Построение треугольников по двум сторонам и углу между ними. Треугольник Пепроуза
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться строить треугольник по двум заданным сторонам и углу между ними с помощью линейки и транспортира, выполнять проверку построения и объяснять каждый шаг алгоритма.
- Сформировать представление о последовательности построения треугольника по двум сторонам и углу между ними.
- Научить применять транспортир для построения заданного угла, а циркуль или линейку — для откладывания заданных отрезков.
- Развивать пространственное и логическое мышление, умение анализировать условие задачи, планировать построение и находить ошибки.
- Воспитывать аккуратность, самостоятельность, готовность к сотрудничеству и интерес к геометрическим конструкциям через практическую задачу о треугольнике Пепроуза.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к геометрическим построениям и понимают ценность точности в математической работе.
- Осознают необходимость проверять результат и исправлять неточности, а не принимать первое построение без анализа.
- Развивают положительную мотивацию к самостоятельному решению практических задач.
- Осваивают правила конструктивного взаимодействия при работе в паре и уважительно относятся к способам решения одноклассников.
Метапредметные
- Планируют последовательность действий по условию задачи и сопоставляют полученный результат с заданными данными.
- Извлекают информацию из чертежа, текста условия и схемы построения.
- Сравнивают разные способы построения, обнаруживают неточности и аргументированно предлагают исправления.
- Используют математическую речь для описания построения и проверки результата.
- Осуществляют самооценку по заданным критериям и корректируют собственную работу.
Предметные
- Знать, что для построения треугольника по двум сторонам и углу между ними необходимо последовательно построить заданный угол и отложить на его сторонах заданные отрезки.
- Уметь пользоваться линейкой и транспортиром при выполнении геометрического построения.
- Уметь строить треугольник по заданным сторонам и углу между ними и обозначать его вершины.
- Уметь проверять длины сторон и величину угла построенного треугольника.
- Владеть алгоритмом построения и объяснять, почему третья сторона определяется положением концов двух заданных отрезков.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают смысл аккуратного геометрического построения как модели реального объекта.
- Проявляют готовность доводить практическое задание до результата, даже если первая попытка оказалась неточной.
- Формируют ответственное отношение к индивидуальному результату и результату работы пары.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель построения на основе условия задачи.
- Составляют и удерживают последовательность действий: угол, первая сторона, вторая сторона, соединение концов, проверка.
- Сверяют построение с эталоном и критериями, выявляют и исправляют ошибки.
- Оценивают степень освоения алгоритма с помощью листа самооценки.
Познавательные УУД
- Выделяют из условия две длины и величину угла между ними.
- Моделируют условие с помощью чертежа и математических обозначений.
- Устанавливают причинно-следственную связь между построением угла и расположением двух сторон.
- Анализируют ошибочные чертежи и объясняют, какое действие алгоритма нарушено.
- Используют измерительные инструменты для получения и проверки геометрической информации.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: исполнитель построения и контролёр точности.
- Формулируют вопросы по условию и уточняют последовательность действий.
- Объясняют партнёру выполненный шаг, используя математические термины.
- Аргументированно оценивают чертёж одноклассника и предлагают корректировку без конфликтного общения.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или изображения с корректным и ошибочными чертежами треугольников, а также схему треугольника Пепроуза с указанными сторонами и углом.
- Распечатать карточки с заданиями трёх уровней: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учеников класса.
- Распечатать лист самооценки по одному экземпляру на каждого ученика.
- Подготовить линейки, транспортиры и карандаши; проверить наличие инструментов у всех учащихся.
- Разложить на каждую парту карточку взаимопроверки с критериями: угол, длины сторон, обозначения, аккуратность.
- Вывесить на доску или вывести на экран памятку: «1. Построй угол. 2. Отложи первую сторону. 3. Отложи вторую сторону. 4. Соедини концы. 5. Проверь».
- Подготовить крупный демонстрационный транспортир и линейку для показа у доски.
- Подготовить цветные маркеры или магнитные отрезки для визуального выделения двух заданных сторон и угла между ними.
- На доске заранее оставить место для темы урока, алгоритма и контрольного чертежа.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в практическую деятельность и вызвать интерес к построению треугольника.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и проверяет готовность: "Здравствуйте, ребята. Сегодня нам понадобятся тетрадь, простой карандаш, линейка и транспортир. Положите инструменты справа, чтобы ими было удобно пользоваться. Проверьте, есть ли на линейке чёткие деления, а на транспортире видны обе шкалы." | Проверяют наличие тетради, карандаша, линейки и транспортира, располагают инструменты на парте. |
2 мин | Учитель показывает на экране изображение необычного треугольника Пепроуза и говорит: "Посмотрите на фигуру. Она похожа на обычный треугольник, но её построение требует точности: одна ошибка в угле или длине изменит весь рисунок. Представьте, что вы конструкторы и должны восстановить фигуру по двум сторонам и углу между ними. Как вы думаете, с какого действия нужно начать?" | Рассматривают изображение, высказывают предположения: "С построения угла", "С выбора стороны", "Нужно сначала понять условие". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы будем не просто рисовать треугольник, а действовать по точному алгоритму. Сначала вспомним, как измерять и строить отрезки и углы, а затем выясним, как по этим данным восстановить всю фигуру."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: повторить свойства и способы измерения отрезков и углов, необходимые для нового построения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель выводит на экран три вопроса: "Что называется отрезком? Чем измеряют длину отрезка? Как называется прибор для измерения и построения углов?" После ответов уточняет: "Сегодня нам понадобятся линейка и транспортир. Важно не только назвать инструмент, но и правильно приложить его к чертежу." | Отвечают: "Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками"; "Длину измеряют линейкой"; "Углы измеряют и строят транспортиром". |
2 мин | Учитель предлагает приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Самостоятельно за 30 секунд определите, где на изображённом треугольнике находятся две заданные стороны и угол между ними. Затем обсудите ответ с соседом и подготовьте одну точную формулировку." | Рассматривают чертёж, называют две стороны, имеющие общую вершину, обсуждают ответ в парах и формулируют: "Угол между сторонами — это угол, у которого эти стороны являются лучами". |
2 мин | Учитель показывает угол с вершиной O и спрашивает: "Если нужно построить угол 60 градусов с вершиной O, что должно совпасть с нулевой отметкой транспортира? Откуда начнём отсчёт градусов?" Учитель демонстрирует правильное положение инструмента. | Отвечают: "Центр транспортира совмещают с вершиной угла, а нулевую отметку — с одним лучом"; показывают направление отсчёта на своих транспортирах. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что угол задаёт направление двух сторон, а длины сторон можно отложить линейкой. Теперь проверим, достаточно ли этих данных, чтобы однозначно построить треугольник, и составим точный план действий."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать алгоритм построения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске условие: «Построить треугольник ABC, если $AB=5$ см, $AC=4$ см, $\angle BAC=60^\circ$.» Затем спрашивает: "Что в условии уже известно? Какая вершина является общей для двух заданных сторон? Почему угол обозначен именно при букве A?" | Выделяют данные в условии и отвечают: "Известны стороны AB и AC, их общая вершина A, поэтому угол между ними — угол BAC". |
2 мин | Учитель предлагает «Снежный ком»: "Сначала каждый запишите предполагаемый первый шаг. Затем объединитесь в пары и выберите общий вариант. Две пары объединятся и составят полный план из нескольких действий." Учитель фиксирует предложения на доске. | Записывают первый шаг, обсуждают в парах, объединяют варианты и предлагают план: "Построить угол BAC, на одном луче отложить 5 см, на другом — 4 см, соединить полученные точки". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель сформулирована: построить треугольник по двум сторонам и углу между ними и уметь объяснить каждое действие. Теперь выполним построение вместе, не пропуская ни одного шага."
Этап 4. Открытие нового знания и демонстрация алгоритма (10 мин)
Цель этапа: сформировать алгоритм построения треугольника по двум сторонам и углу между ними на конкретном примере.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель демонстрирует построение на доске: "Записываем условие: $AB=5$ см, $AC=4$ см, $\angle BAC=60^\circ$. Шаг первый — отмечаем точку A и проводим из неё луч. Шаг второй — с помощью транспортира строим угол $60^\circ$ и проводим второй луч. Центр транспортира совмещаем с A, нулевую отметку — с первым лучом, затем отмечаем деление 60 градусов." | Следят за демонстрацией, повторяют в тетради построение точки A и двух лучей, проверяют положение транспортира. |
3 мин | Учитель продолжает: "На первом луче от точки A откладываем $AB=5$ см и ставим точку B. На втором луче от точки A откладываем $AC=4$ см и ставим точку C. Обратите внимание: длины откладываются от одной и той же вершины A, а не от произвольных мест на лучах." | Откладывают на первом луче 5 см и на втором 4 см, подписывают точки B и C, проговаривают партнёру выполненные действия. |
2 мин | Учитель завершает построение: "Теперь соединяем точки B и C отрезком. Получили треугольник ABC. Проведём проверку: измерим AB и AC линейкой, а угол BAC — транспортиром. Если значения совпадают с условием, построение выполнено верно." | Соединяют B и C, измеряют три заданные величины и записывают результаты проверки: $AB=5$ см, $AC=4$ см, $\angle BAC=60^\circ$. |
2 мин | Учитель показывает ошибочный чертёж, где угол построен при другой вершине: "Найдите ошибку. Почему треугольник на этом рисунке не соответствует условию?" Затем показывает второй чертёж, где одна сторона отложена от неправильной точки. | Анализируют чертежи и отвечают: "Угол должен быть между сторонами AB и AC и иметь вершину A"; "Обе длины нужно откладывать от вершины A". |
Запись в тетрадях
- Условие: $AB=5$ см, $AC=4$ см, $\angle BAC=60^\circ$.
- Алгоритм: 1) построить угол с заданной вершиной и величиной; 2) на его сторонах отложить две заданные длины; 3) обозначить концы отрезков; 4) соединить концы отрезков; 5) проверить построение.
- Вывод: треугольник строится однозначно, если заданы две его стороны и угол между ними.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы открыли алгоритм: угол задаёт направление сторон, длины определяют положение точек B и C, а соединение этих точек завершает построение. Теперь каждый попробует выполнить алгоритм самостоятельно, а затем мы проверим точность построения по критериям."
Этап 5. Первичное закрепление. Построение треугольника Пепроуза (8 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм через построение треугольника по новым данным и работу в парах.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточки и говорит: "Сейчас мы построим учебную модель треугольника Пепроуза. Условие: $PQ=6$ см, $PR=3$ см, $\angle QPR=45^\circ$. Работайте в парах: один ученик выполняет построение, второй сверяет каждый шаг с памяткой, затем поменяйтесь ролями." | Читают условие, подчёркивают две стороны и угол между ними, распределяют роли в паре. |
4 мин | Учитель сопровождает работу вопросами: "Где будет вершина заданного угла? От какой точки вы откладываете обе длины? Как проверите, что выбрали правильную шкалу транспортира?" При необходимости показывает на отдельном листе положение центра транспортира. | Строят угол $45^\circ$ с вершиной P, откладывают $PQ=6$ см и $PR=3$ см, соединяют Q и R, подписывают вершины. |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Обменяйтесь чертежами с соседней парой. Проверьте четыре пункта: угол при P, длину PQ, длину PR и наличие отрезка QR. Запишите одно сильное место работы и одно пожелание." | Проверяют чертёж другой пары по четырём пунктам, измеряют заданные величины и формулируют отзыв: "Точно построен угол; нужно аккуратнее подписать точку R". |
Эталон решения
1. Отметить точку P и провести луч. 2. Построить из точки P угол $45^\circ$. 3. На первом луче отложить $PQ=6$ см и отметить точку Q. 4. На втором луче отложить $PR=3$ см и отметить точку R. 5. Соединить Q и R. 6. Проверить: $PQ=6$ см, $PR=3$ см, $\angle QPR=45^\circ$. Если измерения отличаются на 1–2 мм из-за толщины линии, необходимо повторно проверить положение линейки и транспортира.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы применили алгоритм к новой фигуре и увидели, что название треугольника не меняет способ построения. Важно не запомнить один рисунок, а научиться переносить последовательность действий на любые заданные длины и углы."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение алгоритмом и умение контролировать результат.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель объясняет уровни задания: "Выберите карточку по готовности. Минимальный уровень содержит подробную подсказку, базовый — только условие, повышенный требует найти и исправить ошибку. Работайте самостоятельно, но после выполнения обязательно используйте линейку и транспортир для проверки." | Выбирают карточку, записывают условие и намечают последовательность построения. |
5 мин | Учитель выдаёт задания. Минимальный уровень: построить треугольник $ABC$, если $AB=4$ см, $AC=3$ см, $\angle BAC=90^\circ$. Базовый уровень: построить треугольник $DEF$, если $DE=5$ см, $DF=4$ см, $\angle EDF=70^\circ$. Повышенный уровень: найти ошибку в построении, где $DE=5$ см, $DF=4$ см, но угол $EDF$ построен равным $110^\circ$. | Самостоятельно строят один треугольник, обозначают вершины, выполняют проверку и записывают фактические измерения. |
3 мин | Учитель выводит эталон-памятку: "Проверьте себя по пяти вопросам: построен ли угол в нужной вершине; правильно ли выбрана шкала; отложены ли обе длины от вершины угла; соединены ли концы отрезков; совпадают ли измерения с условием? Отметьте в листе самооценки пункты, которые выполнили." | Сверяют чертёж с алгоритмом, исправляют неточности, заполняют лист самооценки: «могу построить угол», «могу отложить стороны», «могу проверить результат». |
Эталон решения
Для задания $AB=4$ см, $AC=3$ см, $\angle BAC=90^\circ$: построить вершину A, провести первый луч, построить второй луч под углом $90^\circ$, отложить на лучах соответственно 4 см и 3 см, получить точки B и C, соединить B и C. Контроль: $AB=4$ см, $AC=3$ см, $\angle BAC=90^\circ$. Для задания с ошибкой угол $110^\circ$ не соответствует условию $70^\circ$, поэтому нужно перестроить второй луч по отметке $70^\circ$, не меняя длины сторон.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что алгоритм работает для разных углов и длин. Особенно важно проверять не только стороны, но и угол: неверный угол меняет весь треугольник. Осталось подвести итог и выяснить, какой шаг оказался самым трудным."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (4 мин)
Цель этапа: осмыслить результат, выявить затруднения и определить содержание дальнейшей самостоятельной работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если можете самостоятельно построить треугольник по двум сторонам и углу между ними; жёлтую — если иногда путаете положение транспортира или последовательность; красную — если нужна моя помощь. Одним предложением завершите фразу: «Теперь я умею…»" | Поднимают цветную карточку, формулируют: "Теперь я умею строить угол и откладывать стороны"; или "Мне нужно ещё потренироваться правильно выбирать шкалу транспортира". |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите уровень, соответствующий вашей сегодняшней работе. В каждом задании сначала запишите условие, затем выполните построение и подпишите проверочные измерения. На следующем уроке мы обсудим типичные ошибки." | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы, проверяют, что указали выбранный уровень. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — треугольник построен полностью и аккуратно; правильно построен угол, обе заданные стороны отложены с допустимой погрешностью, вершины обозначены, выполнена проверка всех данных.
- «4» — алгоритм в целом выполнен верно, но допущена одна небольшая неточность в измерении, подписи или оформлении, не изменяющая способ построения; ошибка исправлена после самопроверки.
- «3» — построение завершено частично или допущены две существенные ошибки: неверно выбран луч, неточно построен угол, одна сторона отложена не от вершины либо отсутствует проверка; ученик понимает отдельные шаги алгоритма после подсказки.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нужно построить первым: сторону или угол? Объясните почему. | Выявление понимания логики алгоритма и роли угла между сторонами. |
От какой точки откладываются обе заданные стороны? | Проверка понимания общей вершины заданного угла. |
Как вы проверяете, что треугольник построен верно? | Выявление сформированности навыка самоконтроля и измерения. |
Какой шаг оказался самым сложным и почему? | Определение индивидуальных точек затруднения для коррекции обучения. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились строить треугольник по двум сторонам и углу между ними и применили этот алгоритм при построении треугольника Пепроуза. Запомните: обе стороны откладываются от общей вершины заданного угла, а результат обязательно проверяется измерениями. Типичная ошибка — использование не той шкалы транспортира или построение угла при другой вершине. На следующем уроке мы продолжим геометрические построения и будем сравнивать разные способы задания треугольника."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Построить 2 треугольника по двум сторонам и углу между ними: в первом взять стороны 4 см и 5 см и угол 60 градусов, во втором — стороны 3 см и 6 см и угол 90 градусов. Под каждым чертежом записать результаты проверки. | Закрепляет основной алгоритм; при проверке обратить внимание на вершину угла, длины двух сторон и наличие измерений. |
Средний (повышающий) | Построить 3 треугольника с разными углами между заданными сторонами, включая один угол меньше 90 градусов и один угол больше 90 градусов. Для каждого составить краткое описание пяти шагов построения. | Развивает перенос алгоритма на новые условия; при проверке смотреть на правильный выбор шкалы транспортира и последовательность действий. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственное условие для построения треугольника, выполнить чертёж и подготовить два вопроса для взаимопроверки одноклассника. Дополнительно описать, как изменится рисунок при увеличении одной из заданных сторон. | Формирует умение создавать математическую задачу, анализировать влияние данных и аргументировать вывод. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какие три величины заданы при построении треугольника?», «В какой точке строится заданный угол?», «Откуда откладываются две стороны?», «Какие измерения нужно выполнить для проверки результата?»
