Доли и дроби: как записывать и сравнивать части целого
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться делить целое на равные части, записывать полученные доли обыкновенными дробями и объяснять смысл числителя и знаменателя на моделях и в жизненных ситуациях.
- Сформировать представление о доле как одной или нескольких равных частях целого и познакомить с записью дроби.
- Научиться определять знаменатель и числитель дроби, объяснять их значение и читать простейшие дроби.
- Развивать умение моделировать дроби с помощью рисунков, полосок и кругов, сравнивать доли одного целого.
- Воспитывать аккуратность при выполнении математических записей, готовность сотрудничать и проверять результат по образцу.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к математике через связь дробей с делением пиццы, шоколадки и других предметов на части.
- Понимают ценность точности и справедливого распределения целого на равные части.
- Осознают необходимость проверять, действительно ли части целого равны.
- Развивают уверенность в собственных действиях при переходе от наглядной модели к математической записи.
Метапредметные
- Извлекают информацию из рисунка, схемы и условия практической задачи.
- Составляют план действий: определить число равных частей, выбрать нужные части, записать дробь.
- Сравнивают разные модели одной и той же дроби и формулируют вывод.
- Работают в паре, аргументируют ответ и корректно принимают замечания.
- Осуществляют самопроверку по эталону и исправляют обнаруженные ошибки.
Предметные
- Знать понятия «целое», «доля», «обыкновенная дробь», «числитель», «знаменатель».
- Уметь делить отрезок, круг или прямоугольник на равные части.
- Уметь записывать долю и несколько долей дробью вида $\frac{a}{b}$.
- Уметь читать дроби и объяснять, сколько равных частей взято из целого.
- Уметь сравнивать доли одного целого по их моделям и делать вывод о размере доли.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения дробей через ситуации распределения предметов и продуктов.
- Проявляют ответственность за точность выполнения рисунка и записи.
- Оценивают собственную готовность применять новое правило в практической задаче.
- Сохраняют учебную мотивацию при переходе от наглядного примера к абстрактной записи.
Регулятивные УУД
- Принимают учебную цель и формулируют последовательность действий для её достижения.
- Планируют выполнение задания по модели и словесному алгоритму.
- Сверяют свою запись с эталоном, находят и исправляют ошибку.
- Оценивают результат с помощью сигнальных карточек и формулируют, какая помощь необходима.
Познавательные УУД
- Выделяют существенный признак доли: равенство частей целого.
- Классифицируют изображения по числу равных частей.
- Устанавливают связь между рисунком, словесным описанием и дробной записью.
- Моделируют дробь с помощью отрезка, круга или прямоугольника.
- Формулируют вывод о зависимости размера доли от числа равных частей.
Коммуникативные УУД
- Взаимодействуют с партнёром при обсуждении модели дроби.
- Задают уточняющие вопросы: «На сколько равных частей разделили?», «Сколько частей взяли?».
- Аргументируют выбор числителя и знаменателя.
- Слушают ответ одноклассника и дополняют его без перебивания.
- Договариваются о единой записи результата в паре.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или изображения шоколадки, пиццы и яблока, разделённых на равные и неравные части.
- Распечатать по одному комплекту на парту: три прямоугольные полоски, круг и карточку с заданиями для одной практической работы.
- Подготовить сигнальные карточки зелёного, жёлтого и красного цвета по одной на ученика.
- Вывести на доску пустую схему дроби: горизонтальная черта, место для числителя и знаменателя.
- Подготовить магнитные или бумажные карточки со словами «целое», «равные части», «числитель», «знаменатель».
- Распечатать эталон решения практической работы по одному экземпляру на ученика или вывести его на экран после выполнения.
- Подготовить цветные карандаши, линейки и тетради в клетку.
- Организовать на доске место для алгоритма: 1) определить число равных частей; 2) определить число выбранных частей; 3) записать дробь; 4) прочитать дробь.
- Проверить наличие проектора или интерактивной доски; при отсутствии оборудования использовать заранее подготовленные плакаты.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: создать эмоциональный настрой, включить учащихся в учебную деятельность и подвести их к проблеме справедливого деления целого.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность к уроку: на столе должны быть тетрадь, ручка, линейка и цветные карандаши. Сегодня нам понадобятся внимательные глаза, точные руки и умение объяснять свои мысли." Учитель показывает на экране изображение шоколадки. | Проверяют принадлежности, записывают дату, рассматривают изображение шоколадки и готовятся к работе. |
2 мин | Учитель использует приём «Проблемный вопрос»: "Представьте, что одну шоколадку нужно честно разделить между четырьмя детьми. Можно ли просто отломить четыре кусочка? Что обязательно должно быть выполнено, чтобы деление было справедливым?" Учитель фиксирует на доске слова «целое» и «равные части». | Обсуждают ситуацию и отвечают: «Шоколадку нужно разделить на четыре одинаковые части», «Все части должны быть равными», «Нужно знать, сколько частей взяли». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что для честного деления важно не только получить несколько кусочков, но и убедиться, что они равные. Сегодня мы узнаем, как на языке математики записывают такие части целого."
Этап 2. Актуализация знаний и выявление затруднения (6 мин)
Цель этапа: актуализировать представления о делении целого на равные части и обнаружить необходимость специальной записи долей.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает три рисунка: круг, разделённый на четыре равные части; прямоугольник, разделённый на три равные части; фигуру с неравными частями. Говорит: "Рассмотрите рисунки. Поднимите зелёную карточку, если фигура разделена на равные части, и красную, если части неравные. Объясните один выбор." | Поднимают карточки, определяют равные и неравные части, объясняют: «В первом рисунке части равные, потому что имеют одинаковый размер», «В третьем рисунке одна часть больше другой». |
3 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сначала самостоятельно подумайте, как словами описать закрашенную часть каждой фигуры. Затем обсудите ответ с соседом и предложите точную формулировку классу. Можно сказать: одна часть из четырёх, две части из трёх и так далее." Учитель записывает детские формулировки. | Называют части словами: «одна из четырёх», «две из трёх», сравнивают варианты с ответом партнёра и формулируют: «Нам нужно коротко записывать число равных частей и число выбранных частей». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы умеем определять равные части и описывать их словами, но словесная запись получается длинной. Значит, нам нужна краткая математическая запись и понятный способ её чтения."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную проблему, цель урока и последовательность действий по открытию нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске словесную фразу «две части из пяти» и спрашивает: "Как сделать эту запись короче, чтобы любой математик понял её одинаково? Какие сведения обязательно нужно сохранить?" Учитель принимает гипотезы и не сообщает готовое правило. | Предлагают варианты, рассуждают: «Нужно записать число всех частей и число выбранных частей», «Можно использовать два числа и специальную черту». |
2 мин | Учитель обращается к классу: "Сформулируйте цель урока. Начните со слов: «Научиться…». Затем составим план: сначала разделим целое на равные части, потом определим выбранные части, затем запишем и прочитаем новую запись." Учитель фиксирует цель и план на доске. | Формулируют цель: «Научиться записывать части целого дробями и объяснять такую запись». Повторяют план действий и записывают тему урока в тетрадь. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: от модели и словесного описания мы должны перейти к дроби. Теперь откроем правило не по готовому сообщению, а через собственное наблюдение."
Этап 4. Открытие нового знания (9 мин)
Цель этапа: вывести смысл числителя и знаменателя через работу с наглядной моделью и сформулировать правило записи дроби.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт каждой паре прямоугольную полоску: "Разделите полоску линейкой на четыре равные части. Одну часть закрасьте. Сколько всего равных частей получилось? Сколько частей закрашено?" Учитель показывает образец деления на доске, подчёркивая равенство отрезков. | В парах делят полоску на четыре равные части, одну часть закрашивают, отвечают: «Всего четыре части, закрашена одна». |
3 мин | Учитель записывает на доске $\frac{1}{4}$ и говорит: "Эта запись называется дробью. Число под чертой показывает, на сколько равных частей разделили целое. Оно называется знаменателем. Число над чертой показывает, сколько таких частей взяли. Оно называется числителем. Прочитаем дробь: одна четвертая." Учитель показывает стрелками связь между рисунком и числами. | Рассматривают модель, подписывают под рисунком число 4, над чертой число 1, проговаривают: «Знаменатель — 4, потому что целое разделили на четыре части; числитель — 1, потому что взяли одну часть». |
3 мин | Учитель меняет модель: "Теперь разделим полоску на пять равных частей и закрасим две. Какой будет дробь? Объясните каждый элемент записи. Не называйте только ответ — назовите знаменатель и числитель." Учитель записывает правильный вариант после обсуждения. | Делят вторую полоску на пять равных частей, закрашивают две, записывают $\frac{2}{5}$ и объясняют: «5 — знаменатель, потому что всего пять равных частей; 2 — числитель, потому что закрашены две части». |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «Дробь показывает, сколько равных частей целого взято. Знаменатель показывает число равных частей, на которые разделили целое. Числитель показывает число взятых частей. Дробь $\frac{a}{b}$ читают: «а таких частей из b»».
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы установили, что нижнее число отвечает на вопрос «на сколько частей разделили?», а верхнее — «сколько частей взяли?». Проверим новое правило на нескольких моделях и научимся пользоваться им без подсказки."
Этап 5. Первичное закрепление с проговариванием (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм определения числителя и знаменателя на моделях и в устных ответах.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает на экране три модели: круг, разделённый на 3 части с одной закрашенной; прямоугольник, разделённый на 6 частей с четырьмя закрашенными; отрезок, разделённый на 8 равных частей с пятью выделенными. Говорит: "Работаем по алгоритму. Для каждой модели назовите число всех равных частей, число выделенных частей, дробь и её чтение." | По очереди называют: «Одна треть», «четыре шестых», «пять восьмых», объясняют расположение числителя и знаменателя. |
2 мин | Учитель проводит игру «Математический светофор»: "Если я называю верное утверждение, поднимите зелёную карточку, если неверное — красную, а затем исправьте ошибку. Знаменатель показывает, сколько частей взяли. В дроби $\frac{3}{7}$ числитель равен 3. В дроби $\frac{1}{4}$ целое разделили на четыре равные части." | Поднимают карточки, исправляют ошибку: «Первое утверждение неверное: знаменатель показывает, на сколько равных частей разделили целое». Подтверждают два следующих утверждения. |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Почему нельзя разделить круг на неравные части и назвать одну из них одной третью? Что изменится, если увеличить число равных частей, оставив одну выбранную часть?" | Отвечают: «Потому что доли должны быть равными», «При большем числе частей одна доля становится меньше», формулируют вывод о размере доли. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм работает: сначала проверяем равенство частей, затем считаем все части и выбранные части, после этого записываем и читаем дробь. Теперь каждый выполнит одну практическую работу самостоятельно и сможет проверить себя по эталону."
Этап 6. Самостоятельная практическая работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: применить новое знание самостоятельно в едином практическом задании и выполнить самопроверку по критериям.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточку с одной практической работой: "На карточке изображены три одинаковые полоски. В первой закрасьте одну из трёх равных частей и запишите дробь. Во второй разделите полоску на пять равных частей, закрасьте две и запишите дробь. В третьей разделите полоску на шесть равных частей, закрасьте четыре и запишите дробь. Для каждой записи подпишите числитель, знаменатель и прочитайте дробь." Учитель напоминает критерии аккуратности. | Читают условие, уточняют непонятные слова, выполняют три части одной практической работы: делят модели, закрашивают, записывают и читают дроби. |
5 мин | Учитель напоминает: "Работаем индивидуально. Сначала выполните рисунок по линейке, затем поставьте числа в дроби и только после этого подпишите их названия. Если сомневаетесь, задайте себе два вопроса: «На сколько частей разделено целое?» и «Сколько частей выбрано?»" Учитель наблюдает, оказывает адресную помощь, не сообщая готовый ответ. | Самостоятельно выполняют задание, сверяют каждую запись с рисунком, исправляют неравные части или неверное расположение числителя и знаменателя. |
3 мин | Учитель выводит эталон: "Проверьте работу по порядку. В первой модели должна получиться дробь $\frac{1}{3}$, во второй — $\frac{2}{5}$, в третьей — $\frac{4}{6}$. За каждую модель поставьте знак «+», если рисунок и запись совпали, или «?», если нужно исправление." | Проверяют три результата, ставят отметки самопроверки, исправляют ошибки цветным карандашом и формулируют причину ошибки. |
Эталон решения
1) Целое разделено на 3 равные части, выбрана 1 часть, поэтому дробь $\frac{1}{3}$; числитель равен 1, знаменатель равен 3. 2) Целое разделено на 5 равных частей, выбраны 2 части, поэтому дробь $\frac{2}{5}$; числитель равен 2, знаменатель равен 5. 3) Целое разделено на 6 равных частей, выбраны 4 части, поэтому дробь $\frac{4}{6}$; числитель равен 4, знаменатель равен 6.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы применили правило самостоятельно и увидели, что дробь всегда связана с моделью целого. Ошибки чаще всего возникают, когда путают верхнее и нижнее число или делят целое на неравные части. Включим новое знание в жизненную ситуацию и проверим, можем ли мы объяснить его другому человеку."
Этап 7. Включение знания в систему и рефлексия (6 мин)
Цель этапа: связать понятие дроби с реальной ситуацией, обобщить алгоритм и осознать результат обучения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает ситуацию: "На праздничном столе пирог разделили на 8 равных кусочков. Семья съела 3 кусочка. Какую часть пирога съели? Какую часть пирога оставили? Объясните, что показывает каждое число в вашей дроби." Учитель предлагает обсудить ответ в парах 1 минуту. | Записывают дробь съеденной части $\frac{3}{8}$, называют числитель и знаменатель, формулируют: «Съели три из восьми равных частей». |
3 мин | Учитель использует приём «Одноминутная бумага»: "За одну минуту допишите три фразы: «Сегодня я узнал…», «Теперь я умею…», «Мне ещё нужно потренироваться…». Затем покажите карточку: зелёная — могу объяснить дробь, жёлтая — иногда путаюсь, красная — нужна помощь." | Заполняют три фразы, поднимают карточку самооценки, называют один способ проверить правильность дроби. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы прошли путь от разделения шоколадки и пирога до математической записи. Вы научились видеть в дроби число всех равных частей и число выбранных частей. Дома закрепите алгоритм на новых примерах и подготовьтесь сравнивать дроби на следующих уроках."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — все три модели разделены на равные части, правильно записаны дроби $\frac{1}{3}$, $\frac{2}{5}$ и $\frac{4}{6}$, верно указаны числители и знаменатели, чтение дробей выполнено без ошибок.
- «4» — правильно выполнены две модели из трёх либо допущена одна неточность в объяснении числителя или знаменателя, но общий алгоритм понятен.
- «3» — правильно выполнена хотя бы одна модель, однако допущены ошибки в делении на равные части или в расположении числителя и знаменателя; после подсказки ученик исправляет работу.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о числителе и знаменателе? | Выявление осознания смысла двух частей записи дроби. |
Какой вопрос нужно задать себе, чтобы правильно определить знаменатель? | Проверка понимания алгоритма выбора нижнего числа. |
В каком месте практической работы вы испытывали затруднение? | Выявление точек затруднения: деление модели, запись или чтение дроби. |
Сможете ли вы объяснить дробь младшему школьнику на примере пирога? | Оценка глубины понимания и способности применять знание в жизненном контексте. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились описывать часть целого с помощью дроби. Запомните главное: знаменатель показывает, на сколько равных частей разделили целое, а числитель — сколько частей взяли. Типичная ошибка — поменять эти числа местами или забыть, что части должны быть равными. На следующем уроке мы будем сравнивать дроби и устанавливать, какая доля больше или меньше."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания на чтение и запись дробей: по изображениям целого, разделённого на 3, 4, 5 и 8 равных частей, записать выделенные доли, назвать числитель и знаменатель. | Закрепляет связь между моделью и дробной записью; при проверке обратить внимание на равенство частей и правильное расположение чисел. |
Средний (повышающий) | Составить и решить 3 жизненные ситуации о долях: доля съеденного пирога, выпитого сока и раскрашенной части рисунка. Для каждой ситуации сделать модель и записать дробь. | Развивает применение понятия в реальном контексте; проверить наличие условия, рисунка, дроби и объяснения её элементов. |
Продвинутый (дополнительный) | Создать собственную карточку-загадку: изобразить целое, разделённое на равные части, выделить несколько частей и предложить однокласснику определить дробь, её числитель и знаменатель. | Развивает моделирование и создание математического задания; при проверке оценить точность модели, однозначность условия и корректность ответа. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Что показывает знаменатель? Что показывает числитель? Почему части целого должны быть равными? Как записать дробью две части из пяти?»
