Основные свойства делимости натуральных чисел
Цели и задачи
- Цель: к концу урока учащиеся смогут формулировать и применять основные свойства делимости суммы, разности и произведения натуральных чисел для решения задач без выполнения полных вычислений.
- Образовательная задача: познакомить учащихся со свойствами делимости суммы, разности и произведения, научить обосновывать делимость выражений.
- Развивающая задача: развивать логическое мышление, умение анализировать, сравнивать и делать выводы на основе наблюдений.
- Воспитательная задача: формировать навыки сотрудничества при работе в парах и ответственное отношение к результатам своего труда.
Планируемые результаты
Личностные
- Формирование устойчивого интереса к изучению математики.
- Развитие навыков самоконтроля и самооценки.
- Готовность к конструктивному диалогу со сверстниками в процессе парной работы.
Метапредметные
- Познавательные: умение выделять существенные признаки, строить логическую цепь рассуждений, выдвигать гипотезы и обосновывать их.
- Регулятивные: умение определять цель деятельности, планировать этапы работы, оценивать правильность выполнения действий.
- Коммуникативные: умение слушать собеседника, аргументированно излагать свою точку зрения, работать в паре.
Предметные
- Знать формулировки свойств делимости суммы, разности и произведения.
- Уметь определять делимость суммы, разности и произведения на число, не выполняя вычислений.
- Владеть навыком записи свойств делимости с помощью буквенных выражений.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Смыслообразование (связь между целью учебной деятельности и её мотивом).
- Нравственно-этическая ориентация (оценивание усваиваемого содержания).
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи.
- Прогнозирование результата и уровня усвоения материала.
- Коррекция (внесение дополнений в план в случае расхождения с эталоном).
Познавательные УУД
- Самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели.
- Поиск и выделение необходимой информации в учебнике.
- Анализ объектов с целью выделения признаков.
Коммуникативные УУД
- Планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками.
- Управление поведением партнера (контроль, коррекция действий партнера).
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать карточки для исследования в парах (по 1 шт. на парту, всего 15 шт.).
- Подготовить презентацию со слайдами: 1) Проблемная ситуация; 2) Свойства в буквах; 3) Задания для самопроверки.
- Распечатать листы самооценки для каждого ученика.
- Подготовить сигнальные карточки (зеленая, желтая, красная) для рефлексии.
- Закладка в учебнике на теме «Делимость натуральных чисел».
Ход урока
Этап 1. Мотивация и актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия «делитель» и «кратное», создать эмоциональный настрой на работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Здравствуйте, ребята! Сегодня мы продолжим наше путешествие в мир чисел. Но сначала давайте разомнемся. Посмотрите на доску, там записаны числа: 12, 15, 20, 24. Назовите все делители числа 12. А теперь назовите три числа, кратных 15. Молодцы!» | Ученики приветствуют учителя. По очереди называют делители числа 12 (1, 2, 3, 4, 6, 12) и кратные числа 15 (например, 15, 30, 45). |
3 мин | Учитель использует приём «Верю — не верю»: «Я буду называть утверждение, а вы, если верите — хлопайте, если нет — сидите тихо. 1) Число 5 является делителем 25. 2) Число 100 кратно 3. 3) Число 1 является делителем любого натурального числа. 4) Любое число кратно самому себе. Отлично, вижу, вы готовы к новым открытиям!» | Ученики хлопают на 1-е, 3-е и 4-е утверждения. На 2-е утверждение сохраняют тишину, так как 100 не делится на 3 без остатка. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили, что такое делимость. Но всегда ли удобно делить столбиком, чтобы узнать ответ? Сегодня мы узнаем секретные свойства чисел, которые помогут нам считать быстрее».
Этап 2. Постановка проблемы и целеполагание (5 мин)
Цель этапа: создать проблемную ситуацию, мотивирующую к поиску новых знаний.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель выводит на экран пример: $12345 + 56780$. «Ребята, посмотрите на эту сумму. Как вы думаете, делится ли она на 5? А на 10? Можете ли вы ответить на этот вопрос за 5 секунд, не выполняя сложения?» Учитель фиксирует затруднение: «Почему мы не можем ответить сразу? Чего мы еще не знаем?» | Ученики пытаются предположить ответ. Большинство понимает, что на 5 делится, так как слагаемые оканчиваются на 5 и 0, но не могут точно обосновать правило. Отвечают: «Нам нужно долго считать в столбик, чтобы проверить». |
2 мин | «Верно! Нам не хватает знаний о свойствах делимости суммы. Какую цель мы поставим сегодня на урок? Правильно, узнать свойства делимости и научиться их применять. Откройте тетради, запишите дату и тему урока: "Основные свойства делимости натуральных чисел"». | Ученики формулируют цель урока: «Узнать правила, по которым можно определить делимость суммы или произведения без вычислений». Записывают тему в тетрадь. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Цель ясна. Чтобы её достичь, мы превратимся в исследователей и сами попробуем вывести эти правила».
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Открытие нового знания. Исследование в парах (12 мин)
Цель этапа: опытным путем через работу в парах вывести основные свойства делимости.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздает карточки для парной работы: «У вас на столах карточки с тремя заданиями. В каждом задании вам нужно проверить делимость отдельных чисел и их результата (суммы или произведения). На основе этого сделайте вывод. Работаем в парах, обсуждаем шепотом». | Ученики получают карточки, распределяют обязанности в паре (кто считает, кто записывает). |
6 мин | Учитель обходит класс, помогает парам. Содержимое карточки: «Задание 1: Проверьте, делятся ли числа 15 и 25 на 5. Вычислите их сумму. Делится ли сумма на 5? Задание 2: Проверьте, делится ли 18 на 9. Вычислите произведение $18 \cdot 7$. Делится ли произведение на 9?» | Ученики выполняют вычисления. Задание 1: $15:5=3$, $25:5=5$, $15+25=40$, $40:5=8$. Вывод: «Если слагаемые делятся на 5, то и сумма делится». Задание 2: $18:9=2$, $18 \cdot 7 = 126$, $126:9=14$. Вывод: «Если множитель делится, то и произведение делится». |
4 мин | «Давайте обсудим ваши выводы. Кто готов сформулировать первое свойство? А второе? Давайте проверим себя по учебнику. Откройте страницу 116, найдите правила в рамках. Совпадают ли они с вашими?» Учитель выводит на доску буквенную запись: $a \vdots m, b \vdots m \Rightarrow (a+b) \vdots m$. | Представители пар озвучивают выводы. Читают правила в учебнике. Убеждаются в правильности своих открытий. Записывают буквенные формулы свойств в тетрадь. |
Запись в тетрадях
- Свойство 1: Если $a \vdots m$ и $b \vdots m$, то $(a+b) \vdots m$.
- Свойство 2: Если $a \vdots m$ или $b \vdots m$, то $(a \cdot b) \vdots m$.
- Свойство 3: Если $a \vdots m$ и $b \vdots m$, то $(a-b) \vdots m$ (при $a \ge b$).
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы отлично справились с ролью исследователей! Теперь у нас есть инструменты, чтобы решать сложные задачи быстро».
Этап 4. Первичное закрепление (8 мин)
Цель этапа: научиться применять свойства в стандартных ситуациях с опорой на учебник.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Выполним задание из учебника №456 (а, б, в). Нужно обосновать делимость суммы, не вычисляя её. Выходим к доске по одному. Помните: нужно проговаривать правило!» | Ученик у доски записывает: $24 + 36$. «Так как $24$ делится на $6$ и $36$ делится на $6$, то по свойству делимости суммы всё выражение делится на $6$». Остальные записывают в тетради. |
4 мин | Учитель предлагает задание на «ловушку»: «А что, если одно число делится, а другое — нет? Например, $10 + 7$. Делится ли сумма на 5? Почему?» Учитель подводит к пониманию: свойство работает только тогда, когда ОБА слагаемых делятся. | Ученики рассуждают: «10 делится на 5, а 7 — нет. Значит, сумма 17 не делится на 5». Делают вывод: свойство суммы требует делимости каждого слагаемого. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Теперь мы знаем не только правила, но и их тонкости. Пора проверить свои силы в самостоятельной работе».
Этап 5. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить уровень усвоения материала через разноуровневые задания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель выводит на экран задания трех уровней. «Выберите тот уровень, с которым вы справитесь. Уровень А — базовый, Уровень Б — требует размышления, Уровень В — для самых смелых математиков». Задания: А) Делится ли $45 + 15$ на 5? Б) Делится ли $13 \cdot 24 \cdot 7$ на 8? В) Докажите, что сумма трех последовательных натуральных чисел делится на 3. | Ученики выбирают уровень и самостоятельно решают задачи в тетрадях. Уровень А: $45 \vdots 5, 15 \vdots 5 \Rightarrow$ да. Уровень Б: $24 \vdots 8 \Rightarrow$ да (свойство произведения). Уровень В: $n + (n+1) + (n+2) = 3n + 3 = 3(n+1) \vdots 3$. |
2 мин | Учитель открывает слайд с ответами и критериями. «Проверьте себя. Если всё верно — поставьте "+" на полях. Если есть ошибка — обведите её и попробуйте понять, какое свойство вы забыли». | Ученики сверяют свои решения с эталоном на экране, проводят самопроверку и фиксируют результат в листах самооценки. |
Эталон решения (Уровень В)
Пусть первое число — $n$, второе — $n+1$, третье — $n+2$. Сумма: $S = n + n + 1 + n + 2 = 3n + 3$. Так как $3n$ делится на $3$ и $3$ делится на $3$, то по свойству делимости суммы всё выражение $3n+3$ делится на $3$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вижу по вашим лицам, что большинство справилось! Те, у кого возникли трудности — не расстраивайтесь, дома будет возможность потренироваться».
Этап 6. Рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: осознание учащимися своей учебной деятельности, самооценка результатов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: «Поднимите зеленую карточку, если вы всё поняли и можете объяснить другу. Желтую — если поняли, но остались вопросы. Красную — если тема показалась очень сложной. Также ответьте на вопрос: какое свойство вам показалось самым простым?» | Ученики поднимают карточки. Отвечают на вопросы учителя. Например: «Мне проще всего запомнить свойство произведения, потому что там достаточно одного делимого множителя». |
3 мин | Учитель диктует домашнее задание. «Обязательно прочитайте параграф 14. Номера по уровням сложности указаны на доске. Обратите внимание на творческое задание для желающих». | Записывают домашнее задание в дневники. Задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — ученик верно выполнил все задания выбранного уровня (А, Б или В), применил правильные свойства и обосновал ответ ссылкой на правило.
- «4» — допущена одна негрубая ошибка в вычислениях или отсутствует полное словесное обоснование при верном ответе.
- «3» — ученик верно определил делимость только в половине случаев, путает свойства суммы и произведения.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое свойство делимости мы сегодня открыли сами? | Осознание авторства своего знания, закрепление формулировки. |
В каком задании ты допустил ошибку и почему? | Выявление типичных затруднений и работа над ошибками. |
Где в жизни может пригодиться умение быстро определять делимость? | Связь математики с практикой (распределение предметов по группам, сдача в магазине). |
Завершающее слово учителя
«Ребята, сегодня вы отлично поработали! Мы не просто выучили правила из учебника, мы их доказали и проверили в деле. Помните, что математика — это не только счет, но и умение видеть закономерности. Эти свойства — ваш фундамент для изучения дробей и сокращения выражений в будущем. Жду вас на следующем уроке, где мы узнаем признаки делимости на конкретные числа!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник, №457, №458 | Проверить делимость суммы и разности. Записать обоснование по образцу в тетради. |
Средний (повышающий) | Учебник, №462 | Найти пропущенные цифры в числах, чтобы сумма делилась на заданное число. |
Продвинутый (дополнительный) | Творческая задача | Придумать свой пример на свойство делимости произведения, связанный с покупками в магазине (функциональная грамотность). |
Контрольный вопрос перед выходом: «Если в произведении $15 \cdot 17 \cdot 19$ число 15 делится на 3, делится ли всё произведение на 3?»