многограннике как геометрическом теле, ограниченном многоугольниками, и ввести понятия «грань», «ребро», «вершина».
- Научить выделять элементы куба, прямоугольного параллелепипеда и треугольной призмы, а также изображать их схематично на клетчатой бумаге.
- Развивать пространственное воображение, умение сравнивать объекты, работать с моделью и объяснять ход рассуждения в паре.
- Воспитывать аккуратность при построении чертежей, ответственность за общий результат и интерес к математике через связь с архитектурой и окружающими предметами.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к исследованию геометрических форм в окружающем мире.
- Понимают ценность аккуратного чертежа и точного употребления математических терминов.
- Осознают необходимость сотрудничества и распределения ролей при выполнении задания в паре.
- Формируют положительную учебную мотивацию через самостоятельное открытие нового знания.
Метапредметные
- Извлекают информацию из рисунка, модели, таблицы и короткого учебного текста.
- Сравнивают геометрические тела по числу граней, рёбер и вершин.
- Планируют последовательность построения изображения многогранника и контролируют результат по образцу.
- Формулируют выводы, задают уточняющие вопросы и аргументируют ответ в парной работе.
- Используют интерактивную доску или графический редактор для рассмотрения и поворота модели многогранника.
Предметные
- Знать определение многогранника и названия его основных элементов: грань, ребро, вершина.
- Уметь отличать многогранники от тел, ограниченных кривыми поверхностями.
- Уметь находить и подсчитывать грани, рёбра и вершины куба и прямоугольного параллелепипеда.
- Уметь изображать многогранник на плоскости, обозначая видимые рёбра сплошными линиями, а невидимые — штриховыми.
- Владеть навыком описания многогранника по его модели или рисунку.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают смысл изучения многогранников через их присутствие в предметах быта, строительстве и технике.
- Проявляют готовность к самостоятельному поиску ответа на проблемный вопрос.
- Оценивают собственный вклад в парную работу и соблюдение правил аккуратного построения.
Регулятивные УУД
- Принимают учебную задачу: научиться узнавать и изображать многогранники.
- Планируют действия при построении изображения куба или параллелепипеда.
- Сверяют рисунок с критериями: форма, наличие граней, правильное обозначение невидимых рёбер.
- Находят и исправляют ошибки в собственном чертеже.
- Оценивают степень достижения цели с помощью листа самооценки и «светофора».
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки многогранника и его элементов.
- Классифицируют геометрические тела по виду поверхности.
- Моделируют многогранник из развёртки или предметной модели.
- Строят логическую цепочку: многоугольники — грани — многогранник.
- Используют рисунок и цифровую модель как источники математической информации.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: один ученик выполняет построение, другой контролирует последовательность.
- Формулируют ответ полным предложением с использованием терминов «грань», «ребро», «вершина».
- Задают вопросы партнёру и корректно предлагают исправления.
- Представляют результат парной работы классу и объясняют способ изображения.
- Согласуют общий вывод при расхождении мнений.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить модели куба, прямоугольного параллелепипеда, треугольной призмы, пирамиды и шара; разместить их на демонстрационном столе.
- Распечатать карточки с изображениями геометрических тел: по одной карточке на парту и по одному комплекту на каждую группу.
- Подготовить листы в клетку, линейки, простые карандаши и ластики для каждого ученика.
- Подготовить карточки трёх уровней самостоятельной работы: базовый, повышенный и творческий — по одной на каждого ученика.
- Вывести на интерактивную доску изображения куба и параллелепипеда с возможностью поворота цифровой модели.
- Заранее записать на доске тему, проблемный вопрос и памятку: «видимое ребро — сплошная линия; невидимое ребро — штриховая линия».
- Подготовить стикеры трёх цветов для приёма «Светофор» и лист самооценки на каждого ученика.
- Подготовить короткие фотографии предметов архитектуры и быта: коробка, кирпич, упаковка, дом, кристалл.
- Для физкультминутки освободить участок у парт и подготовить команды для безопасных движений без оборудования.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: создать рабочий настрой, вызвать интерес к теме и подвести учеников к наблюдению за формами предметов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, всё ли готово к работе: тетрадь, линейка, карандаш и ластик должны лежать перед вами. Сегодня нам особенно понадобятся внимательные глаза и умение представлять предмет не только спереди, но и с других сторон." | Проверяют принадлежности, готовят тетради и инструменты, формулируют: "Нужно быть внимательными и аккуратными". |
2 мин | Учитель показывает коробку, кубик и мяч: "Посмотрите на эти предметы. Чем отличаются их поверхности? У какого предмета есть плоские стороны, а у какого поверхность округлая? Сегодня мы выясним, как называются тела с плоскими многоугольными сторонами и как их изображают на бумаге." | Рассматривают предметы, обсуждают их в парах 30 секунд и отвечают: "У коробки и кубика плоские стороны, у мяча поверхность округлая". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что предметы могут иметь плоские и кривые поверхности. Сейчас вспомним геометрические фигуры, из которых могут состоять плоские стороны объёмного тела."
Этап 2. Актуализация знаний и работа в парах (5 мин)
Цель этапа: актуализировать знания о многоугольниках и подготовить понятия для описания многогранника.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточки с квадратом, прямоугольником, треугольником, кругом и овалом: "Разложите фигуры на две группы по признаку, который поможет нам сегодня. Обсудите решение и подготовьте объяснение." | Распределяют карточки на группы, формулируют: "Многоугольники имеют стороны и вершины, круг и овал сторон и вершин не имеют". |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Что называют многоугольником? Как называются его стороны и точки соединения сторон? Сколько сторон и вершин у треугольника? У прямоугольника?" Приём «Подумай — обсуди в паре — поделись». | Сначала записывают ответ мысленно, затем обсуждают с партнёром и сообщают: "У многоугольника есть стороны и вершины; у треугольника три стороны и три вершины; у прямоугольника четыре стороны и четыре вершины". |
1 мин | Учитель показывает на доске несколько плоских многоугольников: "Предположите, что получится, если соединить несколько многоугольников так, чтобы они ограничили объёмное тело." | Высказывают гипотезы: "Получится коробка, объёмное тело, многогранник". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что многоугольник состоит из сторон и вершин. Теперь проверим, как эти знакомые фигуры превращаются в элементы объёмного тела."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение при изображении объёмного тела и сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель рисует на доске квадрат и рядом изображает объёмную коробку: "Можно ли одним квадратом показать коробку? Почему зритель должен понять, что перед ним не плоская фигура, а объёмное тело? Какие линии нам необходимо добавить?" | Сравнивают рисунки и отвечают: "Одного квадрата недостаточно; нужно показать боковые стороны и рёбра, уходящие в глубину". |
2 мин | Учитель фиксирует проблемный вопрос: «Как распознать многогранник и правильно изобразить его на плоскости?» Затем предлагает: "Составьте план урока из трёх шагов: что узнаем, что найдём на модели, чему научимся при построении." | Формулируют цель: "Узнаем, что такое многогранник, найдём его элементы и научимся изображать многогранники, показывая видимые и невидимые рёбра". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель поставлена: от определения и элементов мы перейдём к практическому изображению. Начнём с исследования моделей."
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 4. Открытие нового знания: исследование моделей и ИКТ (10 мин)
Цель этапа: сформировать понятие многогранника и научить выделять его грани, рёбра и вершины.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель демонстрирует куб и цифровую модель на интерактивной доске: "Рассмотрите куб. Его поверхность составлена из плоских многоугольников. Такие многоугольники называют гранями. Линия, по которой встречаются две грани, называется ребром, а точка встречи рёбер — вершиной. Повторите определения, проводя пальцем по модели." | Рассматривают модель, показывают шесть граней, проводят пальцем по рёбрам и называют вершины. Повторяют: "Грань — многоугольник на поверхности тела; ребро — общая сторона двух граней; вершина — точка встречи рёбер". |
3 мин | Учитель поворачивает на экране прямоугольный параллелепипед: "Изменилось ли число элементов? Сравните куб и прямоугольный параллелепипед. Что у них общего? Чем они отличаются?" | Работают в парах, заполняют устно сравнение: "У обоих по 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин; у куба все грани — квадраты, у параллелепипеда — прямоугольники". |
2 мин | Учитель показывает треугольную призму и шар: "У какого тела поверхность состоит только из многоугольников? У какого есть криволинейная поверхность? Сделайте вывод, какие тела называют многогранниками." | Сравнивают модели и отвечают: "Куб, параллелепипед, призма и пирамида — многогранники; шар не является многогранником, потому что у него нет плоских граней". |
2 мин | Учитель записывает на доске определение: "Многогранник — геометрическое тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников. Эти многоугольники — грани многогранника." Учитель просит привести примеры из жизни. | Записывают определение и приводят примеры: "коробка, кирпич, упаковка, часть здания, игральная кость". |
Запись в тетрадях
Многогранник — геометрическое тело, поверхность которого состоит из многоугольников. Элементы многогранника: грани, рёбра, вершины. Примеры: куб, прямоугольный параллелепипед, призма, пирамида.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь мы умеем распознавать многогранник и называть его элементы. Осталось научиться передавать объём на плоском листе, не забывая о рёбрах, которые скрыты от наблюдателя."
Этап 5. Физкультминутка «Поверни многогранник» (2 мин)
Цель этапа: снять зрительное и статическое напряжение, закрепить представление о разных гранях и направлениях рёбер.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит физкультминутку: "Встаньте рядом с партой. Представьте, что держите куб. Поворот вправо — показываем его правую грань, поворот влево — левую. Поднимите руки вверх — ищем верхнюю грань, присядьте — мысленно смотрим на нижнюю. Теперь пальцами в воздухе покажите ребро, а соединением ладоней обозначьте две грани." | Выполняют движения без перемещения по классу, называют: "правая грань, левая грань, верхняя грань, ребро". Возвращаются к рабочим местам и готовят линейки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы мысленно повернули тело и увидели разные его стороны. Теперь перенесём это пространственное представление в точный чертёж."
Этап 6. Первичное закрепление: изображение куба (8 мин)
Цель этапа: освоить алгоритм изображения многогранника на плоскости с обозначением видимых и невидимых рёбер.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает на доске алгоритм: "Сначала нарисуем переднюю грань куба — квадрат. Затем проведём от его вершин одинаково направленные отрезки, чтобы показать глубину. Соединим свободные концы. Видимые рёбра проведём сплошной линией, а скрытые — штриховой. Посмотрите, какие рёбра окажутся внутри рисунка." | Следят за построением, называют последовательность: "Передняя грань, рёбра в глубину, задняя грань, невидимые рёбра штриховой линией". |
3 мин | Учитель раздаёт листы в клетку: "Постройте куб по алгоритму. Работайте в паре: один строит, другой проверяет наличие шести граней, двенадцати рёбер и восьми вершин на модели и правильность штриховых линий." | Строят куб в тетради по клеткам, сверяют рисунок с алгоритмом, исправляют слишком длинные или пересекающиеся линии. |
2 мин | Учитель показывает типичную ошибку — куб без невидимых рёбер: "Что потерялось в таком рисунке? Как доказать, что перед нами объёмное тело?" | Находят ошибку и отвечают: "Не показана часть рёбер, поэтому непонятна задняя грань. Невидимые рёбра нужно обозначить штриховой линией". |
Эталон решения
1. Построить квадрат передней грани. 2. Из трёх его вершин провести равные параллельные отрезки в одном направлении. 3. Соединить концы отрезков, получив заднюю грань. 4. Рёбра, видимые наблюдателю, оставить сплошными. 5. Рёбра, скрытые передней гранью, провести штриховыми линиями. 6. Проверить, что изображение передаёт объём куба и не содержит лишних линий.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы построили куб и проверили его по алгоритму. Сейчас каждый самостоятельно покажет, насколько уверенно умеет распознавать элементы и применять новый способ изображения."
Этап 7. Самостоятельная работа с самопроверкой и парной проверкой (7 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное понимание определения, элементов многогранника и способа изображения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней. Базовый вариант: "Подпишите на рисунке куба грани, рёбра и вершины; назовите число граней, рёбер и вершин". Повышенный вариант: "Изобразите прямоугольный параллелепипед и выделите штриховыми линиями невидимые рёбра". Творческий вариант: "Предложите предмет быта, имеющий форму многогранника, и схематично изобразите его". | Индивидуально выполняют выбранный вариант, подписывают элементы, считают их или строят изображение. При затруднении используют памятку на доске. |
2 мин | Учитель открывает эталон на экране: изображение куба с выделенными элементами и краткие ответы. Инструктирует: "Проверьте работу карандашом. За каждое верное действие поставьте плюс, ошибку исправьте рядом, а не стирайте сразу." | Сверяют ответы с эталоном, исправляют ошибки, подсчитывают количество верных пунктов. |
1 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Обменяйтесь работами с соседом. Назовите две сильные стороны и одно пожелание по приёму «Две звезды и пожелание»." | Проверяют работу партнёра по критериям, записывают два достоинства и один конкретный совет: "точно подписаны вершины; аккуратно проведены рёбра; проверь штриховую линию". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что большинство уже умеет находить элементы многогранника. В конце свяжем новое знание с предметами вокруг нас и проверим, достигли ли мы поставленной цели."
Этап 8. Включение в систему знаний и межпредметная связь (3 мин)
Цель этапа: применить понятие многогранника в жизненном и межпредметном контексте.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает фотографии коробки, кирпичной кладки, кристалла соли и здания: "Где здесь математика встречается с технологией, изобразительным искусством и естествознанием? Почему архитектору или дизайнеру важно уметь видеть грани и рёбра? Выберите один объект и опишите его как многогранник." | Выбирают объект, называют его форму и элементы: "Коробка похожа на прямоугольный параллелепипед; у неё плоские прямоугольные грани, рёбра и вершины". Формулируют связь: "Чертёж помогает представить форму предмета до его изготовления". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Многогранники нужны не только в учебной задаче: они помогают описывать упаковку, здания, кристаллы и детали машин. Завершим урок короткой рефлексией и проверим, что осталось непонятным."
Этап 9. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: осмыслить новый способ действия, выявить затруднения и объяснить домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель предлагает приём «Светофор»: "Поднимите зелёный стикер, если вы можете объяснить, что такое многогранник, жёлтый — если нужна тренировка, красный — если пока трудно. Теперь завершите фразу: «Сегодня я научился…»" | Поднимают стикер, дополняют фразу: "Сегодня я научился находить грани, рёбра и вершины" или "изображать невидимые рёбра штриховой линией". |
1 мин | Учитель задаёт контрольные вопросы: "Что называют многогранником? Как связаны грань и ребро? Чем на рисунке обозначают невидимое ребро?" | Отвечают: "Многогранник ограничен многоугольниками; ребро является общей стороной двух граней; невидимое ребро обозначают штриховой линией". |
1 мин | Учитель объясняет домашнее задание: "Выберите уровень по своим результатам. В каждом варианте важно не только получить рисунок, но и подписать элементы и проверить аккуратность." | Записывают выбранный уровень и уточняют условия задания. |
Запись в тетрадях: многогранник — тело, поверхность которого состоит из многоугольников; его элементы — грани, рёбра, вершины.
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнено всё задание выбранной карточки: правильно распознан многогранник, корректно названы или подсчитаны элементы, изображение аккуратное, видимые и невидимые рёбра обозначены правильно.
- «4» — основное задание выполнено верно, но допущена одна неточность в подсчёте элементов, подписи или обозначении штрихового ребра; ошибка самостоятельно исправлена после проверки.
- «3» — распознан многогранник и названы хотя бы два его элемента, но имеются две-три ошибки в подсчёте или построении, часть рисунка требует помощи учителя.
- Ниже «3» — определение многогранника не усвоено, элементы смешиваются, изображение не передаёт объём; требуется повторная работа по образцу.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о многогранниках? | Выявление осознания определения и основных элементов тела. |
Как отличить грань, ребро и вершину на модели куба? | Проверка понимания взаимосвязи элементов. |
Что было самым сложным при изображении куба? | Выявление затруднений в алгоритме построения и обозначении невидимых рёбер. |
Какой предмет вокруг вас можно описать как многогранник? | Проверка переноса знания в жизненный и межпредметный контекст. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы выяснили, что многогранник — это объёмное тело, поверхность которого состоит из многоугольников. Мы научились различать его грани, рёбра и вершины и изображать куб так, чтобы были понятны видимые и невидимые части. Самая частая ошибка — забыть о штриховых рёбрах или провести их не в том направлении, поэтому всегда проверяйте рисунок по алгоритму. Дома вы закрепите построение и попробуете увидеть многогранники в окружающих предметах. На следующем уроке мы продолжим работу с объёмными телами и их свойствами."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания на распознавание многогранников среди геометрических тел; для двух выбранных тел назвать грани, рёбра и вершины; изобразить куб с правильным обозначением невидимых рёбер. | Закрепляет определение многогранника и основные элементы. При проверке смотреть на точность терминов, подсчёт элементов и наличие штриховых линий. |
Средний (повышающий) | Решить 4–5 заданий на сравнение куба и прямоугольного параллелепипеда; построить изображение параллелепипеда и подписать его видимые и невидимые рёбра. | Развивает умение сравнивать тела и переносить алгоритм изображения на новую модель. При проверке обратить внимание на параллельность и аккуратность рёбер. |
Продвинутый (дополнительный) | Создать рисунок предмета архитектуры или быта в форме многогранника, выделить на нём несколько граней, рёбер и вершин и составить короткое описание из 5–6 предложений. | Формирует пространственное воображение, функциональную грамотность и умение применять математические понятия в реальном контексте. При проверке оценить обоснованность выбора формы и правильность терминов. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Что такое многогранник? Какие три основных элемента у него выделяют? Как на рисунке показать ребро, которое не видно? Назовите один многогранник и один предмет, имеющий похожую форму».
