Доли и дроби. Изображение дробей на координатной (числовой) прямой
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться записывать доли в виде обыкновенных дробей, определять числитель и знаменатель, а также изображать дроби со знаменателем до 12 на числовой прямой с опорой на единичный отрезок.
- Сформировать представление о дроби как о записи одной или нескольких равных долей целого и установить связь между знаменателем дроби и количеством равных частей единичного отрезка.
- Научиться применять алгоритм изображения дроби на числовой прямой и проверять правильность построения по делениям и подписи точки.
- Развивать умение сравнивать модели долей, объяснять способ решения, работать в паре и аргументировать свой ответ.
- Воспитывать аккуратность математической записи, интерес к применению дробей в жизненных ситуациях и ответственное отношение к совместной работе.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к математическому описанию частей целого в ситуациях, связанных с делением пиццы, ленты или шкалы.
- Осознают ценность точной и аккуратной записи при изображении дробей.
- Понимают, что результат совместной работы зависит от вклада каждого участника пары или группы.
- Формируют положительную самооценку через самостоятельное выполнение задания и исправление ошибки.
Метапредметные
- Извлекают информацию из рисунка, числовой прямой и краткой инструкции, преобразуют её в математическую запись.
- Планируют последовательность построения дроби на прямой и осуществляют самопроверку по критериям.
- Сравнивают способы изображения дробей, выделяют общее и различия, формулируют вывод.
- Участвуют в диалоге, задают уточняющие вопросы и аргументируют выбор ответа.
- Используют визуальную модель и математическую символику для решения практической задачи.
Предметные
- Знать смысл понятий «доля», «обыкновенная дробь», «числитель», «знаменатель».
- Уметь читать и записывать дроби, определять количество равных частей целого и количество взятых частей.
- Уметь строить единичный отрезок, делить его на равные части и отмечать точку, соответствующую дроби.
- Уметь объяснять, почему знаменатель определяет число равных частей единичного отрезка.
- Уметь проверять построение дроби по числу делений и положению точки.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают учебную задачу: научиться видеть дробь не только в записи, но и на числовой прямой.
- Проявляют готовность преодолевать затруднение через обсуждение и последовательное выполнение алгоритма.
- Оценивают собственный вклад в парную работу и отношение к результату.
- Связывают изучаемое понятие с повседневными ситуациями деления целого на равные части.
Регулятивные УУД
- Принимают и формулируют цель урока на основе проблемной ситуации.
- Планируют действия: выбрать единичный отрезок, разделить его, отсчитать части и подписать точку.
- Контролируют количество делений и соответствие подписи изображению.
- Находят ошибку в готовом построении и корректируют его.
- Оценивают результат по предложенным критериям и фиксируют затруднение.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки доли и дроби.
- Устанавливают связь между знаменателем и числом равных частей единичного отрезка.
- Моделируют дробь с помощью рисунка, полоски бумаги и числовой прямой.
- Сравнивают предметную, графическую и знаковую модели дроби.
- Формулируют вывод на основе наблюдений и проверяют его на новых примерах.
Коммуникативные УУД
- Согласовывают действия с партнёром при выполнении задания по карточке.
- Формулируют полный ответ с использованием математических терминов.
- Задают вопросы: «Почему ты разделил отрезок именно так?» и «Как проверить построение?».
- Слушают объяснение одноклассника, дополняют его или корректно указывают на ошибку.
- Представляют общий результат пары классу.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или изображение с кругом-пиццей, разделённым на 2, 4 и 8 равных частей, а также с несколькими числовыми прямыми.
- Распечатать карточки для работы в парах: по одной карточке на парту, всего по числу парт в классе; включить задания на дроби со знаменателями 2, 3, 4, 6 и 8.
- Распечатать мини-листы самопроверки по одному на каждого ученика: «знаменатель — число равных частей», «числитель — число взятых частей», «точка отмечена после нужного числа делений».
- Подготовить полоски бумаги длиной примерно 12–15 см по одной на ученика для моделирования единичного отрезка.
- Подготовить цветные карандаши или фломастеры, линейки и стикеры трёх цветов для приёма «Светофор».
- Вывесить на доске тему урока, проблемный вопрос «Как показать дробь на числовой прямой?» и заготовку прямой с отмеченными 0 и 1.
- Подготовить памятку-алгоритм: 1) отметить 0 и 1; 2) разделить отрезок от 0 до 1 на части по знаменателю; 3) отсчитать части по числителю; 4) поставить точку и подписать дробь.
- Подготовить магнитные карточки с дробями $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{5}{6}$ и карточки с изображениями.
- Проверить наличие проектора или интерактивной доски, линеек, маркеров и таймера на 3–4 минуты.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и вызвать интерес к теме через жизненную ситуацию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность к уроку: на столе должны быть тетрадь, ручка, линейка и цветной карандаш. Сегодня нам понадобится внимательность, потому что мы будем не только считать, но и строить математическую модель." | Проверяют принадлежности, открывают тетради, записывают дату. |
2 мин | Учитель показывает изображение круглой пиццы, разделённой на 8 равных кусочков: "Представьте, что пиццу разделили поровну на 8 частей. Один кусочек взяли. Как назвать эту часть? А если взяли три кусочка? Запишите свои варианты на стикере и прикрепите его рядом с рисунком." | Рассматривают модель, индивидуально записывают варианты «одна восьмая», «три восьмых», прикрепляют стикеры и объясняют выбор. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что часть целого можно назвать словами и записать специальным способом. Сегодня разберёмся, как устроена такая запись и как показать дробь на числовой прямой."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: вспомнить понятия единицы, равных частей и координатной прямой, необходимые для открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Вспомните, что значит разделить предмет на равные части. Сначала подумайте молча 30 секунд, затем обсудите ответ с соседом. Почему части должны быть именно равными?" Учитель фиксирует на доске ключевое слово «равные». | Формулируют в парах: «При делении целого части должны иметь одинаковый размер». Несколько пар сообщают ответ классу. |
3 мин | Учитель показывает числовую прямую с точками 0 и 1: "Что называют единичным отрезком? Где находятся числа 0 и 1? Если отрезок от 0 до 1 разделить на четыре равные части, сколько промежутков получится?" | Показывают единичный отрезок, отвечают: «Отрезок между 0 и 1», «четыре промежутка», отмечают на мини-листе четыре равные части. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что целое можно делить только на равные части, а на числовой прямой единичный отрезок расположен между 0 и 1. Теперь выясним, как записать выбранную часть и связать эту запись с делениями на прямой."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать цель и план урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает две модели: полоску, разделённую на 3 равные части с закрашенными двумя, и числовую прямую от 0 до 1 без делений: "На полоске показаны две из трёх равных частей. Как записать эту часть? А как показать её на прямой, если деления пока нет? Что нам мешает?" | Называют возможную запись «две третьих», формулируют затруднение: «Не знаем, сколько делений сделать и где поставить точку». |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Что мы должны узнать? Какие действия помогут решить проблему? Составьте план из нескольких шагов." Учитель записывает детские предложения рядом с проблемным вопросом. | Формулируют цель: «Научиться изображать дробь на числовой прямой». Предлагают план: определить знаменатель, разделить единичный отрезок, отсчитать части по числителю, поставить точку. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема ясна: запись дроби нужно превратить в точное положение точки. Для этого откроем смысл числителя и знаменателя и проверим наш план на конкретных примерах."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: сформировать понятия числителя и знаменателя и вывести алгоритм изображения дроби на числовой прямой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель демонстрирует полоску, разделённую на 4 равные части, закрашивает 3: "Посмотрите: целое разделено на четыре равные части. Число 4 записывается под чертой и называется знаменателем: оно показывает, на сколько равных частей разделили целое. Число 3 записывается над чертой и называется числителем: оно показывает, сколько частей взяли. Прочитайте дробь $\frac{3}{4}$." | Рассматривают модель, записывают $\frac{3}{4}$, отвечают: «Знаменатель 4 показывает четыре равные части, числитель 3 — три взятые части». |
4 мин | Учитель строит на доске числовую прямую: "Изобразим дробь $\frac{3}{4}$. Сначала отмечаем 0 и 1. Знаменатель 4 подсказывает: единичный отрезок от 0 до 1 делим на четыре равных промежутка. Числитель 3 подсказывает: от 0 отсчитываем три промежутка. На третьем делении ставим точку и подписываем $\frac{3}{4}$." | Строят в тетрадях единичный отрезок, делят его на четыре части линейкой, отмечают третью точку и подписывают $\frac{3}{4}$. |
3 мин | Учитель предлагает приём «Сократовский диалог»: "Если знаменатель равен 6, на сколько частей делим отрезок? Если числитель равен 5, сколько промежутков отсчитываем? Почему нельзя отсчитывать шесть промежутков внутри отрезка от 0 до 1?" | Отвечают: «На шесть частей», «пять промежутков», «шесть промежутков приведут к точке 1, а это уже целый единичный отрезок». Формулируют правило своими словами. |
Запись в тетрадях
Дробь $\frac{a}{b}$ обозначает $a$ равных долей, если целое разделено на $b$ равных частей. Числитель записывают над чертой, знаменатель — под чертой. Чтобы изобразить дробь на отрезке от 0 до 1, делят единичный отрезок на $b$ равных частей и отсчитывают от 0 $a$ частей.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь у нас есть правило: знаменатель отвечает за число делений, а числитель — за число шагов от нуля. Проверим, насколько уверенно этот алгоритм работает в совместных заданиях."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить чтение дробей и алгоритм их изображения с проговариванием каждого шага.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточки и объясняет: "Работаем в парах. На первой карточке записаны дроби $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{4}$. Один ученик называет знаменатель и объясняет число делений, второй строит модель; затем поменяйтесь ролями. Каждый шаг проговаривайте вслух." | Распределяют роли, читают дроби, называют числитель и знаменатель, строят три числовые прямые. |
3 мин | Учитель проходит между рядами и задаёт вопросы: "Покажите, где на вашей прямой единичный отрезок. Как вы проверили равенство частей? Почему точка для $\frac{2}{3}$ расположена после второго деления?" При необходимости демонстрирует на доске образец. | Показывают отрезок от 0 до 1, проверяют число равных промежутков, объясняют положение точки: «Знаменатель 3, поэтому три части; числитель 2, поэтому отсчитали две». |
2 мин | Учитель проводит взаимопроверку: "Обменяйтесь карточками с соседней парой. По памятке проверьте три признака: правильный знаменатель, равные деления, правильное число шагов. Поставьте две звезды за верные элементы и одно пожелание, если нашли неточность." | Проверяют работу другой пары по трём признакам, отмечают два удачных решения и формулируют одно конкретное пожелание. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы применили алгоритм и увидели, что одна и та же последовательность действий подходит для разных дробей. Теперь каждый самостоятельно покажет, насколько уверенно умеет пользоваться правилом."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (7 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное понимание материала и научить учащихся исправлять ошибки по эталону.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель предлагает выбор уровня: "Выполните обязательное задание: изобразите на числовой прямой дроби $\frac{2}{5}$ и $\frac{4}{5}$. Те, кто закончит раньше, выберите повышенное задание: найдите ошибку в изображении дроби $\frac{3}{4}$, если отрезок от 0 до 1 разделён на пять частей." | Записывают выбранный уровень и приступают к построениям. |
4 мин | Учитель напоминает: "Не начинайте с отсчёта числителя. Сначала посмотрите на знаменатель и разделите единичный отрезок на нужное число равных частей. После построения подпишите дробь и проверьте себя по памятке." | Индивидуально строят прямые для $\frac{2}{5}$ и $\frac{4}{5}$, при наличии времени анализируют ошибочное построение. |
2 мин | Учитель выводит эталон: "Сверьте не только положение точки, но и число промежутков. Если ошибка есть, зачеркните неверную линию одной чертой и рядом выполните исправление. Отметьте результат в листе самооценки." | Сверяют работы, исправляют ошибки, ставят отметку: «могу самостоятельно», «нужна тренировка» или «нужна помощь». |
Эталон решения
Для $\frac{2}{5}$: 1) отметить 0 и 1; 2) разделить единичный отрезок на 5 равных частей; 3) от 0 отсчитать 2 промежутка; 4) поставить точку и подписать $\frac{2}{5}$. Для $\frac{4}{5}$ действия аналогичны, но отсчитывают 4 промежутка. В повышенном задании построение с пятью делениями неверно: знаменатель дроби $\frac{3}{4}$ равен 4, поэтому единичный отрезок нужно разделить на 4 равные части и отметить третью точку.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что большинство из вас уже уверенно связывает запись дроби с числовой прямой. Ошибка в числе делений исправляется проверкой знаменателя. Осталось применить новое умение в задаче из жизненной ситуации и сформулировать общий вывод."
Этап 7. Включение знания в систему и применение (5 мин)
Цель этапа: применить понятие дроби и числовую модель в практическом контексте.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает задачу: "Ленту длиной 1 метр разделили на 8 равных частей. Для упаковки подарка отрезали 5 таких частей. Какую долю всей ленты отрезали? Изобразите эту долю на числовой прямой от 0 до 1 и объясните, почему выбрали именно такую точку." | Записывают дробь $\frac{5}{8}$, объясняют: «Ленту разделили на 8 равных частей, взяли 5», строят прямую, делят единичный отрезок на 8 частей и отмечают пятую точку. |
2 мин | Учитель организует короткое соревнование «Точный маршрут»: "Какая пара быстрее и без ошибок расположит на одной прямой точки $\frac{1}{4}$, $\frac{2}{4}$ и $\frac{3}{4}$? После построения объясните, почему точки расположены именно в таком порядке." | В парах строят общую прямую, отмечают три точки, формулируют вывод: «При одинаковом знаменателе больше числитель — дальше точка от нуля». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы применили дробь для описания реального измерения и увидели порядок точек с одинаковым знаменателем. Теперь проверим, что каждый забирает с урока и какое действие требует дополнительной тренировки."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: осмыслить новое знание, оценить достижение цели и сообщить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель проводит «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если можете по дроби построить точку; жёлтую — если иногда путаете числитель и знаменатель; красную — если нужна совместная тренировка. Одним предложением объясните свой цвет." | Поднимают карточку, формулируют самооценку: «Мне легко определить знаменатель», «Мне нужно потренироваться делить отрезок на равные части». |
2 мин | Учитель задаёт контрольные вопросы и сообщает задание: "Перед выходом ответьте: что показывает знаменатель? Что показывает числитель? Сколько частей будет у единичного отрезка для дроби $\frac{3}{7}$? Запишите домашнее задание выбранного уровня." | Отвечают: «Знаменатель показывает число равных частей», «числитель показывает взятые части», «семь частей». Записывают домашнее задание. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно прочитаны все предложенные дроби, правильно определены числители и знаменатели, без ошибок построены дроби $\frac{2}{5}$ и $\frac{4}{5}$, единичные отрезки разделены на равные части, подписи выполнены аккуратно.
- «4» — правильно выполнено основное задание, но допущена одна неточность в подписи, делении отрезка или объяснении; ошибка самостоятельно исправлена по эталону.
- «3» — правильно выполнено хотя бы одно построение и назван один из признаков дроби, но есть ошибки в числе делений или отсчёте частей; требуется помощь при самопроверке.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что показывает знаменатель дроби и как это связано с числовой прямой? | Проверка осознания связи между записью дроби и количеством делений единичного отрезка. |
Какой порядок действий нужно выполнить, чтобы изобразить дробь на прямой? | Выявление сформированности алгоритма построения. |
Какое место задания оказалось самым сложным: деление отрезка, отсчёт частей или самопроверка? | Выявление конкретных точек затруднения для коррекции обучения. |
Какой совет вы дадите однокласснику, который путает числитель и знаменатель? | Проверка умения объяснять понятие и переносить знание в коммуникацию. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились видеть дробь сразу в трёх формах: как часть целого, как математическую запись и как точку на числовой прямой. Запомните главный ориентир: знаменатель показывает, на сколько равных частей делим единичный отрезок, а числитель — сколько частей отсчитываем от нуля. Самая частая ошибка — начать отсчёт, не проверив знаменатель. На следующем уроке мы продолжим работать с дробями и будем сравнивать их, используя модели и числовую прямую."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания на чтение и запись дробей: для каждой дроби назвать числитель и знаменатель, затем изобразить на отдельных числовых прямых дроби со знаменателями 2, 3, 4 и 5. | Закрепляет смысл числителя и знаменателя; при проверке обратить внимание на равенство частей единичного отрезка и число отсчитанных промежутков. |
Средний (повышающий) | Решить 5 заданий на изображение дробей со знаменателями 6, 8 и 10, включая две дроби с одинаковым знаменателем, и письменно объяснить порядок построения одной из них. | Формирует устойчивый алгоритм и умение объяснять решение; проверить соответствие числа делений знаменателю и положение точки числителю. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную практическую задачу о доле ленты, шоколадки, пути или времени, записать дробь из условия и изобразить её на числовой прямой. Добавить проверку решения в двух предложениях. | Развивает создание математической модели и функциональную грамотность; при проверке оценить реалистичность ситуации, правильность дроби и аккуратность построения. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Что обозначает нижнее число дроби? Почему единичный отрезок нужно делить на равные части? На каком по счёту делении окажется дробь $\frac{4}{7}$? Как проверить правильность построения?»
