Распределительный закон умножения
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока учащиеся сформулируют распределительный закон умножения, научатся раскрывать скобки и выносить общий множитель, а также применят правило при решении не менее четырёх выражений с точностью не менее 80%.
- Сформировать представление о распределительном законе умножения относительно сложения и вычитания и научить записывать его буквенную формулу.
- Научить применять закон для упрощения вычислений и преобразования числовых выражений.
- Развивать умение сравнивать способы вычисления, объяснять выбор действия и находить ошибку в готовом решении.
- Формировать навыки сотрудничества в паре, самоконтроля и использования цифровой визуализации математического правила.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают ценность рационального и точного вычисления в учебных и жизненных ситуациях.
- Проявляют интерес к поиску более удобного способа решения математической задачи.
- Понимают значение взаимопомощи и корректного обсуждения решения с одноклассником.
- Формируют ответственное отношение к проверке результата и исправлению собственной ошибки.
Метапредметные
- Выделяют существенные признаки распределительного закона и формулируют правило на основе нескольких примеров.
- Сравнивают два способа вычисления, устанавливают закономерность и делают вывод.
- Планируют последовательность действий при раскрытии скобок и проверяют полученный результат.
- Работают с математической информацией на экране, формулируют ответ и аргументируют его в паре.
Предметные
- Знать распределительный закон умножения относительно сложения и вычитания: $a(b+c)=ab+ac$, $a(b-c)=ab-ac$.
- Уметь раскрывать скобки в выражениях вида $a(b+c)$ и $a(b-c)$.
- Уметь выносить общий множитель за скобки в выражениях вида $ab+ac$ и $ab-ac$.
- Уметь применять закон для устных и письменных вычислений, например $7\cdot 18=7\cdot(20-2)$.
- Уметь выполнять проверку преобразования обратным действием или вычислением исходного выражения.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают учебную задачу как поиск удобного способа вычисления.
- Проявляют готовность спокойно принимать ошибку и использовать её для коррекции решения.
- Оценивают личный вклад в совместную работу пары.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе возникшего затруднения.
- Планируют алгоритм раскрытия скобок и придерживаются его при выполнении задания.
- Сверяют решение с эталоном, находят и исправляют ошибку.
- Оценивают степень освоения правила с помощью листа самооценки и сигнальных карточек.
Познавательные УУД
- Сравнивают результаты вычисления одного выражения разными способами.
- Моделируют распределение количества предметов между группами и переводят модель в математическую запись.
- Выявляют общий множитель в сумме или разности произведений.
- Используют экранную схему и математическую запись для построения вывода.
Коммуникативные УУД
- Обсуждают решение в паре, задают уточняющие вопросы и договариваются о едином ответе.
- Объясняют партнёру порядок раскрытия скобок, используя математические термины.
- Корректно оценивают решение одноклассника по заданному критерию.
- Представляют общий вывод пары классу.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную доску с моделью: 3 ряда по 7 красных и 3 ряда по 2 синих квадрата, а также с примерами $3(7+2)$ и $3\cdot7+3\cdot2$.
- Распечатать карточки трёх уровней: базовые выражения на раскрытие скобок, задания на вычисление удобным способом и задания на поиск ошибки — по одной карточке на каждого ученика.
- Подготовить карточки зелёного, жёлтого и красного цвета для сигнала понимания — по три карточки на парту.
- Подготовить лист самооценки с пунктами «Я знаю правило», «Я раскрываю скобки», «Я могу объяснить решение».
- Вывести на доску памятку-алгоритм: умножить общий множитель на каждый член в скобках; сохранить знаки; выполнить вычисления; проверить результат.
- Подготовить маркеры, магниты, стикеры и листы формата А4 для парной работы.
- Подготовить два слайда с жизненным контекстом: расчёт стоимости набора товаров и распределение мест в рядах.
- Освободить безопасное пространство для короткой физкультминутки без оборудования.
- Подготовить таймер на 2–3 минуты для парных заданий и самостоятельной работы.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: создать рабочий настрой, показать практическую ценность рационального вычисления и включить учащихся в постановку учебной задачи.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране изображение трёх одинаковых наборов: в каждом наборе 7 красных и 2 синих жетона. «Здравствуйте, ребята. Сегодня мы попробуем научиться считать быстрее и удобнее. Представьте, что для игры нужно узнать, сколько жетонов лежит в трёх одинаковых наборах. Как можно посчитать общее количество?» | Рассматривают модель, называют два способа: «Сначала сложить 7 и 2, а потом умножить на 3» и «отдельно умножить 3 на 7 и 3 на 2, затем сложить». |
2 мин | Учитель фиксирует варианты на доске: $3(7+2)$ и $3\cdot7+3\cdot2$. «Проверьте, получатся ли одинаковые ответы. Почему два разных выражения дают один результат? Сегодня мы выясним математическое правило, которое это объясняет». Учитель объявляет тему урока и предлагает сформулировать цель. | Вычисляют оба выражения, получают 27, формулируют цель: «Узнать правило, позволяющее раскрывать скобки и считать удобнее». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что одно количество можно посчитать двумя способами. Сейчас вспомним необходимые действия и проверим, готовы ли мы объяснить такую закономерность».
Этап 2. Актуализация знаний и физкультминутка (5 мин)
Цель этапа: актуализировать свойства умножения, порядок действий и выполнить короткую двигательную разгрузку.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит устную разминку. «Вспомним, что уже умеем. Как называется результат умножения? Как представить умножение 4 на сумму 5 и 2 через сложение? Как найти значение выражения $6\cdot3+6\cdot4$? Почему сначала выполняем умножение?» Учитель показывает на экране три коротких задания и просит отвечать по цепочке. | Отвечают: «Произведение»; «$4\cdot(5+2)$»; «Сначала выполняем умножение, затем сложение»; вычисляют $18+24=42$. |
2 мин | Учитель проводит физкультминутку «Умножение движением». «Если услышите произведение 12, поднимите руки вверх; если 15 — потянитесь вправо; если 18 — потянитесь влево. Двигаемся спокойно, не толкаемся». Учитель называет: $3\cdot4$, $5\cdot3$, $6\cdot3$, затем предлагает сделать два глубоких вдоха. | Выполняют движения по сигналу, называют результаты и возвращаются к рабочей позе. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили умножение суммы на число и порядок действий. Но пока мы не можем строго записать общее правило. Найдём место затруднения и поставим вопрос урока».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение при объяснении равенства и совместно сформулировать учебную цель.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске: $4(6+3)=4\cdot6+4\cdot3$. «Ребята, равенство верное. Но представьте, что одноклассник спросил: почему можно заменить выражение со скобками суммой двух произведений? Ответьте не только результатом, а объяснением. Что именно повторяется в правой части?» | Обсуждают в парах 30 секунд, затем отвечают: «Число 4 умножается и на 6, и на 3»; «Общий множитель распределяется по слагаемым». |
2 мин | Учитель формулирует проблемный вопрос: «Как умножить число на сумму или разность, чтобы раскрыть скобки без ошибки? Составьте план: что нужно понять, записать и потренировать». Учитель фиксирует предложения на доске. | Предлагают план: «Рассмотреть модель, вывести формулу, составить алгоритм, решить примеры и проверить себя». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Проблема ясна: нам нужно не просто получить ответ, а открыть правило преобразования выражений. Переходим к модели и самостоятельно выведем закон».
Этап 4. Открытие нового знания с использованием ИКТ (8 мин)
Цель этапа: вывести распределительный закон на основе наглядной модели, сформулировать его словами и записать буквенные формулы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель демонстрирует на интерактивной доске модель трёх рядов, в каждом из которых 7 красных и 2 синих квадрата. «Посмотрите на экран. Сколько квадратов в одном ряду? Как записать число квадратов в трёх рядах одним выражением? А как посчитать красные и синие квадраты отдельно?» Учитель поочерёдно выделяет цветные части модели. | Отвечают: «В одном ряду $7+2$, всего $3(7+2)$»; «Красных $3\cdot7$, синих $3\cdot2$, всего $3\cdot7+3\cdot2$». |
3 мин | Учитель анимирует переход от одной записи к другой. «Мы получили равенство $3(7+2)=3\cdot7+3\cdot2$. Какое число встречается в каждом произведении справа? Сформулируйте правило для любого числа $a$, суммы $b+c$». Затем записывает на доске: $a(b+c)=ab+ac$. | Выделяют общий множитель $a$, формулируют: «Чтобы умножить число на сумму, нужно умножить это число на каждое слагаемое и результаты сложить». Записывают формулу. |
2 мин | Учитель показывает второй пример на экране: $5(10-2)=5\cdot10-5\cdot2$. «Что изменилось? Какой знак сохраняется между произведениями? Сформулируйте закон для разности». Учитель подчёркивает знак минус цветом. | Формулируют правило: «Чтобы умножить число на разность, нужно умножить его на уменьшаемое и вычитаемое, а из первого произведения вычесть второе». Записывают $a(b-c)=ab-ac$. |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «Распределительный закон умножения относительно сложения: $a(b+c)=ab+ac$. Распределительный закон умножения относительно вычитания: $a(b-c)=ab-ac$. Алгоритм раскрытия скобок: 1) умножить множитель перед скобками на каждый член в скобках; 2) сохранить знак между полученными произведениями; 3) выполнить вычисления или дальнейшие преобразования».
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вывели две формулы и увидели, что множитель перед скобками действует на каждый член внутри скобок. Теперь проверим правило на примерах и научимся проговаривать каждый шаг».
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм раскрытия скобок через проговаривание действий и взаимную проверку.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель разбирает первый пример. «Запишем $4(8+3)$. Сначала умножаем 4 на 8 и 4 на 3: $4(8+3)=4\cdot8+4\cdot3$. Теперь считаем: $32+12=44$. Обратите внимание: знак плюс сохранился». Учитель предлагает ученикам хором проговорить алгоритм. | Повторяют алгоритм и записывают решение: $4(8+3)=32+12=44$. |
3 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с двумя выражениями: $6(9-4)$ и $7(5+2)$. «Работаем по приёму “Подумай — обсуди в паре — поделись”. Сначала каждый решает первое выражение самостоятельно, затем объясняет партнёру второе. Партнёр проверяет знаки и вычисления по памятке». | Решают: $6(9-4)=6\cdot9-6\cdot4=54-24=30$; $7(5+2)=7\cdot5+7\cdot2=35+14=49$. По очереди объясняют порядок действий. |
2 мин | Учитель предлагает двум парам представить решения. «Какие ошибки возможны? Можно ли написать $6(9-4)=6\cdot9-4$? Почему нельзя потерять множитель 6?» Учитель организует взаимопроверку по критериям: формула, знаки, вычисления. | Представляют решения, находят ошибку в записи $6\cdot9-4$, объясняют: «Множитель 6 должен умножить оба числа в скобках». Ставят партнёру отметку по двум критериям. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «В парной работе вы научились не только раскрывать скобки, но и объяснять, почему каждый член умножается на общий множитель. Теперь каждый проверит себя самостоятельно».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (7 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение алгоритма и научить использовать эталон для самокоррекции.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней. «Выберите уровень по своей готовности. Обязательное задание для всех: раскройте скобки в выражениях $3(12+5)$ и $8(10-3)$. Базовый уровень дополнительно содержит $5(14+6)$, повышенный — выражение $9(20-2)$ с вычислением удобным способом. Записывайте промежуточные действия, а не только ответ». | Индивидуально решают выбранные задания, записывают раскрытие скобок и вычисления. |
3 мин | Учитель выводит эталон на экран: $3(12+5)=36+15=51$; $8(10-3)=80-24=56$; $5(14+6)=70+30=100$; $9(20-2)=180-18=162$. «Сверьте не только ответы, но и каждый знак. Если нашли ошибку, зачеркните только ошибочный шаг и запишите правильный рядом. Поднимите зелёную карточку, если всё совпало, жёлтую — если исправили одну ошибку, красную — если нужна помощь». | Проверяют решения по эталону, исправляют ошибки, поднимают сигнальную карточку и отмечают результат в листе самооценки. |
Эталон решения
Для выражения $8(10-3)$: $8(10-3)=8\cdot10-8\cdot3=80-24=56$. Сначала множитель 8 умножается на каждый член разности, затем из первого произведения вычитается второе.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная проверка показала, что важно контролировать не только вычисления, но и перенос множителя к каждому члену скобок. Осталось применить закон в жизненной задаче и увидеть, как он помогает считать быстрее».
Этап 7. Включение в систему знаний: межпредметная задача (5 мин)
Цель этапа: применить распределительный закон в контексте финансовой грамотности и сравнить рациональный способ вычисления с прямым.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает на экране задачу: «Для школьного праздника купили 4 набора. В каждом наборе 6 соков по 35 рублей и 2 упаковки печенья по 45 рублей. Сколько рублей заплатили за все наборы?» Учитель спрашивает: «Как записать стоимость одного набора? Как применить распределительный закон?» | В парах составляют выражение $4(6\cdot35+2\cdot45)$, объясняют: «Сначала можно найти стоимость всех соков и печенья в одном наборе, затем умножить на 4». |
2 мин | Учитель направляет вычисление: «Преобразуйте выражение по распределительному закону: умножьте 4 на каждый член суммы. Сравните с вычислением стоимости всех товаров отдельно». | Записывают: $4(210+90)=4\cdot210+4\cdot90=840+360=1200$. Формулируют вывод: «Распределительный закон помогает распределить умножение на части суммы и не менять стоимость покупки». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня правило оказалось полезным не только в учебном выражении, но и при расчёте общей стоимости нескольких одинаковых наборов. Теперь зафиксируем, что каждый из вас понял и что ещё требует тренировки».
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: организовать осмысление нового способа действия, самооценку и инструктаж по разноуровневому домашнему заданию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт стикеры и предлагает приём «Одноминутная рефлексия». «Закончите три фразы: “Распределительный закон нужен, чтобы…”, “При раскрытии скобок я сначала…”, “Мне ещё нужно потренироваться…”. Затем прикрепите стикер в одну из зон на доске: “Уверенно”, “Нужна тренировка”, “Нужна помощь”». | Заполняют три фразы, прикрепляют стикер в выбранную зону, называют один личный результат: «Я научился раскрывать скобки» или «Мне трудно не терять знак минус». |
3 мин | Учитель объясняет домашнее задание по уровням. «Выберите обязательный уровень или более высокий, если готовы. В каждом решении записывайте раскрытие скобок и выполняйте проверку. Перед выходом ответьте устно: какой множитель называют общим и почему он умножается на каждый член скобок?» | Записывают выбранный уровень домашней работы, отвечают на контрольный вопрос: «Общий множитель умножается на каждый член скобок, потому что действует на всю сумму или разность». |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все обязательные задания и выбранное задание повышенного уровня, правильно раскрыты скобки, сохранены знаки, вычисления записаны последовательно, решение объяснено или проверено.
- «4» — верно выполнено не менее 80% заданий, допущена одна вычислительная или знаковая ошибка, после проверки ошибка исправлена самостоятельно.
- «3» — правильно выполнены оба обязательных выражения либо одно выражение с частично верным раскрытием скобок; правило сформулировано с помощью памятки.
- Работа требует доработки, если множитель умножен не на каждый член скобок или знак разности изменён без объяснения.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о произведении числа на сумму и разность? | Выявление осознания формулировки распределительного закона. |
Какой шаг алгоритма раскрытия скобок нельзя пропустить? | Проверка понимания ключевого действия: умножения на каждый член скобок. |
Какая ошибка сегодня встретилась чаще всего? | Выявление типичных затруднений в сохранении знаков и вычислениях. |
Насколько уверенно вы сможете решить похожий пример дома? | Субъективная оценка уровня освоения и планирование дальнейшей помощи. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы открыли распределительный закон умножения и убедились, что он помогает преобразовывать выражения и считать рационально. Запомните главное: множитель перед скобками умножается на каждый член внутри скобок, а знак между произведениями сохраняется. Самая частая ошибка — умножить только первый член или потерять знак минус. На следующем уроке мы продолжим применять закон для упрощения выражений и поиска общего множителя. Спасибо за внимательную работу и взаимопомощь!»
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4–5 выражений вида $a(b+c)$ и $a(b-c)$ с натуральными числами, подробно записывая раскрытие скобок и вычисления. Выполнить одну проверку исходного и преобразованного выражения. | Закрепляет алгоритм раскрытия скобок; при проверке обратить внимание на умножение общего множителя на каждый член и сохранение знака. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи на рациональное вычисление с использованием распределительного закона, например выражения вида $7\cdot(100-3)$ и $4(25+15)$, затем объяснить, почему выбранный способ удобен. | Формирует навык применения закона для устных вычислений и объяснения выбора способа. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить собственную практическую задачу о стоимости нескольких одинаковых наборов или распределении предметов, в решении использовать обе формы закона: относительно суммы и относительно разности. | Развивает функциональную грамотность и умение создавать математическую модель, проверять её и аргументировать решение. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Как записывается распределительный закон относительно суммы? Как раскрыть скобки в выражении $6(12-5)$? Как проверить правильность преобразования? Назовите одну жизненную ситуацию, в которой удобно применить этот закон».
