Используем законы арифметики для упрощения вычислений
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать и применять переместительное, сочетательное и распределительное свойства сложения и умножения для упрощения устных и письменных вычислений, решив не менее 4 из 5 тренировочных заданий.
- Образовательная задача: повторить смысл переместительного и сочетательного свойств сложения и умножения, раскрыть распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания.
- Развивающая задача: формировать умение анализировать выражение, выбирать удобный порядок действий и объяснять свой способ вычисления.
- Коммуникативная задача: развивать навык сотрудничества в паре, постановки вопроса и аргументированного сравнения способов решения.
- Воспитательная задача: формировать аккуратность вычислений, уверенность в собственном способе решения и ответственное отношение к совместной работе.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к поиску более рационального способа вычисления.
- Осознают, что математические законы помогают экономить время и проверять правильность рассуждений.
- Положительно оценивают сотрудничество и вклад каждого участника пары.
- Развивают уверенность при объяснении собственного решения.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель на основе затруднения при вычислении сложного выражения.
- Планируют последовательность действий и выбирают подходящий закон арифметики.
- Сравнивают два способа вычисления, находят более рациональный и обосновывают выбор.
- Используют экранную математическую модель и фиксируют результат в тетради.
- Осуществляют самопроверку по образцу и корректируют ошибки.
Предметные
- Знать переместительное и сочетательное свойства сложения и умножения.
- Знать распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания.
- Уметь переставлять и группировать слагаемые и множители без изменения значения выражения.
- Уметь представлять число или выражение в удобном виде, например $25\cdot 16=25\cdot(4\cdot4)$.
- Уметь применять законы арифметики для устных и письменных вычислений и объяснять выполненные преобразования.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную задачу: научиться считать быстрее, не теряя точности.
- Осознают значение рационального вычисления в повседневных ситуациях.
- Проявляют готовность принимать другой способ решения и сравнивать его со своим.
- Оценивают собственный вклад в парную работу.
Регулятивные УУД
- Принимают и сохраняют цель урока.
- Планируют порядок преобразований выражения.
- Проверяют вычисление обратным действием или вторым способом.
- Находят ошибку в применении закона и исправляют её.
- Оценивают степень достижения цели с помощью листа самооценки.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки законов арифметики.
- Сравнивают выражения до и после преобразования.
- Классифицируют способы вычисления по используемому свойству.
- Моделируют распределительное свойство на прямоугольной схеме или рисунке.
- Извлекают информацию из краткой экранной таблицы и применяют её.
Коммуникативные УУД
- Обсуждают решение в паре по алгоритму «подумай — обсуди — объясни».
- Формулируют вопрос о выборе закона.
- Объясняют партнёру последовательность преобразований.
- Сравнивают ответы без спора о том, чей способ «правильнее».
- Принимают общее решение и представляют его классу.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную доску с выражениями $48+37+52+63$, $25\cdot16$, $99\cdot7$ и краткой памяткой о трёх законах.
- Распечатать карточки для парной работы: по одному комплекту на каждую пару, всего по числу пар в классе.
- Распечатать индивидуальные листы самостоятельной работы трёх уровней — по одному на каждого ученика.
- Подготовить цветные карточки с надписями «переместительное», «сочетательное», «распределительное» — по одному комплекту на группу или ряд парт.
- Разместить на доске таблицу-шпаргалку: $a+b=b+a$; $(a+b)+c=a+(b+c)$; $a\cdot b=b\cdot a$; $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$; $a(b+c)=ab+ac$.
- Подготовить таймер на экране для парной работы и мини-игры.
- Подготовить стикеры трёх цветов для рефлексии: зелёный — «могу объяснить», жёлтый — «нужна тренировка», красный — «нужна помощь».
- Проверить работу проектора, ноутбука и интерактивной доски; предусмотреть печатную памятку на случай технического сбоя.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (4 мин)
Цель этапа: вызвать интерес к рациональным вычислениям и создать ситуацию учебного затруднения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы попробуем выяснить, можно ли одно и то же вычисление выполнить заметно быстрее, не нарушая математических правил. Проверьте, что на парте есть тетрадь, ручка и линейка. Работать сегодня будем и индивидуально, и в парах." | Проверяют готовность к уроку, записывают дату, садятся по парам. |
3 мин | Учитель выводит на экран выражение $48+37+52+63$ и говорит: "Решите выражение сначала привычным способом. Теперь посмотрите внимательнее: можно ли объединить числа так, чтобы появились круглые десятки? Не называйте пока закон — просто найдите удобный порядок действий. Почему вариант $(48+52)+(37+63)$ удобнее?" | Решают выражение двумя способами, обсуждают с соседом, предлагают: "$48+52=100$, а $37+63=100$, поэтому сумма равна $200$". Замечают, что слагаемые можно переставлять и группировать. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что порядок записи слагаемых можно изменить так, чтобы считать было проще. Но важно понять, почему это разрешено и какие ещё законы помогают упрощать вычисления. Сформулируем цель урока и найдём математическое объяснение."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать свойства действий и выявить готовность применять их в новой ситуации.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает три пары выражений: $6+9$ и $9+6$; $(2+3)+4$ и $2+(3+4)$; $4\cdot5$ и $5\cdot4$. "Вычислите значения. Что изменилось в записи, а что осталось одинаковым? Как называются известные вам свойства?" | Вычисляют, отвечают: "Значения одинаковые, меняется порядок чисел"; называют переместительное и сочетательное свойства, если помнят. |
3 мин | Учитель предлагает приём «Верно — неверно»: "Покажите большой палец вверх, если утверждение верно, и в сторону, если требуется исправление. Первое: $7+12=12+7$. Второе: $3\cdot(4+5)=3\cdot4+5$. Третье: $(8+2)+6=8+(2+6)$. Объясняйте не только ответ, но и причину." | Показывают сигналы, исправляют второе утверждение: "$3\cdot(4+5)=3\cdot4+3\cdot5$"; называют использованные свойства. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Переместительное и сочетательное свойства уже помогают нам менять порядок действий. Ошибка во втором выражении показала, что при раскрытии скобок множитель нужно умножить на каждое слагаемое. Сейчас разберём это правило и научимся выбирать закон под задачу."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (3 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную задачу и план открытия нового способа вычислений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает на доске $99\cdot7$ и $25\cdot16$. "Попробуйте оценить, какой пример можно вычислить устно быстрее и почему. Можно ли заменить число $99$ на $100-1$? Можно ли представить $16$ как $4\cdot4$? Какие знания нам понадобятся? Сформулируйте цель урока начиная словами: «Мы научимся...»." | Выполняют короткую пробу, формулируют цель: "Мы научимся преобразовывать выражения с помощью законов арифметики и выбирать удобный способ вычисления". Предлагают план: вспомнить законы, разобрать распределительное свойство, потренироваться, проверить себя. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: не просто получить ответ, а научиться видеть удобную структуру выражения и объяснять своё преобразование. Переходим к открытию и систематизации законов."
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 4. Открытие нового знания с использованием ИКТ (9 мин)
Цель этапа: вывести и осознанно зафиксировать законы арифметики, необходимые для упрощения вычислений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель демонстрирует на интерактивной доске перестановку прямоугольных групп: "Посмотрите: пять рядов по четыре клетки и четыре ряда по пять клеток дают одинаковое количество клеток. Поэтому $4\cdot5=5\cdot4$. Аналогично при сложении: $8+13=13+8$. Это переместительное свойство. Запишите его буквами." | Рассматривают модель, формулируют: "От перестановки слагаемых или множителей значение суммы или произведения не изменяется"; записывают $a+b=b+a$ и $a\cdot b=b\cdot a$. |
2 мин | Учитель объединяет числа на экране: "Сравним $(7+13)+20$ и $7+(13+20)$. В обоих случаях складываются одни и те же числа. Меняется только группировка. Это сочетательное свойство. Запишите две формулы и объясните, когда оно полезно." | Сравнивают выражения, отвечают: "Сочетательное свойство позволяет по-разному объединять слагаемые или множители"; записывают $(a+b)+c=a+(b+c)$ и $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$. |
4 мин | Учитель показывает схему прямоугольника, разбитого на части, и выражение $6\cdot(10+2)$. "Весь прямоугольник можно посчитать сразу: $6\cdot12$. А можно разделить его на два: $6\cdot10+6\cdot2$. Значит, множитель умножается на каждое слагаемое. Теперь вычислим $99\cdot7$: представим $99$ как $100-1$. Получаем $(100-1)\cdot7=100\cdot7-1\cdot7=693$. Это распределительное свойство. Запишите формулы и алгоритм." | По схеме объясняют разбиение прямоугольника, записывают $a(b+c)=ab+ac$ и $a(b-c)=ab-ac$. По шагам преобразуют $99\cdot7$: "$99\cdot7=(100-1)\cdot7=700-7=693$". |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: 1) переместительное свойство: $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$; 2) сочетательное свойство: $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$; 3) распределительное свойство: $a(b+c)=ab+ac$, $a(b-c)=ab-ac$. Алгоритм: найти удобное разложение числа, применить закон, выполнить более простые вычисления, проверить ответ.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь у нас есть три инструмента. Переместительное свойство меняет порядок, сочетательное — группировку, распределительное — помогает раскрыть скобки или заменить число разностью и суммой. Проверим правила на конкретных выражениях в парах."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: применить законы арифметики по алгоритму и научиться объяснять выбранный способ партнёру.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку и объясняет приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сначала каждый решает выражение самостоятельно, затем вы сравниваете способы и выбираете наиболее удобный. На карточке нужно не только записать ответ, но и назвать использованный закон." | Читают инструкцию, распределяют роли: один решает первым, второй проверяет и задаёт вопрос о законе. |
4 мин | Учитель предлагает карточку: $38+47+62+53$; $4\cdot25\cdot9$; $7\cdot(100-3)$; $125\cdot8$. Напоминает: "Ищите пары, дающие круглое число, или заменяйте число удобной суммой, разностью или произведением. Записывайте преобразования по цепочке." | В парах решают: $(38+62)+(47+53)=200$; $(4\cdot25)\cdot9=100\cdot9=900$; $7\cdot(100-3)=700-21=679$; $125\cdot8=1000$. Подписывают свойства. |
2 мин | Учитель просит две пары представить разные решения: "Объясните классу не только ответ, но и момент, в котором вычисление стало проще. Остальные поднимите зелёную карточку, если согласны, или жёлтую, если нужно уточнение." | Представляют решения, сравнивают их с эталоном, задают уточняющие вопросы, исправляют запись при необходимости. |
Эталон решения
$38+47+62+53=(38+62)+(47+53)=100+100=200$ — переместительное и сочетательное свойства. $4\cdot25\cdot9=(4\cdot25)\cdot9=100\cdot9=900$ — сочетательное свойство. $7\cdot(100-3)=7\cdot100-7\cdot3=700-21=679$ — распределительное свойство. $125\cdot8=1000$ — удобное умножение, так как $125\cdot8=1000$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы убедились, что один пример можно решить несколькими способами, но рациональным считается тот, который сокращает число трудных действий. Теперь проведём короткую игру и проверим, умеете ли вы быстро узнавать нужный закон."
Этап 6. Мини-игра «Математический навигатор» (5 мин)
Цель этапа: закрепить распознавание законов арифметики и выбор удобного преобразования.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель делит класс на небольшие команды по 3–4 человека и раздаёт карточки с названиями трёх свойств. "Я показываю преобразование, а вы поднимаете карточку с названием закона. За правильное название — один балл, за объяснение — дополнительный балл." | Делятся на команды, договариваются, кто поднимает карточку и кто объясняет ответ. |
3 мин | Учитель по очереди показывает: $17+25=25+17$; $(6+4)+9=6+(4+9)$; $8(10+3)=8\cdot10+8\cdot3$; $12\cdot5\cdot2=12\cdot(5\cdot2)$. После каждого ответа спрашивает: "Что именно изменилось?" | Поднимают карточку, называют свойство и поясняют: "Изменился порядок слагаемых"; "изменена группировка"; "множитель умножен на каждое слагаемое"; "изменена группировка множителей". |
1 мин | Учитель даёт финальное задание: "Предложите самый удобный способ вычислить $49\cdot6$. Запишите его на мини-доске или листе." | Записывают $(50-1)\cdot6=300-6=294$, показывают решение и называют распределительное свойство. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Навигатор показал, что вы уже умеете узнавать направление: порядок, группировка или раскрытие скобок. Осталось проверить, можете ли вы самостоятельно выбрать маршрут без подсказки."
Этап 7. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное применение законов арифметики и выполнить коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт листы трёх уровней. Базовый вариант: $27+46+73+54$ и $6\cdot25\cdot4$. Средний вариант: $98\cdot6$ и $15\cdot(20+4)$. Повышенный вариант: сравнить два способа вычисления $25\cdot32$ и объяснить, какой рациональнее. "Работайте самостоятельно, записывайте промежуточные преобразования и название закона." | Индивидуально решают выбранный или назначенный вариант, подписывают использованные свойства. |
3 мин | Учитель выводит на экран эталон: $27+46+73+54=200$; $6\cdot25\cdot4=600$; $98\cdot6=588$; $15(20+4)=360$; $25\cdot32=800$. "Проверьте каждый шаг, отметьте плюсом верный ответ, вопросительным знаком — место затруднения." | Сверяют решения с эталоном, отмечают ошибки, исправляют один неверный шаг и формулируют причину ошибки. |
Эталон решения
$27+46+73+54=(27+73)+(46+54)=100+100=200$. $6\cdot25\cdot4=6\cdot(25\cdot4)=6\cdot100=600$. $98\cdot6=(100-2)\cdot6=600-12=588$. $15\cdot(20+4)=15\cdot20+15\cdot4=300+60=360$. $25\cdot32=25\cdot(4\cdot8)=(25\cdot4)\cdot8=100\cdot8=800$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, какие преобразования уже стали уверенными, а где ещё нужно быть внимательнее. В конце урока каждый сформулирует, какой закон он применяет лучше всего и какой пример сможет объяснить другому человеку."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (4 мин)
Цель этапа: осмыслить результат урока, выявить затруднения и объяснить дальнейшую работу дома.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: "Поднимите зелёный стикер, если вы можете выбрать закон и объяснить преобразование; жёлтый — если понимаете правило, но иногда ошибаетесь; красный — если нужна совместная тренировка. Дополните фразу: «Сегодня я научился...»." | Выбирают цвет стикера, дополняют фразу: "Я научился группировать слагаемые"; "Я понял, как представить число как разность"; называют оставшийся вопрос. |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите уровень, который соответствует вашей уверенности. В каждом решении записывайте преобразование и название закона. Перед уходом ответьте на контрольный вопрос: почему $7\cdot(10+2)$ нельзя превращать в $7\cdot10+2$?" | Записывают задание, отвечают: "Потому что второй множитель должен умножиться на каждое слагаемое: $7\cdot10+7\cdot2$". |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены все 4 задания самостоятельной работы или выполнено повышенное задание, преобразования записаны последовательно, свойства названы корректно, объяснение рациональности полное.
- «4» — верно решены 3 задания из 4, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, но выбор закона и основная логика решения сохранены.
- «3» — верно решены 2 задания из 4, ученик узнаёт хотя бы одно свойство, но допускает ошибки при раскрытии скобок или группировке множителей.
- Ниже базового уровня — менее двух верных решений; требуется повторная работа с памяткой и выполнение аналогичных примеров вместе с учителем.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой закон арифметики вы сегодня применяли чаще всего и почему? | Выявление осознанности выбора способа вычисления. |
Как по выражению понять, что выгодно сгруппировать числа? | Проверка понимания идеи рационального вычисления. |
Какое место оказалось самым сложным: выбор закона, преобразование или вычисление? | Выявление точки затруднения в алгоритме. |
Сможете ли вы объяснить однокласснику вычисление $49\cdot6$? | Проверка переноса знания на новый пример. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы увидели, что законы арифметики нужны не только для записи буквенных формул, но и для быстрых вычислений. Переместительное свойство помогает менять порядок, сочетательное — удобно группировать, а распределительное — раскрывать скобки и заменять число суммой или разностью. Самая частая ошибка — забыть умножить общий множитель на каждый член в скобках. На следующем уроке мы продолжим применять эти свойства в выражениях и текстовых задачах."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 выражения на рациональное сложение и умножение: два выражения с удобной группировкой слагаемых или множителей и два выражения на распределительное свойство, например с числами, близкими к круглым десяткам. В каждом решении указать применённый закон. | Закрепляет распознавание переместительного, сочетательного и распределительного свойств; при проверке смотреть на последовательность преобразований и правильность каждого множителя. |
Средний (повышающий) | Решить 5 выражений, включая $48\cdot25$, $97\cdot8$, $125\cdot16$, а также два выражения со скобками. Для каждого выбрать самый удобный способ и кратко объяснить выбор. | Развивает рациональность вычислений и умение представлять число в удобном виде; при проверке учитывать не только ответ, но и обоснование способа. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить 3 собственных выражения, в которых удобно применить разные законы арифметики, решить их двумя способами и отметить более быстрый способ. Одно выражение должно содержать жизненный контекст, например расчёт общей стоимости нескольких одинаковых покупок. | Формирует умение создавать математическую задачу, сравнивать стратегии и применять вычислительные законы в практической ситуации. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какое свойство позволяет поменять местами слагаемые? Как сгруппировать числа $18+32+42+8$, чтобы быстро получить ответ? Как раскрыть выражение $5(20-3)$? Почему в записи $5(20-3)=5\cdot20-3$ допущена ошибка?»
