Действие умножения. Свойства умножения
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока учащиеся сформулируют переместительное и сочетательное свойства умножения, применят их для рационального вычисления не менее чем в четырёх примерах и объяснят выбор удобного порядка действий.
- Познакомить учащихся с умножением как действием, заменяющим сложение одинаковых слагаемых, и закрепить смысл компонентов умножения.
- Организовать исследовательскую работу в парах и группах для самостоятельного открытия переместительного и сочетательного свойств умножения.
- Развивать умение выбирать рациональный способ вычисления, сравнивать способы решения и аргументировать свой выбор.
- Формировать ответственное отношение к совместной работе, математической речи и взаимопомощи.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к исследованию математических закономерностей и осознают практическую ценность умения быстро выполнять вычисления.
- Понимают значение сотрудничества и взаимопомощи при решении общей учебной задачи.
- Оценивают собственный вклад в парную и групповую работу.
- Формируют положительное отношение к математике через открытие правила собственными действиями.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель на основе выявленного затруднения и планируют последовательность исследовательских действий.
- Сравнивают выражения, устанавливают закономерности, делают выводы и проверяют их на новых примерах.
- Используют математическую речь для объяснения способа решения и аргументации вывода.
- Осуществляют взаимопроверку, самоконтроль и коррекцию вычислительных ошибок.
Предметные
- Знать смысл умножения, названия компонентов и результата действия.
- Уметь заменять сумму одинаковых слагаемых произведением и произведение суммой одинаковых слагаемых.
- Знать и формулировать переместительное и сочетательное свойства умножения.
- Уметь применять свойства умножения для рационального вычисления числовых выражений.
- Владеть навыком проверки результата с помощью другого способа вычисления.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную задачу: научиться использовать свойства умножения для упрощения вычислений.
- Проявляют готовность преодолевать затруднение через поиск и проверку гипотез.
- Осознают ответственность за точность собственного ответа и результат работы группы.
- Соблюдают доброжелательные правила общения при обсуждении разных способов решения.
Регулятивные УУД
- Принимают и сохраняют цель урока, сформулированную на основе проблемного задания.
- Планируют действия исследования: вычислить, сравнить, предположить, проверить, сформулировать правило.
- Проверяют вычисления по образцу и с помощью обратного способа.
- Оценивают степень освоения свойств умножения и намечают способ исправления ошибки.
Познавательные УУД
- Моделируют умножение с помощью рисунка, суммы одинаковых слагаемых и числового выражения.
- Выделяют существенные признаки переместительного и сочетательного свойств.
- Устанавливают причинно-следственные связи между способом группировки множителей и результатом.
- Переносят открытое правило на вычисления в жизненном и межпредметном контексте.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в группе: вычислитель, записывающий, проверяющий, докладчик.
- Формулируют вопросы к партнёру и уточняют математическое объяснение.
- Согласуют общий вывод и представляют его классу.
- Корректно сравнивают решения и аргументируют выбор наиболее удобного способа.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить учебник, доску или интерактивную доску, презентацию с рисунками групп предметов и карточками выражений.
- Распечатать карточки исследователя трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика и комплект на каждую группу.
- Подготовить таблицы для исследования: «Выражение 1», «Выражение 2», «Результат», «Вывод».
- Разложить на парты наборы предметных моделей: по 12–16 фишек или счётных палочек на пару.
- Распечатать лист самооценки и билет на выход — по одному экземпляру на каждого ученика.
- Вывесить на доску памятку: «Переместительное свойство: $a \cdot b=b \cdot a$; сочетательное свойство: $(a \cdot b) \cdot c=a \cdot (b \cdot c)$».
- Подготовить цветные карточки для сигналов «понятно», «есть вопрос», «нужна помощь».
- Организовать рабочие места для групп по четыре человека; предусмотреть маркеры и листы формата А3.
- Методические ресурсы: учебник по математике для 5 класса, карточки с заданиями, предметные модели, интерактивная презентация, листы самооценки и критерии взаимопроверки.
- Оборудование: компьютер, проектор или интерактивная доска, доска, магниты, таймер, фишки или счётные палочки, маркеры.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и вызвать интерес к поиску удобного способа вычисления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность к уроку: тетрадь, ручка, учебник и карточка исследователя должны лежать перед вами. Сегодня мы будем не просто выполнять вычисления, а попробуем сами открыть математическое правило." | Проверяют готовность рабочего места, записывают дату и тему урока после её объявления. |
2 мин | Учитель показывает на экране изображение четырёх рядов по три фишки и спрашивает: "Сколько фишек изображено? Как можно посчитать их быстро? А если расположить эти же фишки в три ряда по четыре, изменится ли количество? Запишите два выражения и сравните их." Учитель называет приём «Проблемный вопрос». | Рассматривают модель, записывают $3 \cdot 4$ и $4 \cdot 3$, считают значения, предполагают: "Результат не изменится, потому что фишек осталось столько же". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что один и тот же набор можно посчитать разными способами. Теперь вспомним, что означает умножение, и проверим нашу догадку не только на фишках, но и на числовых выражениях."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить смысл умножения и названия его компонентов, необходимые для исследования свойств.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель обращается к классу: "Вспомним основное значение действия умножения. Какую сумму можно заменить произведением $6+6+6+6$? Что показывает число 6 и что показывает число 4?" Учитель фиксирует на доске: $6+6+6+6=6 \cdot 4$. | Записывают равенство, отвечают: "6 — одинаковое слагаемое, 4 — сколько раз оно повторяется". |
2 мин | Учитель предлагает устную разминку: "Замените суммы произведениями: $5+5+5$; $7+7$; $2+2+2+2+2$. Теперь замените произведения суммами: $4 \cdot 3$ и $8 \cdot 2$." | Устно и в тетради выполняют преобразования: $5 \cdot 3$, $7 \cdot 2$, $2 \cdot 5$; $4+4+4$ и $8+8$. |
1 мин | Учитель задаёт вопрос: "Какие числа называются множителями, а какое число — произведением?" После ответов показывает на доске запись $7 \cdot 5=35$. | Называют множители 7 и 5, результат 35, формулируют: "Число, полученное при умножении, называется произведением". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили смысл умножения и его компоненты. Теперь выясним, можно ли менять местами множители и объединять их по-разному, не меняя результата."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить закономерность и сформулировать цель исследовательской работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске пары выражений: $3 \cdot 8$ и $8 \cdot 3$; $2 \cdot 5 \cdot 4$ и $2 \cdot 4 \cdot 5$. Учитель говорит: "Вычислите значения и сравните пары. Совпадение результата в одном примере ещё не является правилом. Как мы можем проверить предположение?" | Вычисляют значения, сравнивают пары, предлагают: "Нужно взять другие числа, составить таблицу и проверить несколько случаев". |
2 мин | Учитель применяет приём «Снежный ком»: "Сначала каждый сформулируйте цель исследования одним предложением. Затем обсудите её в паре, после этого группа выберет одну общую формулировку." | Индивидуально формулируют цель, обсуждают в парах, затем в группах приходят к выводу: "Проверить, зависит ли результат умножения от порядка множителей и их группировки, и сформулировать свойства". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: исследовать порядок множителей и порядок их объединения. Переходим к работе исследовательских групп и соберём доказательства нашего предположения."
Этап 4. Открытие нового знания. Исследовательская работа (10 мин)
Цель этапа: самостоятельно установить переместительное и сочетательное свойства умножения и оформить их в виде правил.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель делит класс на группы по четыре человека и распределяет роли: "В каждой группе будут вычислитель, записывающий, проверяющий и докладчик. Работайте с таблицей на карточке. Сначала вычислите оба выражения, затем сравните результаты и сформулируйте вывод." | Распределяют роли, получают карточки и фишки, читают инструкцию. |
4 мин | Учитель раздаёт группе 1 задания $2 \cdot 7$ и $7 \cdot 2$, $4 \cdot 6$ и $6 \cdot 4$; группе 2 — задания $3 \cdot 5 \cdot 2$ и $(3 \cdot 5) \cdot 2$, $3 \cdot (5 \cdot 2)$; группе 3 — предметную модель 2 ряда по 6 фишек и 6 рядов по 2 фишки. Учитель задаёт вопросы: "Что осталось неизменным? Что изменилось?" | Выполняют вычисления, переставляют фишки, заполняют таблицу, сравнивают результаты. Формулируют: "При перестановке множителей произведение не изменяется" и "При изменении группировки множителей произведение не изменяется". |
4 мин | Учитель организует представление результатов: "Докладчик каждой группы назовите один пример, результат и общий вывод. Остальные группы проверяют запись и при необходимости задают уточняющий вопрос." Учитель обобщает на доске: $a \cdot b=b \cdot a$; $(a \cdot b) \cdot c=a \cdot (b \cdot c)$. | Докладчики представляют выводы, остальные сверяют записи, задают вопросы: "Почему скобки можно изменить?" Отвечают: "Потому что при умножении трёх чисел результат остаётся тем же". |
Запись в тетрадях
Учащиеся записывают: «Переместительное свойство умножения: от перестановки множителей произведение не изменяется, $a \cdot b=b \cdot a$. Сочетательное свойство умножения: чтобы умножить произведение двух множителей на третий, можно первый множитель умножить на произведение второго и третьего, $(a \cdot b) \cdot c=a \cdot (b \cdot c)$».
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили два свойства не из готового правила, а через исследование и проверку примеров. Теперь потренируемся применять их осознанно и объяснять, почему выбранный способ удобен."
Этап 5. Физкультминутка и межпредметная связь (3 мин)
Цель этапа: снять утомление, закрепить свойства движением и показать связь математики с информатикой и окружающим миром.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель говорит: "Встаньте рядом с партами. Я называю выражение. Если в нём удобно применить переместительное свойство, поменяйте руки местами; если сочетательное — соедините ладони в одну группу. Выполняем спокойно, не толкаемся." | Встают, выполняют условные движения и проговаривают названия свойств. |
2 мин | Учитель связывает тему с информатикой и окружающим миром: "Таблица в компьютере может содержать 4 строки по 6 клеток или 6 строк по 4 клетки. В обоих случаях количество клеток одинаково. Какое свойство мы использовали? А при подсчёте коробок, в каждой из которых 3 ряда по 5 предметов, какое свойство помогает изменить группировку?" | Отвечают: "Переместительное свойство" и "Сочетательное свойство", приводят примеры из расположения предметов в таблицах и упаковках. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Свойства умножения работают не только в тетради: они помогают считать строки и столбцы, предметы в упаковках и клетки таблицы. Возвращаемся к вычислениям и проверим, умеем ли мы выбирать самый удобный способ."
Этап 6. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить применение свойств умножения через совместное решение и объяснение рационального способа вычисления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель организует работу в парах: "Решите выражения, используя свойства умножения: $4 \cdot 25$; $7 \cdot 2 \cdot 5$; $3 \cdot 4 \cdot 5$. Один ученик предлагает преобразование, второй объясняет, почему оно допустимо, затем поменяйтесь ролями." | В парах преобразуют выражения: $4 \cdot 25=100$; $7 \cdot 2 \cdot 5=7 \cdot (2 \cdot 5)=70$; $3 \cdot 4 \cdot 5=3 \cdot (4 \cdot 5)=60$. |
3 мин | Учитель предлагает разноуровневые карточки. Базовый уровень: $6 \cdot 8$ и $8 \cdot 6$. Повышенный уровень: $25 \cdot 7 \cdot 4$. Творческий уровень: придумать выражение из трёх множителей, которое удобно вычислить с помощью сочетательного свойства. Учитель напоминает критерии: правильность, запись преобразования, объяснение. | Выбирают карточку, решают в парах, записывают промежуточное преобразование и готовят объяснение. |
2 мин | Учитель проводит взаимопроверку: "Обменяйтесь тетрадями. Найдите в работе партнёра две сильные стороны и одну рекомендацию. Проверьте не только ответ, но и запись свойства." | Проверяют решение партнёра, используют приём «Две звезды и пожелание», исправляют неточности. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В парной работе вы применили оба свойства и увидели, что важен не только ответ, но и объяснение преобразования. Теперь каждый самостоятельно покажет, что может выполнить задание без подсказки партнёра."
Этап 7. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное понимание свойств и умение использовать их в вычислениях разной сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней: "Выберите уровень, который соответствует вашей уверенности. Базовый: вычислите $9 \cdot 6$ и $6 \cdot 9$. Средний: вычислите удобным способом $5 \cdot 14 \cdot 2$ и $4 \cdot 25 \cdot 3$. Повышенный: объясните, почему выражения $6 \cdot 8 \cdot 5$ и $6 \cdot (8 \cdot 5)$ имеют одинаковые значения, и найдите результат." | Индивидуально решают выбранный вариант, записывают свойства или промежуточные преобразования. |
3 мин | Учитель открывает на доске эталон: $9 \cdot 6=54$, $6 \cdot 9=54$; $5 \cdot 14 \cdot 2=5 \cdot 2 \cdot 14=140$; $4 \cdot 25 \cdot 3=4 \cdot 25 \cdot 3=300$; $6 \cdot (8 \cdot 5)=6 \cdot 40=240$. Просит провести самопроверку цветной ручкой и отметить результат в листе самооценки. | Сверяют решения с эталоном, исправляют ошибки, отмечают: «выполнил самостоятельно», «потребовалась помощь» или «нужно повторить». |
Эталон решения
$5 \cdot 14 \cdot 2=5 \cdot 2 \cdot 14=10 \cdot 14=140$. Сначала применено переместительное свойство, затем выполнено умножение удобных множителей. $4 \cdot 25 \cdot 3=4 \cdot 25 \cdot 3=100 \cdot 3=300$. Сначала объединены множители 4 и 25, так как их произведение равно 100.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что вы умеете применять свойства с разной степенью поддержки. Ошибка в промежуточной записи исправляется проверкой: перечитайте, какое свойство использовали и не изменили ли вы сами множители. Осталось подвести итог и проверить, достигли ли мы цели урока."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осмыслить открытые свойства, оценить собственную деятельность и получить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращается к проблемному вопросу: "В начале урока мы сравнивали $3 \cdot 4$ и $4 \cdot 3$. Как теперь объяснить совпадение результатов? Назовите два свойства умножения и скажите, когда каждое помогает." | Отвечают: "Работает переместительное свойство, потому что множители можно менять местами"; "Сочетательное свойство позволяет по-разному группировать множители". |
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если можете сформулировать оба свойства и применить их; жёлтую — если правило понимаете, но иногда ошибаетесь; красную — если нужна дополнительная помощь. На стикере допишите: «Сегодня я научился…» и «Мне нужно потренировать…»." | Показывают карточку, заполняют стикер, называют конкретное умение или затруднение. |
1 мин | Учитель объясняет домашнее задание: "Выберите уровень по таблице. Обязательно запишите преобразования, а не только ответы. На следующем уроке мы начнём с разбора типичных ошибок." | Записывают выбранный уровень и контрольные вопросы, задают уточняющие вопросы. |
