Пути-дорожки. Урок 4: Находим кратчайшие маршруты на сетке
Цели и задачи
- Цель: научиться определять количество всех возможных кратчайших путей между двумя точками на прямоугольной сетке, используя метод сложения в узлах.
- Образовательная задача: познакомить с алгоритмом подсчета путей на графе-сетке и закрепить навыки решения комбинаторных задач.
- Развивающая задача: развивать логическое мышление, пространственное воображение и навыки моделирования реальных объектов (улиц Москвы) в виде математических схем.
- Воспитательная задача: воспитывать интерес к изучению родного города (Москвы) через решение практико-ориентированных задач.
- Методическая задача: отработать применение таксономии Блума от понимания принципа до его применения в нестандартной ситуации.
Планируемые результаты
Личностные
- Формирование устойчивого интереса к математике как инструменту познания окружающего мира.
- Развитие навыков самоконтроля и адекватной самооценки при выполнении самостоятельных заданий.
- Осознание ценности культурного и исторического наследия Москвы через знакомство с её топографией.
Метапредметные
- Познавательные: умение выделять существенную информацию из схем и текстов учебника, строить логическую цепь рассуждений.
- Регулятивные: способность принимать и сохранять учебную задачу, планировать свои действия в соответствии с поставленной целью.
- Коммуникативные: умение аргументировать свою точку зрения, эффективно сотрудничать в парах при обсуждении вариантов решения.
Предметные
- Знать принцип подсчета путей на прямоугольной сетке (метод сложения в узлах).
- Уметь находить количество кратчайших путей от одной вершины сетки до другой без пропусков и повторений.
- Уметь применять полученные знания для решения задач с ограничениями (путь через обязательную точку).
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Самоопределение: осознание себя как юного исследователя Москвы.
- Смыслообразование: понимание связи между математическим расчетом и реальной логистикой города.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что еще неизвестно.
- Контроль в форме сличения способа действия и его результата с заданным эталоном.
Познавательные УУД
- Знаково-символические действия: моделирование маршрутов с помощью числовых сеток.
- Логические: анализ объектов с целью выделения признаков, синтез как составление целого из частей.
Коммуникативные УУД
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами коммуникации.
- Владение монологической и диалогической формами речи.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать рабочие листы со схемами кварталов Москвы (формат сетки 3х3 и 4х4) — по 1 на каждого ученика.
- Подготовить презентацию со слайдами: карта центра Москвы, схема-сетка с анимированным заполнением чисел в узлах.
- Проверить наличие учебного пособия «Занимательная математика юного москвича» (Гейдман, Мишарина) на столах.
- Подготовить цветные маркеры для работы у доски.
- Вырезать из цветного картона «фишки-пешеходы» для демонстрации движения по сетке.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: создать положительный эмоциональный настрой и подготовить учеников к активному поиску новых знаний.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Здравствуйте, ребята! Сегодня мы продолжаем наше математическое путешествие по Москве. Представьте, что мы находимся в самом центре нашего города, где улицы пересекаются, образуя ровные кварталы. Как вы думаете, сколько способов есть у пешехода, чтобы дойти от одной площади до другой, не сворачивая назад?" | Приветствуют учителя, проверяют готовность к уроку (учебник Гейдмана, тетрадь, ручка, карандаш). Включаются в обсуждение вопроса учителя. |
2 мин | "На прошлых уроках мы учились строить простые маршруты. Но сегодня задача усложняется: мы станем настоящими логистами и узнаем секретный способ, который позволяет мгновенно сосчитать сотни путей, не рисуя каждый из них. Готовы сделать это открытие?" | Отвечают: "Да!". Выражают заинтересованность в новом способе решения задач. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Отлично! Запишите в тетрадях тему урока: 'Пути-дорожки. Находим кратчайшие маршруты'."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить базовые понятия (сетка, движение вправо и вверх) и зафиксировать затруднение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Откройте учебник на стр. 10. Посмотрите на маршруты Бабы-Яги и Ивана-царевича. Они идут из пункта А в пункт В разными дорогами. Как вы думаете, чей путь короче?» | Открывают учебник, рассматривают ломаные линии на сетке. Высказывают предположения. |
3 мин | «Давайте посчитаем шаги. Сколько шагов вправо и сколько вверх сделал каждый герой? Что мы заметили?» | Считают клетки. Делают вывод: количество шагов вправо и вверх одинаковое, значит, длины путей равны. Это и есть кратчайшие пути. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Я вижу, что считать пути по одному на большой сетке — долго и неудобно. Значит, нам нужен другой, более хитрый математический инструмент."
Этап 3. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести алгоритм подсчета путей методом сложения чисел в узлах сетки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Давайте рассуждать логически. В стартовую точку (узел) ведет 1 путь — мы в ней уже находимся. Поставим цифру 1. Чтобы попасть в следующий узел по горизонтали, у нас тоже только 1 вариант — идти прямо. Ставим 1 во всех узлах по нижнему краю и по левому краю. Почему именно 1?" | Слушают объяснение, зарисовывают в тетрадь сетку 2х2. Отвечают: "Потому что туда можно попасть только одним способом — двигаясь всё время в одну сторону". |
6 мин | "А теперь самое интересное! Посмотрите на узел в центре (перекресток). В него можно прийти СНИЗУ (1 путь) или СЛЕВА (1 путь). Как узнать, сколько всего путей ведет в этот узел? Правильно, нужно сложить эти возможности: $1 + 1 = 2$. Запишем цифру 2 в этом узле. Теперь посмотрите на следующий узел..." | Следят за маркером учителя на доске. Делают вывод: число путей в любой узел равно сумме чисел в тех узлах, из которых мы можем в него прийти (снизу и слева). Заполняют свои схемы числами. |
Запись в тетрадях
Правило: количество путей в узел сетки равно сумме количеств путей в соседние узлы, из которых можно попасть в данный узел (двигаясь только вправо и вверх).
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Этот метод называется методом сложения в узлах. Он позволяет безошибочно считать пути даже на огромных картах. Давайте проверим его в деле, открыв наш учебник."
Этап 4. Применение знаний: кольцевые маршруты (7 мин)
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
10 мин | «Выполните задания №4 и №5 на стр. 11. Обсудите в парах: как правильно расставить числа в узлах, если сетка имеет необычную форму? Проверьте результаты друг друга.» | В парах решают задачи на нахождение количества кратчайших путей. Сверяют ответы, аргументируют свои решения. |
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Прочитайте задачу №3 на стр. 10. Нам нужно составить кольцевой маршрут между городами Серпухов, Михнево и Протвино. Давайте нарисуем схему: города — это точки, а дороги — линии между ними.» | Рисуют в тетради три точки (треугольником) и подписывают названия городов. Проводят линии: 3 (С-М), 2 (М-П) и 3 (П-С). |
5 мин | «Чтобы найти общее количество путей для всего кольца, нужно перемножить количество вариантов на каждом участке. Какой расчет получится?» | Вычисляют: $3 \times 2 \times 3 = 18$. Записывают ответ: 18 кольцевых маршрутов. |
Этап 5. Работа в парах (10 мин)
Этап 6. Самостоятельная работа (10 мин)
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Прочитайте задачу №6. В лесочке выросли 2 боровика, 2 подберезовика и 2 подосиновика. Расположите их в 3 ряда так, чтобы в каждом ряду было по одному виду гриба. Как вы понимаете это условие?» | Анализируют условие логической задачи. Пробуют разные варианты расположения грибов. Решение: расположить грибы одного вида парами в каждом из трёх рядов. |
5 мин | «Теперь переходите к заданию №7. Примените метод сложения в узлах для этой схемы. Будьте внимательны при сложении чисел на стыках!» | Самостоятельно решают задачу на подсчет путей. Записывают ответ в тетрадь. |
Этап 7. Рефлексия и подведение итогов (4 мин)
Цель этапа: осознание учащимися своей учебной деятельности, самооценка результатов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Ребята, давайте вспомним, какую цель мы ставили в начале урока? Удалось ли нам найти тот самый 'секретный способ'? Какое правило сложения мы теперь знаем?" | Формулируют ответ: "Мы научились считать пути, складывая числа в узлах сетки. Это быстрее и точнее". |
2 мин | "Оцените свою работу сегодня. Поднимите зелёный карандаш, если вам всё понятно и вы можете научить друга. Жёлтый — если понимаете, но иногда ошибаетесь в сложении. Красный — если вам еще нужна помощь." | Проводят самооценку с помощью цветных карандашей (приём 'Светофор'). |
Контрольный вопрос перед выходом: "Если в узел ведут дороги из точек с числами 5 и 8, какое число мы запишем в этом узле?" (Ожидаемый ответ: 13).