Умножение и деление натуральных чисел. Связь действий
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока учащиеся откроют связь умножения и деления как взаимно обратных действий и научатся находить неизвестный множитель, делимое или делитель в простых равенствах, выполняя не менее 4 из 5 заданий без ошибок.
- Образовательная задача: сформулировать правило взаимосвязи компонентов и результатов умножения и деления, применять его при решении равенств и текстовых задач.
- Развивающая задача: развивать логическое мышление, умение устанавливать закономерности, анализировать условие и проверять результат обратным действием.
- Развивающая задача: формировать навыки сотрудничества при работе в парах и группах, аргументированного ответа и самопроверки.
- Воспитательная задача: воспитывать ответственное отношение к совместной работе, аккуратность вычислений и интерес к математике через игровой и жизненный контекст.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к поиску математического правила через практическую задачу.
- Понимают ценность точных вычислений в бытовых ситуациях, связанных с распределением предметов и подсчётом стоимости.
- Осознают личную ответственность за результат индивидуальной и групповой работы.
- Развивают уверенность в своих силах при переходе от конкретной задачи к математическому выводу.
Метапредметные
- Познавательные: извлекают информацию из схемы, устанавливают связь между умножением и делением, формулируют правило.
- Регулятивные: принимают учебную задачу, планируют последовательность решения, сверяют ответ с эталоном и исправляют ошибки.
- Коммуникативные: обсуждают способ решения в паре, задают уточняющие вопросы, объясняют выбор действия.
- Развивают математическую и читательскую грамотность при работе с условием жизненной задачи.
Предметные
- Знать, что умножение и деление являются взаимно обратными действиями.
- Уметь находить неизвестный множитель по произведению и известному множителю.
- Уметь находить неизвестное делимое и неизвестный делитель по компонентам деления.
- Уметь составлять по одному равенству на умножение и два связанных с ним равенства на деление.
- Владеть способом проверки деления умножением и использовать его при решении задач.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают смысл изучения взаимно обратных действий для контроля правильности вычислений.
- Проявляют готовность к сотрудничеству и доброжелательно относятся к разным способам рассуждения.
- Оценивают собственный вклад в работу пары или группы.
- Формируют установку на аккуратность записи математических выражений.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе обнаруженного затруднения.
- Планируют алгоритм нахождения неизвестного компонента действия.
- Проверяют решение обратным действием и сопоставляют его с эталоном.
- Выявляют ошибку, объясняют её причину и корректируют запись.
Познавательные УУД
- Сравнивают четыре связанных равенства и выделяют их общую структуру.
- Моделируют условие задачи с помощью схемы и математической записи.
- Классифицируют равенства по неизвестному компоненту.
- Формулируют вывод на основе наблюдения и проверяют его на новом примере.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре и группе при выполнении задания.
- Формулируют полный ответ с использованием математических терминов.
- Слушают объяснение одноклассника и задают вопрос по способу решения.
- Согласуют общий вариант правила и представляют его классу.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить интерактивную доску с изображением 4 рядов по 6 предметов, схемой компонентов умножения и заданиями для поэтапного открытия правила.
- Создать в LearningApps упражнение на установление соответствий: «неизвестный компонент — правило его нахождения», а также задание на составление связанных равенств.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего 25 экземпляров.
- Распечатать наборы карточек для работы в парах: на каждой паре одно произведение и четыре числа для составления связанных равенств.
- Подготовить 25 небольших листков для приёма «Билет на выход» и 5 цветных маркеров на каждую группу.
- Вывести на доску памятку: «Чтобы найти неизвестный множитель, произведение раздели на известный множитель; чтобы найти неизвестное делимое, частное умножь на делитель; чтобы найти неизвестный делитель, делимое раздели на частное».
- Подготовить ноутбук, проектор или интерактивную доску с доступом к LearningApps; заранее проверить открытие упражнения и отображение ответов.
- Разложить на партах тетради, ручки и карточки; подготовить сигнальные карточки зелёного, жёлтого и красного цвета для самоконтроля.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: организовать класс, создать положительный эмоциональный настрой и включить учащихся в решение практической задачи.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, всё ли готово к работе: тетрадь лежит наклонно, ручка пишет, на экране хорошо видна задача. Сегодня мы будем не просто считать, а раскроем математический секрет, который поможет быстро проверять свои ответы." Учитель показывает на доске изображение четырёх рядов по шесть коробок. | Проверяют готовность к уроку, рассматривают изображение и называют количество рядов и предметов в каждом ряду. |
2 мин | Учитель задаёт вопрос: "В магазине четыре коробки, в каждой по шесть карандашей. Как узнать, сколько карандашей всего? А если продавец разложит 24 карандаша поровну в четыре коробки, какое действие потребуется? Запишите оба выражения и сравните их." | Записывают $4 \cdot 6 = 24$ и $24 : 4 = 6$, отвечают: "В первом случае нашли общее количество, во втором — количество в одной коробке". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что умножение и деление встречаются в одной и той же жизненной ситуации. Сейчас проверим, всегда ли эти действия связаны между собой и как можно использовать эту связь."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать смысл умножения и деления, названия компонентов действий и умение выполнять устные вычисления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит устный счёт: "Назовите значение выражений 7 · 3, 20 : 5, 8 · 4, 36 : 6. Теперь назовите компоненты умножения: что называют множителями и что называют произведением?" Учитель фиксирует ответы на доске. | Вычисляют устно: "21, 4, 32, 6"; называют компоненты: "множитель, множитель, произведение". |
3 мин | Учитель показывает равенство $5 \cdot 7 = 35$ и спрашивает: "Какое действие можно выполнить, если известно произведение 35 и один множитель 5? Составьте два равенства на деление. Почему в равенстве $35 : 7 = 5$ получается первый множитель?" Учитель применяет приём «Подумай — обсуди в паре — поделись». | Сначала самостоятельно записывают $35 : 5 = 7$ и $35 : 7 = 5$, затем обсуждают объяснение в парах и формулируют: "При делении произведения на один множитель получаем другой множитель". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили смысл действий и названия компонентов. Однако пока мы опирались на готовое равенство. Давайте выясним, как действовать, если один из компонентов неизвестен."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель открывает на доске три равенства: $x \cdot 6 = 42$, $48 : y = 8$, $z : 7 = 6$. Учитель говорит: "Попробуйте решить равенства. В каждом случае неизвестно разное число. Что вызывает затруднение? Можно ли использовать уже известную связь умножения и деления?" | Решают известные случаи или обозначают затруднение, сравнивают записи и отвечают: "Неизвестное находится в разных местах, поэтому нужно понять правило для каждого случая". |
2 мин | Учитель направляет беседу: "Какую цель поставим? Начните словами: «На уроке мы узнаем...» и «Научимся...»" Учитель записывает согласованную формулировку на доске. | Формулируют цель: "Узнаем, как находить неизвестный компонент умножения и деления, и научимся проверять решение обратным действием". Записывают тему урока. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение обнаружено: нам нужно установить три способа поиска неизвестного числа. Будем действовать как исследователи — сравним равенства, найдём закономерность и проверим её на новых примерах."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести правила нахождения неизвестного множителя, делимого и делителя через анализ взаимосвязанных равенств.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель показывает на интерактивной доске схему: $6 \cdot 7 = 42$, $42 : 6 = 7$, $42 : 7 = 6$. Реплика: "Рассмотрите три равенства. Какие числа в них сохраняются? Как связаны произведение и множители? Передвиньте на доске карточки с названиями «произведение», «множитель», «делимое», «делитель», «частное» и составьте правильные подписи." | По очереди выходят к доске, соотносят числа и названия компонентов, формулируют: "Произведение можно разделить на один множитель и получить другой". |
3 мин | Учитель предлагает парам карточки с равенствами $8 \cdot 5 = 40$, $40 : 8 = 5$, $40 : 5 = 8$. Учитель говорит: "Проверьте, можно ли из одного равенства на умножение получить два равенства на деление. Объясните, почему это работает." | В парах раскладывают карточки, составляют тройки равенств, проговаривают: "Умножение и деление — взаимно обратные действия". |
3 мин | Учитель открывает памятку и подводит к формулировке: "Если неизвестен множитель, произведение делим на известный множитель. Если неизвестно делимое, частное умножаем на делитель. Если неизвестен делитель, делимое делим на частное. Прочитайте правила хором и примените их к равенствам на доске." | Читают правила, записывают их в тетрадь, решают $x \cdot 6 = 42$, $48 : y = 8$, $z : 7 = 6$, объясняют выбор действия. |
Запись в тетрадях
Учащиеся записывают: «Умножение и деление — взаимно обратные действия. Неизвестный множитель: $x = P : a$. Неизвестное делимое: $D = q \cdot d$. Неизвестный делитель: $d = D : q$. Проверка деления: частное умножить на делитель».
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вывели три правила и увидели, что каждое решение можно проверить обратным действием. Теперь применим памятку сначала вместе, а затем самостоятельно в игровом задании."
Этап 5. Первичное закрепление. Интерактивная игра «Математический детектив» (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм нахождения неизвестного компонента и научиться объяснять выбор действия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель выводит на интерактивную доску три равенства: $x \cdot 9 = 63$, $56 : y = 7$, $z : 8 = 6$. Говорит: "Перед вами три математических дела. У каждого равенства есть неизвестный компонент. Работайте парами: определите компонент, выберите правило, найдите число и выполните проверку." | В парах определяют неизвестный компонент, записывают решения: $x = 63 : 9 = 7$; $y = 56 : 7 = 8$; $z = 6 \cdot 8 = 48$. Проверяют подстановкой. |
2 мин | Учитель приглашает представителей пар к доске: "Объясняйте не только ответ, но и почему выбрали именно это действие. Если решение отличается, сравните рассуждения с соседом." | Представляют решения, отвечают: "Неизвестен множитель, поэтому произведение делим на известный множитель" и аналогично для делимого и делителя. |
2 мин | Учитель запускает в LearningApps упражнение на установление соответствий. Комментирует: "Соедините выражение с правилом. После выполнения не закрывайте результат — нам важно увидеть, какая связь вызвала затруднение." | Выполняют интерактивное задание индивидуально или в парах, фиксируют количество правильных соответствий, исправляют ошибки по подсказке сервиса. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы уже умеете находить неизвестный компонент и объяснять способ. Следующий шаг — проверить, насколько самостоятельно вы применяете правило в разных ситуациях."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритма и сформировать навык самоконтроля.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней и объясняет: "Выполните обязательное задание. Если справитесь раньше, выберите повышенный пункт. Записывайте не только ответ, но и действие. Для каждого равенства выполните проверку обратным действием." | Получают карточки, выбирают уровень и записывают порядок выполнения. |
5 мин | Учитель предлагает задания. Базовый уровень: $x \cdot 7 = 56$, $72 : y = 9$, $z : 6 = 8$. Повышенный уровень: составить задачу по равенству $48 : 6 = 8$ и решить её. Продвинутый уровень: найти ошибку в записи $a : 5 = 9$, $a = 9 : 5$. Учитель наблюдает, задаёт уточняющие вопросы: "Как называется неизвестный компонент? Как проверить ответ?" | Индивидуально решают задания, подписывают название неизвестного компонента, выполняют проверки. В повышенном задании составляют условие о 48 предметах, в продвинутом объясняют: "Делимое находят умножением, поэтому $a = 9 \cdot 5 = 45$". |
3 мин | Учитель открывает на доске эталон: $x=8$, $y=8$, $z=48$; для задачи — 48 предметов разделили на 6 равных частей и получили по 8; исправление: $a=45$. Говорит: "Проверьте каждую строку. Зелёная карточка означает «всё верно», жёлтая — «есть одна неточность», красная — «нужна помощь». Ошибку не зачёркивайте молча — подпишите причину." | Сверяют работу с эталоном, отмечают цветом уровень понимания, исправляют ошибки и формулируют причину: неверно выбрано действие, допущена вычислительная ошибка или пропущена проверка. |
Эталон решения
$x \cdot 7 = 56$, неизвестен множитель: $x = 56 : 7 = 8$. Проверка: $8 \cdot 7 = 56$. $72 : y = 9$, неизвестен делитель: $y = 72 : 9 = 8$. Проверка: $72 : 8 = 9$. $z : 6 = 8$, неизвестно делимое: $z = 8 \cdot 6 = 48$. Проверка: $48 : 6 = 8$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что правило работает для всех трёх случаев. Сейчас свяжем его с жизненной задачей и посмотрим, как выбор действия зависит от смысла условия."
Этап 7. Включение в систему знаний. Практическая задача (4 мин)
Цель этапа: применить связь умножения и деления при решении задачи из реального контекста и объяснить выбор действия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель читает задачу: "Для школьной ярмарки подготовили 36 открыток и разложили их поровну в 6 конвертов. Сколько открыток оказалось в каждом конверте? Как проверить ответ?" Учитель просит назвать известные величины и неизвестную. | Выделяют данные, составляют краткую запись, отвечают: "36 — общее количество, 6 — число конвертов, неизвестно количество открыток в одном конверте". |
2 мин | Учитель спрашивает: "Какое действие выберем? Составьте выражение и проверку. Как изменится решение, если известно количество открыток в конверте — 6, а число конвертов неизвестно?" | Записывают $36 : 6 = 6$ открыток. Проверяют: $6 \cdot 6 = 36$. Отвечают: "Если неизвестно число конвертов, нужно делимое разделить на частное: $36 : 6 = 6$". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В задаче мы выбрали действие не случайно: смысл ситуации подсказал, что нужно разделить общее количество на число равных частей. Теперь запишите домашнее задание, чтобы закрепить все три случая."
Этап 8. Домашнее задание (1 мин)
Цель этапа: объяснить дифференцированное домашнее задание и критерии его выполнения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель говорит: "Запишите домашнее задание. Базовый уровень обязателен для всех. Средний и продвинутый уровни можно выбрать по желанию. В каждом равенстве указывайте неизвестный компонент и выполняйте проверку обратным действием." | Записывают выбранный уровень и уточняют содержание задания, при необходимости задают вопросы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Домашняя работа поможет ещё раз пройти весь алгоритм: определить неизвестный компонент, выбрать действие, вычислить и проверить. Перед выходом каждый сформулирует, что сегодня стало понятнее."
Этап 9. Подведение итогов и рефлексия (2 мин)
Цель этапа: осмыслить открытое правило, оценить собственное продвижение и получить обратную связь.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт листки «Билет на выход»: "Закончите три фразы: «Если неизвестен множитель, я…»; «Чтобы проверить деление, я…»; «Сегодня мне было трудно…». Пишите коротко, но математически точно." | Заполняют билет на выход: "произведение делю на известный множитель"; "умножаю частное на делитель"; указывают собственное затруднение или пишут: "затруднений не было". |
1 мин | Учитель завершает: "Поднимите зелёную карточку, если можете объяснить связь умножения и деления, жёлтую — если нужна ещё тренировка, красную — если правило пока непонятно. Спасибо за работу." | Показывают сигнальную карточку и формулируют итог: "Умножение и деление — взаимно обратные действия; неизвестный компонент находим по известным компонентам". |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены все три обязательных равенства, правильно названы неизвестные компоненты, выполнены проверки; дополнительно корректно решена задача или повышенное задание.
- «4» — верно решены два из трёх обязательных равенств, правило в целом выбрано правильно, но допущена одна вычислительная ошибка или пропущена одна проверка.
- «3» — решено не менее одного обязательного равенства, ученик понимает назначение обратного действия, но допускает ошибки при выборе правила или вычислениях.
- Работа, выполненная с помощью учителя, используется прежде всего для определения затруднения и последующей коррекции.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о связи умножения и деления? | Выявление осознания основного математического вывода урока. |
Как определить, какое действие использовать для нахождения неизвестного компонента? | Проверка понимания алгоритма, а не механического запоминания формулы. |
Какая ошибка может возникнуть при нахождении неизвестного делителя? | Выявление типичного затруднения и необходимости коррекции. |
Какое задание помогло вам лучше всего понять тему? | Определение наиболее результативной формы работы и субъективной оценки освоения темы. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы открыли, что умножение и деление — взаимно обратные действия. Вы научились находить неизвестный множитель, делимое и делитель, а также проверять деление умножением. Помните о типичной ошибке: если неизвестно делимое, нужно умножать частное на делитель, а не делить эти числа. На следующем уроке мы продолжим применять это правило при решении более сложных выражений и текстовых задач."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 6 равенств на нахождение неизвестного компонента: по два примера на неизвестный множитель, неизвестное делимое и неизвестный делитель. К каждому равенству записать проверку обратным действием. | Закрепляет три алгоритма; при проверке обратить внимание на правильный выбор действия и наличие проверки. |
Средний (повышающий) | Решить 3 текстовые задачи на распределение предметов поровну и нахождение общего количества. Составить краткую запись, выражение, ответ и проверку. | Формирует умение выбирать действие по смыслу жизненной ситуации и связывать умножение с делением. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить 2 собственные задачи: одну на нахождение неизвестного множителя и одну на нахождение неизвестного делителя; записать решения и связанные равенства. | Развивает математическое моделирование и умение создавать задания с заданным типом неизвестного. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как найти неизвестный множитель? Как найти неизвестное делимое? Как найти неизвестный делитель? Каким действием проверить результат деления?»
