Натуральные числа. Действие умножения и свойства умножения
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться выполнять умножение натуральных чисел и применять переместительное, сочетательное и распределительное свойства умножения при вычислении числовых выражений.
- Образовательная задача: раскрыть смысл умножения как сложения одинаковых слагаемых и сформулировать свойства умножения.
- Развивающая задача: развивать умение анализировать выражения, выбирать рациональный способ вычисления и объяснять ход рассуждений.
- Коммуникативная задача: формировать навыки работы в парах и группах, умение аргументированно сравнивать способы решения.
- Воспитательная задача: воспитывать ответственность за общий результат, интерес к математике и готовность проверять правильность своих действий.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к поиску более удобного способа вычисления.
- Осознают ценность точности, последовательности и самопроверки при выполнении вычислений.
- Принимают правила сотрудничества и доброжелательно оценивают вклад одноклассников.
- Понимают связь умножения с практическими ситуациями: подсчётом предметов, стоимости и расстояний.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель на основе выявленного затруднения.
- Извлекают информацию из схем, числовых выражений и карточек.
- Сравнивают несколько способов вычисления и выбирают рациональный.
- Планируют работу в паре, распределяют роли и проверяют полученный результат.
- Используют математическую речь для объяснения действий и вывода.
Предметные
- Знать смысл умножения натуральных чисел как сложения одинаковых слагаемых.
- Уметь заменять сумму одинаковых слагаемых произведением и произведение суммой.
- Знать и применять переместительное, сочетательное и распределительное свойства умножения.
- Уметь вычислять значения выражений, используя свойства умножения.
- Уметь проверять вычисления обратным действием или другим способом.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную задачу: научиться вычислять быстрее и рациональнее.
- Осознают необходимость внимательного отношения к математическим символам.
- Проявляют готовность преодолевать затруднение через обсуждение и проверку.
- Оценивают собственный вклад в парную и групповую работу.
Регулятивные УУД
- Принимают и сохраняют цель урока.
- Планируют последовательность действий при вычислении выражения.
- Сверяют результат с эталоном и находят допущенную ошибку.
- Корректируют решение после обсуждения с партнёром.
- Оценивают степень достижения цели по листу самооценки.
Познавательные УУД
- Устанавливают связь между сложением одинаковых слагаемых и умножением.
- Выделяют признаки переместительного, сочетательного и распределительного свойств.
- Преобразуют выражения, используя математические модели.
- Сравнивают способы вычисления и обосновывают выбор удобного способа.
- Формулируют вывод на основе нескольких частных примеров.
Коммуникативные УУД
- Слушают партнёра и задают уточняющие вопросы.
- Распределяют роли в группе: вычислитель, объясняющий, проверяющий.
- Аргументируют ответ математическими примерами.
- Согласовывают общий вариант решения.
- Корректно сообщают об ошибке и предлагают способ её исправления.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или записи на доске с изображениями рядов одинаковых предметов и числовыми выражениями.
- Распечатать карточки для игры «Математический детектив»: по одной на каждого ученика и три комплекта для групп.
- Подготовить карточки трёх уровней сложности: обязательный, базовый и повышенный — по одной на ученика.
- Разместить на доске памятку: $a\cdot b=b\cdot a$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$, $a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$.
- Подготовить листы самооценки и цветные сигнальные карточки зелёного, жёлтого и красного цвета — по одному комплекту на парту.
- Подготовить жетоны или наклейки для командного соревнования.
- Организовать работу в парах и трёх группах с учётом разного уровня подготовки детей.
- Подготовить эталон ответов для самопроверки на отдельном листе или закрытой части доски.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и вызвать интерес к теме через игровую ситуацию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, всё ли готово к математическому расследованию: тетрадь, ручка, учебник и карточка. Сегодня мы будем не только считать, но и искать самый удобный способ вычисления." | Проверяют принадлежности, записывают дату, готовятся к работе. |
2 мин | Учитель показывает на доске рисунок: 4 ряда по 6 точек, и говорит: "Представьте, что это места в зрительном зале. Как быстро узнать количество мест? Можно складывать 6+6+6+6. А можно ли записать короче?" | Рассматривают схему, предлагают: "6+6+6+6=24", "Можно умножить 4 на 6". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы уже заметили, что одинаковые слагаемые можно записывать короче. Сейчас выясним, как устроено умножение и какие свойства помогают считать быстрее."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить знания о натуральных числах, сложении и порядке действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит игру «Математическая разминка»: "Назовите несколько натуральных чисел. Какое число не является натуральным? Что означает запись 5+5+5?" | Называют натуральные числа, отвечают: "Ноль в данном курсе не относят к натуральным числам по принятому определению"; объясняют сумму одинаковых слагаемых. |
2 мин | Учитель предлагает устно вычислить: $7+7+7$, $4+4+4+4+4$, $10+10+10$. Затем спрашивает: "Что общего у этих сумм?" | Вычисляют значения, формулируют: "В каждой сумме все слагаемые одинаковые". |
2 мин | Учитель раздаёт парам карточки с выражениями $3+3+3+3$, $8+8$, $2+2+2+2+2+2$ и просит заменить суммы произведениями. | Работают в парах, записывают $4\cdot3$, $2\cdot8$, $6\cdot2$, объясняют смысл первого и второго множителя. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что умножение связано с повторяющимся сложением. Но пока не ответили на важный вопрос: почему произведение можно вычислять разными способами?"
Этап 3. Выявление затруднения и постановка цели (4 мин)
Цель этапа: обнаружить необходимость новых свойств умножения и сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает: $3\cdot8$ и $8\cdot3$. "Сравните выражения. Они выглядят по-разному. Как проверить, что результаты одинаковы, не выполняя умножение столбиком?" | Обсуждают в парах, считают через сложение: $3\cdot8=8+8+8$, $8\cdot3=3+3+3+3+3+3+3+3$, предполагают одинаковый результат 24. |
2 мин | Учитель задаёт проблемный вопрос: "Как можно переставлять множители, объединять их и раскрывать скобки, чтобы вычисления становились проще? Сформулируйте цель урока." | Формулируют цель: "Узнать свойства умножения и научиться применять их для удобных вычислений". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение показало, что нам нужны общие правила преобразования произведений. Откроем их не готовым сообщением, а через наблюдение и проверку примеров."
Этап 4. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: самостоятельно вывести и сформулировать основные свойства умножения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает прямоугольную схему из 3 рядов по 5 клеток: "Посчитайте клетки двумя способами: по строкам и по столбцам. Запишите равенство." | Составляют $3\cdot5=5\cdot3=15$, формулируют переместительное свойство: "От перестановки множителей произведение не изменяется". |
3 мин | Учитель предлагает сравнить: $(2\cdot3)\cdot4$ и $2\cdot(3\cdot4)$. "Сначала объедините первые два множителя, затем последние два. Что изменилось?" | Вычисляют $6\cdot4=24$ и $2\cdot12=24$, формулируют сочетательное свойство. |
4 мин | Учитель записывает задачу: "В двух коробках по 7 красных и 3 синих карандаша. Сколько карандашей всего?" Показывает два способа: $2\cdot(7+3)$ и $2\cdot7+2\cdot3$. | Решают двумя способами, получают 20, формулируют распределительное свойство: множитель можно умножить на каждое слагаемое и результаты сложить. |
2 мин | Учитель оформляет на доске памятку: "$a\cdot b=b\cdot a$; $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$; $a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$." Просит привести собственные числовые примеры. | Записывают памятку в тетради, составляют и проговаривают примеры, например $4\cdot6=6\cdot4$ и $5\cdot(10+2)=5\cdot10+5\cdot2$. |
Запись в тетрадях
Умножение натуральных чисел — сложение одинаковых слагаемых. Переместительное свойство: $a\cdot b=b\cdot a$. Сочетательное свойство: $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$. Распределительное свойство: $a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы открыли три свойства умножения. Теперь проверим их в игре и научимся узнавать свойство по виду выражения."
Этап 5. Первичное закрепление. Игра «Математический детектив» (7 мин)
Цель этапа: закрепить распознавание свойств умножения и применение их в простых вычислениях.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель делит класс на группы и раздаёт карточки: $7\cdot9=9\cdot7$; $(2\cdot5)\cdot6=2\cdot(5\cdot6)$; $8\cdot(10+3)=8\cdot10+8\cdot3$. "Назовите свойство в каждом равенстве и объясните, как оно помогает." | В группах распределяют роли, сопоставляют равенства со свойствами, готовят объяснение. |
2 мин | Учитель проводит проверку: "Поднимите карточку с названием свойства. Почему в первом равенстве можно поменять множители местами?" | Поднимают карточки, отвечают: "Это переместительное свойство; произведение не изменяется". |
2 мин | Учитель предлагает вычислить удобным способом: $4\cdot25\cdot3$ и $7\cdot(10+2)$. | Записывают: $4\cdot25\cdot3=4\cdot3\cdot25=12\cdot25=300$; $7\cdot(10+2)=70+14=84$. |
Эталон решения
$4\cdot25\cdot3=(4\cdot3)\cdot25=12\cdot25=300$. Сначала применяем переместительное свойство, затем сочетательное, чтобы получить удобный множитель 12. $7\cdot(10+2)=7\cdot10+7\cdot2=70+14=84$ — применяем распределительное свойство.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Детективы раскрыли закономерности. Теперь каждый проверит, умеет ли он самостоятельно выбрать нужное свойство и не перепутать порядок действий."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение нового материала и организовать коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет уровни: "Выполните обязательный вариант. Если справились уверенно, переходите к базовому или повышенному. Работайте самостоятельно, затем сверяйтесь с эталоном." | Выбирают уровень после выполнения обязательного задания, записывают решение в тетради. |
5 мин | Учитель предлагает задания. Обязательный уровень: заменить $6+6+6+6$ произведением и вычислить $4\cdot7$. Базовый: вычислить $5\cdot18$ распределительным свойством и $2\cdot15\cdot5$ сочетательным свойством. Повышенный: рационально вычислить $25\cdot16\cdot4$ и объяснить выбор свойств. | Решают индивидуально: $4\cdot6=24$, $4\cdot7=28$; $5\cdot18=90$, $2\cdot15\cdot5=150$; $25\cdot16\cdot4=25\cdot4\cdot16=1600$. |
2 мин | Учитель открывает эталон и говорит: "Проверьте не только ответ, но и запись свойства. Ошибку отметьте точкой и исправьте рядом." | Сверяют решения, исправляют ошибки, показывают сигнальную карточку: зелёная — всё понятно, жёлтая — нужна консультация, красная — есть существенное затруднение. |
Эталон решения
$5\cdot18=5\cdot(20-2)$; однако для изученного распределительного свойства удобнее представить $18=10+8$: $5\cdot18=5\cdot10+5\cdot8=50+40=90$. $2\cdot15\cdot5=2\cdot5\cdot15=10\cdot15=150$. $25\cdot16\cdot4=25\cdot4\cdot16=100\cdot16=1600$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, какое свойство уже стало инструментом, а какое требует тренировки. Осталось связать новые правила с реальной задачей и проверить общую цель урока."
Этап 7. Включение в систему знаний и рефлексия (5 мин)
Цель этапа: применить свойства умножения в жизненной ситуации и осмыслить результат урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает задачу: "Для школьного праздника купили 6 упаковок по 12 наклеек. В каждой упаковке 12 наклеек, а стоимость одной наклейки условно считаем равной 5 рублям. Сколько рублей составит стоимость всех наклеек? Выберите удобный способ вычисления количества наклеек." | Записывают $6\cdot12=72$, затем $72\cdot5=360$; объясняют, что $6\cdot12\cdot5=6\cdot5\cdot12=360$. |
1 мин | Учитель возвращается к проблемному вопросу: "Какие свойства помогают переставлять множители, объединять их и раскрывать скобки?" | Отвечают: "Переместительное, сочетательное и распределительное свойства". |
2 мин | Учитель раздаёт лист самооценки: "Закончите фразы: я умею..., мне нужно потренироваться..., сегодня я понял..." | Заполняют лист самооценки, формулируют личный результат и вопрос, который ещё требует внимания. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы сами открыли свойства умножения, применили их в игре и самостоятельной работе. Теперь зафиксируем критерии успеха и выберем домашнее задание по силам."
Этап 8. Подведение итогов и домашнее задание (до 45 мин)
Цель этапа: оценить достижение цели урока, сообщить домашнее задание и организовать выходную проверку понимания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель говорит: "Покажите большой палец, если можете объяснить переместительное свойство; ладонь в сторону — если нужна ещё тренировка. Запишите домашнее задание выбранного уровня." | Сигнализируют о степени понимания, записывают домашнее задание. |
1 мин | Учитель проводит «Билет на выход»: "На отдельной строке запишите, какое свойство используется в выражении $3\cdot(8+2)$ и чему равно значение выражения." | Записывают: распределительное свойство, $3\cdot8+3\cdot2=30$. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все обязательные и базовые задания, правильно названы свойства, вычисления записаны последовательно, решение повышенного задания объяснено.
- «4» — верно выполнено большинство заданий, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, свойства в основном определены правильно.
- «3» — выполнены обязательные задания и хотя бы одно базовое, но есть ошибки в применении свойств или требуется помощь при объяснении решения.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о произведении натуральных чисел? | Выявление осознания содержания новых свойств. |
Какое свойство умножения вы применяете увереннее всего? | Определение субъективной оценки освоения материала. |
В каком выражении вам было трудно выбрать способ вычисления? | Выявление точек затруднения при переносе правила в практику. |
Что помогло вам исправить ошибку: эталон, партнёр или повторное вычисление? | Оценка сформированности навыков самоконтроля и сотрудничества. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы увидели, что умножение — это не только повторяющееся сложение, но и удобный инструмент преобразования выражений. Мы открыли переместительное, сочетательное и распределительное свойства и применили их в вычислениях. Помните: свойство нужно не просто назвать, а использовать с объяснением каждого шага. На следующем уроке мы продолжим выполнять действия с натуральными числами и будем выбирать наиболее рациональный порядок вычислений."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 5 выражений на замену суммы одинаковых слагаемых произведением и обратно; решить 4 примера на применение переместительного свойства. | Закрепляет смысл умножения и умение распознавать переместительное свойство; при проверке обратить внимание на количество множителей и порядок записи. |
Средний (повышающий) | Решить 5 выражений, используя сочетательное и распределительное свойства, включая случаи с удобными множителями 10, 25 и 100; письменно объяснить два наиболее рациональных решения. | Формирует навык выбора удобного способа вычисления и грамотной математической записи. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить две жизненные задачи на умножение натуральных чисел: одну, решаемую сочетательным свойством, и одну — распределительным; привести решения и пояснить выбор свойства. | Развивает функциональную грамотность, умение моделировать ситуацию и создавать собственные математические задания. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Что означает умножение натуральных чисел? Как звучит переместительное свойство? Чем сочетательное свойство отличается от распределительного? Какое свойство вы примените для вычисления $4\cdot25\cdot5$?»
