Пути-дорожки: считаем маршруты на клетчатом поле
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться находить количество возможных маршрутов на клетчатом поле от старта до финиша, используя перебор, схему или правило сложения, и объяснять выбранный способ на примере не менее двух задач.
- Закрепить умение читать план-схему, определять начало и конец маршрута, двигаться по условию задачи и записывать найденные пути.
- Развивать логическое и пространственное мышление через исследование, сравнение способов решения и поиск закономерности.
- Формировать навыки сотрудничества в парах и группах, умение распределять роли, договариваться и аргументировать ответ.
- Воспитывать интерес к математике через игровую ситуацию путешествия и ответственное отношение к точности вычислений.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к исследованию маршрутов и поиску нескольких способов решения.
- Осознают ценность точности, последовательности и проверки результата в практической задаче.
- Положительно оценивают собственный вклад в парную и групповую работу.
- Проявляют готовность преодолевать затруднение и доводить исследование до вывода.
Метапредметные
- Планируют последовательность действий при построении и подсчёте маршрутов.
- Извлекают информацию из клетчатой схемы, условных обозначений и текста задания.
- Сравнивают способы решения, находят закономерность и формулируют вывод.
- Работают в паре и группе, распределяют роли, задают вопросы и аргументируют ответ.
- Используют математическую модель для решения практической задачи о перемещении по плану.
Предметные
- Знать, что маршрут состоит из последовательности шагов от точки старта к точке финиша.
- Уметь перечислять и не пропускать возможные пути на небольшой клетчатой схеме.
- Уметь находить общее число маршрутов с помощью перебора и правила сложения вариантов.
- Уметь учитывать ограничения маршрута: запрет на некоторые клетки или обязательное прохождение через контрольную точку.
- Уметь проверять ответ другим способом и объяснять ход рассуждения.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный вклад в общее исследование и оценивают собственную уверенность в работе с маршрутами.
- Связывают математическое задание с реальными ситуациями: планом дороги, картой или маршрутом путешествия.
- Проявляют настойчивость при поиске всех вариантов пути.
Регулятивные УУД
- Принимают учебную задачу и формулируют цель исследования.
- Планируют способ перебора маршрутов и фиксируют найденные варианты.
- Сверяют результат с условием, обнаруживают пропуски и исправляют ошибки.
- Оценивают работу по критериям: полнота, правильность, понятность объяснения.
Познавательные УУД
- Строят модель маршрута на клетчатом поле и используют условные обозначения.
- Классифицируют пути по первому шагу или контрольной точке.
- Выделяют существенные данные, сравнивают варианты и находят закономерность.
- Применяют перебор, таблицу или схему для получения и проверки ответа.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в группе: читатель условия, построитель маршрута, счётчик, докладчик.
- Обсуждают решение в паре по алгоритму «Подумай — обсуди в паре — поделись».
- Формулируют вопросы к решению другой группы и корректно отвечают на них.
- Договариваются о единой записи и аргументируют выбор способа решения.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить на доске или экране игровое поле 4×4 клетки с обозначенными стартом, финишем, контрольной точкой и несколькими запрещёнными клетками.
- Распечатать карточки маршрутов трёх уровней сложности: зелёные — базовые, жёлтые — повышающие, красные — творческие; по одной карточке на пару и по одной дополнительной карточке на группу.
- Подготовить для каждой пары клетчатый лист, карандаш двух цветов и фишки «Старт» и «Финиш».
- Подготовить для каждой группы конверт с карточкой исследователя, маршрутными стрелками и листом для вывода.
- Разместить на доске памятку: «1. Найди старт и финиш. 2. Построй все допустимые пути. 3. Запиши каждый путь. 4. Проверь, нет ли пропуска».
- Подготовить маршрутную карту вымышленного парка с условными объектами: школа, библиотека, музей, спортивная площадка.
- Подготовить карточки самооценки с тремя сигналами: зелёный — справился, жёлтый — нужна проверка, красный — нужна помощь.
- Подготовить проектор или интерактивную доску, таймер, магниты, маркеры и цветные стикеры.
- Заранее объединить учеников в разнородные группы по 4 человека и определить места для групповой работы.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и игровая мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить детей в игровую ситуацию путешествия и вызвать интерес к исследованию маршрутов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране карту вымышленного парка: «Здравствуйте, ребята. Сегодня мы станем исследователями маршрутов. Представьте, что в парке несколько дорожек, а нам нужно помочь путешественнику добраться от школы до музея. Важно не просто прийти, а узнать, сколько разных путей существует. Проверьте, что на столе есть тетрадь, карандаш и маршрутный лист». | Готовят рабочее место, рассматривают карту, принимают игровую роль исследователей. |
2 мин | Учитель проводит приём «Крючок»: «Посмотрите на карту. Как вы думаете, можно ли попасть из точки старта в точку финиша разными дорогами? А как доказать, что мы нашли все варианты? Сегодня мы будем не угадывать, а исследовать и проверять». | Рассматривают схему, выдвигают предположения: «Путей может быть несколько», «Нужно нарисовать каждый маршрут». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы выяснили, что между двумя точками может быть несколько маршрутов. Теперь вспомним, как внимательно читать схему и выполнять последовательные шаги, чтобы наше исследование было точным».
Этап 2. Актуализация знаний и пробное действие (5 мин)
Цель этапа: актуализировать умения ориентироваться на клетчатом поле, выполнять движения по условию и фиксировать последовательность действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает поле 3×3: «Назовите, где находится старт и где финиш. Какими шагами можно двигаться, если разрешены только шаг вправо и шаг вниз? Покажите направление стрелками». | Называют координаты или положение точек, прикрепляют стрелки, отвечают: «Можно идти вправо или вниз». |
3 мин | Учитель раздаёт каждой паре мини-карточку: «Постройте один путь от старта до финиша. Работайте по приёму «Подумай — обсуди в паре — поделись»: сначала каждый рисует свой вариант 30 секунд, затем сравните варианты и объясните классу». | Индивидуально рисуют путь, обсуждают его в паре, сравнивают варианты и показывают один маршрут. Формулируют: «Сначала два шага вправо, затем один шаг вниз» или другой допустимый вариант. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы умеем строить отдельный путь. Но одного пути недостаточно, если вопрос звучит «сколько существует маршрутов». Сейчас попробуем понять, где возникает затруднение».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить проблему неполного перебора и сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращает на экран поле и спрашивает: «Запишите в тетради, сколько путей вы увидели. Сравним ответы. Почему у одних получилось два, а у других три? Мог ли кто-то случайно повторить один путь или забыть другой? Что нужно сделать, чтобы ответ можно было доказать?» | Сравнивают записи, обнаруживают разные ответы, предполагают: «Нужно перечислить пути по порядку», «Нужно проверить каждый вариант». |
2 мин | Учитель фиксирует на доске проблемный вопрос: «Как найти все пути и не пропустить ни одного?» Затем предлагает завершить фразу: «Сегодня я научусь…». | Формулируют цель: «Научусь находить и считать все маршруты на клетчатой схеме и проверять ответ». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Проблема ясна: случайный рисунок не гарантирует полный ответ. Мы проверим несколько способов и выясним, какой порядок действий помогает найти все маршруты».
Этап 4. Исследовательское открытие нового способа (9 мин)
Цель этапа: открыть алгоритм полного перебора маршрутов и правило разбиения путей на группы по первому шагу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель объединяет детей в группы по 4 человека и раздаёт исследовательские листы: «Роли такие: читатель условия, рисовальщик, проверяющий и докладчик. На поле 3×3 двигаться можно только вправо и вниз. Начало — в левом верхнем углу, конец — в правом нижнем. Найдите все маршруты. Каждый маршрут обозначайте последовательностью букв: П — вправо, В — вниз». | Распределяют роли, читают условие, строят и записывают маршруты, например: «ППВВ», «ПВПВ», «ПВВП», «ВППВ», «ВПВП», «ВВПП». |
3 мин | Учитель задаёт вопросы Сократовского диалога: «Сколько шагов вправо должен сделать каждый маршрут? Сколько шагов вниз? Что изменится, если сначала рассматривать только маршруты, начинающиеся вправо? Как проверить вторую группу маршрутов?» | Отвечают: «В каждом пути два шага вправо и два вниз». Делят варианты на две группы: начинающиеся вправо и начинающиеся вниз; проверяют полноту каждой группы. |
3 мин | Учитель обобщает: «Мы нашли шесть вариантов. Важно не рисовать беспорядочно: сначала выбираем первый шаг, затем перечисляем продолжения. Такой способ называется упорядоченным перебором. Если маршруты можно разделить на непересекающиеся группы, число всех маршрутов равно сумме маршрутов в группах». | Записывают вывод, объясняют его друг другу и готовят короткое сообщение группы: «Мы разделили пути по первому шагу и не повторили варианты». |
Запись в тетрадях
Алгоритм поиска путей: 1) определить старт и финиш; 2) выяснить разрешённые движения; 3) разделить маршруты на группы по первому шагу или контрольной точке; 4) перечислить варианты в каждой группе; 5) посчитать и проверить, нет ли повторов и пропусков.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы открыли главный способ исследователя: действовать по плану и разбивать сложную задачу на группы. Теперь применим алгоритм сначала вместе, а затем самостоятельно».
Этап 5. Первичное закрепление в парах «Маршрутный патруль» (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм на практических заданиях двух уровней сложности и научиться объяснять решение партнёру.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт базовые карточки: «На поле 3×2 клетки нужно попасть из старта в финиш, двигаясь только вправо и вниз. Постройте все маршруты и запишите их буквами П и В. Сначала решите каждый самостоятельно, затем сверяйтесь в паре». | Решают индивидуально, затем сравнивают записи в паре. Находят три маршрута: «ППВ», «ПВП», «ВПП». |
3 мин | Учитель предлагает повышающий вариант: «На поле есть контрольная точка. Найдите маршруты, которые обязательно проходят через неё. Объясните, почему маршрут без контрольной точки не подходит». Учитель проходит между парами и задаёт вопросы: «Как вы проверили полноту? Что означают ваши буквы?» | Строят маршруты через контрольную точку, обводят допустимые пути цветом, объясняют партнёру способ проверки. |
2 мин | Учитель проводит быструю взаимопроверку: «Обменяйтесь карточками. Поставьте плюс за правильный подсчёт, плюс за полную запись и вопросительный знак, если объяснение непонятно». | Проверяют работу партнёра по трём критериям, формулируют одну сильную сторону и один совет. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы убедились, что путь можно записать не только рисунком, но и последовательностью шагов. Теперь каждый покажет, умеет ли применить алгоритм без подсказки».
Этап 6. Самостоятельная работа с дифференциацией (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение способа подсчёта маршрутов и учесть разный уровень подготовки учеников.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор уровня: «Выберите карточку по готовности. Зелёная — обязательный минимум, жёлтая — повышенный уровень, красная — исследовательское испытание. Можно начать с зелёной и перейти дальше. Работайте тихо, все схемы подписывайте». | Выбирают карточку, записывают фамилию и приступают к решению. |
5 мин | Учитель наблюдает и оказывает адресную помощь вопросами: «Сколько шагов каждого вида требуется? С какого первого шага удобнее начать? Где вы зафиксировали уже найденные маршруты?» Задания: зелёная карточка — найти все пути на поле 4×2; жёлтая — найти пути на поле 3×3 через отмеченную клетку; красная — придумать поле с ровно четырьмя допустимыми маршрутами и доказать это. | Решают выбранное задание. На зелёной карточке перечисляют три маршрута; на жёлтой делят маршруты по контрольной точке; на красной создают собственную схему и записывают обоснование. |
2 мин | Учитель выводит на экран эталонные схемы без готовых ответов и просит выполнить самопроверку: «Проверьте количество, отсутствие повтора и соответствие ограничениям. Исправления выполняйте другим цветом». | Сверяют решение со схемой, исправляют ошибки, отмечают результат в листе самооценки: «могу сам», «нужна проверка», «нужна помощь». |
Эталон решения
Для поля 3×2 каждый маршрут содержит два шага вправо и один шаг вниз. Упорядоченный перебор по месту шага вниз даёт варианты: «ВПП», «ПВП», «ППВ». Всего 3 маршрута. Проверка: в каждом варианте ровно три шага, два из них «П» и один «В».
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, что один и тот же способ можно применять к полям разного размера. Осталось использовать его в реальной карте и создать собственную задачу».
Этап 7. Межпредметная групповая практика и творческое задание (6 мин)
Цель этапа: применить математический способ к плану местности, развить пространственное мышление и создать собственную маршрутную задачу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт группам карту «Путь по парку»: «На карте есть школа, библиотека, музей и спортивная площадка. Группа должна выбрать маршрут от школы до музея, отметить две возможные дорожки и посчитать их количество. Обсудите, как математическая схема помогает туристу ориентироваться на плане местности». | Рассматривают легенду карты, находят объекты, проводят допустимые маршруты, считают варианты, объясняют связь математики с географией и ориентированием. |
3 мин | Учитель даёт творческое задание: «Добавьте на карту одну новую дорожку или один закрытый участок так, чтобы количество маршрутов изменилось. Запишите условие для другой группы и приготовьте ответ для проверки». | Создают изменённую карту, формулируют условие, передают его соседней группе и решают полученную задачу. Докладчики кратко представляют результат. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы не только решили задачу, но и стали авторами математической игры. На карте маршрут зависит от ограничений, а в математике каждое изменение условия может изменить число решений».
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: осознать способ действия, оценить результат и зафиксировать следующий шаг обучения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: «Поднимите зелёную карточку, если можете самостоятельно найти все пути на небольшой схеме; жёлтую — если иногда пропускаете вариант; красную — если нужна помощь. Теперь закончите фразу: «Чтобы не пропустить путь, я…» | Показывают карточку, формулируют: «Разделяю пути по первому шагу», «Записываю каждый маршрут», «Проверяю количество шагов». |
1 мин | Учитель раздаёт билет на выход: «Ответьте письменно на вопрос: сколько маршрутов будет на поле 2×2, если разрешены шаги только вправо и вниз? Запишите хотя бы два варианта пути». | Записывают ответ: «ППВ?». Проверяют размер поля по схеме и приводят конкретные последовательности шагов, например «ПВ» и «ВП» для одного шага вправо и одного вниз. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — правильно решены задания выбранного уровня, перечислены все допустимые маршруты без повторов, объяснён способ проверки; в творческой работе корректно составлено собственное условие.
- «4» — правильно решена основная задача, найдено большинство маршрутов, допущена одна неточность в записи или объяснении, исправленная после проверки.
- «3» — найден хотя бы один допустимый маршрут и понятен общий способ действия, но пропущены варианты или не учтено одно ограничение; решение выполнено с помощью подсказки.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о поиске маршрутов? | Выявление осознания алгоритма упорядоченного перебора. |
Какой способ помог не пропустить путь? | Проверка понимания роли разбиения маршрутов на группы. |
Какое задание оказалось самым сложным и почему? | Выявление точек затруднения и потребности в дифференцированной поддержке. |
Что вы сделали в группе лично? | Осознание вклада, сотрудничества и ответственности за общий результат. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы исследовали пути-дорожки и убедились, что математический ответ нужно не угадывать, а доказывать. Главная ошибка в таких задачах — пропустить маршрут или посчитать один и тот же путь дважды. Нам помогли порядок, запись шагов и проверка по группам. На следующем уроке мы продолжим работать с задачами на выбор вариантов и попробуем находить закономерность в более сложных схемах».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 3 задачи на клетчатые поля размером 3×2 или 4×2: найти все маршруты при движении вправо и вниз, записать каждый путь стрелками или буквами. | Закрепляет алгоритм полного перебора; при проверке обратить внимание на отсутствие пропусков и повторов. |
Средний (повышающий) | Решить 2 задачи с ограничением: маршрут должен пройти через контрольную клетку или не может проходить через закрытую клетку. Объяснить, как ограничение изменило число путей. | Формирует умение учитывать условие и делить задачу на независимые группы. |
Продвинутый (дополнительный) | Создать собственную карту размером не менее 4×4 клетки с началом, финишем, препятствием и не менее чем тремя допустимыми маршрутами; записать условие, ответ и краткое доказательство полноты. | Развивает исследовательские и творческие умения, математическое моделирование и аргументацию. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Что называют маршрутом? Какие шаги разрешены в сегодняшних задачах? Как проверить, что найдено все возможные пути? Что изменится, если закрыть одну клетку?»
