Кратные и делители натуральных чисел
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться распознавать делители и кратные натурального числа, находить их среди заданных чисел и применять признак делимости при решении практических задач с точностью не менее 80%.
- Сформировать представление о делителе и кратном натурального числа, установить связь между делением без остатка и этими понятиями.
- Научить находить все делители небольшого натурального числа и записывать первые кратные заданного числа.
- Развивать умение сравнивать, классифицировать и объяснять математические утверждения в парной работе.
- Формировать аккуратность вычислений, взаимопомощь и понимание практической ценности делимости чисел.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к поиску закономерностей в натуральном ряду чисел.
- Осознают значение точности и проверки результата при выполнении вычислений.
- Принимают правила сотрудничества, доброжелательно оценивают вклад партнёра.
- Понимают связь математических знаний с распределением предметов и организацией совместной деятельности.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель на основе выявленного затруднения.
- Извлекают информацию из таблицы, схемы и условия практической задачи.
- Сравнивают способы решения, выделяют существенный признак делителя и кратного.
- Работают в паре, распределяют роли, аргументируют ответ и проводят взаимопроверку.
Предметные
- Знать определения: делитель числа — натуральное число, на которое данное число делится без остатка; кратное числа — число, которое делится на данное число без остатка.
- Уметь определять, является ли одно натуральное число делителем или кратным другого.
- Уметь находить все делители натурального числа перебором пар множителей.
- Уметь записывать несколько первых кратных заданного числа и применять знания в задачах на равное распределение.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный вклад в достижение цели урока и оценивают собственную готовность применять новый способ.
- Проявляют ответственное отношение к записи вычислений и проверке деления.
- Соблюдают нормы математической речи при объяснении решения партнёру.
- Осознают, что сотрудничество помогает обнаружить и исправить ошибку.
Регулятивные УУД
- Принимают и сохраняют цель: различать делители и кратные числа.
- Планируют последовательность действий при поиске делителей.
- Проверяют результат делением или умножением.
- Обнаруживают ошибку, объясняют её причину и корректируют решение.
Познавательные УУД
- Выделяют признак делимости без остатка.
- Классифицируют числа по отношению к заданному числу.
- Устанавливают связь между выражениями $a:b$ и $a=b\cdot c$.
- Моделируют ситуацию распределения предметов с помощью групп и схем.
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопрос и отвечают на него полным математическим предложением.
- Распределяют роли «вычислитель» и «проверяющий» в паре.
- Аргументируют, почему число является делителем или кратным.
- Сверяют решения, корректно сообщают об ошибке и предлагают способ исправления.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную доску с натуральным рядом чисел от 1 до 30, схемой «деление без остатка» и заданиями для самопроверки.
- Распечатать карточки для парной работы: по одной карточке на пару, всего по числу пар в классе, с заданиями трёх уровней.
- Подготовить наборы из 24 бумажных фишек или счётных палочек — по одному набору на пару для моделирования равного распределения.
- Распечатать индивидуальные листы самостоятельной работы — по одному на каждого ученика.
- Подготовить зелёные, жёлтые и красные карточки для приёма «Светофор» — по одному комплекту на ученика.
- Вывесить на доске памятку: «Делитель делит без остатка; кратное получается умножением» и алгоритм поиска делителей.
- Подготовить таймер на 2–3 минуты для коротких заданий и физкультминутки.
- Подготовить слайд с межпредметным контекстом: распределение 24 книг по одинаковым стопкам и построение прямоугольной таблицы.
- Проверить работу проектора, ноутбука и интерактивной доски.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность через жизненную ситуацию и создать положительный настрой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, всё ли готово к работе: тетрадь, ручка, линейка и карточки для сигналов. Сегодня нам понадобится не только считать, но и объяснять свои решения друг другу." Учитель показывает на экране 24 фишки и изображение одинаковых стопок. | Проверяют принадлежности, рассматривают изображение, предполагают: "Фишки нужно разделить поровну". |
2 мин | Учитель использует приём «Крючок»: "Представьте, что библиотекарю нужно разложить 24 книги в одинаковые стопки без остатка. На сколько стопок это можно сделать? А какие числа помогут быстро найти все варианты? Запишите первое предположение и обсудите его с соседом." | Сначала записывают индивидуальное предположение, затем обсуждают его в паре и называют варианты: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 стопки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что одно число можно разделить без остатка разными способами. Сейчас проверим, как назвать числа, которые помогают выполнять такое деление, и как находить их без пропусков."
Этап 2. Актуализация знаний и выявление затруднения (6 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия деления без остатка, множителя и произведения, зафиксировать затруднение в терминологии.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает на доске равенства: $24:6=4$, $24:5=4$ (остаток 4), $6\cdot4=24$. Реплика: "Подумайте, в каком случае деление выполнено без остатка. Какая связь есть между делением и умножением? Поднимите зелёную карточку, если равенство верно, и красную, если неверно." | Определяют верность равенств, поднимают карточки, объясняют: "$24:6=4$, потому что $6\cdot4=24$; при делении на 5 остаётся 4". |
3 мин | Учитель организует «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Рассмотрите числа 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Что объединяет их по отношению к 24? Пока не используйте новое слово — опишите признак своими словами." | В парах формулируют: "Каждое из этих чисел делит 24 без остатка"; одна-две пары представляют формулировку классу. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы умеем проверять деление без остатка, но пока не знаем точных названий отношений между числами. Найдём эти названия и составим удобный алгоритм."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную проблему, цель и план открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске утверждение: «6 — это … числа 24; 24 — это … числа 6». Реплика: "Одно и то же равенство можно описать с двух сторон. Какого математического языка нам не хватает? Сформулируйте вопрос урока." | Предлагают вопрос: "Как называются числа, которые делят данное число без остатка, и числа, получаемые умножением?" |
2 мин | Учитель подводит к цели: "Сегодня мы узнаем определения делителя и кратного, научимся находить делители и первые кратные числа, а затем применим это к распределению предметов. Какой порядок действий нам нужен?" Учитель фиксирует план: узнать определения — составить примеры — потренироваться — решить задачу. | Записывают тему и цель урока, предлагают этапы работы, формулируют ожидаемый результат: "Смогу объяснить, почему число является делителем или кратным". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: нам предстоит не просто запомнить два слова, а научиться распознавать отношения между числами и доказывать свой ответ. Переходим к открытию правила."
Этап 4. Открытие нового знания. Парная работа (9 мин)
Цель этапа: вывести определения делителя и кратного и установить связь между делением и умножением.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт каждой паре 24 фишки: "Разложите 24 фишки на одинаковые группы так, чтобы не осталось лишних. Запишите в тетрадь два примера деления и соответствующие примеры умножения. Один ученик раскладывает, второй записывает, затем поменяйтесь ролями." Учитель наблюдает и задаёт вопрос: "Что можно сказать о числе, на которое делим 24?" | Раскладывают фишки группами по 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 или 24, записывают, например, $24:6=4$ и $6\cdot4=24$, формулируют: "6 делит 24 без остатка". |
3 мин | Учитель записывает на доске: «6 — делитель 24». Затем показывает цепочку $6\cdot1=6$, $6\cdot2=12$, $6\cdot3=18$, $6\cdot4=24$. Реплика: "Как назвать числа 6, 12, 18, 24 по отношению к 6? Что происходит, если продолжить умножение на натуральные числа?" | Наблюдают за цепочкой, называют числа кратными 6, продолжают её: 30, 36, 42. Делают вывод: "Кратные числа получаются умножением данного числа на натуральное число". |
2 мин | Учитель оформляет на доске памятку: «Делитель числа a — число, на которое a делится без остатка. Кратное числа a — число, которое делится на a без остатка». Реплика: "Составьте по одному предложению о числах 4 и 20, используя оба термина. Проверьте себя по памятке." | Записывают определения, составляют: "4 — делитель 20; 20 — кратное 4". Проверяют формулировки в парах и исправляют неточности. |
Запись в тетрадях
Делитель числа $a$ — натуральное число, на которое $a$ делится без остатка. Кратное числа $a$ — натуральное число, которое делится на $a$ без остатка. Если $a:b=c$, то $b$ — делитель $a$, а $a$ — кратное $b$. Первые кратные числа $a$: $a\cdot1$, $a\cdot2$, $a\cdot3$ и так далее.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вывели два определения и увидели, что делитель и кратное связаны одной операцией — делением без остатка. Теперь потренируемся применять правило сначала вместе, а затем самостоятельно."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить распознавание делителей и кратных через устные и письменные задания с проговариванием алгоритма.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит игру «Математический светофор»: "Я называю утверждение. Если оно верно, поднимите зелёную карточку, если неверно — красную и обязательно объясните почему: 3 — делитель 18; 18 — делитель 3; 5 — делитель 22; 24 — кратное 6." | Поднимают карточки и объясняют: "3 — делитель 18, потому что $18:3=6$"; "18 не является делителем 3"; "5 не делит 22 без остатка"; "24 — кратное 6, потому что $24:6=4$". |
4 мин | Учитель раздаёт парную карточку: «Из чисел 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 12 выберите делители 36; запишите первые четыре кратных 7». Реплика: "Сначала каждый решает одну минуту самостоятельно, затем сравните ответы. Проверяющий должен попросить партнёра назвать вычисление, подтверждающее выбор." | Находят делители 36: 2, 3, 4, 6, 9, 12; записывают кратные 7: 7, 14, 21, 28; объясняют партнёру ход проверки. |
Эталон решения
Чтобы проверить, является ли число 4 делителем 36, выполняем деление: $36:4=9$, остатка нет, значит, 4 — делитель 36. Первые четыре кратных 7 получаем умножением: $7\cdot1=7$, $7\cdot2=14$, $7\cdot3=21$, $7\cdot4=28$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы научились различать два отношения: делитель делит данное число, а кратное содержит данное число как множитель. Сейчас проверим, умеет ли каждый из вас применять алгоритм без подсказки."
Этап 6. Физкультминутка «Кратное — шаг вперёд» (2 мин)
Цель этапа: снять напряжение и повторить понятие кратного в движении.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель объясняет правила: "Если я называю число, кратное 3, сделайте шаг вперёд; если не кратное — шаг назад. Начинаем: 6, 8, 12, 14, 18, 20. Затем сменим правило: хлопок, если число является делителем 12." | Выполняют движения по условию, проговаривают: "6, 12 и 18 кратны 3"; хлопают на числах 1, 2, 3, 4, 6 и 12. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы повторили свойства чисел в движении и готовы к индивидуальной проверке. Выполняйте задания самостоятельно, а затем сравните результат с эталоном."
Этап 7. Самостоятельная работа с самопроверкой и межпредметным контекстом (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение понятий и применить их в задаче на равное распределение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт индивидуальные листы трёх уровней. Обязательная часть: «1. Выпишите делители 28 из ряда 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 14, 28. 2. Запишите первые пять кратных 5. 3. Верно ли утверждение: 32 — кратное 8? Обоснуйте». Реплика: "Работайте молча. Подчёркивайте вычисление, которым проверяете ответ." | Решают индивидуально: делители 28 — 1, 2, 4, 7, 14, 28; кратные 5 — 5, 10, 15, 20, 25; подтверждают $32:8=4$. |
4 мин | Учитель показывает задачу: «В школьной столовой 24 яблока нужно разложить поровну в одинаковые пакеты, чтобы в каждом пакете было больше одного яблока. Сколько вариантов упаковки возможно?» Реплика: "Составьте математическую модель: назовите делители 24, исключите вариант с одним яблоком и объясните, что означает каждый вариант." Затем выводит эталон на экран. | Записывают варианты количества яблок в пакете: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24; при условии больше одного яблока называют 7 вариантов и поясняют, что каждый вариант соответствует делителю 24. Выполняют самопроверку цветной ручкой. |
Эталон решения
Делители 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. В одном пакете должно быть больше одного яблока, поэтому делитель 1 не подходит. Возможны 2, 3, 4, 6, 8, 12 или 24 яблока в пакете — всего 7 вариантов. Например, при 4 яблоках получится $24:4=6$ пакетов.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что определения помогают решать не только учебные примеры, но и задачи распределения. Осталось осмыслить, что получилось, и определить следующий шаг работы."
Этап 8. Рефлексия, оценивание и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осознать результат урока, выявить затруднения и сообщить разноуровневое домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает «Билет на выход»: "Закончите две фразы: «Делитель числа — это…» и «Чтобы найти несколько кратных числа, нужно…». Затем поставьте рядом с целью урока знак: зелёный — достиг, жёлтый — нужна тренировка, красный — нужна помощь." | Письменно завершают фразы: "Делитель делит число без остатка"; "нужно умножать число на 1, 2, 3 и так далее". Отмечают собственный уровень понимания. |
1 мин | Учитель задаёт контрольный вопрос: "Является ли 7 делителем 42? Является ли 42 кратным 7? Как это доказать одной записью?" | Отвечают: "Да, оба утверждения верны, потому что $42:7=6$ или $7\cdot6=42$". |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите уровень по результату сегодняшней работы. В тетради обязательно записывайте проверочные равенства и используйте полные математические предложения." | Записывают выбранный уровень домашнего задания, задают уточняющие вопросы, сдают билеты на выход. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы открыли связь между делением без остатка, делителями и кратными. На следующем уроке мы продолжим исследовать свойства делителей и научимся быстрее находить их в разных числах."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — правильно выполнены все задания обязательной части, верно найдены делители 28 и кратные 5, задача про 24 яблока решена с объяснением и проверочными равенствами.
- «4» — допущена одна вычислительная или терминологическая ошибка, общий способ решения выбран верно, задача на распределение объяснена.
- «3» — правильно выполнено не менее половины заданий, но требуется помощь при различении делителя и кратного или при перечислении всех делителей.
- Ниже базового уровня — учитель вместе с учеником повторяет определения на примере $24:6=4$ и назначает дополнительную тренировку на 3–4 аналогичных равенства.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что такое делитель числа и как проверить, что число является делителем? | Проверка осознания определения и способа доказательства. |
Чем отличается делитель от кратного в равенстве $24:6=4$? | Выявление понимания взаимного отношения чисел. |
Какое задание оказалось самым сложным: поиск делителей, запись кратных или задача на распределение? | Выявление индивидуальных точек затруднения. |
Какой цвет светофора вы выбрали и какая помощь нужна? | Получение субъективной оценки освоения темы и планирование коррекции. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились видеть в делении без остатка два отношения: делитель делит число, а кратное делится на данное число. Важно не путать направление: в записи $24:6=4$ число 6 является делителем 24, а 24 — кратным 6. Если вы сомневаетесь, выполните проверку умножением. На следующем уроке мы продолжим работать с делителями и найдём способы организовать их поиск быстрее."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4–5 заданий: определить, является ли одно число делителем другого; выписать все делители двух натуральных чисел до 40; записать первые пять кратных двух заданных чисел. | Закрепляет определения и алгоритмы. При проверке обратить внимание на отсутствие пропусков и наличие деления без остатка. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи на равное распределение предметов, аналогичные задаче о 24 яблоках, используя числа от 20 до 60; для каждой задачи записать все подходящие варианты и объяснить выбор. | Формирует математическую модель практической ситуации и умение применять список делителей. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную задачу о распределении предметов, в которой используются не менее четырёх делителей выбранного числа, решить её и записать проверочные равенства. | Развивает умение создавать математический текст, обосновывать решение и применять понятия в новом контексте. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что называют делителем числа? Что называют кратным числа? Как доказать, что 9 — делитель 45? Назовите первые три кратных 8». Ответьте устно соседу и проверьте себя по памятке на доске.
